Descente des charges sur une poutre
Comprendre la Descente des charges sur une poutre
Vous êtes un ingénieur en structure qui travaille sur la conception d’un petit bâtiment de bureaux de deux étages.
La structure est constituée de poutres en béton armé qui supportent les planchers et les charges du toit.
Votre tâche est de calculer les charges transmises à une poutre principale du premier étage, laquelle soutient une partie des planchers du premier et du second étage ainsi que le toit.
Comprendre la Descente de Charges sur un Poteau en cliquant sur le lien.
Données fournies:
– Dimensions de la poutre: La poutre en question a une longueur de 8 mètres et une section transversale rectangulaire de 300 mm de largeur par 500 mm de hauteur.
– Matériaux:
- Béton de classe C25/30
- Acier de renforcement Fe500
– Charges permanentes (G):
- Poids propre de la poutre: \(25 \, \text{kN/m}^3\) (volume de béton multiplié par sa densité)
- Plancher supporté par la poutre: \(5 \, \text{kN/m}^2\) pour chaque étage
– Charges temporaires (Q):
- Charge d’exploitation sur les planchers: \(3 \, \text{kN/m}^2\) pour chaque étage
- Charge de neige sur le toit (si applicable): \(1.5 \, \text{kN/m}^2\) (supposons que la poutre supporte une partie du toit)
Questions :
1. Calcul du poids propre de la poutre :
- Calculer le volume de béton dans la poutre.
- Déterminer le poids propre de la poutre à partir de ce volume.
2. Calcul des charges permanentes sur la poutre :
- Calculer la charge due aux planchers supportés par la poutre pour les deux étages.
3. Calcul des charges temporaires sur la poutre :
- Déterminer les charges d’exploitation pour les deux étages.
- Ajouter la charge de neige si applicable.
4. Calcul de la charge totale sur la poutre :
- Somme des charges permanentes et temporaires.
- Déterminer les réactions aux appuis si la poutre est simplement appuyée.
5. Contrôle de la capacité portante de la poutre :
- Vérifier si la poutre peut supporter cette charge totale en utilisant les normes de sécurité et les coefficients de sécurité appropriés.
Correction : Descente des charges sur une poutre
1. Calcul du poids propre de la poutre
Volume de béton :
\[ V = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur} \] \[ V = 8 \, \text{m} \times 0.3 \, \text{m} \times 0.5 \, \text{m} \] \[ V = 1.2 \, \text{m}^3 \]
Poids propre de la poutre :
\[ \text{Poids} = V \times \text{Densité du béton} \] \[ \text{Poids} = 1.2 \, \text{m}^3 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \] \[ \text{Poids} = 30 \, \text{kN} \]
2. Calcul des charges permanentes sur la poutre
Charge des planchers (pour chaque étage supporté par la poutre) :
- Charge du plancher par étage:
\[ = 5 \, \text{kN/m}^2 \times 8 \, \text{m} \] \[ = 40 \, \text{kN} \]
Total des charges permanentes des deux étages :
\[ = 40 \, \text{kN} (\text{1er étage}) + 40 \, \text{kN} (\text{2e étage}) + 30 \, \text{kN} (\text{poids propre}) \] \[ = 110 \, \text{kN} \]
3. Calcul des charges temporaires sur la poutre
Charges d’exploitation (pour chaque étage supporté par la poutre) :
- Charge d’exploitation par étage:
\[ = 3 \, \text{kN/m}^2 \times 8 \, \text{m} \] \[ = 24 \, \text{kN} \]
Charge de neige sur le toit (si applicable) :
\[ = 1.5 \, \text{kN/m}^2 \times 8 \, \text{m} \] \[ = 12 \, \text{kN} \]
Total des charges temporaires :
\[ = 24 \, \text{kN} (\text{1er étage}) + 24 \, \text{kN} (\text{2e étage}) + 12 \, \text{kN} (\text{neige}) \] \[ = 60 \, \text{kN} \]
4. Calcul de la charge totale sur la poutre
Total général:
\[ = 110 \, \text{kN} (\text{charges permanentes}) + 60 \, \text{kN} (\text{charges temporaires}) \] \[ = 170 \, \text{kN} \]
5. Contrôle de la capacité portante de la poutre
Calcul du moment fléchissant maximal (M) :
\[ M = \frac{w \times l^2}{8} \] \[ M = \frac{170 \, \text{kN} \times (8 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M = 10880 \, \text{kNm} \]
Module de résistance sectionnel (W) :
\[ W = \frac{b \times h^2}{6} \] \[ W = 0.3 \, \text{m} \times (0.5 \, \text{m})^2 / 6 \] \[ W = 0.0125 \, \text{m}^3 \]
Contrainte dans le béton (\(\sigma\)) :
\[ \sigma = \frac{10880 \times 10^3 \, \text{Nm}}{0.0125 \, \text{m}^3} \] \[ \sigma = 8704000 \, \text{Pa} \] \[ \sigma = 8704 \, \text{kPa} \]
Comparaison avec la résistance du béton :
La résistance à la compression du béton C25/30 est d’environ 25 MPa ou 25000 kPa. La contrainte calculée (8704 kPa) est inférieure à la résistance admissible du béton, indiquant que la poutre est apte à supporter les charges calculées sans risque de défaillance structurale.
Descente des charges sur une poutre
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