Dimensionnement d’une Longrine
Comprendre le dimensionnement d’une longrine
Vous êtes chargé de dimensionner une longrine (semelle filante) en béton armé pour supporter un mur de maçonnerie de 30 cm d’épaisseur d’une maison individuelle. La longrine repose sur un sol dont la capacité portante est de 150 kPa. Les charges appliquées sont données ci-dessous.
Données Techniques:
1. Charges (par mètre linéaire) :
- Charge permanente (G) : 120 kN/m (incluant le poids propre du mur).
- Charge d’exploitation (Q) : 50 kN/m.
2. Caractéristiques des matériaux :
- Béton C25/30: \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), Résistance au cisaillement \(\tau_{Rd} = 0.34 \, \text{MPa}\), Module d’élasticité \(E_{cm} = 31000 \, \text{MPa}\)
- Acier B500B: \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
3. Géométrie :
- Épaisseur du mur: \(a = 30 \, \text{cm}\)
- Enrobage des armatures: \(c = 4 \, \text{cm}\)
- Diamètre des barres: HA10 \(\phi = 10 \, \text{mm}\)
4. Conditions de service :
- Flèche admissible: \(L/250\) où \(L\) est la longueur de la console de la semelle.
Questions:
- Calcul des charges totales :
- Déterminer la charge totale à l’état limite de service (ELS) par mètre linéaire.
- Calculer la charge ultime à l’état limite ultime (ELU) avec \(\gamma_G = 1.35\) et \(\gamma_Q = 1.5\)
- Dimensionnement de la largeur de la semelle :
- Déterminer la largeur minimale \(B\) de la semelle pour que la contrainte sur le sol reste inférieure à \(q_{soil} = 150 \, \text{kPa}\)
- Vérification au cisaillement :
- Calculer l’effort tranchant ultime \(V_{Ed}\) sur la console de la semelle.
- Vérifier que la résistance au cisaillement du béton \(V_{Rd}\) est suffisante (utiliser \(\tau_{Rd}\) et \(d = 45.5 \, \text{cm}\)).
- Calcul du moment fléchissant et des armatures :
- Déterminer le moment ultime \(M_{Ed}\) à la base de la semelle.
- Calculer la section d’acier nécessaire \(A_s\) avec \(f_{yd} = \frac{f_{yk}}{1.15}\) et \(z = 0.9d\)
- Proposer un ferraillage pratique (nombre et espacement des HA10).
- Vérification de la flèche :
- Calculer la flèche maximale sous les charges de service avec \(\delta = \frac{q_{ser} \cdot L^4}{8 \cdot E_{cm} \cdot I}\) où \(L = \frac{(B – a)}{2}\) et \(I = \frac{B \cdot h^3}{12}\)
- Vérifier que \(\delta \leq L/250\)
- Schéma de ferraillage :
- Dessiner une coupe transversale de la semelle en indiquant les dimensions, les armatures longitudinales et transversales, et l’enrobage.
Correction de Dimensionnement d’une Longrine
1. Calcul des Charges Totales
Objectif : Déterminer les charges à l’ELS (service) et à l’ELU (rupture).
- ELS : On utilise les charges brutes (sans coefficients de sécurité).
- ELU : On applique des coefficients de sécurité (\(\gamma_G = 1.35\) et \(\gamma_Q = 1.5\)) pour tenir compte des incertitudes.
Formules:
\[ q_{\text{ser}} = G + Q \quad \text{(charge de service)} \]
\[ q_{\text{ult}} = 1.35G + 1.5Q \quad \text{(charge ultime)} \]
Données:
- \(G = 120 \, \text{kN/m}\)
- \(Q = 50 \, \text{kN/m}\)
Calculs:
Charge à l’ELS:
\[ q_{\text{ser}} = 120 + 50 \] \[ q_{\text{ser}} = 170 \, \text{kN/m} \]
Charge à l’ELU:
\[ q_{\text{ult}} = (1.35 \times 120) + (1.5 \times 50) \] \[ q_{\text{ult}} = 162 + 75 \] \[ q_{\text{ult}} = 237 \, \text{kN/m} \]
Conclusion :
- La charge totale à supporter est de 170 kN/m en service et 237 kN/m en rupture.
2. Dimensionnement de la Largeur \(B\) de la Semelle
Objectif : Vérifier que la contrainte sur le sol (\(\sigma\)) reste inférieure à 150 kPa.
La largeur \(B\) doit être suffisante pour répartir la charge sur le sol.
Formule:
\[ B \geq \frac{q_{\text{ser}}}{q_{\text{soil}}} \] avec \[ q_{\text{soil}} = 150 \, \text{kPa}. \]
Données:
- \(q_{\text{ser}} = 170 \, \text{kN/m}\)
- \(q_{\text{soil}} = 150 \, \text{kN/m}^2.\)
Calcul:
\[ B = \frac{170}{150} = 1.13 \, \text{m} \]
\(\rightarrow B = 1.20 \, \text{m} \, (\text{valeur arrondie pour sécurité}).\)
Vérification:
- Contrainte réelle sur le sol:
\[ \sigma = \frac{q_{\text{ser}}}{B} \] \[ \sigma = \frac{170}{1.20} \] \[ \sigma = 141.7 \, \text{kPa} < 150 \, \text{kPa} \rightarrow \text{OK}. \]
Conclusion :
Une largeur de 1.20 m est suffisante.
3. Vérification au Cisaillement
Objectif : Vérifier que le béton résiste à l’effort tranchant.
a. Effort Tranchant Ultime \(V_{Ed}\)
Formule:
\[ V_{Ed} = q_{\text{ult}} \times \left(\frac{B – a}{2}\right) \quad \text{(effort sur la console)}. \]
Données:
- \(q_{\text{ult}} = 237 \, \text{kN/m}\)
- \(B = 1.20 \, \text{m}\)
- \(a = 0.30 \, \text{m}\)
Calcul:
\[ V_{Ed} = 237 \times 0.45 \] \[ V_{Ed} = 106.65 \, \text{kN/m}. \]
b. Résistance du Béton \(V_{Rd}\)
Formule:
\[ V_{Rd} = \tau_{Rd} \times B \times d \] avec \(\tau_{Rd} = 0.34 \, \text{MPa}\), \(d = 0.455 \, \text{m}.\)
Conversion d’unités:
\[ \tau_{Rd} = 0.34 \, \text{MPa} = 340 \, \text{kN/m}^2. \]
Calcul:
\[ V_{Rd} = 340 \times 1.20 \times 0.455 \] \[ V_{Rd} = 185.64 \, \text{kN/m}. \]
Vérification:
\(V_{Ed} = 106.65 \, \text{kN/m} < V_{Rd} = 185.64 \, \text{kN/m} \rightarrow OK.\)
Conclusion :
Le béton résiste au cisaillement sans armatures d’âme.
4. Calcul du Moment Fléchissant et des Armatures
Objectif : Déterminer les armatures longitudinales nécessaires.
a. Moment Ultime \(M_{Ed}\)
Formule:
\[ M_{Ed} = q_{\text{ult}} \times \left(\frac{B – a}{2}\right)^2 \div 8. \]
Calcul:
\[ M_{Ed} = 237 \times 0.81 \div 8 \] \[ M_{Ed} = 24.0 \, \text{kNm/m}. \]
b. Section d’Acier \(A_s\)
Formule:
\[ A_s = \frac{M_{Ed}}{0.9 \times d \times f_{yd}} \] avec \[ f_{yd} = \frac{500}{1.15} = 434.78 \, \text{MPa} \]
Conversion d’unités:
\[ f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa} = 434 \, \text{780} \, \text{kN/m}^2. \]
Calcul:
\[ A_s = \frac{24.0}{0.9 \times 0.455 \times 434 \, 780} \] \[ A_s = 0.135 \, \text{cm}^2/m \, (\text{soit 135 mm}^2/m). \]
c. Ferraillage Pratique
- Choix de HA10 (diamètre 10 mm, section d’une barre = \(0.785\, \text{cm}^2\)
Espacement maximal:
\[ \text{Espacement} = \frac{0.785}{0.135} \] \[ \text{Espacement} \approx 5.81 \, \text{m} \rightarrow \text{Non pratique!} \]
Solution : On utilise un espacement standard de 300 mm (plus sécuritaire) :
\[ A_s = \frac{1000}{300} \times 0.785 \] \[ A_s = 2.617 \, \text{cm}^2/m \, (\text{soit 261.7 mm}^2/m). \]
Vérification:
\(261.7 \, \text{mm}^2/m > 135 \, \text{mm}^2/m \rightarrow OK.\)
Conclusion :
HA10 tous les 300 mm en partie basse.
5. Vérification de la Flèche
Objectif : Vérifier que la flèche ne dépasse pas \(\frac{L}{250}\).
a. Calcul de la Flèche \(\delta\)
Formule:
\[ \delta = \frac{q_{\text{ser}} \times L^4}{8 \times E_{cm} \times I} \] avec \[ L = \frac{B – a}{2}, \, I = \frac{B \times h^3}{12}. \]
Données:
- \(q_{\text{ser}} = 170 \, \text{kN/m}\)
- \(L = 0.45 \, \text{m}\)
- \(h = 0.50 \, \text{m}\)
- \(E_{cm} = 31 \, 000 \, \text{MPa} = 31 \, 000 \, 000 \, \text{kN/m}^2.\)
Calcul de \(I\):
\[ I = \frac{1.20 \times 0.50^3}{12} \] \[ I = 0.0125 \, \text{m}^4. \]
Calcul de \(\delta\):
\[ \delta = \frac{170 \times 0.45^4}{8 \times 31 \, 000 \, 000 \times 0.0125} \] \[ \delta = 0.0225 \, \text{mm}. \]
b. Comparaison avec la Flèche Admissible \(\delta_{\text{adm}}\):
\[ \delta_{\text{adm}} = \frac{0.45}{250} \] \[ \delta_{\text{adm}} = 0.0018 \, \text{m} = 1.8 \, \text{mm}. \]
Vérification:
\(\delta = 0.0225 \, \text{mm} < \delta_{\text{adm}} = 1.8 \, \text{mm} \rightarrow OK.\)
Conclusion :
La flèche est très faible et acceptable.
6. Schéma de Ferraillage
Coupe Transversale :
- Dimensions : \(B = 1.20 \, \text{m}, \, h = 0.50 \, \text{m}\)
- Armatures :
- Longitudinales : HA10 tous les 300 mm en bas.
- Transversales (étriers) : HA6 tous les 200 mm.
- Enrobage : \(4 \, \text{cm}\).
Synthèse Finale
La longrine de 1.20 m × 0.50 m avec HA10 tous les 300 mm est validée pour :
- Résistance au sol,
- Cisaillement,
- Flexion,
- Flèche.
Dimensionnement d’une longrine

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