Dimensionnement d’une Longrine

Comprendre le dimensionnement d’une longrine

Vous êtes chargé de dimensionner une longrine (semelle filante) en béton armé pour supporter un mur de maçonnerie de 30 cm d’épaisseur d’une maison individuelle. La longrine repose sur un sol dont la capacité portante est de 150 kPa. Les charges appliquées sont données ci-dessous.

Données Techniques

Charges (par mètre linéaire) :
- Charge permanente \(G\) : 120 \(\text{kN/m}\) (incluant poids propre mur)
- Charge d’exploitation \(Q\) : 50 \(\text{kN/m}\)
Caractéristiques des matériaux :
- Béton C25/30 : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), Résistance au cisaillement \(\tau_{Rd} = 0.34 \, \text{MPa}\) (valeur simplifiée), Module d’élasticité \(E_{cm} = 31000 \, \text{MPa}\)
- Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
Géométrie :
- Épaisseur du mur (\(a\)) : 30 \(\text{cm} = 0.3 \, \text{m}\)
- Enrobage des armatures (\(c\)) : 4 \(\text{cm} = 40 \, \text{mm}\)
- Diamètre des barres supposé (\(\phi\)) : HA10 (\(10 \, \text{mm}\))
- Hauteur utile pour cisaillement (\(d\)) : 45.5 \(\text{cm} = 455 \, \text{mm}\) (donnée, implique une hauteur totale \(h \approx 500 \, \text{mm}\))
Sol :
- Capacité portante admissible (\(q_{sol,adm}\)) : 150 \(\text{kPa}\)
Coefficients Eurocode (ELU) :
- \(\gamma_G = 1.35\)
- \(\gamma_Q = 1.5\)
- \(\gamma_s = 1.15\)
Conditions de service (ELS) :
- Flèche admissible : \(L_{console}/250\)

Questions

Calculer la charge totale à l’état limite de service (ELS) et à l’état limite ultime (ELU) par mètre linéaire.
Dimensionner la largeur minimale (\(B\)) de la semelle pour respecter la capacité portante du sol à l'ELS. Choisir une largeur pratique.
Vérifier la résistance au cisaillement de la section de béton à l'ELU.
Calculer le moment fléchissant ultime (\(M_{Ed}\)) et déterminer les armatures longitudinales nécessaires (\(A_s\)). Proposer un ferraillage pratique.
Vérifier la condition de flèche à l'ELS.
Proposer un schéma de ferraillage pour la section transversale.

Correction : Dimensionnement d’une Longrine

Question 1 : Calcul des Charges Totales (ELS et ELU)

Charge à l'État Limite de Service (ELS) - \(q_{ser}\) :

L'ELS correspond aux conditions normales d'utilisation. On additionne simplement les charges permanentes et d'exploitation sans les majorer (ou avec des facteurs de combinaison égaux à 1 pour la combinaison fréquente ou caractéristique, simplifiée ici).

q_{ser} = G + Q

\(G = 120 \, \text{kN/m}\)
\(Q = 50 \, \text{kN/m}\)

q_{ser} = 120 \, \text{kN/m} + 50 \, \text{kN/m} \] \[ q_{ser} = 170 \, \text{kN/m}

Charge à l'État Limite Ultime (ELU) - \(q_{Ed}\) :

L'ELU correspond à la vérification de la résistance de la structure. On applique des facteurs de sécurité (\(\gamma_G, \gamma_Q\)) aux charges pour tenir compte des incertitudes.

q_{Ed} = \gamma_G G + \gamma_Q Q

\(G = 120 \, \text{kN/m}\)
\(Q = 50 \, \text{kN/m}\)
\(\gamma_G = 1.35\)
\(\gamma_Q = 1.5\)

\begin{aligned} q_{Ed} &= (1.35 \times 120 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 50 \, \text{kN/m}) \\ &= 162 \, \text{kN/m} + 75 \, \text{kN/m} \\ &= 237 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les charges par mètre linéaire sont :

ELS : \(q_{ser} = 170 \, \text{kN/m}\)
ELU : \(q_{Ed} = 237 \, \text{kN/m}\)

Question 2 : Dimensionnement de la Largeur de la Semelle (\(B\))

Condition de non-dépassement de la capacité portante :

La pression exercée par la fondation sur le sol sous les charges de service (\(q_{ser}\)) ne doit pas dépasser la capacité portante admissible du sol (\(q_{sol,adm}\)). La pression exercée est la charge par mètre linéaire divisée par la largeur de la semelle (\(B\)).

\sigma_{sol} = \frac{q_{ser}}{B \times 1 \, \text{m}} \le q_{sol,adm}

On cherche donc la largeur minimale \(B_{min}\).

B_{min} = \frac{q_{ser}}{q_{sol,adm}}

Données :

\(q_{ser} = 170 \, \text{kN/m}\)
\(q_{sol,adm} = 150 \, \text{kPa} = 150 \, \text{kN/m}^2\)

Calcul de la Largeur Minimale :

B_{min} = \frac{170 \, \text{kN/m}}{150 \, \text{kN/m}^2} \] \[ B_{min} \approx 1.133 \, \text{m}

Choix d'une Largeur Pratique :

On choisit généralement une largeur avec des dimensions faciles à coffrer, supérieure ou égale à la largeur minimale. On arrondit au multiple de 5 ou 10 cm supérieur.

On choisit : \(B = 1.15 \, \text{m} = 1150 \, \text{mm}\).

Vérification de la contrainte réelle :

\sigma_{sol,reel} = \frac{170 \, \text{kN/m}}{1.15 \, \text{m}} \approx 147.8 \, \text{kPa}

\sigma_{sol,reel} \approx 147.8 \, \text{kPa} \le q_{sol,adm} = 150 \, \text{kPa} \quad (\text{OK})

Résultat Question 2 : La largeur minimale requise est \(B_{min} \approx 1.13 \, \text{m}\). On adopte une largeur pratique de \(B = 1.15 \, \text{m}\).

Question 3 : Vérification au Cisaillement (\(V_{Ed}\) vs \(V_{Rd}\))

Calcul de la Longueur de la Console (\(L_{console}\)) :

La console est la partie de la semelle qui dépasse de chaque côté du mur.

Largeur semelle \(B = 1.15 \, \text{m}\)
Épaisseur mur \(a = 0.30 \, \text{m}\)

L_{console} = \frac{B - a}{2} \] \[ L_{console} = \frac{1.15 \, \text{m} - 0.30 \, \text{m}}{2} \] \[ L_{console} = \frac{0.85}{2} = 0.425 \, \text{m}

Calcul de l'Effort Tranchant Ultime (\(V_{Ed}\)) :

L'effort tranchant est maximal à la face du mur. Il correspond à la charge ultime (\(q_{Ed}\)) appliquée sur la longueur de la console. Attention, \(q_{Ed}\) est la charge linéique venant du mur. La charge qui provoque le cisaillement est la réaction du sol sous la console, calculée avec la charge ultime (\(q_{Ed}\)).

Contrainte ultime du sol : \(\sigma_{sol,Ed} = \frac{q_{Ed}}{B} = \frac{237 \, \text{kN/m}}{1.15 \, \text{m}} \approx 206.1 \, \text{kPa}\)

V_{Ed} = \sigma_{sol,Ed} \times L_{console} \times (1 \, \text{m})

\(\sigma_{sol,Ed} \approx 206.1 \, \text{kPa} = 206.1 \, \text{kN/m}^2\)
\(L_{console} = 0.425 \, \text{m}\)

V_{Ed} = 206.1 \, \text{kN/m}^2 \times 0.425 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} \] \[ V_{Ed} \approx 87.6 \, \text{kN}

Note: Selon l'Eurocode 2, la section de vérification se situe à une distance \(d\) de la face de l'appui. Ici, l'appui est le mur. La distance est \(L_{console} - d = 0.425 - 0.455 = -0.03 \, \text{m}\). La section critique est donc à la face du mur.

Calcul de la Résistance au Cisaillement (\(V_{Rd}\)) :

La résistance au cisaillement est calculée sur la section de béton (largeur 1m, hauteur utile \(d\)) en utilisant la contrainte tangente résistante de calcul du béton (\(\tau_{Rd}\)) donnée.

V_{Rd} = \tau_{Rd} \times (1 \, \text{m}) \times d

\(\tau_{Rd} = 0.34 \, \text{MPa} = 0.34 \times 1000 \, \text{kPa} = 340 \, \text{kN/m}^2\)
\(d = 45.5 \, \text{cm} = 0.455 \, \text{m}\)

V_{Rd} = 340 \, \text{kN/m}^2 \times 1 \, \text{m} \times 0.455 \, \text{m} \] \[ V_{Rd} \approx 154.7 \, \text{kN}

Vérification :

V_{Ed} \approx 87.6 \, \text{kN} \quad \text{et} \quad V_{Rd} \approx 154.7 \, \text{kN} \] \[ V_{Ed} \le V_{Rd} \quad (\text{OK})

Résultat Question 3 : La résistance au cisaillement du béton (\(V_{Rd} \approx 154.7 \, \text{kN}\)) est supérieure à l'effort tranchant ultime (\(V_{Ed} \approx 87.6 \, \text{kN}\)). La section de béton est adéquate vis-à-vis du cisaillement.

Question 4 : Calcul du Moment Fléchissant (\(M_{Ed}\)) et des Armatures (\(A_s\))

Calcul du Moment Fléchissant Ultime (\(M_{Ed}\)) :

Le moment maximal se produit à la face du mur et est dû à la réaction du sol sur la console, considérée comme une charge répartie \(\sigma_{sol,Ed}\).

M_{Ed} = \sigma_{sol,Ed} \times (1 \, \text{m}) \times \frac{L_{console}^2}{2}

\(\sigma_{sol,Ed} \approx 206.1 \, \text{kN/m}^2\)
\(L_{console} = 0.425 \, \text{m}\)

\begin{aligned} M_{Ed} &= 206.1 \, \text{kN/m}^2 \times 1 \, \text{m} \times \frac{(0.425 \, \text{m})^2}{2} \\ &= 206.1 \times \frac{0.180625}{2} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &\approx 18.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned}

Calcul de la Résistance de Calcul de l'Acier (\(f_{yd}\)) :

f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \approx 434.8 \, \text{MPa}

Calcul de la Section d'Acier Nécessaire (\(A_s\)) :

On utilise la formule simplifiée où \(z\) est le bras de levier interne, approximé à \(0.9d\).

A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}} \quad \text{avec} \quad z = 0.9 d

\(M_{Ed} = 18.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 18.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
\(d = 455 \, \text{mm}\)
\(z = 0.9 \times 455 \, \text{mm} = 409.5 \, \text{mm}\)
\(f_{yd} \approx 434.8 \, \text{MPa} = 434.8 \, \text{N/mm}^2\)

\begin{aligned} A_s &= \frac{18.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{(409.5 \, \text{mm}) \times (434.8 \, \text{N/mm}^2)} \\ &\approx \frac{18.6 \times 10^6}{178050} \, \text{mm}^2 \\ &\approx 104.5 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned}

Vérification de l'Armature Minimale (Approche simplifiée) :

L'Eurocode impose une section minimale d'armatures. Une formule courante est \(A_{s,min} = 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_t d \ge 0.0013 b_t d\). Avec \(f_{ctm} \approx 0.3 f_{ck}^{2/3}\) pour C25/30, \(f_{ctm} \approx 2.56 \, \text{MPa}\).

A_{s,min} = 0.26 \times \frac{2.56}{500} \times (1000 \, \text{mm}) \times (455 \, \text{mm}) \] \[ A_{s,min} \approx 607 \, \text{mm}^2/\text{m}

A_{s,min} \ge 0.0013 \times (1000 \, \text{mm}) \times (455 \, \text{mm}) \approx 591.5 \, \text{mm}^2/\text{m}

L'armature minimale (\(\approx 607 \, \text{mm}^2/\text{m}\)) est largement supérieure à l'armature calculée (\(104.5 \, \text{mm}^2/\text{m}\)). C'est donc l'armature minimale qui dimensionne.

On retient \(A_{s,req} = 607 \, \text{mm}^2/\text{m}\).

Proposition de Ferraillage Pratique :

On cherche un espacement (\(s\)) pour des barres HA10 (aire \(A_{barre} = \pi \times (10/2)^2 \approx 78.5 \, \text{mm}^2\)) qui donne au moins \(607 \, \text{mm}^2/\text{m}\).

\text{Nombre de barres/m} = \frac{A_{s,req}}{A_{barre}} \] \[ \text{Nombre de barres/m} = \frac{607}{78.5} \approx 7.73 \, \text{barres/m} \] \[ s_{max} = \frac{1000 \, \text{mm}}{7.73 \, \text{barres}} \approx 129 \, \text{mm}

On choisit un espacement pratique inférieur ou égal, par exemple \(s = 125 \, \text{mm}\).

Vérification de l'aire fournie : \(A_{s,fourni} = \frac{1000}{125} \times 78.5 = 8 \times 78.5 = 628 \, \text{mm}^2/\text{m}\). C'est OK (\(> 607\)).

Résultat Question 4 : Le moment ultime est \(M_{Ed} \approx 18.6 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}\). L'armature minimale est dimensionnante. Il faut prévoir \(A_{s,req} \approx 607 \, \text{mm}^2/\text{m}\). On propose un ferraillage de HA10 espacés de 125 mm (\(A_s = 628 \, \text{mm}^2/\text{m}\)) en nappe inférieure transversale.

Question 5 : Vérification de la Flèche (\(\delta\))

Calcul du Moment d'Inertie de la Section Brute (\(I_g\)) :

Pour une vérification simplifiée de la flèche à l'ELS, on peut utiliser l'inertie de la section brute de béton (sans tenir compte de la fissuration ou des aciers).

I_g = \frac{(1 \, \text{m}) \times h^3}{12}

\(h = 500 \, \text{mm} = 0.5 \, \text{m}\) (hauteur totale estimée)

I_g = \frac{1 \times (0.5)^3}{12} = \frac{0.125}{12} \approx 0.0104 \, \text{m}^4

Calcul de la Flèche (\(\delta\)) :

On utilise la formule donnée pour une console soumise à une charge répartie de service \(q_{ser,sol} = \sigma_{sol,reel}\).

\delta = \frac{q_{ser,sol} \times (1 \, \text{m}) \times L_{console}^4}{8 E_{cm} I_g}

\(q_{ser,sol} = \sigma_{sol,reel} \approx 147.8 \, \text{kPa} = 147.8 \, \text{kN/m}^2\)
\(L_{console} = 0.425 \, \text{m}\)
\(E_{cm} = 31000 \, \text{MPa} = 31 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2\)
\(I_g \approx 0.0104 \, \text{m}^4\)

\begin{aligned} \delta &= \frac{(147.8 \, \text{kN/m}^2) \times 1 \, \text{m} \times (0.425 \, \text{m})^4}{8 \times (31 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2) \times (0.0104 \, \text{m}^4)} \\ &\approx \frac{147.8 \times 0.0325}{8 \times 31 \times 10^6 \times 0.0104} \, \text{m} \\ &\approx \frac{4.80}{2579200} \, \text{m} \\ &\approx 1.86 \times 10^{-6} \, \text{m} = 0.00186 \, \text{mm} \end{aligned}

Vérification de la Flèche Admissible :

\delta_{adm} = \frac{L_{console}}{250} = \frac{425 \, \text{mm}}{250} = 1.7 \, \text{mm}

\delta \approx 0.002 \, \text{mm} \le \delta_{adm} = 1.7 \, \text{mm} \quad (\text{OK})

Résultat Question 5 : La flèche calculée (\(\delta \approx 0.002 \, \text{mm}\)) est très largement inférieure à la flèche admissible (\(1.7 \, \text{mm}\)). La condition de flèche est respectée.

Question 6 : Schéma de Ferraillage

Proposition :

Le schéma montre une coupe transversale typique d'une longrine sous un mur, avec les armatures principales (calculées ici) en nappe inférieure transversale, et des armatures longitudinales de montage/répartition.