Calcul de Treillis en losange à 4 nœuds
📝 Situation du Projet
Le cabinet d'ingénierie international Structural & Co, reconnu pour ses ouvrages d'art audacieux à travers le monde, a été sélectionné pour concevoir la structure emblématique de la prochaine Exposition Universelle. Le projet phare, baptisé "Sky-Diamond", est une passerelle piétonne futuriste de 120 mètres de portée, reliant le Pavillon des Sciences au Pavillon de l'Innovation. Cette structure doit non seulement permettre le passage sécurisé de plus de 15 000 visiteurs par jour, mais aussi incarner la légèreté et la modernité grâce à une architecture transparente et aérienne.
L'esthétique du projet repose sur la répétition d'un motif géométrique en losange, formant une poutre treillis spatiale complexe. Cependant, cette élégance visuelle impose des contraintes mécaniques sévères. Les vents latéraux, les vibrations induites par la foule et les variations thermiques créent des sollicitations dynamiques et statiques que la structure doit absorber sans défaillance. Nous sommes actuellement en phase d'Avant-Projet Détaillé (APD), une étape critique où chaque composant doit être validé par le calcul avant le lancement des plans d'exécution.
Au sein du département "Calculs Avancés", votre responsabilité est d'isoler et d'analyser le comportement mécanique d'un module élémentaire en forme de losange (Cellule C4), situé à mi-travée de la passerelle. Ce module spécifique est soumis aux efforts tranchants et aux moments fléchissants les plus intenses, traduits ici par une charge verticale locale résultant de la combinaison défavorable des charges permanentes (poids du tablier en verre, structure acier) et des surcharges d'exploitation (foule compacte).
En votre qualité d'Ingénieur Structure Senior, vous devez mener une note de calculs exhaustive pour valider la viabilité de ce module critique. Votre mission se décompose en trois volets stratégiques : (1) Modéliser le système statique en vérifiant son isostaticité interne, (2) Déterminer avec une précision absolue la distribution des efforts normaux dans les membrures et les diagonales via la Méthode des Nœuds, et (3) Justifier le dimensionnement des sections en acier S235 vis-à-vis du critère de plastification (Eurocode 3), tout en identifiant les risques d'instabilité élastique (flambement).
"Attention, l'analyse préliminaire éléments finis suggère une forte compression dans la traverse horizontale centrale (Barre 5). Ce composant joue un rôle de 'butée' essentiel pour empêcher l'écartement des nœuds. Soyez intraitables sur la vérification du signe de l'effort : une erreur d'interprétation (confusion traction/compression) pourrait masquer un risque critique de flambement par divergence élastique. Je compte sur votre rigueur habituelle."
Pour mener à bien cette vérification, nous nous appuyons sur un jeu de données strict, issu du cahier des charges techniques et des normes européennes en vigueur. L'analyse est conduite sous l'hypothèse d'un comportement élastique linéaire parfait du matériau, et les effets du second ordre géométrique sont négligés dans cette première approche manuelle.
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses de Modélisation
Les calculs doivent être conformes aux standards suivants :
| ACIER DE CONSTRUCTION S235 JR (EN 10025-2) | |
| Limite d'élasticité (\(f_y\)) Contrainte seuil avant déformation permanente |
235 MPa (N/mm²) |
| Module de Young (\(E\)) Rigidité intrinsèque du matériau |
210 000 MPa (GPa) |
| Section Transversale (\(S\)) Profilé Carré Creux (SHS) 150x150x8 |
4500 mm² |
| CHARGEMENT PONDÉRÉ (ELU - ÉTAT LIMITE ULTIME) | |
| Charge Verticale (\(P\)) au nœud C Combinaison \(1.35 G + 1.5 Q\) (Poids propre + Foule) |
250 kN |
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Demi-Largeur (Projection horizontale barre) | \(L\) | 2.00 | m |
| Demi-Hauteur (Projection verticale barre) | \(H\) | 2.00 | m |
| Angle d'inclinaison des membrures | \(\alpha\) | 45 | degrés |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la stabilité de l'ouvrage, nous appliquerons strictement la Méthode des Noeuds (Method of Joints), idéale pour déterminer les efforts internes dans les structures réticulées planes.
Analyse Topologique
Vérification de l'isostaticité du système et calcul précis des longueurs de barres et des angles de projection.
Équilibre du Noeud C (Bas)
Isolation du noeud chargé pour déterminer les efforts de traction dans les barres inférieures (BC et DC).
Équilibre du Noeud B (Latéral)
Propagation de l'effort pour déduire la compression dans la traverse horizontale (Barre BD) et l'effort supérieur (AB).
Vérification des Contraintes
Calcul de la contrainte normale \(\sigma\) et comparaison avec la limite élastique \(f_y\) pour valider la sécurité.
Calcul de Treillis en losange à 4 nœuds
🎯 Objectif
L'objectif de cette première phase est de valider le modèle statique avant tout calcul d'effort. En ingénierie des structures, il est impératif de s'assurer que le système est stable et isostatique (calculable avec les seules lois de la statique) pour garantir la fiabilité des résultats. De plus, nous devons préparer l'ensemble des grandeurs géométriques (longueurs réelles des barres, angles de projection) qui serviront de base à toutes les équations d'équilibre vectoriel ultérieures. Une erreur ici se propagerait fatalement à l'ensemble de la note de calculs.
📚 Référentiel
Théorie des Mécanismes (Critère de Grubler) Théorème de Pythagore Trigonométrie (SOH CAH TOA)Avant de sortir la calculatrice, observons la topologie. Un quadrilatère simple (ABCD sans barre centrale) est un mécanisme instable : il peut se déformer sous charge (s'écraser comme un losange articulé). Pour le rigidifier, il faut le diviser en triangles indéformables. La présence de la barre transversale BD (Barre 5) est donc l'élément clé qui transforme ce mécanisme en une structure treillis rigide. Notre première tâche est de prouver mathématiquement cette stabilité via la formule de Maxwell pour les treillis plans.
Pour qu'un treillis plan soit stable et isostatique (c'est-à-dire que le nombre d'inconnues d'effort soit égal au nombre d'équations d'équilibre disponibles), il doit satisfaire une relation précise entre son nombre de barres (\(b\)) et son nombre de nœuds (\(n\)).
Chaque nœud fournit 2 équations d'équilibre (\(\sum F_x=0\) et \(\sum F_y=0\)). Au total, nous avons \(2n\) équations. Il faut bloquer 3 degrés de liberté pour la stabilité globale (isostaticité externe). Il reste donc \(2n - 3\) équations disponibles pour trouver les efforts dans les \(b\) barres.
Formule Fondamentale :
Si \(b < 2n - 3\), le système est hypostatique (instable, c'est un mécanisme).
Si \(b > 2n - 3\), le système est hyperstatique (trop de barres, nécessite des méthodes de calcul basées sur la déformation).
📋 Données d'Entrée Géométriques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Demi-largeur (\(L\)) | 2.00 m |
| Demi-hauteur (\(H\)) | 2.00 m |
Ici, la largeur totale est 4m, donc la demi-largeur est 2m. De même pour la hauteur. Attention à ne pas utiliser les dimensions totales dans le triangle rectangle de référence.
📝 Calculs Détaillés
1. Vérification de l'IsostaticitéCommençons par compter les éléments du système pour vérifier la stabilité interne selon le critère de Maxwell. Il faut dénombrer les nœuds et les barres.
Inventaire des éléments :
- Nœuds (n) : A, B, C, D soit \(n=4\).
- Barres (b) : AB, BC, CD, DA et la traverse BD. Soit \(b=5\).
Pourquoi est-ce isostatique ? (Explication détaillée)
Le résultat théorique (5) correspond exactement au nombre réel de barres du module (5). L'égalité \( b = 2n - 3 \) traduit un équilibre parfait entre les inconnues et les équations disponibles :
- Les Inconnues : Nous cherchons 5 efforts internes (un par barre) + 3 réactions d'appuis externes (nécessaires pour bloquer le mouvement global), soit 8 inconnues au total.
- Les Équations : Chaque nœud offre 2 équations d'équilibre statique (\(\sum F_x=0\) et \(\sum F_y=0\)). Avec 4 nœuds, nous avons \(4 \times 2 = 8\) équations.
- Conclusion : 8 inconnues pour 8 équations. Le système est résoluble mathématiquement sans faire intervenir la rigidité des matériaux (loi de Hooke). Physiquement, cela signifie que la structure est juste assez rigide : enlever une barre créerait un mécanisme (effondrement), en ajouter une la rendrait hyperstatique (contraintes thermiques bloquées).
Les barres formant le losange (AB, BC, CD, DA) sont identiques par symétrie. Isolons le triangle rectangle fictif formé par la moitié gauche inférieure.
Application du Théorème de Pythagore :C'est l'étape la plus critique pour la suite. L'angle \(\alpha\) définit la répartition de l'effort vertical en effort axial. Nous cherchons l'angle par rapport à l'horizontale.
Calcul trigonométrique :Conclusion Géométrique : L'angle est de 45°. C'est un cas particulier idéal où \(\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\). Cela simplifiera les projections, car les composantes horizontale et verticale des efforts seront égales en magnitude.
▼ Schéma du Triangle Rectangle de Référence (Calculs Q1)
✅ Interprétation Globale
La structure est géométriquement saine et isostatique. Nous avons validé toutes les données d'entrée nécessaires pour projeter les vecteurs forces.
Une longueur de diagonale de 2.82m pour des côtés de 2m est cohérente (la diagonale est toujours plus longue que les côtés). L'angle de 45° est logique puisque la largeur égale la hauteur.
Ne confondez pas la longueur totale de la structure (4m) avec la longueur des barres (2.828m). Une erreur ici fausserait tous les calculs de poids propre si nous devions les inclure.
🎯 Objectif
Nous entrons maintenant dans le cœur du calcul statique. L'objectif est de déterminer l'intensité et la nature (Traction ou Compression) de l'effort normal dans les barres inférieures BC et DC. Pour cela, nous allons isoler le nœud C, point d'application de la charge extérieure \(P\).
📚 Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS) Méthode des Noeuds Loi de l'Action-Réaction (Newton)La "Méthode des Nœuds" est une technique d'isolation. Imaginez que vous découpez le nœud C du reste de la structure. Pour qu'il reste immobile dans l'espace (équilibre statique), les barres coupées doivent être remplacées par des vecteurs forces.
Convention de Signe Cruciale : Nous supposons toujours au départ que les efforts inconnus sont sortants du nœud (Traction).
- Si le résultat du calcul est Positif (+), l'hypothèse est bonne : la barre tire sur le nœud (Traction).
- Si le résultat est Négatif (-), la barre pousse sur le nœud (Compression).
Pour qu'un point (le nœud) reste immobile, la somme vectorielle de toutes les forces qui s'y appliquent doit être nulle. En 2D, cela se traduit par la projection sur deux axes orthogonaux X et Y.
Les forces inclues sont : les charges externes connues et les efforts internes inconnus des barres connectées.
L'équilibre translationnel du nœud C ponctuel se traduit par deux équations scalaires :
Ici, la symétrie de la structure et du chargement nous permet d'affirmer directement que \(|N_{CB}| = |N_{CD}|\).
📋 Données d'Entrée
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Charge Verticale (\(P\)) | 250 kN (Vers le bas) |
| Angle d'inclinaison (\(\alpha\)) | 45° |
| Sinus (\(\sin(\alpha)\)) | 0.7071 |
Commencez toujours par projeter sur l'axe qui contient le plus de forces connues. Ici, l'axe Y contient la charge \(P\). Si on commençait par l'axe X, on aurait \(N_{CB,x} - N_{CD,x} = 0\), ce qui ne donne que la symétrie, pas la valeur.
▼ Schéma de Coupure et Isolation du Nœud C
📝 Calculs Détaillés
Isolons le nœud C. Il est soumis à :
1. La charge externe \(P\) (verticale descendante, donc \(-P\) sur l'axe Y).
2. L'effort \(N_{CB}\) (incliné de \(+\alpha\) vers la gauche).
3. L'effort \(N_{CD}\) (incliné de \(+\alpha\) vers la droite).
C'est l'axe utile car il contient la charge connue P. Nous projetons les efforts des barres sur cet axe en utilisant le sinus de l'angle.
Écriture de l'équation d'équilibre vertical (\(\sum F_y = 0\))Or, par symétrie géométrique et de chargement, \(N_{CB} = N_{CD}\). Appelons cet effort \(N\). Nous factorisons par \(N\) :
Remplaçons par les valeurs : \(P = 250\) kN et \(\sin(45^{\circ}) = 0.7071\).
Calcul final de l'effort :Interprétation Physique : Le résultat est POSITIF. Cela confirme notre hypothèse de départ : les barres sortent du nœud. Les barres BC et CD sont donc en TRACTION. Elles fonctionnent comme des câbles ou des suspentes qui "tiennent" la charge P.
✅ Interprétation Globale
L'effort dans chaque barre (176.8 kN) est inférieur à la charge totale (250 kN), ce qui est logique car elles se partagent la charge. Cependant, leur somme arithmétique (\(176.8 + 176.8 = 353.6\)) est supérieure à 250 kN. C'est normal : une partie de leur effort est "perdue" à cause de l'inclinaison (la composante horizontale inutile pour porter P).
Assurez-vous de bien utiliser le sinus pour la projection verticale. Avec 45 degrés, sin = cos, donc l'erreur est invisible, mais avec un autre angle, le résultat serait faux.
🎯 Objectif
Cette étape est la plus critique du dimensionnement. Nous devons calculer l'effort interne dans la barre horizontale BD (Barre 5). C'est elle qui assure la cohésion transversale de la structure. Pour ce faire, nous allons nous déplacer le long de la structure et isoler le nœud latéral B.
📚 Référentiel
PFS (Projection horizontale) Principe de Transmission des EffortsVisualisons le nœud B. Il est la jonction de 3 barres :
- La barre supérieure AB (dont nous ne connaissons pas l'effort formellement, mais par symétrie globale haut/bas, \(N_{AB}\) sera égal à \(N_{CB}\) en traction).
- La barre inférieure BC (dont nous venons de calculer l'effort de traction de +176.8 kN).
- La barre horizontale BD.
Mécanisme intuitif : La barre BC est tendue, elle "tire" le nœud B vers le bas et vers la droite (vers l'intérieur). La barre AB est tendue, elle tire le nœud B vers le haut et vers la droite. Résultat : les composantes verticales s'annulent, mais les composantes horizontales s'additionnent ! Les deux barres obliques tirent le nœud B vers l'intérieur du losange. Pour que le nœud B ne s'effondre pas vers le centre, la barre horizontale BD doit impérativement le repousser vers l'extérieur. On s'attend donc à une très forte COMPRESSION dans BD.
L'effort calculé dans une barre se transmet intégralement à l'autre extrémité mais en sens opposé (Action-Réaction). Si la barre BC tire sur le nœud C (vers le haut-gauche), elle tire aussi sur le nœud B (vers le bas-droite).
L'équation de projection sur l'axe X au nœud B est :
📋 Données d'Entrée
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Effort \(N_{BC}\) (calculé) | +176.77 kN (Traction) |
| Effort \(N_{AB}\) (par symétrie) | +176.77 kN (Traction) |
| Cosinus (\(\cos(\alpha)\)) | 0.7071 |
Attention au signe des projections. Si nous plaçons l'origine au nœud B et regardons vers la droite, les composantes horizontales des barres obliques sont positives (elles vont vers le centre). L'effort inconnu \(N_{BD}\) est aussi supposé positif (vers la droite).
▼ Schéma de Coupure et Isolation du Nœud B
📝 Calculs Détaillés
Isolons le nœud B. Il n'y a pas de charge externe ici. L'équilibre se fait uniquement entre les barres.
1. Validation de l'Effort dans la Barre Supérieure (AB)Par une projection rapide sur l'axe Y au nœud B, on prouve la symétrie.
Projection sur Y :C'est ici que se joue le dimensionnement de la barre BD. Nous projetons tous les efforts sur l'axe X.
Équation d'équilibre horizontal (\(\sum F_x = 0\))Notez bien : \(N_{AB}\) et \(N_{CB}\) tirent vers la droite (sens X positif par rapport au nœud B si on considère le centre à droite). \(N_{BD}\) est supposé en traction (vers la droite aussi).
3. Résolution et Calcul Numérique Calcul de \(N_{BD}\)Interprétation Physique : Le signe est NÉGATIF. C'est un résultat fondamental. Cela signifie que la barre BD n'est pas en traction, mais en COMPRESSION. Elle subit un écrasement de 250 kN (soit l'équivalent de 25 tonnes). Elle empêche les nœuds B et D de se rapprocher.
✅ Interprétation Globale
L'effort de compression (-250 kN) est exactement égal à la charge externe P (250 kN). C'est un résultat classique pour un treillis à 45° : la barre transversale transmet intégralement la charge transversale.
Nous avons ici une barre de 4 mètres de long (2L) soumise à une compression massive de 250 kN. En RDM, une barre comprimée élancée risque de flamber (se courber brutalement et rompre) bien avant d'atteindre sa limite d'élasticité en compression pure.
Le calcul de contrainte simple \(\sigma = F/S\) que nous allons faire à l'étape suivante est une condition nécessaire mais non suffisante. Dans la réalité (phase EXE), il faudra impérativement vérifier la charge critique d'Euler : \(P_{crit} = \frac{\pi^2 E I}{L_k^2}\).
🎯 Objectif
Maintenant que nous connaissons la distribution des efforts internes (la "carte" des forces dans la structure), nous devons vérifier si le matériau choisi (Acier S235) est capable de résister sans subir de dommages irréversibles. Nous allons comparer la contrainte interne maximale à la limite d'élasticité du matériau.
📚 Référentiel
Loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)) Critère de Résistance : \(\sigma \leq f_y\)Quelle barre choisir pour le dimensionnement ? On dimensionne toujours sur le "maillon faible", c'est-à-dire la barre la plus sollicitée.
- Barres obliques : 176.8 kN.
- Barre horizontale : 250 kN (en valeur absolue).
C'est donc la Barre BD qui dicte le dimensionnement. Nous allons calculer la "pression" interne (contrainte normale) qu'elle subit. Si cette pression dépasse 235 MPa, la barre se plastifie (elle s'allonge ou se raccourcit définitivement) et la structure est ruinée.
La contrainte normale moyenne \(\sigma\) (sigma) est définie comme l'intensité de la force interne par unité de surface. C'est l'équivalent d'une pression interne.
Le critère de ruine plastique est donné par :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Effort Normal Max | \(N_{Ed}\) | 250 000 | Newton (N) |
| Surface de la Section | \(S\) | 4 500 | mm² |
| Limite Élastique Acier | \(f_y\) | 235 | MPa (N/mm²) |
En RDM structure, il est très pratique de travailler avec le couple d'unités [Newton] et [mm]. En effet, \(1 \text{ N} / 1 \text{ mm}^2 = 1 \text{ MPa}\). Cela évite les erreurs de puissance de 10 avec les Pascal (\(1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ Pa}\)).
📝 Calculs Détaillés
1. Calcul de la Contrainte Normale (\(\sigma\))La contrainte normale moyenne est simplement la force divisée par la surface sur laquelle elle s'applique.
Application de la formule \(\sigma = N/S\)Nous calculons le "Taux de Travail" (Ratio) de la barre. Un ratio < 100% signifie que ça tient.
Calcul du RatioConclusion du Dimensionnement : La contrainte réelle (55.6 MPa) est très largement inférieure à la limite admissible (235 MPa). La barre ne travaille qu'à 24% de sa capacité en plasticité.
✅ Interprétation Globale
On pourrait penser que la structure est surdimensionnée (seulement 24% d'utilisation). Pourquoi avoir choisi une section aussi grosse (4500 mm²) ?
La réponse réside probablement dans le flambement. Pour résister au flambement sur 4 mètres de long, il faut une section avec un fort moment quadratique (I), donc une "grosse" section, même si la contrainte pure est faible. C'est un dimensionnement piloté par la stabilité (déformation), pas par la résistance (contrainte).
Attention, ce calcul ne valide que la résistance du matériau en section courante. Il ne valide pas la résistance des assemblages (soudures, boulons) aux nœuds, qui nécessitent un calcul spécifique de concentration de contraintes.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
NOTE DE CALCULS STATIQUE - SYNTHÈSE
| Vérification | Valeur Calculée (\(S_{d}\)) | Valeur Limite (\(R_{d}\)) | Ratio (\(S_d / R_d\)) | Statut |
|---|---|---|---|---|
| Traction (Barres Obliques) Effort Normal |
176.8 kN | \(N_{pl,Rd}\) (Non critique) | - | INFO |
| Compression (Barre BD) Effort Normal |
250.0 kN | - | - | CRITIQUE |
| Résistance Section Contrainte de Von Mises |
55.6 MPa | 235.0 MPa | 24 % | CONFORME |
Conclusion Technique
La structure dimensionnée en SHS 150x150x8 (S235) présente une résistance suffisante vis-à-vis des critères de plasticité à l'Etat Limite Ultime (ELU). Le taux de travail maximal est faible (24%), ce qui laisse une marge de sécurité confortable pour les effets non linéaires.
RESERVE TECHNIQUE : Le présent calcul ne couvre pas la vérification au déversement et au flambement de la barre comprimée de 4m. Cette vérification est impérative avant la validation EXE finale.
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