Treillis en losange à 4 nœuds

Correction : Treillis en losange à 4 nœuds

1. Réactions d’appui

1.1 Calcul des réactions verticales et horizontales

Pour qu’une structure soit en équilibre, la somme de toutes les forces horizontales et verticales qui agissent sur elle doit être nulle, et le moment résultant autour de n’importe quel point doit également être nul. Ici, notre treillis est maintenu par deux appuis (A et C) et subit une charge verticale vers le bas en B. Nous allons :

1. Vérifier qu’il n’y a pas de force horizontale extérieure, donc \(H_A = 0\).
2. Écrire l’équilibre des moments autour du point A pour trouver \(V_c\).
3. Écrire l’équilibre vertical pour trouver \(V_A\).

Cette démarche permet de déterminer comment les appuis partagent la charge appliquée.

Formules
1. \(\sum F_x = 0 \Rightarrow H_A = 0\)
2. \(\sum F_y = 0 \Rightarrow V_A + V_c - P = 0\)
3. \(\sum M_A = 0 \Rightarrow V_c \cdot d_{AC} - P \cdot d_{AB} = 0\)

Données
• \(P = 10\,\mathrm{kN}\) (charge verticale vers le bas en B)
• Coordonnées des nœuds : \(A(0,0),\; B(2,2),\; C(4,0),\; D(2,-2)\)
• \(d_{AB} = 4\,\mathrm{m}\) (distance horizontale de A à B)
• \(d_{AC} = 4\,\mathrm{m}\) (distance horizontale de A à C)

Calcul
1. Horizontale :
\[H_A = 0.\]
Il n’y a pas de force horizontale appliquée.

2. Moment en A :
\[V_c \times 4 - 10 \times 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_c = \frac{20}{4} = 5\,\mathrm{kN}.\]
Moments pris autour de A.

3. Verticale :
\[V_A + 5 - 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_A = 5\,\mathrm{kN}.\]
Somme des forces verticales zéro.

Réactions
• A : \(H_A = 0\,\mathrm{kN},\; V_A = 5\,\mathrm{kN}\) (vers le haut)
• C : \(V_c = 5\,\mathrm{kN}\) (vers le haut)

2. Efforts internes par la méthode des nœuds

On note \(F_{XY}\) la force interne dans la barre XY, positive si la barre est en traction (étirement) et négative si elle est en compression.

2.1 Nœud B : détermination de \(F_{AB}, F_{BC}\) et \(F_{BD}\)

Au nœud B, trois barres (AB, BC, BD) se rejoignent et la charge \(P\) agit vers le bas. Pour que le nœud soit en équilibre, la somme des composantes horizontales doit être nulle et la somme des composantes verticales doit compenser \(P\). Nous écrivons donc :
\[ \begin{cases} \sum F_x = 0, \\ \sum F_y = 0. \end{cases} \]

Données
• \(P = 10\,\mathrm{kN}\) vers le bas
• Vecteurs unitaires :
  – \(u_{BA} = \bigl(-\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2}\bigr)\)
  – \(u_{BC} = \bigl(\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2}\bigr)\)
  – \(u_{BD} = (0, -1)\)
• Longueurs : \(AB = BC = DA = CD = 2\sqrt2\,\mathrm{m},\; BD = 4\,\mathrm{m}\)

Calcul
1. Équilibre en x :
\[F_{AB}(-\frac{1}{\sqrt2}) + F_{BC}(\frac{1}{\sqrt2}) + F_{BD}\times 0 = 0 \] \[ \quad\Longrightarrow\quad F_{BC} = F_{AB}.\]

2. Équilibre en y :
\[F_{AB}(-\frac{1}{\sqrt2}) + F_{BC}(-\frac{1}{\sqrt2}) + F_{BD}(-1) - 10 = 0.\]
Puis, comme \(F_{BC}=F_{AB}\) :
\[-\frac{2F_{AB}}{\sqrt2} - F_{BD} - 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_{BD} = -\sqrt2\,F_{AB} - 10.\]

Relations obtenues
• Rel.1 : \(F_{BC} = F_{AB}\)
• Rel.2 : \(F_{BD} = -1.414\,F_{AB} - 10\)

2.2 Nœud A : détermination de \(F_{AB}\) et \(F_{AD}\)

Le nœud A est relié aux barres AB et AD et subit la réaction \(V_A\). On écrit :
\[ \begin{cases} \sum F_x = 0, \\ \sum F_y = 0. \end{cases} \]

Données
• \(V_A = 5\,\mathrm{kN}\) vers le haut
• \(u_{AB} = \bigl(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\bigr),\; u_{AD} = \bigl(\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2}\bigr)\)

Calcul
1. Fx :
\[0 + F_{AB}\frac{1}{\sqrt2} + F_{AD}\frac{1}{\sqrt2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_{AD} = -F_{AB}.\]

2. Fy :
\[5 + F_{AB}\frac{1}{\sqrt2} + F_{AD}(-\frac{1}{\sqrt2}) = 0 \] \[ \quad\Longrightarrow\quad F_{AB} = -\frac{5\sqrt2}{2} \approx -3.54\,\mathrm{kN}.\]
Ainsi :
\[F_{AD} = -F_{AB} \approx 3.54\,\mathrm{kN}.\]

Résultats nœud A
• \(F_{AB} = -3.54\,\mathrm{kN}\) (compression)
• \(F_{AD} = 3.54\,\mathrm{kN}\) (traction)

2.3 Nœud B (suite) : calcul de \(F_{BD}\)

Calcul
Remplacement de \(F_{AB}\) dans Rel.2 :
\[F_{BD} = -1.414 \times (-3.54) - 10 \approx -5\,\mathrm{kN}.\]

Interprétation
\(F_{BD} = -5\,\mathrm{kN}\) indique une compression de 5 kN.

2.4 Nœud D : détermination de \(F_{DC}\)

Au nœud D, trois barres (DA, DB, DC) se rencontrent sans charge extérieure. On écrit :
\[ \begin{cases} \sum F_x = 0, \\ \sum F_y = 0. \end{cases} \]

Données
• \(F_{DA} = 3.54\,\mathrm{kN}\) (traction)
• \(F_{DB} = -5\,\mathrm{kN}\) (compression)
• \(u_{DA} = \bigl(-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\bigr),\; u_{DC} = \bigl(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\bigr),\; u_{DB} = (0,1)\)

Calcul
1. Fx :
\[-\frac{3.54}{\sqrt2} + \frac{F_{DC}}{\sqrt2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_{DC} = 3.54\,\mathrm{kN}.\]

2. Fy :
\[\frac{3.54 + 3.54}{1.414} - 5 = 0.\]

Résultats nœud D
• \(F_{DC} = 3.54\,\mathrm{kN}\) (traction)

3. Identification des sollicitations

Barre	Effort (kN)	Nature
AB	\(-3.54\)	Compression
BC	\(-3.54\)	Compression
AD	\(+3.54\)	Traction
DC	\(+3.54\)	Traction
BD	\(-5.00\)	Compression

4. Vérification de l’équilibre global

Pour s’assurer que notre étude des réactions et des efforts internes est correcte, nous devons vérifier que la somme des forces extérieures appliquées sur la structure est bien nulle dans chaque direction. Ces forces extérieures sont :

• La réaction horizontale en A : \(H_A = 0\,\mathrm{kN}\).
• Les réactions verticales en A et C : \(V_A = 5\,\mathrm{kN}\) et \(V_c = 5\,\mathrm{kN}\).
• La charge appliquée en B : \(P = 10\,\mathrm{kN}\) vers le bas.

Nous écrivons donc : \[ \sum F_x = H_A = 0, \] et \[ \sum F_y = V_A + V_c - P = 5 + 5 - 10 = 0. \] Comme les deux sommes sont nulles, la structure est en équilibre global.

5. Discussion sur la stabilité et la conception

1. Détermination statique
Une structure treillis est statiquement déterminée si on peut trouver toutes les forces dans les barres et les réactions d’appui uniquement à partir des équations d’équilibre (sans avoir besoin de considérer la déformation). Le critère s’écrit : \[ m + r = 2j, \] où :

• \(m\) est le nombre de barres : ici \(m = 5\).
• \(r\) est le nombre de réactions d’appui : ici \(r = 3\).
• \(j\) est le nombre de nœuds : ici \(j = 4\).

On vérifie : \[ m + r = 5 + 3 = 8, \quad 2j = 2 \times 4 = 8 \] \(\Longrightarrow\quad \text{statiquement déterminée}. \)

2. Répartition des efforts

Les barres inclinées externes (AB, BC) sont en compression modérée (3,54 kN).

Les barres verticales (BD) reprennent la composante résiduelle en compression plus forte (5 kN), centralisant l’effort.

Les barres DA et DC, en traction, équilibrent symétriquement la structure.

3. Optimisation

Cette disposition losange+diagonale est efficace :

Compression dans les montants inclinés et la diagonale,

Traction dans les montants opposés.

On obtient un treillis léger et équilibré, sans pièces surdimensionnées.