Analyse des Forces dans une Poutre

Comprendre les Forces Internes et Externes dans une Poutre

L'analyse des forces dans une poutre est une étape fondamentale en Résistance des Matériaux. Elle implique d'abord de déterminer les forces externes, notamment les réactions aux appuis, en appliquant les principes de l'équilibre statique. Ensuite, on s'intéresse aux efforts internes (effort normal, effort tranchant et moment fléchissant) qui se développent à l'intérieur de la poutre pour maintenir l'équilibre de chaque section. La connaissance de ces efforts internes est cruciale pour dimensionner la poutre et s'assurer qu'elle peut résister aux charges appliquées sans défaillance.

Données de l'étude

Une poutre horizontale AB, de longueur \(L = 6 \, \text{m}\), est simplement appuyée en A (appui articulé) et en B (appui à rouleau). Elle est soumise aux charges suivantes :

Une charge ponctuelle \(P_1 = 12 \, \text{kN}\) appliquée verticalement vers le bas à \(x_1 = 2 \, \text{m}\) de A.
Une charge uniformément répartie \(w = 5 \, \text{kN/m}\) s'étendant de \(x_2 = 3 \, \text{m}\) à \(x_3 = 6 \, \text{m}\) (jusqu'à l'appui B).

On néglige le poids propre de la poutre pour cet exercice.

Schéma : Poutre sur Appuis Simples avec Charges Combinées

Poutre sur appuis simples avec une charge ponctuelle et une charge répartie.

Questions à traiter

Calculer les réactions d'appui verticales \(R_A\) et \(R_B\).
Dessiner le Diagramme de Corps Libre (DCL) de la poutre entière.
On souhaite déterminer les efforts internes au point C, situé à \(x_C = 4 \, \text{m}\) de l'appui A. Isoler le tronçon AC de la poutre et dessiner son DCL.
Calculer l'effort normal \(N_C\), l'effort tranchant \(V_C\), et le moment fléchissant \(M_C\) au point C.
Vérifier l'équilibre du tronçon AC.

Correction : Analyse des Forces dans une Poutre

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour déterminer les réactions d'appui, on applique les équations de l'équilibre statique : \(\sum F_y = 0\) (somme des forces verticales nulle) et \(\sum M = 0\) (somme des moments par rapport à un point nulle).

La charge répartie \(w\) sur une longueur \(l_w\) peut être remplacée par une force équivalente \(W = w \cdot l_w\) appliquée au centre de gravité de la charge répartie.

Données pour les réactions :

\(P_1 = 12 \, \text{kN}\) à \(x_1 = 2 \, \text{m}\)
Charge répartie \(w = 5 \, \text{kN/m}\) de \(x_2 = 3 \, \text{m}\) à \(x_3 = 6 \, \text{m}\).
- Longueur de la charge répartie : \(l_w = 6 \, \text{m} - 3 \, \text{m} = 3 \, \text{m}\)
- Force équivalente : \(W = w \cdot l_w = 5 \, \text{kN/m} \cdot 3 \, \text{m} = 15 \, \text{kN}\)
- Position de \(W\) : au milieu de la charge répartie, soit à \(x_W = 3 \, \text{m} + (3 \, \text{m} / 2) = 4.5 \, \text{m}\) de A.
Longueur totale de la poutre \(L = 6 \, \text{m}\).

Calcul :

Somme des moments par rapport à A (\(\sum M_A = 0\), sens anti-horaire positif) :

\begin{aligned} R_B \cdot L - P_1 \cdot x_1 - W \cdot x_W &= 0 \\ R_B \cdot (6 \, \text{m}) - (12 \, \text{kN} \cdot 2 \, \text{m}) - (15 \, \text{kN} \cdot 4.5 \, \text{m}) &= 0 \\ 6 R_B - 24 \, \text{kN.m} - 67.5 \, \text{kN.m} &= 0 \\ 6 R_B - 91.5 \, \text{kN.m} &= 0 \\ 6 R_B &= 91.5 \, \text{kN.m} \\ R_B &= \frac{91.5}{6} \, \text{kN} \\ R_B &= 15.25 \, \text{kN} \end{aligned}

Somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\), vers le haut positif) :

\begin{aligned} R_A + R_B - P_1 - W &= 0 \\ R_A + 15.25 \, \text{kN} - 12 \, \text{kN} - 15 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A - 11.75 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A &= 11.75 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 11.75 \, \text{kN}\) et \(R_B = 15.25 \, \text{kN}\).

Question 2 : Diagramme de Corps Libre (DCL) de la Poutre Entière

DCL de la Poutre AB

Le DCL montre la poutre avec les réactions d'appui calculées et les charges appliquées (la charge répartie est représentée par sa force équivalente W pour la clarté du DCL global).

Résultat Question 2 : Le DCL de la poutre entière est présenté ci-dessus.

Question 3 : DCL du Tronçon AC (\(x_C = 4 \, \text{m}\))

Principe :

On effectue une coupe imaginaire au point C. Le DCL du tronçon AC inclut la réaction \(R_A\), la charge \(P_1\), la portion de la charge répartie \(w\) agissant sur AC, et les efforts internes \(N_C, V_C, M_C\) au point de coupe C. Par convention, sur une face droite (obtenue en coupant à droite), \(N_C\) est sortant (traction positive), \(V_C\) est vers le bas (positif), et \(M_C\) est anti-horaire (positif).

Analyse du tronçon AC :

La charge \(P_1 = 12 \, \text{kN}\) est sur le tronçon AC (à \(x=2 \, \text{m}\)).
La charge répartie \(w = 5 \, \text{kN/m}\) commence à \(x=3 \, \text{m}\). Le point C est à \(x_C=4 \, \text{m}\).
- Longueur de la charge répartie sur AC : \(l_{wC} = 4 \, \text{m} - 3 \, \text{m} = 1 \, \text{m}\).
- Force équivalente de cette portion : \(W_{AC} = w \cdot l_{wC} = 5 \, \text{kN/m} \cdot 1 \, \text{m} = 5 \, \text{kN}\).
- Position de \(W_{AC}\) par rapport à A : \(3 \, \text{m} + (1 \, \text{m} / 2) = 3.5 \, \text{m}\).
- Position de \(W_{AC}\) par rapport à C : \(4 \, \text{m} - 3.5 \, \text{m} = 0.5 \, \text{m}\).

DCL du Tronçon AC

Résultat Question 3 : Le DCL du tronçon AC est présenté ci-dessus, montrant \(R_A\), \(P_1\), la portion de charge répartie \(W_{AC}\), et les efforts internes \(N_C, V_C, M_C\) à la coupe.

Question 4 : Calcul des Efforts Internes \(N_C, V_C, M_C\) au Point C

Principe :

On applique les équations d'équilibre au tronçon AC.

Calculs :

Équilibre des forces horizontales (\(\sum F_x = 0\)) :

\[ N_C = 0 \]

(Car il n'y a pas d'autres forces horizontales appliquées sur ce tronçon).

Équilibre des forces verticales (\(\sum F_y = 0\), vers le haut positif) :

\begin{aligned} R_A - P_1 - W_{AC} - V_C &= 0 \\ 11.75 \, \text{kN} - 12 \, \text{kN} - 5 \, \text{kN} - V_C &= 0 \\ 11.75 - 17 - V_C &= 0 \\ -5.25 \, \text{kN} - V_C &= 0 \\ V_C &= -5.25 \, \text{kN} \end{aligned}

Le signe négatif de \(V_C\) signifie que l'effort tranchant réel à la coupe C sur la face droite est dirigé vers le haut (opposé à la convention positive choisie pour le DCL).

Équilibre des moments par rapport au point C (\(\sum M_C = 0\), anti-horaire positif) :

\begin{aligned} M_C + P_1 \cdot (x_C - x_1) + W_{AC} \cdot (x_C - x_{W_{AC}}) - R_A \cdot x_C &= 0 \\ M_C + (12 \, \text{kN} \cdot (4 \, \text{m} - 2 \, \text{m})) + (5 \, \text{kN} \cdot (4 \, \text{m} - 3.5 \, \text{m})) - (11.75 \, \text{kN} \cdot 4 \, \text{m}) &= 0 \\ M_C + (12 \cdot 2) + (5 \cdot 0.5) - (11.75 \cdot 4) &= 0 \\ M_C + 24 \, \text{kN.m} + 2.5 \, \text{kN.m} - 47 \, \text{kN.m} &= 0 \\ M_C + 26.5 - 47 &= 0 \\ M_C - 20.5 \, \text{kN.m} &= 0 \\ M_C &= 20.5 \, \text{kN.m} \end{aligned}

Le moment \(M_C\) est positif, ce qui correspond à un moment fléchissant qui tend à courber la poutre avec les fibres inférieures en traction (poutre "souriante") à ce point.

Résultat Question 4 : Au point C (\(x_C = 4 \, \text{m}\)) :

Effort normal : \(N_C = 0 \, \text{kN}\)
Effort tranchant : \(V_C = -5.25 \, \text{kN}\)
Moment fléchissant : \(M_C = 20.5 \, \text{kN.m}\)

Question 5 : Vérification de l'Équilibre du Tronçon AC

Principe :

Pour vérifier l'équilibre, on s'assure que la somme des forces verticales et la somme des moments (par rapport à un point, par exemple A) sur le tronçon AC sont nulles, en utilisant les efforts internes calculés.

Vérification :

Forces sur le tronçon AC : \(R_A\) (haut), \(P_1\) (bas), \(W_{AC}\) (bas), \(V_C\) (sur la face droite, dirigé vers le haut car \(V_C = -5.25\text{kN}\) signifie que la force interne est opposée à la convention positive du DCL).

Somme des forces verticales sur le tronçon AC :

\begin{aligned} \sum F_{y,AC} &= R_A - P_1 - W_{AC} + (-V_C) \\ &= 11.75 \, \text{kN} - 12 \, \text{kN} - 5 \, \text{kN} + (5.25 \, \text{kN}) \\ &= 11.75 - 12 - 5 + 5.25 \\ &= -0.25 - 5 + 5.25 \\ &= -5.25 + 5.25 = 0 \, \text{kN} \quad (\text{OK, équilibre vertical vérifié}) \end{aligned}

Somme des moments par rapport à A sur le tronçon AC (anti-horaire positif) :

Moments dus aux charges externes : \(-P_1 \cdot x_1 - W_{AC} \cdot x_{W_{AC}}\)

Moments dus aux efforts internes à la coupe C : \(M_C\) (anti-horaire) et \(-V_C \cdot x_C\) (si \(V_C\) était positif vers le bas, son moment serait horaire. Comme \(V_C\) est \(-5.25\text{kN}\), la force réelle sur la face droite est vers le haut, créant un moment anti-horaire \( (-V_C) \cdot x_C \)).

Non, plus simplement : \(M_C\) (tel que défini sur le DCL) et le moment de \(V_C\) (tel que défini sur le DCL) par rapport à A.

\begin{aligned} \sum M_{A, troncon} &= M_C - V_C \cdot x_C - P_1 \cdot x_1 - W_{AC} \cdot x_{W_{AC}} + R_A \cdot 0 \\ &= (20.5 \, \text{kN.m}) - (-5.25 \, \text{kN} \cdot 4 \, \text{m}) - (12 \, \text{kN} \cdot 2 \, \text{m}) - (5 \, \text{kN} \cdot 3.5 \, \text{m}) \\ &= 20.5 - (-21) - 24 - 17.5 \\ &= 20.5 + 21 - 24 - 17.5 \\ &= 41.5 - 41.5 = 0 \, \text{kN.m} \quad (\text{OK, équilibre des moments vérifié}) \end{aligned}

Note: Pour le moment de \(V_C\) par rapport à A, si \(V_C\) est la force sur la face droite du tronçon AC (vers le bas sur le DCL), son moment est \( -V_C \cdot x_C \). Si on utilise la valeur calculée \(V_C = -5.25 \text{ kN}\), alors le moment est \( -(-5.25 \text{ kN}) \cdot 4 \text{ m} = +21 \text{ kN.m}\).

Résultat Question 5 : L'équilibre du tronçon AC est vérifié, car la somme des forces verticales et la somme des moments par rapport à A sont nulles.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour qu'une poutre soit en équilibre statique, la somme des moments par rapport à n'importe quel point doit être :

Nulle.
Égale au moment maximal.
Constante.
Proportionnelle à la longueur de la poutre.

2. L'effort tranchant interne \(V\) dans une section d'une poutre représente :

La tendance de la section à tourner.
La force axiale de compression ou de traction.
La somme des forces verticales d'un côté de la section.
La rigidité de la poutre.

Glossaire

Équilibre Statique: État d'un corps où la somme des forces externes et la somme des moments externes sont nulles, impliquant l'absence d'accélération linéaire et angulaire.
Réaction d'Appui: Force (ou moment) exercée par un support sur une structure pour la maintenir en équilibre.
Diagramme de Corps Libre (DCL): Représentation d'un corps isolé de son environnement, montrant toutes les forces et moments externes qui agissent sur lui.
Effort Normal (\(N\)): Composante de la force interne agissant perpendiculairement à la section transversale d'un élément structural.
Effort Tranchant (\(V\)): Composante de la force interne agissant tangentiellement (parallèlement) à la section transversale d'un élément structural, tendant à faire glisser une partie de la section par rapport à l'autre.
Moment Fléchissant (\(M\)): Moment interne qui tend à courber un élément structural autour d'un axe situé dans le plan de la section transversale.
Méthode des Coupes: Technique utilisée pour déterminer les efforts internes dans une structure en effectuant une coupe imaginaire à travers la section d'intérêt et en appliquant les équations d'équilibre à l'une des portions isolées.

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