Traction et Compression exercice corrigé
Comprendre le calcul de Traction et compression
Un ingénieur civil conçoit une structure qui comprend une poutre en acier. Cette poutre doit résister à des forces de traction et de compression dues à diverses charges et contraintes.
Pour comprendre les Contraintes et déformations en traction, cliquez sur le lien.
Données:
- Matériau de la poutre: Acier
- Longueur de la poutre (L): 8 mètres
- Section transversale de la poutre: Circulaire, avec un diamètre (d) de 0.15 mètres
- Module d’élasticité de l’acier (E): 200 GPa
- Limite élastique en traction de l’acier: 250 MPa
- Limite élastique en compression de l’acier: 250 MPa
- Poids spécifique de l’acier: 7850 kg/m³
Partie A: Analyse en Traction
1. Calculez l’aire de la section transversale de la poutre.
2. Si une force axiale de traction de 300 kN est appliquée à la poutre, déterminez la contrainte de traction dans la poutre.
3. Vérifiez si la poutre est en sécurité sous cette charge de traction (c’est-à-dire, la contrainte est-elle inférieure à la limite élastique?).
4. Calculez l’allongement de la poutre sous cette charge, en supposant un comportement élastique.
Partie B: Analyse en Compression
1. Si une force axiale de compression de 300 kN est appliquée à la poutre, déterminez la contrainte de compression dans la poutre.
2. Vérifiez si la poutre est en sécurité sous cette charge de compression.
3. Calculez le raccourcissement de la poutre sous cette charge, en supposant un comportement élastique.
4. Discutez brièvement la possibilité de flambage dans ce scénario et les facteurs qui pourraient y contribuer.
Réflexions supplémentaires:
- Comment les résultats changeraient-ils si la section transversale de la poutre était rectangulaire plutôt que circulaire?
- Quelles seraient les implications si la longueur de la poutre était doublée, tout en maintenant les mêmes charges?
Correction : traction et compression
Partie A : Analyse en Traction
1. Calcul de l’aire de la section transversale
Pour une section circulaire, l’aire \(A\) se calcule à l’aide de la formule :
\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]
Données :
- Diamètre \(d = 0.15\) m
Calcul :
\[ A = \frac{\pi \times (0.15)^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0.0225}{4} \] \[ A \approx \frac{0.0706858}{4} \] \[ A \approx 0.01767 \text{ m}^2 \]
2. Calcul de la contrainte de traction
La contrainte (ou effort normal) \(\sigma\) est définie par le rapport entre la force appliquée \(F\) et l’aire \(A\) de la section transversale :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données :
- Force de traction \(F = 300\, \text{kN} = 300\,000\, \text{N}\)
- Aire \(A = 0.01767\, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \sigma_{\text{traction}} = \frac{300\,000}{0.01767} \] \[ \sigma_{\text{traction}} \approx 16\,965\,\text{Pa} \quad \text{soit} \quad \approx 16.97 \, \text{MPa} \]
3. Vérification de la sécurité en traction
La poutre est considérée en sécurité si la contrainte calculée est inférieure à la limite élastique en traction.
- Limite élastique en traction de l’acier : \(250 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 16.97 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa} \]
La contrainte est bien inférieure à la limite élastique, donc la poutre est en sécurité en traction.
4. Calcul de l’allongement de la poutre en traction
En régime élastique, l’allongement \(\Delta L\) d’une poutre sous une force axiale se calcule par :
\[ \Delta L = \frac{F \times L}{A \times E} \]
où \(L\) est la longueur initiale et \(E\) est le module d’élasticité.
Données :
- Force \(F = 300\,000\, \text{N}\)
- Longueur \(L = 8\, \text{m}\)
- Aire \(A = 0.01767\, \text{m}^2\)
- Module d’élasticité \(E = 200\, \text{GPa} = 200 \times 10^9\, \text{Pa}\)
Calcul :
1. Calcul du dénominateur :
\[ A \times E = 0.01767 \times 200 \times 10^9 \] \[ \approx 3.534 \times 10^9\, \text{N} \]
2. Calcul de l’allongement :
\[ \Delta L = \frac{300\,000 \times 8}{3.534 \times 10^9} \] \[ \Delta L \approx \frac{2.4 \times 10^6}{3.534 \times 10^9} \] \[ \Delta L \approx 6.78 \times 10^{-4}\, \text{m} \]
Ce qui correspond à environ 0,678 mm.
Partie B : Analyse en Compression
1. Calcul de la contrainte de compression
La formule est identique à celle en traction puisque la contrainte est le rapport entre la force et l’aire de la section :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données :
- Force de compression \(F = 300\, \text{kN} = 300\,000\, \text{N}\)
- Aire \(A = 0.01767\, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \sigma_{\text{compression}} = \frac{300\,000}{0.01767} \] \[ \sigma_{\text{compression}} \approx 16.97 \, \text{MPa} \]
2. Vérification de la sécurité en compression
La sécurité en compression est vérifiée de la même façon que pour la traction.
- Limite élastique en compression de l’acier : \(250\, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 16.97 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa} \]
La contrainte de compression est également bien inférieure à la limite élastique, donc la poutre est en sécurité sur ce critère.
3. Calcul du raccourcissement de la poutre en compression
Sous comportement élastique, le raccourcissement se calcule par la même formule que l’allongement :
\[ \Delta L = \frac{F \times L}{A \times E} \]
Données et Calcul :
En utilisant les mêmes valeurs que pour la traction, on obtient :
\[ \Delta L \approx 6.78 \times 10^{-4}\, \text{m} \quad \text{soit environ} \quad 0.678\, \text{mm} \]
4. Discussion sur la possibilité de flambage
Même si la contrainte due à la compression (environ \(16.97\, \text{MPa}\)) est bien inférieure à la limite élastique, le flambage est un phénomène qui dépend surtout de la géométrie (longueur, forme de la section) et des conditions de support.
Calcul et réflexion :
- Moment d’inertie de la section circulaire :
Pour une section circulaire, le moment d’inertie \(I\) est :
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
Avec \(d = 0.15\, \text{m}\) :
\[ I = \frac{\pi \times (0.15)^4}{64} \] \[ I \approx \frac{\pi \times 0.00050625}{64} \] \[ I \approx 2.48 \times 10^{-5}\, \text{m}^4 \]
- Rayon de giration \(r\) :
Le rayon de giration est défini par :
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]
Avec \(A \approx 0.01767\, \text{m}^2\) :
\[ r = \sqrt{\frac{2.48 \times 10^{-5}}{0.01767}} \] \[ r \approx \sqrt{0.001403} \approx 0.03745\, \text{m} \]
- Rapport de slenderness (élancement) :
\[ \lambda = \frac{L}{r} = \frac{8}{0.03745} \approx 213.5 \]
Un rapport d’élancement élevé peut favoriser le flambage.
- Charge critique d’Euler :
Pour une poutre supposée articulée aux deux extrémités (condition d’appui « pin-pin »), la charge critique de flambage \(P_{cr}\) se calcule par :
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L^2} \]
Données :
- \(E = 200 \times 10^9\, \text{Pa}\)
- \(I \approx 2.48 \times 10^{-5}\, \text{m}^4\)
- \(L = 8\, \text{m}\)
Calcul :
1. Calcul du numérateur :
\[ \pi^2 E I \approx 9.8696 \times (200 \times 10^9) \times 2.48 \times 10^{-5} \] \[ \approx 9.8696 \times 4.96 \times 10^6 \] \[ \approx 48.93 \times 10^6\, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]
2. Division par \(L^2\) :
\[ P_{cr} = \frac{48.93 \times 10^6}{8^2} \] \[ P_{cr} = \frac{48.93 \times 10^6}{64} \] \[ P_{cr} \approx 763.9 \times 10^3\, \text{N} \quad \text{soit environ} \quad 764\, \text{kN} \]
Conclusion sur le flambage :
-
La charge appliquée en compression est de 300 kN, bien inférieure à la charge critique Euler de 764 kN, ce qui indique que le flambage n’est pas à craindre dans ce scénario idéal.
-
Cependant, en pratique, des imperfections, des conditions réelles d’appui ou des charges excentriques pourraient réduire la résistance à la flambée. Le rapport d’élancement de 213,5 est relativement élevé, et dans une conception réelle, il serait nécessaire d’appliquer des coefficients de sécurité supplémentaires pour tenir compte de ces facteurs.
Réflexions supplémentaires
1. Effet d’une section transversale rectangulaire
- Changement de l’aire : La formule de l’aire serait différente : \(A = b \times h\) (où \(b\) et \(h\) sont la largeur et la hauteur du rectangle).
- Moment d’inertie : Le moment d’inertie diffère également et dépend de l’orientation (par exemple, \(I = \frac{b h^3}{12}\) pour la flexion autour d’un axe).
- Distribution des contraintes : La répartition des contraintes et la résistance au flambage pourraient être modifiées, ce qui affecterait la conception et le choix des dimensions pour atteindre la sécurité structurelle.
2. Implications du doublement de la longueur de la poutre
- Allongement/raccourcissement : Le déplacement \(\Delta L\) est proportionnel à la longueur \(L\). Si \(L\) est doublé (passant de 8 m à 16 m), l’allongement ou le raccourcissement sera également doublé, en supposant les mêmes forces et les mêmes propriétés matérielles.
- Flambage : La charge critique d’Euler est inversement proportionnelle au carré de la longueur \(L^2\). Ainsi, doubler la longueur réduit considérablement la charge critique.
\[ P_{cr} \propto \frac{1}{L^2} \]
Si \(L\) passe de 8 m à 16 m, la charge critique serait réduite d’un facteur de 4, augmentant ainsi le risque de flambage sous compression. Dans une telle configuration, la sécurité structurelle devrait être réévaluée en tenant compte des effets de flambage.
Traction et compression
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Recherche scientifique