Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Comprendre le Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Vous êtes ingénieur en structure et devez analyser une poutre simplement appuyée utilisée dans la construction d’un petit pont piétonnier. Cette poutre supporte à la fois son propre poids et des charges concentrées dues à l’utilisation potentiellement élevée lors d’événements locaux.

Pour comprendre le calcul de la Poutre encastrée et Diagramme des Moments, cliquez sur le lien.

Données de l’exercice:

• Longueur de la poutre, \( L \): 10 m
• Poids propre de la poutre, \( w \) (réparti uniformément): 300 N/m
• Deux charges concentrées:
  – \( P_1 = 5000 \, N \) située à 3 m du support de gauche.
  – \( P_2 = 3000 \, N \) située à 7 m du support de gauche.
• La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.

Questions:

1. Calcul des réactions aux appuis:

• Déterminez les réactions aux appuis \( R_A \) et \( R_B \).

2. Tracé du diagramme de l’effort tranchant (V):

• Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre, en prenant en compte le poids propre et les charges concentrées.

3. Tracé du diagramme du moment fléchissant (M):

• Tracez le diagramme du moment fléchissant pour la poutre. Identifiez les points où le moment fléchissant est maximal et minimal.

4. Analyse des résultats:

• Discutez de l’importance des points de changement de signe dans les diagrammes d’effort tranchant et de moment fléchissant.

Correction : Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

1. Calcul des Réactions aux Appuis

Données

• Longueur de la poutre, \( L = 10 \, \text{m} \)
• Charge uniformément répartie (poids propre) : \( w = 300 \, \text{N/m} \)
  \(\rightarrow\) Charge totale due au poids propre : \(W_{u} = w \times L = 300 \times 10 = 3000 \, \text{N}\)
  \(\rightarrow\) Agissant au centre de la poutre (à \( x = 5 \, \text{m} \)).
• Charges concentrées :
  – \( P_{1} = 5000 \, \text{N} \) appliquée à \( x = 3 \, \text{m} \)
  – \( P_{2} = 3000 \, \text{N} \) appliquée à \( x = 7 \, \text{m} \)

La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités (appui A à gauche et appui B à droite).

Équations d’équilibre

1. Somme des forces verticales :

\[ R_{A} + R_{B} = W_{u} + P_{1} + P_{2} \] \[ = 3000 + 5000 + 3000 \] \[ = 11000 \, \text{N} \]

2. Équilibre des moments (en prenant le moment par rapport à A) :

La contribution de la charge uniformément répartie est considérée comme agissant en son centre (à \( x = 5 \, \text{m} \)).

\[ R_{B} \times L = W_{u} \times 5 + P_{1} \times 3 + P_{2} \times 7 \]

Substitution des valeurs :

\[ R_{B} \times 10 = 3000 \times 5 + 5000 \times 3 + 3000 \times 7 \] \[ R_{B} \times 10 = 15000 + 15000 + 21000 \] \[ R_{B} \times 10 = 51000 \, \text{N·m} \]

D’où :

\[ R_{B} = \frac{51000}{10} = 5100 \, \text{N} \]

3. Détermination de \( R_{A} \) :

\[ R_{A} = 11000 – R_{B} \] \[ R_{A} = 11000 – 5100 \] \[ R_{A} = 5900 \, \text{N} \]

2. Tracé du Diagramme de l’Effort Tranchant (V)

Nous allons découper la poutre en segments délimités par les points d’application des charges.

Segment 1 : \( 0 \le x < 3 \, \text{m} \)

• Seule l’action de \( R_{A} \) et la charge uniformément répartie (début) sont présentes.
• Expression de l’effort tranchant en un point \( x \) :

\[ V(x) = R_{A} – w \cdot x = 5900 – 300x \quad \text{(en N)} \]

• À \( x = 2 \, \text{m} \) :

\[ V(2) = 5900 – 300 \times 2 \] \[ V(2) = 5900 – 600 \] \[ V(2) = 5300 \, \text{N} \]

• À \( x = 3 \, \text{m} \) (juste avant \( P_{1} \)) :

\[ V(3^-) = 5900 – 300 \times 3 = 5900 – 900 = 5000 \, \text{N} \]

À \( x = 3 \, \text{m} \) : Impact de \( P_{1} \)

La charge concentrée \( P_{1} = 5000 \, \text{N} \) provoque une chute brutale :

\[ V(3^+) = V(3^-) – 5000 \] \[ V(3^+) = 5000 – 5000 \] \[ V(3^+) = 0 \, \text{N} \]

Segment 2 : \( 3 < x < 7 \, \text{m} \)

• Seule la charge uniforme est à ajouter depuis \( x = 3 \).
• Pour \( x \) dans ce segment, la contribution de la charge uniforme supplémentaire (sur la longueur \( x-3 \)) est :

\[ V(x) = 0 – w \cdot (x-3) = -300(x-3) \]

• À \( x = 5 \, \text{m} \) :

\[ V(5) = -300(5-3) \] \[ V(5) = -300 \times 2 \] \[ V(5) = -600 \, \text{N} \]

• À \( x = 7 \, \text{m} \) (juste avant \( P_{2} \)) :

\[ V(7^-) = -300(7-3) \] \[ V(7^-) = -300 \times 4 \] \[ V(7^-) = -1200 \, \text{N} \]

À \( x = 7 \, \text{m} \) : Impact de \( P_{2} \)

La charge \( P_{2} = 3000 \, \text{N} \) fait chuter encore l’effort tranchant :

\[ V(7^+) = V(7^-) – 3000 \] \[ V(7^+) = -1200 – 3000 \] \[ V(7^+) = -4200 \, \text{N} \]

Segment 3 : \( 7 < x \le 10 \, \text{m} \)

Pour \( x \) dans ce segment, la charge uniforme continue d’agir :

\[ V(x) = -4200 – 300(x-7) \]

• À \( x = 10 \, \text{m} \) :

\[ V(10) = -4200 – 300(10-7) \] \[ V(10) = -4200 – 900 \] \[ V(10) = -5100 \, \text{N} \]

Ce résultat correspond bien à \(-R_{B}\).

3. Tracé du Diagramme du Moment Fléchissant (M)

Le moment fléchissant est obtenu par intégration de l’effort tranchant. On choisit la convention que \( M(0)=0 \) au support gauche.

Segment 1 : \( 0 \le x \le 3 \, \text{m} \)

Pour \( x \) dans ce segment, avec \( V(x) = 5900 – 300x \) :

\[ M(x) = \int_{0}^{x} (5900 – 300\xi)\, d\xi \] \[ M(x) = 5900x – 150x^2 \]

Calcul à \( x = 3 \, \text{m} \) :

\[ M(3) = 5900 \times 3 – 150 \times 3^2 \] \[ M(3) = 17700 – 1350 \] \[ M(3) = 16350 \, \text{N·m} \]

Segment 2 : \( 3 < x < 7 \, \text{m} \)

À partir de \( x = 3 \), le moment est :

\[ M(x) = M(3) + \int_{3}^{x} V(\xi) \, d\xi \]

Or, dans ce segment, \( V(\xi) = -300(\xi – 3) \).

Ainsi :

\[ M(x) = 16350 – 300 \int_{3}^{x} (\xi – 3) \, d\xi \]

Calculons l’intégrale :

\[ \int_{3}^{x} (\xi – 3) \, d\xi = \frac{(x-3)^2}{2} \]

Donc :

\[ M(x) = 16350 – 150 (x-3)^2 \]

Segment 3 : \( 7 \le x \le 10 \, \text{m} \)

• À \( x = 7 \), on a :

\[ M(7) = 16350 – 150(7-3)^2 \] \[ M(7) = 16350 – 150 \times 16 \] \[ M(7) = 16350 – 2400 \] \[ M(7) = 13950 \, \text{N·m} \]

Pour \( x \) dans \([7, 10]\), avec \( V(x) = -4200 – 300(x-7) \) :

\[ M(x) = M(7) + \int_{7}^{x} \Big[-4200 – 300(\xi-7)\Big] \, d\xi \]

Calcul de l’intégrale :

\[ \int_{7}^{x} -4200 \, d\xi = -4200 (x-7) \]
\[ \int_{7}^{x} -300(\xi-7)\, d\xi = -300 \cdot \frac{(x-7)^2}{2} = -150 (x-7)^2 \]

Ainsi :

\[ M(x) = 13950 – 4200 (x-7) – 150 (x-7)^2 \]

• Vérification à \( x = 10 \) :

\[ M(10) = 13950 – 4200 \times 3 – 150 \times 9 \] \[ M(10) = 13950 – 12600 – 1350 \] \[ M(10) = 0 \, \text{N·m} \]

Ce qui est conforme aux conditions aux limites.

Identification des Points Critiques

Moment Maximum :
Le moment fléchissant est maximal à \( x = 3 \, \text{m} \) avec \( M(3) = 16350 \, \text{N·m} \).

Moments aux Appuis : \( M(0) = 0 \) et \( M(10) = 0 \).

4. Analyse des Résultats

a) Points de Changement dans l’Effort Tranchant

Discontinuités :
Les sauts dans l’effort tranchant (chutes brutales) se produisent aux points d’application des charges concentrées \( P_{1} \) et \( P_{2} \).

• À \( x = 3 \, \text{m} \), la chute de \( 5000 \, \text{N} \) (passant de \( +5000 \, \text{N} \) à \( 0 \, \text{N} \)) indique l’effet de \( P_{1} \).
• À \( x = 7 \, \text{m} \), la chute de \( 3000 \, \text{N} \) (passant de \( -1200 \, \text{N} \) à \( -4200 \, \text{N} \)) traduit l’effet de \( P_{2} \).

Interprétation :
Ces points de changement sont cruciaux car ils signalent où la distribution des charges modifie brusquement l’effort interne dans la poutre. Ils correspondent aux emplacements où l’inflexion de la poutre change et sont des zones de concentration de contraintes.

b) Points Critiques du Moment Fléchissant

Maximum de Moment :
Le moment fléchissant atteint son maximum (\( 16350 \, \text{N·m} \)) à \( x = 3 \, \text{m} \). Ce point correspond généralement à la zone de flexion maximale et, par conséquent, à la zone la plus sollicitée en traction et compression dans la fibre supérieure et inférieure de la poutre.

Importance de l’Analyse :

• La connaissance de la position et de la valeur du moment maximal permet de dimensionner correctement la section transversale de la poutre afin d’éviter toute défaillance en flexion.
• Le changement de signe dans l’effort tranchant (de positif à négatif) indique la localisation du point d’inflexion, ce qui aide à identifier les zones où la poutre change de courbure.

Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

D’autres exercices de Rdm:

• Calcul l’effort tranchant et le moment
• Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment
• Poutre encastrée et Diagramme des Moments