Études de cas pratique

EGC

Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Comprendre les Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant

En Résistance des Matériaux (RDM), l'effort tranchant (\(V\)) et le moment fléchissant (\(M\)) sont des efforts internes cruciaux qui se développent dans une poutre soumise à des charges externes. Le tracé de leurs diagrammes le long de la poutre permet de visualiser leur variation, d'identifier les valeurs maximales et de s'assurer que la poutre peut résister aux sollicitations sans rupture ni déformation excessive. Cet exercice vous guidera à travers le calcul et le tracé de ces diagrammes pour une poutre simplement appuyée avec des charges variées.

Données de l'étude

On étudie une poutre droite AB de longueur \(L = 6 \, \text{m}\), reposant sur deux appuis simples : un appui articulé en A (à \(x=0\)) et un appui à rouleau en B (à \(x=6 \, \text{m}\)). La poutre est soumise aux charges suivantes :

  • Une charge ponctuelle \(P = 10 \, \text{kN}\) appliquée verticalement vers le bas à \(x_P = 2 \, \text{m}\) du point A.
  • Une charge uniformément répartie \(w = 5 \, \text{kN/m}\) s'étendant de \(x_{w1} = 3 \, \text{m}\) à \(x_{w2} = 6 \, \text{m}\).

On néglige le poids propre de la poutre.

Schéma de la Poutre et des Charges
A B R_A R_B P=10kN w=5kN/m 2m 1m 3m L = 6m

Poutre sur appuis simples avec une charge ponctuelle et une charge répartie.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A (\(R_A\)) et en B (\(R_B\)).
  2. Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) sur les différentes sections de la poutre.
  3. Établir les équations du moment fléchissant \(M(x)\) sur les différentes sections de la poutre.
  4. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET).
  5. Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF).
  6. Identifier les valeurs maximales de l'effort tranchant (\(V_{max}\)) et du moment fléchissant (\(M_{max}\)), ainsi que leurs positions.

Correction : Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une structure isostatique à l'équilibre, la somme des forces verticales et la somme des moments par rapport à un point doivent être nulles. On utilise ces principes pour déterminer les réactions aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_y = 0 \] \[ \sum M_A = 0 \quad \text{(ou } \sum M_B = 0 \text{)} \]

La charge répartie \(w\) sur une longueur \(l_w\) peut être remplacée par une force équivalente \(W = w \cdot l_w\) appliquée au centre de la charge répartie.

Données spécifiques :
  • \(L = 6 \, \text{m}\)
  • \(P = 10 \, \text{kN}\) à \(x_P = 2 \, \text{m}\)
  • \(w = 5 \, \text{kN/m}\) de \(x_{w1} = 3 \, \text{m}\) à \(x_{w2} = 6 \, \text{m}\). Longueur de la charge répartie \(l_w = 6-3 = 3 \, \text{m}\).
  • Force équivalente pour la charge répartie : \(W = w \cdot l_w = 5 \, \text{kN/m} \times 3 \, \text{m} = 15 \, \text{kN}\).
  • Position de la force équivalente \(W\) : au milieu de la charge répartie, soit à \(x_W = 3 + (3/2) = 4.5 \, \text{m}\) de A.
Calcul :

Somme des moments par rapport à A (\(\sum M_A = 0\), sens horaire positif) :

\[ \begin{aligned} P \cdot x_P + W \cdot x_W - R_B \cdot L &= 0 \\ (10 \, \text{kN} \cdot 2 \, \text{m}) + (15 \, \text{kN} \cdot 4.5 \, \text{m}) - R_B \cdot 6 \, \text{m} &= 0 \\ 20 \, \text{kN.m} + 67.5 \, \text{kN.m} - 6 R_B &= 0 \\ 87.5 \, \text{kN.m} &= 6 R_B \\ R_B &= \frac{87.5}{6} \, \text{kN} \\ R_B &\approx 14.583 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\), vers le haut positif) :

\[ \begin{aligned} R_A + R_B - P - W &= 0 \\ R_A + 14.583 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} - 15 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A - 10.417 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A &= 10.417 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A \approx 10.417 \, \text{kN}\) et \(R_B \approx 14.583 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une poutre est en équilibre statique, la somme des forces horizontales agissant sur elle est :

Question 2 : Équations de l'Effort Tranchant \(V(x)\)

Principe :

L'effort tranchant \(V(x)\) en une section \(x\) est la somme algébrique des forces verticales agissant à gauche (ou à droite) de cette section. On définit des tronçons entre les points d'application des charges ou de changement de charge.

Convention de signe : Effort tranchant positif si les forces à gauche de la coupure tendent à faire monter la partie gauche par rapport à la partie droite.

Calcul :

Tronçon 1 : \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\) (avant la charge P)

\[ V_1(x) = R_A = 10.417 \, \text{kN} \]

Tronçon 2 : \(2 \leq x < 3 \, \text{m}\) (après P, avant la charge répartie w)

\[ V_2(x) = R_A - P = 10.417 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} = 0.417 \, \text{kN} \]

Tronçon 3 : \(3 \leq x \leq 6 \, \text{m}\) (dans la zone de la charge répartie w)

\[ \begin{aligned} V_3(x) &= R_A - P - w \cdot (x - 3) \\ &= 10.417 - 10 - 5(x-3) \\ &= 0.417 - 5x + 15 \\ &= 15.417 - 5x \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification aux extrémités du tronçon 3 :

À \(x=3 \, \text{m}\) : \(V_3(3) = 15.417 - 5(3) = 15.417 - 15 = 0.417 \, \text{kN}\) (correspond à \(V_2\))

À \(x=6 \, \text{m}\) : \(V_3(6) = 15.417 - 5(6) = 15.417 - 30 = -14.583 \, \text{kN}\) (correspond à \(-R_B\), ce qui est attendu juste à gauche de l'appui B).

Résultat Question 2 : Les équations de l'effort tranchant sont :
  • Pour \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\) : \(V(x) = 10.417 \, \text{kN}\)
  • Pour \(2 \leq x < 3 \, \text{m}\) : \(V(x) = 0.417 \, \text{kN}\)
  • Pour \(3 \leq x \leq 6 \, \text{m}\) : \(V(x) = 15.417 - 5x \, \text{kN}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Sous une charge ponctuelle appliquée vers le bas, le diagramme d'effort tranchant présente :

Question 3 : Équations du Moment Fléchissant \(M(x)\)

Principe :

Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section \(x\) est la somme algébrique des moments des forces agissant à gauche (ou à droite) de cette section, par rapport à la section. On utilise la relation \(V(x) = \frac{dM(x)}{dx}\), ou on intègre \(V(x)\) pour trouver \(M(x)\), ou on calcule directement les moments.

Convention de signe : Moment fléchissant positif si les fibres inférieures de la poutre sont tendues (poutre "souriante").

Calcul :

Tronçon 1 : \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\)

\[ M_1(x) = R_A \cdot x = 10.417x \, \text{kN.m} \]

Tronçon 2 : \(2 \leq x < 3 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} M_2(x) &= R_A \cdot x - P \cdot (x - 2) \\ &= 10.417x - 10(x - 2) \\ &= 10.417x - 10x + 20 \\ &= 0.417x + 20 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Tronçon 3 : \(3 \leq x \leq 6 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} M_3(x) &= R_A \cdot x - P \cdot (x - 2) - \frac{w \cdot (x - 3)^2}{2} \\ &= 10.417x - 10(x - 2) - \frac{5(x - 3)^2}{2} \\ &= 0.417x + 20 - 2.5(x^2 - 6x + 9) \\ &= 0.417x + 20 - 2.5x^2 + 15x - 22.5 \\ &= -2.5x^2 + 15.417x - 2.5 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Vérification des moments aux jonctions et extrémités :

À \(x=0\): \(M_1(0) = 0\)

À \(x=2 \, \text{m}\): \(M_1(2) = 10.417(2) = 20.834 \, \text{kN.m}\). \(M_2(2) = 0.417(2) + 20 = 0.834 + 20 = 20.834 \, \text{kN.m}\).

À \(x=3 \, \text{m}\): \(M_2(3) = 0.417(3) + 20 = 1.251 + 20 = 21.251 \, \text{kN.m}\). \(M_3(3) = -2.5(3)^2 + 15.417(3) - 2.5 = -22.5 + 46.251 - 2.5 = 21.251 \, \text{kN.m}\).

À \(x=6 \, \text{m}\): \(M_3(6) = -2.5(6)^2 + 15.417(6) - 2.5 = -2.5(36) + 92.502 - 2.5 = -90 + 92.502 - 2.5 = 0.002 \approx 0 \, \text{kN.m}\) (attendu pour un appui simple).

Résultat Question 3 : Les équations du moment fléchissant sont :
  • Pour \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\) : \(M(x) = 10.417x \, \text{kN.m}\)
  • Pour \(2 \leq x < 3 \, \text{m}\) : \(M(x) = 0.417x + 20 \, \text{kN.m}\)
  • Pour \(3 \leq x \leq 6 \, \text{m}\) : \(M(x) = -2.5x^2 + 15.417x - 2.5 \, \text{kN.m}\)

Quiz Intermédiaire 3 : La relation entre l'effort tranchant \(V(x)\) et le moment fléchissant \(M(x)\) est :

Questions 4 & 5 : Tracé des Diagrammes DET et DMF

Principe :

Les diagrammes sont tracés en utilisant les équations établies précédemment pour chaque tronçon. On note les valeurs aux points clés (début et fin de tronçons, points de charge, points où \(V(x)=0\)).

Diagramme de l'Effort Tranchant (DET) :

Le DET sera tracé en représentant les valeurs de \(V(x)\) en ordonnée et \(x\) en abscisse.

  • De \(x=0\) à \(x=2^-\) : \(V(x) = 10.417 \, \text{kN}\).
  • À \(x=2\) : Saut de \(-10 \, \text{kN}\). \(V(2^+)\) devient \(0.417 \, \text{kN}\).
  • De \(x=2^+\) à \(x=3^-\) : \(V(x) = 0.417 \, \text{kN}\).
  • De \(x=3\) à \(x=6\) : \(V(x) = 15.417 - 5x\).
    • L'effort tranchant s'annule quand \(15.417 - 5x = 0 \Rightarrow x = 3.0834 \, \text{m}\).

Diagramme d'Effort Tranchant (DET) Complet
x (m) V (kN) 0 A 2m 3m 3.0834m B (6m) 10.42 0.42 -14.58 0 10.42 0.42 0.42 -14.58

Le DET montre des segments constants et un segment linéaire décroissant. Les valeurs exactes sont indiquées.

Diagramme du Moment Fléchissant (DMF) :

Le DMF sera tracé en représentant les valeurs de \(M(x)\) en ordonnée et \(x\) en abscisse.

  • De \(x=0\) à \(x=2 \, \text{m}\) : \(M(x) = 10.417x\).
  • De \(x=2\) à \(x=3 \, \text{m}\) : \(M(x) = 0.417x + 20\).
  • De \(x=3\) à \(x=6 \, \text{m}\) : \(M(x) = -2.5x^2 + 15.417x - 2.5\).
    • Le moment maximal se produit à \(x = 3.0834 \, \text{m}\), où \(M(3.0834) \approx 21.267 \, \text{kN.m}\).

Diagramme de Moment Fléchissant (DMF) Complet
x (m) M (kN.m) 0 A 2m 3m 3.0834m B (6m) 0 20.83 21.27 20.83 21.25 Mmax=21.27

Le DMF montre des segments linéaires suivis d'une parabole. Le moment est positif sur toute la longueur, indiquant que les fibres inférieures sont tendues.

Résultat Questions 4 & 5 : Les diagrammes sont décrits ci-dessus. Le DET est constitué de segments horizontaux et d'un segment linéaire décroissant. Le DMF est constitué de segments linéaires croissants et d'une parabole concave vers le bas.

Question 6 : Valeurs Maximales \(V_{max}\) et \(M_{max}\)

Principe :

Les valeurs maximales sont identifiées à partir des équations ou des diagrammes. \(V_{max}\) est la plus grande valeur absolue de l'effort tranchant. \(M_{max}\) est la plus grande valeur du moment fléchissant, souvent là où \(V(x)=0\) ou aux points d'application de charges/moments concentrés, ou aux appuis encastrés.

Calcul et Identification :

Effort Tranchant Maximal (\(V_{max}\)) :

En regardant les valeurs : \(10.417 \, \text{kN}\), \(0.417 \, \text{kN}\), et à \(x=6\), \(V(6) = -14.583 \, \text{kN}\).

\[ |V|_{max} = \max(|10.417|, |0.417|, |-14.583|) = 14.583 \, \text{kN} \]

Cette valeur se produit juste à gauche de l'appui B (ou juste à droite si on calcule depuis la droite).

Moment Fléchissant Maximal (\(M_{max}\)) :

Le moment fléchissant est maximal là où l'effort tranchant \(V(x)\) change de signe (s'annule en passant par zéro). Nous avons trouvé que \(V(x) = 0\) à \(x = 3.0834 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} M_{max} = M(3.0834) &= -2.5(3.0834)^2 + 15.417(3.0834) - 2.5 \\ &\approx -2.5(9.5073) + 47.535 - 2.5 \\ &\approx -23.768 + 47.535 - 2.5 \\ &\approx 21.267 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

On arrondit à \(M_{max} \approx 21.27 \, \text{kN.m}\).

Résultat Question 6 :
  • Effort tranchant maximal (en valeur absolue) : \(|V|_{max} \approx 14.583 \, \text{kN}\) (à \(x=6^-\)).
  • Moment fléchissant maximal : \(M_{max} \approx 21.27 \, \text{kN.m}\) à \(x \approx 3.0834 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 4 : En général, un moment fléchissant maximal se produit souvent où :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Qu'est-ce que l'effort tranchant dans une poutre ?

2. Sous une charge uniformément répartie, le diagramme d'effort tranchant est :

3. Sous une charge uniformément répartie, le diagramme de moment fléchissant est :

4. Un moment fléchissant positif sur une poutre horizontale signifie généralement que :

Glossaire

Effort Tranchant (\(V\))
Effort interne dans une poutre résultant des forces externes qui tendent à faire glisser une section de la poutre par rapport à une section adjacente.
Moment Fléchissant (\(M\))
Effort interne dans une poutre résultant des forces externes qui tendent à la faire fléchir ou courber.
Poutre sur Appuis Simples
Poutre supportée à ses extrémités de manière à permettre la rotation (par exemple, un appui articulé et un appui à rouleau).
Charge Ponctuelle
Force concentrée appliquée en un point spécifique de la poutre.
Charge Uniformément Répartie (UDL)
Charge d'intensité constante appliquée sur une certaine longueur de la poutre (exprimée en force par unité de longueur, comme kN/m).
Diagramme d'Effort Tranchant (DET)
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre.
Diagramme de Moment Fléchissant (DMF)
Représentation graphique de la variation du moment fléchissant le long de la poutre.
Réactions d'Appui
Forces (et parfois moments) exercées par les appuis sur la poutre pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges appliquées.
Tracé d’Effort Tranchant et Moment Fléchissant - Exercice d'Application

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9 Commentaires
  1. Rivuzimana Christian
    Rivuzimana Christian sur 26 mai 2024 à 10h58

    Vous utilisez quelle règles pour les calculs de charge uniforme reparti

    Réponse
    • EGC - Génie Civil
      EGC - Génie Civil sur 26 mai 2024 à 11h07

      Bonjour,
      Si vous avez un poids propre de la poutre (w) exprimé en newtons par mètre (N/m), et une longueur (L) de la poutre, alors la charge totale uniformément répartie (W) due au poids propre de la poutre sur toute sa longueur est calculée en multipliant le poids propre par la longueur de la poutre.

      Réponse
  3. GAHOUDE GONH ARCHIMEDE
    GAHOUDE GONH ARCHIMEDE sur 6 juin 2024 à 17h00

    Un document très enrichissant pour nous les ingénieurs en structure. Merci infiniment les efforts.

    Réponse
  4. Browndon
    Browndon sur 20 juin 2024 à 18h12

    Ce document est très intéressant

    Réponse
  6. Chris Well
    Chris Well sur 9 juillet 2024 à 19h21

    Génial ce cours

    Réponse
  7. Liosso lofoli costack
    Liosso lofoli costack sur 21 juillet 2024 à 13h17

    Les exercices proposer est bonne, mais il faut nous laisser un lien de taux reseaux sociale pour la simplicité des partage

    Réponse
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