Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment

Comprendre les Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment fléchissant

Vous êtes ingénieur en charge de la conception d’une passerelle piétonne devant enjamber une petite rivière dans un parc urbain. La passerelle est envisagée comme une poutre simplement appuyée aux deux extrémités, avec une charge répartie due aux piétons et une charge concentrée au milieu représentant un banc de parc fixé à la passerelle.

Pour comprendre le calcul des Réactions d’Appui et Efforts Internes, cliquez sur le lien.

Données

• Longueur de la passerelle (L) = 10 m
• Charge uniformément répartie (w) due au poids des piétons = 4 kN/m
• Charge concentrée (P) au milieu de la passerelle due au banc = 10 kN
• Les appuis sont considérés comme des appuis simples (articulation à une extrémité et rouleau à l’autre).

Questions:

1. Déterminer les réactions aux appuis : Calculer les forces de réaction aux appuis A et B.

2. Tracer le diagramme d’effort tranchant (DET) : En utilisant les réactions calculées, tracer le DET pour la passerelle.

3. Tracer le diagramme de moment fléchissant (DMF) : Basé sur le DET, tracer le DMF pour la passerelle.

Correction : Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment fléchissant

1. Calcul des Réactions d’Appui

Étape 1.1 : Énoncé et données

Données

• Longueur de la passerelle, \( L = 10\,\text{m} \)
• Charge uniformément répartie, \( w = 4\,\text{kN/m} \)
• Charge concentrée au milieu, \( P = 10\,\text{kN} \)

La passerelle est modélisée comme une poutre simplement appuyée aux extrémités \( A \) et \( B \).

Étape 1.2 : Calcul de la charge totale

La charge uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre engendre une force totale :

\[ F_w = w \times L \] \[ F_w = 4\,\text{kN/m} \times 10\,\text{m} \] \[ F_w = 40\,\text{kN} \]

La charge concentrée est \( P = 10\,\text{kN} \).

La charge totale appliquée sur la poutre est donc :

\[ F_{\text{totale}} = F_w + P \] \[ F_{\text{totale}} = 40\,\text{kN} + 10\,\text{kN} \] \[ F_{\text{totale}} = 50\,\text{kN} \]

Étape 1.3 : Équilibre des forces verticales

La somme des réactions verticales doit compenser la charge totale :

\[ R_A + R_B = 50\,\text{kN} \]

Étape 1.4 : Équilibre des moments (en prenant le moment par rapport à \( A \))

Le moment dû à la charge uniformément répartie est équivalent à une force concentrée agissant en son centre de gravité (à \( L/2 \) de \( A \)).

• Moment de la charge répartie :

\[ M_{w} = F_w \times \frac{L}{2} \] \[ M_{w} = 40\,\text{kN} \times \frac{10\,\text{m}}{2} \] \[ M_{w} = 40 \times 5 \] \[ M_{w} = 200\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

• Moment de la charge concentrée \( P \) (placée au milieu, à \( L/2 \) de \( A \)) :

\[ M_{P} = P \times \frac{L}{2} \] \[ M_{P} = 10\,\text{kN} \times 5\,\text{m} \] \[ M_{P} = 50\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

Le moment total dû aux charges (en tenant compte de la distance \( L \) entre les appuis) est :

\[ M_{\text{total}} = M_{w} + M_{P} \] \[ M_{\text{total}} = 200\,\text{kN}\cdot\text{m} + 50\,\text{kN}\cdot\text{m} \] \[ M_{\text{total}} = 250\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

En prenant le moment par rapport à \( A \), seul \( R_B \) contribue (à une distance \( L \)) :

\[ R_B \times L = 250\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

D’où :

\[ R_B = \frac{250}{10} = 25\,\text{kN} \]

Étape 1.5 : Calcul de \( R_A \)

En utilisant la somme des forces verticales :

\[ R_A = 50\,\text{kN} – R_B \] \[ R_A = 50\,\text{kN} – 25\,\text{kN} \] \[ R_A = 25\,\text{kN} \]

Données substituées dans les formules

• \(R_A = 25\,\text{kN}\)
• \(R_B = 25\,\text{kN}\)

2. Diagramme d’Effort Tranchant (DET)

Étape 2.1 : Établissement de la fonction d’effort tranchant

Nous notons \( V(x) \) l’effort tranchant à une distance \( x \) de l’appui \( A \).

Segment 1 : De \( A \) à la charge concentrée (pour \( 0 \leq x < 5\,\text{m} \))

Sur ce segment, la seule force agissant est la charge répartie \( w \).
La fonction d’effort tranchant se définit ainsi :

\[ V(x) = R_A – w \times x \]

Substituons les valeurs :

\[ V(x) = 25\,\text{kN} – 4\,\text{kN/m} \times x \]

• À \( x = 0 \) :

\[ V(0) = 25\,\text{kN} – 4 \times 0 \] \[ V(0) = 25\,\text{kN} \]

• À \( x = 5\,\text{m} \) (juste avant la charge concentrée) :

\[ V(5^-) = 25\,\text{kN} – 4 \times 5 \] \[ V(5^-) = 25 – 20 \] \[ V(5^-) = 5\,\text{kN} \]

Segment 2 : Au point de la charge concentrée

La charge concentrée \( P = 10\,\text{kN} \) induit une chute brutale de l’effort tranchant de 10 kN.
Ainsi, immédiatement après le point \( x = 5\,\text{m} \) :

\[ V(5^+) = V(5^-) – 10\,\text{kN} \] \[ V(5^+) = 5\,\text{kN} – 10\,\text{kN} \] \[ V(5^+) = -5\,\text{kN} \]

Segment 3 : De \( x = 5\,\text{m} \) à \( B \) (pour \( 5 < x \leq 10\,\text{m} \))

Sur ce segment, la charge répartie continue d’agir. La fonction d’effort tranchant devient :

\[ V(x) = V(5^+) – w \times (x – 5) \]

En substituant les valeurs :

\[ V(x) = -5\,\text{kN} – 4\,\text{kN/m} \times (x – 5) \]

• À \( x = 10\,\text{m} \) :

\[ V(10) = -5 – 4 \times (10-5) \] \[ V(10) = -5 – 4 \times 5 \] \[ V(10) = -5 – 20 \] \[ V(10) = -25\,\text{kN} \]

Ce résultat est cohérent puisque \( V(10) \) doit être égal à \(-R_B = -25\,\text{kN} \).

Résumé du DET

• Pour \( 0 \leq x < 5\,\text{m} \) :

\[ V(x) = 25 – 4x \quad (\text{kN}) \]

• Au point \( x = 5\,\text{m} \),

Chute brutale de 10 kN (passage de \( +5\,\text{kN} \) à \( -5\,\text{kN} \)).

• Pour \( 5 < x \leq 10\,\text{m} \) :

\[ V(x) = -5 – 4(x-5) \quad (\text{kN}) \]

3. Diagramme de Moment Fléchissant (DMF)

Étape 3.1 : Expression du moment fléchissant

Le moment fléchissant \( M(x) \) s’obtient en intégrant l’effort tranchant, ou directement par l’équilibre des moments sur un segment de poutre.

Segment 1 : De \( A \) à \( x \leq 5\,\text{m} \)

Sur ce segment, le moment en un point \( x \) est donné par :

\[ M(x) = R_A \times x – \frac{w \, x^2}{2} \]

Substituons \( R_A = 25\,\text{kN} \) et \( w = 4\,\text{kN/m} \) :

\[ M(x) = 25\,x – \frac{4\,x^2}{2} \] \[ M(x) = 25x – 2x^2 \quad (\text{kN}\cdot\text{m}) \]

• À \( x = 5\,\text{m} \) (point de charge concentrée) :

\[ M(5) = 25 \times 5 – 2 \times 5^2 \] \[ M(5) = 125 – 2 \times 25 \] \[ M(5) = 125 – 50 \] \[ M(5) = 75\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

Segment 2 : De \( x = 5\,\text{m} \) à \( B \) (\( 5 < x \leq 10\,\text{m} \))

Sur ce segment, il est souvent plus commode d’exprimer le moment fléchissant en fonction de la distance \( (L – x) \) par rapport à l’appui \( B \). On peut écrire :

\[ M(x) = R_B \times (L – x) – \frac{w\,(L – x)^2}{2} \]

En substituant \( R_B = 25\,\text{kN} \), \( L = 10\,\text{m} \) et \( w = 4\,\text{kN/m} \) :

\[ M(x) = 25(10 – x) – \frac{4(10 – x)^2}{2} \] \[ M(x) = 25(10 – x) – 2(10 – x)^2 \]

• À \( x = 5\,\text{m} \) :

\[ M(5) = 25 \times (10-5) – 2 \times (10-5)^2 \] \[ M(5) = 25 \times 5 – 2 \times 25 \] \[ M(5) = 125 – 50 \] \[ M(5) = 75\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

• À \( x = 10\,\text{m} \) (appui \( B \)) :

\[ M(10) = 25 \times 0 – 2 \times 0^2 \] \[ M(10) = 0\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

De même, à l’appui \( A \) (\( x=0 \)) :

\[ M(0) = 25 \times 0 – 2 \times 0^2 \] \[ M(0) = 0\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

Résumé du DMF

• Pour \( 0 \leq x \leq 5\,\text{m} \) :

\[ M(x) = 25x – 2x^2 \quad (\text{kN}\cdot\text{m}) \]

• Pour \( 5 < x \leq 10\,\text{m} \) :

\[ M(x) = 25(10-x) – 2(10-x)^2 \quad (\text{kN}\cdot\text{m}) \]

Le moment maximum se trouve à \( x = 5\,\text{m} \) : \( M(5) = 75\,\text{kN}\cdot\text{m} \).

Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment fléchissant

D’autres exercices de Rdm:

• Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant
• Calcul l’effort tranchant et le moment
• Poutre encastrée et Diagramme des Moments