Cercle de Mohr
Comprendre les calculs du Cercle de Mohr
Une poutre est soumise à des contraintes plane. À un certain point de cette poutre, les contraintes normales sur les faces horizontales et verticales sont \( \sigma_x = 8 \text{ MPa} \) et \( \sigma_y = 4 \text{ MPa} \) respectivement. La contrainte de cisaillement sur le plan horizontal est \( \tau_{xy} = 3 \text{ MPa} \) (dans le sens positif en tournant dans le sens contraire des aiguilles d’une montre).
Pour comprendre le calcul d’une contrainte principale et d’une contrainte de cisaillement, cliquez sur les liens.
Questions:
1. Représentez ces contraintes sur un élément de stress.
2. Calculez le rayon et le centre du Cercle de Mohr.
3. Déterminez les contraintes principales.
4. Trouvez les angles d’orientation de ces contraintes principales.
Correction : Calculs du cercle de mohr
1. Représentation des contraintes sur un élément de stress
Schéma et convention :
a. Dessin de l’élément :
Imaginez un petit rectangle dont les côtés sont alignés avec les axes \(x\) et \(y\).
- Les faces verticales (dont les normales sont horizontales) subissent une contrainte normale \(\sigma_x = 8\) MPa.
- Les faces horizontales (dont les normales sont verticales) subissent une contrainte normale \(\sigma_y = 4\) MPa.
b. Représentation des contraintes :
Contraintes normales :
- Sur la face droite (ou gauche), on inscrit \(\sigma_x = 8\) MPa (dirigé vers l’extérieur ou l’intérieur selon la convention adoptée).
- Sur la face supérieure (ou inférieure), on inscrit \(\sigma_y = 4\) MPa.
Contraintes de cisaillement :
- Sur la face dont la normale est selon \(x\), la contrainte de cisaillement agissant sur le plan \(xy\) est \(\tau_{xy} = 3\) MPa (orientée de sorte à produire une rotation anti-horaire positive).
- Par équilibre, la face opposée aura une contrainte de cisaillement \(\tau_{yx} = 3\) MPa (selon la symétrie du tenseur de contrainte en l’absence de moments).
Le schéma se présente donc comme suit :
Remarque : La représentation graphique aide à visualiser comment les contraintes s’appliquent sur les différentes faces de l’élément.
2. Calcul du centre et du rayon du Cercle de Mohr
Le Cercle de Mohr est un outil graphique qui permet de représenter l’état de contrainte à un point et de déterminer les contraintes principales ainsi que les contraintes de cisaillement maximales.
a. Centre du cercle:
La coordonnée en \(\sigma\) du centre est donnée par :
\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \]
En substituant les valeurs :
\[ C = \frac{8 + 4}{2} \] \[ C = 6 \text{ MPa} \]
b. Rayon du cercle:
Le rayon \(R\) est défini par :
\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x – \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]
Calculons d’abord la différence :
\[ \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} = \frac{8 – 4}{2} = 2 \text{ MPa} \]
Puis :
\[ R = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} \] \[ R = \sqrt{4 + 9} \] \[ R = \sqrt{13} \text{ MPa} \]
Numériquement, \(\sqrt{13} \approx 3.606\) MPa.
3. Détermination des contraintes principales
Les contraintes principales, \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), correspondent aux points extrêmes sur l’axe horizontal (abscisses) du Cercle de Mohr. Elles se calculent par :
\[ \sigma_1 = C + R \quad \text{et} \quad \sigma_2 = C – R \]
En substituant :
- Pour \(\sigma_1\) :
\[ \sigma_1 = 6 + \sqrt{13} \] \[ \sigma_1 \approx 6 + 3.606 \] \[ \sigma_1 = 9.606 \text{ MPa} \]
- Pour \(\sigma_2\) :
\[ \sigma_2 = 6 – \sqrt{13} \] \[ \sigma_2 \approx 6 – 3.606 \] \[ \sigma_2 = 2.394 \text{ MPa} \]
Ainsi, les contraintes principales sont :
- \(\sigma_1 \approx 9.61 \text{ MPa}\) (contrainte principale maximale)
- \(\sigma_2 \approx 2.39 \text{ MPa}\) (contrainte principale minimale)
4. Détermination des angles d’orientation des contraintes principales
L’orientation des plans principaux (les directions dans lesquelles les contraintes principales s’exercent) est donnée par la relation :
\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x – \sigma_y} \]
où \(\theta_p\) est l’angle entre l’axe \(x\) et la direction où agit \(\sigma_1\).
Calcul de \(2\theta_p\) :
Substituons les valeurs :
\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2 \times 3}{8 – 4} = 1.5 \]
Donc,
\[ 2\theta_p = \arctan(1.5) \]
En calculant :
\[ 2\theta_p \approx 56.31^\circ \]
Alors,
\[ \theta_p \approx \frac{56.31^\circ}{2} \approx 28.16^\circ \]
Interprétation :
- Direction de \(\sigma_1\) (contrainte principale maximale) :
Elle est orientée d’environ \(28.16^\circ\) par rapport à l’axe \(x\). - Direction de \(\sigma_2\) (contrainte principale minimale) :
Elle est perpendiculaire à la direction de \(\sigma_1\), soit orientée à \(28.16^\circ + 90^\circ \approx 118.16^\circ\) par rapport à l’axe \(x\).
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