Méthode des Nœuds pour un Treillis
Comprendre la Méthode des Nœuds pour un Treillis
Considérons un treillis plan en forme de triangle, composé de trois nœuds et trois éléments (barres). Le treillis est fixé au sol à l’un de ses nœuds (nœud A) et est supporté par un rouleau à un autre nœud (nœud B), permettant ainsi un mouvement vertical mais pas horizontal. Le troisième nœud (nœud C) est libre et porte une charge verticale. Les longueurs des éléments du treillis sont également données.
- Nœuds: A (fixe), B (rouleau), C (libre avec charge)
- Charge appliquée au nœud C: P = 5000 N (verticalement vers le bas)
- Longueurs des éléments:
- Barre AC = 3 m
- Barre BC = 4 m
- Barre AB = 5 m
- Angle entre la barre AC et l’horizontale = 53.13° (calculé à partir des longueurs données)

Question :
Utiliser la méthode des nœuds pour déterminer les forces dans chaque barre du treillis.
Correction : Méthode des Nœuds pour un Treillis
1. Calcul des réactions d’appui \(A_x, A_y, B_y\)
Pour trouver les réactions d’appui au sol, on considère l’équilibre statique de l’ensemble du treillis (sommation des forces et des moments nulle).
- Le nœud \(A\) est encastré avec deux inconnues de réaction \((A_x, A_y)\).
- Le nœud \(B\) est sur un rouleau avec une seule inconnue de réaction \((B_y)\) verticale.
- Aucune autre force horizontale n’est appliquée, donc on s’attend souvent à \(A_x = 0\).
- La charge verticale \(P = 5000\ \mathrm{N}\) est appliquée vers le bas au nœud \(C\).
Formules d’équilibre pour l’ensemble du treillis :
\[ \begin{aligned}
\sum F_x &= 0, \\
\sum F_y &= 0, \\
\sum M_A &= 0 \quad (\text{moment pris autour du point } A).
\end{aligned} \]
Données :
- \(P = 5000\ \mathrm{N}\) (verticale, vers le bas)
- Longueur \(AB = 5\ \mathrm{m}\) (horizontal si l’on place \(A\) à l’origine et \(B\) en \((5,0)\))
- Le nœud \(C\) a pour coordonnées \((1.8,\ 2.4)\) (puisque \(AC = 3\ \mathrm{m}\) et \(BC = 4\ \mathrm{m}\))
- Moments : on considérera le moment autour de \(A\).
Calcul :
1. \(\sum F_x = 0\) :
\[ A_x + 0 = 0 \quad \Longrightarrow \quad A_x = 0 \]
2. \(\sum F_y = 0\) :
\[ A_y + B_y – P = 0 \quad \Longrightarrow \quad A_y + B_y = 5000 \tag{1} \]
3. \(\sum M_A = 0\) :
- Le moment dû à \(B_y\) : bras de levier \(= 5\,\mathrm{m}\) (distance de \(A\) à \(B\)), sens antihoraire (positif).
- Le moment dû à la charge \(P\) : bras de levier \(= 1.8\,\mathrm{m}\) (projection horizontale de la position de \(C\)), sens horaire (négatif si on prend le sens positif antihoraire).
\[ +\,B_y \times 5 \;-\; 5000 \times 1.8 = 0 \] \[ 5\,B_y = 9000 \quad \Longrightarrow \quad B_y = 1800\,\mathrm{N} \]
En reportant \(B_y\) dans \((1)\) :
\[ A_y + 1800 = 5000 \quad \Longrightarrow \quad A_y = 3200\,\mathrm{N} \]
Résultats :
\[ A_x = 0,\quad A_y = 3200\,\mathrm{N},\quad B_y = 1800\,\mathrm{N} \]
2. Analyse du nœud \(C\) et calcul des forces dans \(AC\) et \(BC\)
Le nœud \(C\) est soumis :
- à la force extérieure \(P = 5000\ \mathrm{N}\) (vers le bas),
- aux forces de barres \(AC\) et \(BC\).
On note :
- \(T_{AC}\) = force dans la barre \(AC\) (positive en traction, négative en compression)
- \(T_{BC}\) = force dans la barre \(BC\) (positive en traction, négative en compression)
Les directions de ces forces sont données par les vecteurs unitaires depuis \(C\). Pour l’équilibre :
\[ \sum F_x = 0 \quad \text{et} \quad \sum F_y = 0. \]
Formules d’équilibre au nœud \(C\) :
- \(\sum F_x = 0\)
\[ T_{AC} \cdot \cos(\alpha_{AC}) + T_{BC} \cdot \cos(\alpha_{BC}) = 0, \]
- \(\sum F_y = 0\)
\[ T_{AC} \cdot \sin(\alpha_{AC}) + T_{BC} \cdot \sin(\alpha_{BC}) – 5000 = 0. \]
(Ci-dessous, on utilisera plutôt les coordonnées cartésiennes des vecteurs unitaire pour plus de précision.)
Données géométriques pour le nœud \(C\) :
En plaçant \(A\) à \((0,0)\) et \(B\) à \((5,0)\), on a :
- \(C = (1.8,\ 2.4)\).
- Vecteur \(AC = (1.8,\ 2.4)\) de longueur \(3\ \mathrm{m}\).
Vecteur unitaire de \(A\) vers \(C\) :
\[ \mathbf{u}_{AC} = \left(\frac{1.8}{3},\ \frac{2.4}{3}\right) = (0.6,\ 0.8). \]
– Si l’on raisonne en sens \(C\) → \(A\), le vecteur unitaire sera \((-0.6,\ -0.8)\).
- Vecteur \(BC = (1.8-5,\ 2.4-0) = (-3.2,\ 2.4)\) de longueur \(4\ \mathrm{m}\).
Vecteur unitaire de \(B\) vers \(C\) :
\[ \mathbf{u}_{BC} = \left(\frac{-3.2}{4},\ \frac{2.4}{4}\right) = (-0.8,\ 0.6). \]
– Si l’on raisonne en \textbf{sens \(C\to B\), le vecteur unitaire sera \((0.8,\ -0.6)\).
Pour l’écriture des équations au nœud \(C\), on peut choisir d’orienter chaque force de barre comme si elle était en traction depuis \(C\). Si le résultat est négatif, la barre est en compression.
Calcul au nœud \(C\) :
Supposons :
- \(T_{AC}\) pointe de \(C\) vers \(A\) (unité \((-0.6,\ -0.8)\)).
- \(T_{BC}\) pointe de \(C\) vers \(B\) (unité \((0.8,\ -0.6)\)).
Équilibre en \(x\) :
\[ (-0.6)\,T_{AC} + (0.8)\,T_{BC} = 0 \tag{2} \]
Équilibre en \(y\) :
\[ (-0.8)\,T_{AC} + (-0.6)\,T_{BC} – 5000 = 0 \tag{3} \]
- De \((2)\) :
\[ -0.6\,T_{AC} + 0.8\,T_{BC} = 0 \quad \Longrightarrow \quad T_{AC} = \frac{0.8}{0.6}\,T_{BC} = \frac{4}{3}\,T_{BC}. \]
- En substituant dans \((3)\) :
\[ -0.8\left(\frac{4}{3}T_{BC}\right) – 0.6\,T_{BC} – 5000 = 0. \] \[ -\frac{3.2}{3}\,T_{BC} – 0.6\,T_{BC} = 5000. \] \[ -1.0667\,T_{BC} – 0.6\,T_{BC} = 5000 \quad \Longrightarrow \quad -1.6667\,T_{BC} = 5000. \] \[ T_{BC} = \frac{5000}{-1.6667} \approx -3000\,\mathrm{N}. \]
Le signe négatif indique une compression. La valeur absolue est \(3000\,\mathrm{N}\)).
Ensuite,
\[ T_{AC} = \frac{4}{3} \times (-3000) = -4000\,\mathrm{N}. \]
Ici aussi, le signe négatif indique une compression de (\(4000\,\mathrm{N}\)).
Résultats pour les barres au nœud \(C\) :
\[ T_{AC} = 4000\,\mathrm{N}\ \text{(compression)}, \quad T_{BC} = 3000\,\mathrm{N}\ \text{(compression)}. \]
3. Analyse du nœud \(A\) et calcul de la force dans \(AB\)
Pour trouver la force dans la barre \(AB\), on se place au nœud \(A\). Les forces en jeu sont :
- La réaction \((A_x=0,\, A_y=3200\,\mathrm{N})\).
- La force de la barre \(AC\) (déterminée précédemment, en compression de \(4000\,\mathrm{N}\)).
- La force dans la barre \(AB\), inconnue que nous noterons \(T_{AB}\) (positive si en traction).
Formules d’équilibre au nœud \(A\) :
\[ \sum F_x = 0 \quad \text{et} \quad \sum F_y = 0. \]
Données pour le nœud \(A\) :
- \(\mathbf{R}_A = (A_x, A_y) = (0, 3200)\).
- La barre \(AC\) est en \textbf{compression} de \(4000\,\mathrm{N}\).
– Si l’on avait supposé \(T_{AC}\) comme tension orientée de \(A\) vers \(C\), nous avons trouvé \(-4000\,\mathrm{N}\).
– Concrètement, la force exercée sur le nœud \(A\) par la barre \(AC\) pointe de \(A\) vers \(C\) et s’exprime ainsi : Le vecteur unitaire \(\overrightarrow{A\!C}\) est \((0.6,\ 0.8)\).
La force de la barre \(AC\) sur \(A\) (en compression) est :
\[ \mathbf{F}_{AC\,\text{sur}\,A} = (-4000) \times (0.6,\ 0.8) = (-2400,\ -3200)\,\mathrm{N}. \]
Pour la barre \(AB\), on suppose une traction dirigée de \(A\) vers \(B\). Le vecteur unitaire \(\overrightarrow{A\!B}\) est \((1,0)\).
Ainsi,
\[ \mathbf{F}_{AB\,\text{sur}\,A} = T_{AB}\times(1,0) = (T_{AB}, 0). \]
Calcul au nœud \(A\) :
Équilibre en \(x\) :
\[ A_x + F_{AC,x} + F_{AB,x} = 0 \quad \Longrightarrow \quad 0 + (-2400) + T_{AB} = 0. \] \[ \Rightarrow \quad T_{AB} = 2400\,\mathrm{N}. \]
Le signe positif indique que la barre \(AB\) est en traction.
Équilibre en \(y\) :
\[ A_y + F_{AC,y} + F_{AB,y} = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3200 + (-3200) + 0 = 0. \]
\[ \Rightarrow \quad 0 = 0 \quad (\text{équilibre cohérent}). \]
4. Résultats finaux
Réactions d’appui :
\[ A_x = 0,\quad A_y = 3200\,\mathrm{N},\quad B_y = 1800\,\mathrm{N}. \]
Forces dans les barres :
- \(AC\) : \(4000\,\mathrm{N}\ \text{(compression)}\)
- \(BC\) : \(3000\,\mathrm{N}\ \text{(compression)}\)
- \(AB\) : \(2400\,\mathrm{N}\ \text{(traction)}\)
Méthode des Nœuds pour un Treillis
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