Études de cas pratique

EGC

Méthode des Nœuds pour un Treillis

Calcul des Efforts dans un Treillis par la Méthode des Nœuds

Comprendre la Méthode des Nœuds

Un treillis (ou système triangulé) est une structure composée de barres droites assemblées à leurs extrémités par des articulations (nœuds). Ces structures sont couramment utilisées pour les ponts, les charpentes de toitures, les pylônes, etc., car elles offrent une grande rigidité pour un poids de matériau relativement faible. La "méthode des nœuds" est une technique fondamentale en Résistance Des Matériaux (RDM) pour déterminer les efforts internes (traction ou compression) dans chaque barre du treillis. Elle consiste à isoler chaque nœud du treillis et à appliquer les équations d'équilibre de la statique (\(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\)) à ce nœud. En résolvant ces équations successivement pour chaque nœud, on peut déterminer les efforts dans toutes les barres. Il est crucial de commencer par calculer les réactions d'appui de l'ensemble du treillis avant d'appliquer la méthode des nœuds.

Données de l'étude

Considérons un treillis simple en forme de A, reposant sur un appui articulé en A et un appui à rouleau en C. Une charge verticale est appliquée au nœud B.

Caractéristiques du treillis et des charges :

  • Distance horizontale entre les appuis A et C (\(L_{AC}\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur du treillis au nœud B par rapport à la ligne AC (\(H_B\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Le nœud B est situé à mi-distance horizontalement entre A et C.
  • Charge verticale appliquée au nœud B (\(P_B\)) : \(30 \, \text{kN}\) (dirigée vers le bas)

Objectif : Déterminer les réactions d'appui, puis les efforts dans les barres AB, BC et AC, en précisant s'ils sont en traction ou en compression.

Schéma du Treillis
Treillis Simple (Type A) A B C VA HA VC PB=30kN LAC = 4.0 m HB=1.5m 2.0 m

Treillis simple avec appuis et charge.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A (\(V_A\), \(H_A\)) et en C (\(V_C\)).
  2. En utilisant la méthode des nœuds, analyser le nœud A pour déterminer les efforts dans les barres AB (\(F_{\text{AB}}\)) et AC (\(F_{\text{AC}}\)). Préciser si ces barres sont en traction ou en compression.
  3. En utilisant la méthode des nœuds, analyser le nœud C pour déterminer l'effort dans la barre BC (\(F_{\text{BC}}\)) et vérifier l'effort dans AC. Préciser si BC est en traction ou en compression.
  4. (Optionnel) Vérifier l'équilibre du nœud B avec les efforts trouvés.

Correction : Méthode des Nœuds pour un Treillis

Question 1 : Calcul des réactions d'appui

Principe :

Avant d'analyser les efforts internes dans les barres, il faut déterminer comment la structure globale réagit aux charges externes. On utilise les équations de la statique pour l'ensemble du treillis : 1. \(\sum F_x = 0\) : La somme des forces horizontales est nulle. 2. \(\sum F_y = 0\) : La somme des forces verticales est nulle. 3. \(\sum M_{\text{point}} = 0\) : La somme des moments par rapport à un point quelconque est nulle. L'appui A est une rotule (deux réactions : \(H_A\), \(V_A\)). L'appui C est un rouleau (une réaction : \(V_C\), perpendiculaire au plan d'appui, donc verticale ici). Convention : Forces vers la droite et vers le haut positives. Moments anti-horaires positifs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_x = 0\]
\[\sum F_y = 0\]
\[\sum M_A = 0\]
Données spécifiques :
  • \(L_{AC} = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(P_B = 30 \, \text{kN}\) appliquée à \(L_{AC}/2 = 2.0 \, \text{m}\) de A.
Calcul :

1. Somme des forces horizontales :

\[\sum F_x = H_A = 0 \Rightarrow H_A = 0 \, \text{kN}\]

2. Somme des moments par rapport à A :

\[ \begin{aligned} \sum M_A &= (V_C \times L_{AC}) - (P_B \times (L_{AC}/2)) = 0 \\ (V_C \times 4.0 \, \text{m}) - (30 \, \text{kN} \times 2.0 \, \text{m}) &= 0 \\ 4V_C - 60 \, \text{kN.m} &= 0 \\ 4V_C &= 60 \, \text{kN.m} \\ V_C &= \frac{60}{4} = 15 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Somme des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= V_A + V_C - P_B = 0 \\ V_A + 15 \, \text{kN} - 30 \, \text{kN} &= 0 \\ V_A - 15 \, \text{kN} &= 0 \\ V_A &= 15 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réactions d'appui : \(H_A = 0 \, \text{kN}\), \(V_A = 15 \, \text{kN}\) (\(\uparrow\)), \(V_C = 15 \, \text{kN}\) (\(\uparrow\)).

Question 2 : Analyse du Nœud A

Principe :

On isole le nœud A et on représente toutes les forces qui y agissent : la réaction d'appui \(V_A\) (connue) et les efforts inconnus dans les barres AB (\(F_{\text{AB}}\)) et AC (\(F_{\text{AC}}\)). Par convention, on suppose initialement que les efforts dans les barres sont des tractions (forces s'éloignant du nœud). Si le calcul donne une valeur négative, cela signifie que la barre est en compression. Il faut décomposer \(F_{\text{AB}}\) en ses composantes horizontale et verticale. L'angle \(\alpha\) de la barre AB avec l'horizontale AC peut être trouvé par trigonométrie : \(\tan(\alpha) = H_B / (L_{AC}/2)\).

Calcul de l'angle \(\alpha\) :

Distance horizontale de A à la verticale de B = \(L_{AC}/2 = 4.0 \, \text{m} / 2 = 2.0 \, \text{m}\). Hauteur \(H_B = 1.5 \, \text{m}\).

\[ \tan(\alpha) = \frac{H_B}{L_{AC}/2} = \frac{1.5 \, \text{m}}{2.0 \, \text{m}} = 0.75 \]
\[ \alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ \]

On aura besoin de \(\cos(\alpha)\) et \(\sin(\alpha)\) :
\(L_{AB} = \sqrt{(2.0)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \, \text{m}\).
\(\sin(\alpha) = H_B / L_{AB} = 1.5 / 2.5 = 0.6\).
\(\cos(\alpha) = (L_{AC}/2) / L_{AB} = 2.0 / 2.5 = 0.8\).

Équations d'équilibre pour le nœud A :
\[\sum F_x = F_{\text{AC}} + F_{\text{AB}} \cos(\alpha) + H_A = 0\]
\[\sum F_y = V_A + F_{\text{AB}} \sin(\alpha) = 0\]
Calcul des efforts :

Avec \(H_A = 0\) et \(V_A = 15 \, \text{kN}\) :
De \(\sum F_y = 0\) :

\[ \begin{aligned} 15 \, \text{kN} + F_{\text{AB}} \times 0.6 &= 0 \\ F_{\text{AB}} \times 0.6 &= -15 \, \text{kN} \\ F_{\text{AB}} &= \frac{-15}{0.6} = -25 \, \text{kN} \end{aligned} \]

\(F_{\text{AB}}\) est négative, donc la barre AB est en compression.

De \(\sum F_x = 0\) :

\[ \begin{aligned} F_{\text{AC}} + (-25 \, \text{kN}) \times 0.8 + 0 &= 0 \\ F_{\text{AC}} - 20 \, \text{kN} &= 0 \\ F_{\text{AC}} &= 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

\(F_{\text{AC}}\) est positive, donc la barre AC est en traction.

Efforts au nœud A :
  • Barre AB : \(F_{\text{AB}} = 25 \, \text{kN}\) (Compression)
  • Barre AC : \(F_{\text{AC}} = 20 \, \text{kN}\) (Traction)

Question 3 : Analyse du Nœud C

Principe :

On isole le nœud C. Les forces agissant sont la réaction \(V_C\) (connue), l'effort \(F_{\text{AC}}\) (dont on a déjà une valeur, que l'on peut vérifier) et l'effort inconnu \(F_{\text{BC}}\). On suppose \(F_{\text{BC}}\) en traction. L'angle \(\beta\) de la barre BC avec l'horizontale est le même que \(\alpha\) en raison de la symétrie du treillis et des charges (ou peut être recalculé). \(\sin(\beta) = 0.6\), \(\cos(\beta) = 0.8\). La composante horizontale de \(F_{\text{BC}}\) sera dirigée vers la gauche si \(F_{\text{BC}}\) est une traction (s'éloigne du nœud).

Équations d'équilibre pour le nœud C :
\[\sum F_x = -F_{\text{AC}} - F_{\text{BC}} \cos(\beta) = 0\]
\[\sum F_y = V_C + F_{\text{BC}} \sin(\beta) = 0\]
Calcul des efforts :

Avec \(V_C = 15 \, \text{kN}\) :
De \(\sum F_y = 0\) :

\[ \begin{aligned} 15 \, \text{kN} + F_{\text{BC}} \times 0.6 &= 0 \\ F_{\text{BC}} \times 0.6 &= -15 \, \text{kN} \\ F_{\text{BC}} &= \frac{-15}{0.6} = -25 \, \text{kN} \end{aligned} \]

\(F_{\text{BC}}\) est négative, donc la barre BC est en compression.

De \(\sum F_x = 0\) (pour vérifier \(F_{\text{AC}}\)) :

\[ \begin{aligned} -F_{\text{AC}} - (-25 \, \text{kN}) \times 0.8 &= 0 \\ -F_{\text{AC}} + 20 \, \text{kN} &= 0 \\ F_{\text{AC}} &= 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Cela confirme la valeur et le sens (traction) de \(F_{\text{AC}}\) trouvés au nœud A.

Efforts au nœud C :
  • Barre BC : \(F_{\text{BC}} = 25 \, \text{kN}\) (Compression)
  • Barre AC : \(F_{\text{AC}} = 20 \, \text{kN}\) (Traction) - Confirmé

Question 4 : (Optionnel) Vérification de l'équilibre du nœud B

Principe :

Pour vérifier nos calculs, nous pouvons vérifier l'équilibre du dernier nœud (B). Les forces agissant sur B sont la charge externe \(P_B\) et les efforts des barres AB et BC (\(F_{\text{AB}}\) et \(F_{\text{BC}}\)). Puisque nous avons déterminé que \(F_{\text{AB}}\) et \(F_{\text{BC}}\) sont des compressions, elles sont dirigées vers le nœud B.

Équations d'équilibre pour le nœud B :

Composantes de \(F_{\text{AB}}\) (compression, donc dirigée vers B) : \(F_{\text{ABx}} = F_{\text{AB}}\cos(\alpha)\) (vers la droite), \(F_{\text{ABy}} = F_{\text{AB}}\sin(\alpha)\) (vers le bas).
Composantes de \(F_{\text{BC}}\) (compression, donc dirigée vers B) : \(F_{\text{BCx}} = F_{\text{BC}}\cos(\beta)\) (vers la gauche), \(F_{\text{BCy}} = F_{\text{BC}}\sin(\beta)\) (vers le bas).
Utilisons les valeurs absolues des efforts et le sens :

\[\sum F_x = |F_{\text{AB}}| \cos(\alpha) - |F_{\text{BC}}| \cos(\beta) = 0\]
\[\sum F_y = -P_B + |F_{\text{AB}}| \sin(\alpha) + |F_{\text{BC}}| \sin(\beta) = 0\]
Calcul de vérification :

Avec \(|F_{\text{AB}}| = 25 \, \text{kN}\), \(|F_{\text{BC}}| = 25 \, \text{kN}\), \(\sin(\alpha)=\sin(\beta)=0.6\), \(\cos(\alpha)=\cos(\beta)=0.8\), \(P_B = 30 \, \text{kN}\).

\[ \begin{aligned} \sum F_x &= (25 \times 0.8) - (25 \times 0.8) = 20 - 20 = 0 \, \text{kN} \\ \sum F_y &= -30 + (25 \times 0.6) + (25 \times 0.6) \\ &= -30 + 15 + 15 \\ &= -30 + 30 = 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Les sommes des forces sont nulles, l'équilibre du nœud B est vérifié.

Résultat Question 4 : L'équilibre du nœud B est vérifié, ce qui confirme la validité des efforts calculés dans les barres.

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si l'effort calculé dans une barre est positif en supposant la traction, la barre est en :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La méthode des nœuds utilise principalement quelles équations d'équilibre ?

2. Si l'effort calculé dans une barre est négatif (en ayant supposé une traction au départ), cela signifie que la barre est en :

3. Avant d'appliquer la méthode des nœuds à un treillis, il est généralement nécessaire de :

Glossaire

Treillis (ou Système Triangulé)
Structure composée de barres droites assemblées à leurs extrémités par des articulations (nœuds), formant généralement des triangles. Les barres ne sont soumises qu'à des efforts axiaux (traction ou compression).
Nœud (d'un treillis)
Point d'intersection et d'assemblage de deux ou plusieurs barres d'un treillis. On suppose que les charges externes sont appliquées aux nœuds.
Barre (d'un treillis)
Élément rectiligne d'un treillis, supposé articulé à ses deux extrémités.
Méthode des Nœuds
Technique d'analyse des treillis isostatiques qui consiste à isoler chaque nœud et à appliquer les équations d'équilibre des forces (\(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\)) pour déterminer les efforts dans les barres.
Effort Axial
Force interne agissant le long de l'axe d'une barre. Peut être de traction (la barre est étirée) ou de compression (la barre est comprimée).
Traction
État d'une barre soumise à des forces qui tendent à l'allonger. L'effort de traction est généralement considéré comme positif.
Compression
État d'une barre soumise à des forces qui tendent à la raccourcir. L'effort de compression est généralement considéré comme négatif (si la traction est positive).
Réactions d'Appui
Forces (et/ou moments) exercées par les appuis sur la structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges.
Équilibre Statique
État d'un corps ou d'une structure au repos, où la somme de toutes les forces externes et la somme de tous les moments externes sont nulles.
Méthode des Nœuds pour un Treillis - Exercice d'Application

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