Études de cas pratique

EGC

Treillis triangulaire simple

Calcul des Efforts dans un Treillis Triangulaire Simple en RDM

Calcul des Efforts dans un Treillis Triangulaire Simple en RDM

Comprendre le Calcul des Efforts dans un Treillis Triangulaire Simple en RDM

Les treillis, ou systèmes triangulés, sont des structures couramment utilisées en génie civil (ponts, charpentes, pylônes) en raison de leur légèreté et de leur grande rigidité. Ils sont constitués de barres droites assemblées à leurs extrémités par des articulations (nœuds), et les charges sont supposées être appliquées uniquement aux nœuds. En conséquence, les barres d'un treillis idéal ne sont soumises qu'à des efforts normaux (traction ou compression).

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Vérifier l'isostaticité d'un treillis simple.
  • Calculer les réactions aux appuis en utilisant les équations d'équilibre global.
  • Déterminer les efforts normaux dans chaque barre du treillis en utilisant la méthode des nœuds.
  • Identifier si chaque barre est en traction ou en compression.

Données de l'Exercice

On considère un treillis triangulaire simple ABC, articulé en ses nœuds. Le treillis est en équilibre sous l'effet d'une charge verticale appliquée au nœud C.

Géométrie et Appuis :

  • Le nœud A est un appui simple (rotule), bloquant les déplacements horizontal et vertical.
  • Le nœud B est un appui à rouleau, bloquant le déplacement vertical uniquement.
  • Les coordonnées des nœuds sont : A(0,0), B(4,0), C(2,3) (unités en mètres).

Chargement :

  • Une charge verticale \(P = 10 \, \text{kN}\) est appliquée vers le bas au nœud C.
Schéma du Treillis Triangulaire Simple
A B C P=10kN Treillis Simple

Questions à Traiter

  1. Vérifier l'isostaticité du treillis.
  2. Calculer les réactions aux appuis A (\(R_{Ax}, R_{Ay}\)) et B (\(R_{By}\)).
  3. En utilisant la méthode des nœuds, déterminer l'effort normal dans la barre AC (\(N_{AC}\)) et préciser s'il s'agit de traction ou de compression.
  4. Déterminer l'effort normal dans la barre AB (\(N_{AB}\)) et préciser s'il s'agit de traction ou de compression.
  5. Déterminer l'effort normal dans la barre BC (\(N_{BC}\)) et préciser s'il s'agit de traction ou de compression.

Correction : Calcul des Efforts dans un Treillis Triangulaire Simple en RDM

Question 1 : Vérification de l'isostaticité du treillis

Principe :

Pour un treillis plan, le degré d'hyperstaticité \(h\) est donné par la formule \(h = b + r - 2j\), où \(b\) est le nombre de barres, \(r\) le nombre de réactions d'appui inconnues, et \(j\) le nombre de nœuds.

  • Si \(h = 0\), le treillis est isostatique.
  • Si \(h > 0\), le treillis est hyperstatique.
  • Si \(h < 0\), le treillis est hypostatique (mécanisme).
Formule(s) utilisée(s) :
\[ h = b + r - 2j \]
Données de la Structure :
  • Nombre de barres (\(b\)) : 3 (AB, AC, BC)
  • Nombre de nœuds (\(j\)) : 3 (A, B, C)
  • Appui A (rotule) : 2 réactions (\(R_{Ax}, R_{Ay}\))
  • Appui B (rouleau) : 1 réaction (\(R_{By}\))
  • Nombre total de réactions (\(r\)) : \(2 + 1 = 3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &= 3 + 3 - (2 \times 3) \\ &= 6 - 6 \\ &= 0 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le treillis est isostatique (\(h = 0\)).

Question 2 : Calcul des réactions aux appuis

Principe :

On utilise les équations d'équilibre de la statique appliquées à l'ensemble du treillis : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), \(\sum M_A = 0\) (somme des moments par rapport à A).

Coordonnées : A(0,0), B(4,0), C(2,3). Charge P = 10 kN en C, vers le bas.

Calcul :

1. Équilibre des forces horizontales :

\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} = 0 \, \text{kN} \]

2. Équilibre des moments par rapport à A :

\[ \sum M_A = 0 \Rightarrow (R_{By} \times 4 \, \text{m}) - (P \times 2 \, \text{m}) = 0 \] \[ 4 R_{By} - (10 \, \text{kN} \times 2 \, \text{m}) = 0 \] \[ 4 R_{By} = 20 \, \text{kN.m} \Rightarrow R_{By} = \frac{20}{4} = 5 \, \text{kN} \]

3. Équilibre des forces verticales :

\[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - P = 0 \] \[ R_{Ay} + 5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} = 0 \Rightarrow R_{Ay} = 5 \, \text{kN} \]
Résultat Question 2 :
  • \(R_{Ax} = 0 \, \text{kN}\)
  • \(R_{Ay} = 5 \, \text{kN}\) (vers le haut)
  • \(R_{By} = 5 \, \text{kN}\) (vers le haut)

Quiz Intermédiaire (Q2) : Si la charge P était appliquée au milieu de la barre AB au lieu du nœud C, la méthode des nœuds serait-elle directement applicable sans modification ?

Question 3 : Effort normal dans la barre AC (\(N_{AC}\))

Principe :

On utilise la méthode des nœuds. On isole un nœud où au plus deux efforts inconnus de barre arrivent. Commençons par le nœud C.

Angles : Soit \(\alpha\) l'angle que fait AC avec l'horizontale. La hauteur de C est 3m, la projection horizontale de AC est 2m. \(\tan(\alpha) = 3/2\). \(\sin(\alpha) = 3/\sqrt{2^2+3^2} = 3/\sqrt{13}\). \(\cos(\alpha) = 2/\sqrt{13}\).

Équilibre du nœud C (soumis à \(P\), \(N_{AC}\), \(N_{BC}\)). On suppose les efforts sortants (traction).

Calcul au Nœud C :

Angle de BC avec l'horizontale (symétriquement) : \(\beta = \alpha\). \(\sin(\beta) = 3/\sqrt{13}\), \(\cos(\beta) = 2/\sqrt{13}\).

\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow -N_{AC} \cos(\alpha) + N_{BC} \cos(\beta) = 0 \] \[ \Rightarrow -N_{AC} \frac{2}{\sqrt{13}} + N_{BC} \frac{2}{\sqrt{13}} = 0 \Rightarrow N_{AC} = N_{BC} \] \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow N_{AC} \sin(\alpha) + N_{BC} \sin(\beta) - P = 0 \] \[ N_{AC} \frac{3}{\sqrt{13}} + N_{BC} \frac{3}{\sqrt{13}} - 10 = 0 \]

Puisque \(N_{AC} = N_{BC}\) :

\[ 2 \cdot N_{AC} \frac{3}{\sqrt{13}} = 10 \] \[ N_{AC} = \frac{10 \sqrt{13}}{6} = \frac{5 \sqrt{13}}{3} \approx \frac{5 \times 3.605}{3} \approx 6.009 \, \text{kN} \]

Puisque \(N_{AC}\) est positif, la barre AC est en traction.

Résultat Question 3 : L'effort normal dans la barre AC est \(N_{AC} \approx +6.01 \, \text{kN}\) (Traction).

Question 4 : Effort normal dans la barre AB (\(N_{AB}\))

Principe :

On isole le nœud A. Il est soumis à \(R_{Ax}\), \(R_{Ay}\), \(N_{AB}\) (horizontal), et la composante horizontale de \(N_{AC}\).

Calcul au Nœud A :
\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} + N_{AB} + N_{AC} \cos(\alpha) = 0 \] \[ 0 + N_{AB} + (6.009) \times \frac{2}{\sqrt{13}} = 0 \] \[ N_{AB} + 6.009 \times \frac{2}{3.605} = 0 \] \[ N_{AB} + 3.333 = 0 \Rightarrow N_{AB} \approx -3.33 \, \text{kN} \]

Puisque \(N_{AB}\) est négatif, la barre AB est en compression.

Résultat Question 4 : L'effort normal dans la barre AB est \(N_{AB} \approx -3.33 \, \text{kN}\) (Compression).

Question 5 : Effort normal dans la barre BC (\(N_{BC}\))

Principe :

D'après l'équilibre du nœud C (Question 3), nous avions trouvé \(N_{AC} = N_{BC}\).

Calcul :
\[ N_{BC} = N_{AC} \approx +6.01 \, \text{kN} \]

Puisque \(N_{BC}\) est positif, la barre BC est en traction.

Vérification au nœud B :
\(\sum F_x = 0 \Rightarrow -N_{AB} - N_{BC} \cos(\beta) = 0 \Rightarrow -(-3.33) - (6.01 \times 2/\sqrt{13}) = 3.33 - 3.33 \approx 0\). (OK aux arrondis près)
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_{By} - N_{BC} \sin(\beta) = 0 \Rightarrow 5 - (6.01 \times 3/\sqrt{13}) = 5 - 5 \approx 0\). (OK aux arrondis près)

Résultat Question 5 : L'effort normal dans la barre BC est \(N_{BC} \approx +6.01 \, \text{kN}\) (Traction).

Quiz Intermédiaire (Q5) : Si une barre est en traction, cela signifie qu'elle :

Quiz Récapitulatif

1. Un treillis est isostatique si la relation \(b + r - 2j\) est égale à :

2. Dans la méthode des nœuds pour un treillis plan, combien d'équations d'équilibre peut-on écrire pour chaque nœud ?

3. Si l'effort normal calculé dans une barre est négatif (en supposant initialement une traction), cela signifie que la barre est en :

Glossaire

Treillis (ou Système Triangulé)
Structure composée de barres droites assemblées à leurs extrémités par des articulations (nœuds), conçue pour que les barres ne travaillent qu'en traction ou en compression.
Nœud
Point de connexion entre les barres d'un treillis, supposé être une articulation parfaite (rotule) dans les calculs idéaux.
Barre (ou Membre)
Élément rectiligne d'un treillis, soumis à un effort normal (axial).
Effort Normal (N)
Force interne agissant le long de l'axe d'une barre. Positif pour la traction, négatif pour la compression.
Traction
État d'une barre soumise à des forces qui tendent à l'allonger.
Compression
État d'une barre soumise à des forces qui tendent à la raccourcir.
Isostatique
Se dit d'une structure dont toutes les réactions d'appui et tous les efforts internes peuvent être déterminés par les seules équations de la statique.
Méthode des Nœuds
Méthode d'analyse des treillis qui consiste à isoler chaque nœud et à appliquer les équations d'équilibre des forces (\(\sum F_x = 0, \sum F_y = 0\)) pour déterminer les efforts dans les barres.
Appui Simple (Rotule)
Appui qui empêche les translations dans deux directions orthogonales mais permet la rotation. Il engendre deux composantes de réaction.
Appui à Rouleau (Appui Glissant)
Appui qui empêche la translation dans une direction (perpendiculaire à la surface d'appui) mais permet la translation dans l'autre direction et la rotation. Il engendre une seule composante de réaction.
Exercice : Calcul des Efforts dans un Treillis Triangulaire Simple en RDM - Application Pratique

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