Calcul de Treillis par la Méthode de Ritter

Comprendre le Calcul de Treillis par la Méthode de Ritter

Vous êtes ingénieur structure et devez vérifier les efforts dans certaines barres d'une structure en treillis simple, soumise à des charges externes. La méthode des sections (ou méthode de Ritter) est particulièrement adaptée pour trouver l'effort dans une barre spécifique sans avoir à calculer les efforts dans toutes les autres barres (contrairement à la méthode des nœuds).

Données

Considérons le treillis isostatique représenté ci-dessous. Il est supporté par un appui simple en A et un appui double (rotule) en E. Une charge verticale de 10 kN est appliquée au nœud C.

Dimensions :
- AE = 8 m (divisé en 4 travées de 2 m)
- Hauteur BD = 2 m
Charge : \(F = 10 \, \text{kN}\) appliquée en C (verticalement vers le bas)
Appuis : Appui simple (rouleau) en A, Appui double (fixe) en E

Schéma du Treillis

Questions

Calculer les réactions d'appui en A et E.
Par la méthode des sections (Ritter), déterminer les efforts normaux dans les barres FG, BG et BC. Préciser s'il s'agit de traction ou de compression.

Correction : Calcul de Treillis par la Méthode de Ritter

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui

Principe :

Le treillis est en équilibre statique sous l'effet des charges externes et des réactions d'appui. On utilise les équations de la statique appliquées à l'ensemble du treillis pour trouver les réactions inconnues (Ay, Ex, Ey).

Équations d'équilibre :

1. Somme des forces horizontales = 0 (\(\sum F_x = 0\))

2. Somme des forces verticales = 0 (\(\sum F_y = 0\))

3. Somme des moments par rapport à un point = 0 (\(\sum M_{/point} = 0\))

Calculs :

Appliquons les équations :

\sum F_x = 0 \Rightarrow Ex = 0

Appliquons la somme des moments par rapport au point E pour trouver Ay :

\sum M_{/E} = 0 \Rightarrow (A_y \times 8 \, \text{m}) - (F \times 4 \, \text{m}) = 0

\(F = 10 \, \text{kN}\)
Distance AE = 8 m
Distance CE = 2 travées * 2 m/travée = 4 m

(A_y \times 8) - (10 \times 4) = 0 \] \[ 8 A_y = 40 \] \[ A_y = \frac{40}{8} = 5 \, \text{kN}

Appliquons la somme des forces verticales pour trouver Ey :

\sum F_y = 0 \Rightarrow A_y + E_y - F = 0

\(A_y = 5 \, \text{kN}\)
\(F = 10 \, \text{kN}\)

5 + E_y - 10 = 0 \] \[ E_y = 10 - 5 = 5 \, \text{kN}

Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont :

\(A_y = 5 \, \text{kN}\) (vers le haut)
\(E_x = 0 \, \text{kN}\)
\(E_y = 5 \, \text{kN}\) (vers le haut)

Question 2 : Efforts dans les barres FG, BG et BC (Méthode de Ritter)

Principe de la Méthode des Sections (Ritter) :

1. On imagine une coupe (section) qui traverse le treillis en coupant les barres dont on cherche les efforts (ici, FG, BG et BC). La coupe ne doit pas passer par plus de 3 barres dont les efforts sont inconnus (sauf cas particuliers).

2. On isole l'une des deux parties du treillis créées par la coupe.

3. On applique les équations de l'équilibre statique (\(\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M_{/point} = 0\)) à cette partie isolée. Les efforts dans les barres coupées sont traités comme des forces externes inconnues (on les suppose généralement en traction, sortant du nœud).

4. La méthode de Ritter consiste à choisir judicieusement le point pour calculer la somme des moments, idéalement un point où les lignes d'action de deux des trois forces inconnues se croisent, ce qui permet de trouver directement la troisième force.

Coupe et Section Isolée :

Effectuons une coupe verticale passant par les barres FG, BG et BC. Isolons la partie gauche du treillis (nœuds A, B, F).

Schéma : Coupe et Section Isolée (Gauche)

Calcul de l'effort dans la barre BC (\(N_{BC}\)) :

On choisit le point d'intersection des lignes d'action de \(N_{FG}\) et \(N_{BG}\). Ce point est G (voir schéma complet). Cependant, G n'est pas sur la partie isolée. On peut choisir un point sur la partie isolée où deux forces inconnues se croisent ou ont un moment nul. Prenons le point F. Les forces \(N_{FG}\) et \(N_{BF}\) (effort interne non coupé) passent par F. Il reste \(A_y\), \(N_{BC}\) et \(N_{BG}\). Ce n'est pas idéal.
Utilisons la méthode de Ritter : choisissons le point G (4m, 2m) comme pivot, même s'il n'est pas sur la partie isolée. Les forces \(N_{FG}\) et \(N_{BG}\) passent par G, leur moment est nul.
Bras de levier de \(A_y\) (en x=0) par rapport à G (en x=4) : 4 m.
Bras de levier de \(N_{BC}\) (force horizontale agissant en B, y=0) par rapport à G (y=-2) : 2 m.

Convention : moment positif = sens anti-horaire.

\sum M_{/G} = 0 \Rightarrow -(A_y \times 4 \, \text{m}) - (N_{BC} \times 2 \, \text{m}) = 0

\(A_y = 5 \, \text{kN}\)

-(5 \times 4) - (N_{BC} \times 2) = 0 \] \[ -20 - 2 N_{BC} = 0 \] \[ N_{BC} = - \frac{20}{2} = -10 \, \text{kN}

Le signe négatif indique que la barre est en compression (contrairement à notre hypothèse initiale de traction).

Calcul de l'effort dans la barre FG (\(N_{FG}\)) :

On choisit le point d'intersection de \(N_{BC}\) et \(N_{BG}\), qui est le nœud B (2m, 0m).

Bras de levier de \(A_y\) (en x=0) par rapport à B (en x=2) : 2 m.

Bras de levier de \(N_{FG}\) (force horizontale agissant en F, y=-2) par rapport à B (y=0) : 2 m.

\sum M_{/B} = 0 \Rightarrow -(A_y \times 2 \, \text{m}) + (N_{FG} \times 2 \, \text{m}) = 0

\(A_y = 5 \, \text{kN}\)

-(5 \times 2) + (N_{FG} \times 2) = 0 \] \[ -10 + 2 N_{FG} = 0 \] \[ N_{FG} = \frac{10}{2} = +5 \, \text{kN}

Le signe positif indique que la barre FG est en traction (comme supposé initialement).

Calcul de l'effort dans la barre BG (\(N_{BG}\)) :

On choisit le point d'intersection de \(N_{BC}\) et \(N_{FG}\). Ces lignes sont parallèles, leur intersection est à l'infini. On utilise donc la somme des forces verticales.

Angle \(\theta\) de la barre BG avec l'horizontale : \(\tan \theta = 2/2 = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ\). La composante verticale de \(N_{BG}\) (supposée sortante, donc vers le bas à droite) est \(N_{BG} \sin(45^\circ)\) dirigée vers le bas.

\sum F_y = 0 \Rightarrow A_y - N_{BG} \sin(45^\circ) = 0

\(A_y = 5 \, \text{kN}\)
\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)

5 - N_{BG} \times 0.707 = 0 \] \[ N_{BG} = \frac{5}{0.707} \approx +7.07 \, \text{kN}

Le signe positif indique que la barre BG est en traction (comme supposé initialement).

Résultat Question 2 : Les efforts normaux dans les barres spécifiées sont :

\(N_{BC} = -10 \, \text{kN}\) (Compression)
\(N_{FG} = +5 \, \text{kN}\) (Traction)
\(N_{BG} \approx +7.07 \, \text{kN}\) (Traction)

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