Calcul de Stabilité d'un Talus

Comprendre le Calcul de Stabilité d'un Talus

Un talus en déblai doit être réalisé pour un projet routier. Le sol est considéré homogène sur la hauteur du talus. Il est nécessaire de vérifier la stabilité de ce talus vis-à-vis d'un risque de glissement circulaire, en utilisant la méthode des tranches de Fellenius (ou méthode Suédoise).

Données

Géométrie du talus :
- Hauteur du talus (\(H\)) : 6 \(\text{m}\)
- Angle du talus (\(\beta\)) : 30 degrés
Caractéristiques du sol (homogène) :
- Poids volumique total (\(\gamma\)) : 19 \(\text{kN/m}^3\)
- Cohésion effective (\(c'\)) : 10 \(\text{kPa}\)
- Angle de frottement interne effectif (\(\phi'\)) : 25 degrés
Cercle de glissement potentiel étudié :
- Centre du cercle : O
- Rayon du cercle (\(R\)) : 10 \(\text{m}\)
- Le cercle passe par le pied du talus.
- Le massif de sol glissant a été découpé en 4 tranches verticales de largeur égale (\(b\)). (Voir schéma)
Données déduites ou mesurées sur le schéma pour chaque tranche \(i\) (approximatif) :
- Largeur des tranches (\(b\)) : 2.0 \(\text{m}\)
- Poids de chaque tranche (\(W_i\)) : \(W_1=30\,\text{kN}\), \(W_2=90\,\text{kN}\), \(W_3=100\,\text{kN}\), \(W_4=50\,\text{kN}\)
- Angle à la base de chaque tranche (\(\alpha_i\)) : \(\alpha_1=-10^\circ\), \(\alpha_2=10^\circ\), \(\alpha_3=30^\circ\), \(\alpha_4=50^\circ\)

Schéma du Talus et Cercle de Glissement

Questions

Calculer le moment moteur (dû au poids des tranches) par rapport au centre du cercle O.
Calculer le moment résistant (dû à la cohésion et au frottement le long de l'arc de glissement) par rapport au centre du cercle O.
Calculer le facteur de sécurité (\(FS\)) au glissement pour ce cercle potentiel.
Conclure sur la stabilité du talus pour ce cercle de glissement.

Correction : Calcul de Stabilité d'un Talus

Question 1 : Calcul du Moment Moteur (\(M_{moteur}\))

Principe :

Le moment moteur est la somme des moments créés par le poids de chaque tranche (\(W_i\)) qui tendent à faire tourner le massif de sol autour du centre du cercle O. La composante du poids qui provoque la rotation est \(W_i \sin(\alpha_i)\), où \(\alpha_i\) est l'angle de la base de la tranche avec l'horizontale (positif si la base penche dans le sens du glissement).

M_{moteur} = R \sum_{i} (W_i \sin \alpha_i)

Où \(R\) est le rayon du cercle de glissement.

Données (par tranche) :

Rayon \(R = 10 \, \text{m}\)
Tranche 1: \(W_1=30\,\text{kN}\), \(\alpha_1=-10^\circ\) \(\Rightarrow \sin(\alpha_1) \approx -0.174\)
Tranche 2: \(W_2=90\,\text{kN}\), \(\alpha_2=10^\circ\) \(\Rightarrow \sin(\alpha_2) \approx 0.174\)
Tranche 3: \(W_3=100\,\text{kN}\), \(\alpha_3=30^\circ\) \(\Rightarrow \sin(\alpha_3) = 0.5\)
Tranche 4: \(W_4=50\,\text{kN}\), \(\alpha_4=50^\circ\) \(\Rightarrow \sin(\alpha_4) \approx 0.766\)

Calcul de la Somme des Forces Motrices :

\sum (W_i \sin \alpha_i) = (30 \times -0.174) + (90 \times 0.174) + (100 \times 0.5) + (50 \times 0.766) \] \[ \sum (W_i \sin \alpha_i) = -5.22 + 15.66 + 50 + 38.3 \] \[ \sum (W_i \sin \alpha_i) \approx 98.74 \, \text{kN}

Calcul du Moment Moteur :

M_{moteur} = R \times \sum (W_i \sin \alpha_i) = 10 \, \text{m} \times 98.74 \, \text{kN} \] \[ M_{moteur} \approx 987.4 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Résultat Question 1 : Le moment moteur total tendant à provoquer le glissement est \(M_{moteur} \approx 987 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 2 : Calcul du Moment Résistant (\(M_{res}\))

Principe (Méthode de Fellenius) :

Le moment résistant est la somme des moments créés par les forces qui s'opposent au glissement le long de l'arc circulaire. Ces forces sont la cohésion (\(c'\)) agissant sur la longueur de l'arc (\(L_{arc}\)) et la composante normale du poids de chaque tranche (\(W_i \cos \alpha_i\)) multipliée par le coefficient de frottement (\(\tan \phi'\)).

M_{res} = R \left[ \sum_{i} (W_i \cos \alpha_i \tan \phi') + c' L_{arc} \right]

Dans la méthode simplifiée de Fellenius, on approxime la longueur de l'arc \(L_{arc}\) par la somme des longueurs des bases des tranches (\(l_i = b / \cos \alpha_i\)) et on simplifie la somme :

M_{res} \approx R \sum_{i} (c' l_i + W_i \cos \alpha_i \tan \phi')

Encore plus simplifié (méthode suédoise très simplifiée) :

M_{res} = R \left[ \tan \phi' \sum_{i} (W_i \cos \alpha_i) + c' L_{arc} \right]

Nous allons utiliser cette dernière forme. Il faut calculer \(\sum (W_i \cos \alpha_i)\) et estimer \(L_{arc}\).

Calcul de \(\sum (W_i \cos \alpha_i)\) :

Tranche 1: \(\alpha_1=-10^\circ \Rightarrow \cos(\alpha_1) \approx 0.985\)
Tranche 2: \(\alpha_2=10^\circ\) \(\Rightarrow \cos(\alpha_2)\)\(\approx 0.985\)
Tranche 3: \(\alpha_3=30^\circ \Rightarrow \cos(\alpha_3) \approx 0.866\)
Tranche 4: \(\alpha_4=50^\circ \Rightarrow \cos(\alpha_4) \approx 0.643\)

\sum (W_i \cos \alpha_i) = (30 \times 0.985) + (90 \times 0.985) + (100 \times 0.866) + (50 \times 0.643) \] \[ \sum (W_i \cos \alpha_i) = 29.55 + 88.65 + 86.6 + 32.15 \] \[ \sum (W_i \cos \alpha_i) \approx 236.95 \, \text{kN}

Estimation de la Longueur de l'Arc (\(L_{arc}\)) :

L'arc va du point A (pied du talus) à un point sur la crête. L'angle total au centre (\(\theta_{total}\)) peut être estimé à partir des angles \(\alpha_i\). L'angle total couvert par les bases des tranches va de \(\alpha_1 = -10^\circ\) à \(\alpha_4 = 50^\circ\), plus les angles des petites portions avant la tranche 1 et après la tranche 4. Estimons l'angle total à environ \(50 - (-10) + \approx 15 = 75^\circ\). (Une mesure géométrique serait plus précise).

Conversion en radians : \(75^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 1.309 \, \text{rad}\)

L_{arc} = R \times \theta_{total, rad} \] \[ L_{arc} \approx 10 \, \text{m} \times 1.309 \, \text{rad} \] \[ L_{arc} \approx 13.09 \, \text{m}

Calcul du Moment Résistant :

\(R = 10 \, \text{m}\)
\(\phi' = 25^\circ \Rightarrow \tan \phi' \approx 0.466\)
\(\sum (W_i \cos \alpha_i) \approx 236.95 \, \text{kN}\)
\(c' = 10 \, \text{kPa} = 10 \, \text{kN/m}^2\)
\(L_{arc} \approx 13.09 \, \text{m}\)

M_{res} = 10 \times [ (0.466 \times 236.95) + (10 \times 13.09) ] \] \[ M_{res} = 10 \times [ 110.4 + 130.9 ] \] \[ M_{res} = 10 \times 241.3 \] \[ M_{res} = 2413 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Résultat Question 2 : Le moment résistant total s'opposant au glissement est \(M_{res} \approx 2413 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 3 : Calcul du Facteur de Sécurité (\(FS\))

Formule :

Le facteur de sécurité au glissement est le rapport entre le moment total qui résiste au mouvement et le moment total qui tend à provoquer le mouvement.

FS = \frac{M_{res}}{M_{moteur}}

Données :

\(M_{res} \approx 2413 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
\(M_{moteur} \approx 987 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Calcul du Facteur de Sécurité :

FS = \frac{2413}{987} \approx 2.44

Résultat Question 3 : Le facteur de sécurité pour le cercle de glissement étudié est \(FS \approx 2.44\).

Question 4 : Conclusion sur la Stabilité

Critère de Stabilité :

En géotechnique, un facteur de sécurité est généralement requis pour assurer une marge de sécurité adéquate. Pour la stabilité des talus, un \(FS\) minimum de 1.3 à 1.5 est souvent exigé pour des conditions statiques à long terme, selon les normes et les conséquences d'une rupture.

Comparaison :

\(FS_{calculé} \approx 2.44\)
\(FS_{requis} \ge 1.3 \text{ à } 1.5\) (Typique)

FS_{calculé} \approx 2.44 > FS_{requis}

Résultat Question 4 : Le facteur de sécurité calculé (2.44) est supérieur aux valeurs minimales habituellement requises (1.3-1.5). Pour ce cercle de glissement spécifique et avec les hypothèses faites, le talus est considéré comme stable.

Note importante : L'analyse complète de la stabilité d'un talus nécessite d'étudier de nombreux cercles de glissement potentiels pour trouver le plus critique (celui avec le FS le plus faible). Cet exercice ne vérifie qu'un seul cercle.

Calcul de Stabilité d’un Talus