Études de cas pratique

EGC

Masse Volumique et Saturation des Sols

Masse Volumique et Saturation des Sols (Géotechnique)

Comprendre la Masse Volumique et la Saturation des Sols

En géotechnique, un sol est un matériau triphasique composé de grains solides, d'eau et d'air. Les proportions relatives de ces trois phases déterminent de nombreuses propriétés physiques et mécaniques du sol, telles que sa masse volumique, sa teneur en eau, son indice des vides et son degré de saturation. La masse volumique (\(\rho\)) est la masse par unité de volume. On distingue la masse volumique humide (\(\rho_h\), incluant l'eau), la masse volumique sèche (\(\rho_d\), masse des solides par volume total), la masse volumique saturée (\(\rho_{\text{sat}}\), lorsque tous les vides sont remplis d'eau), et la masse volumique déjaugée (\(\rho'\), masse effective du sol immergé). La teneur en eau (\(w\)) est le rapport de la masse d'eau à la masse des solides. L'indice des vides (\(e\)) est le rapport du volume des vides au volume des solides. Le degré de saturation (\(S_r\)) est le rapport du volume d'eau au volume des vides, indiquant à quel point les pores du sol sont remplis d'eau (0% pour un sol sec, 100% pour un sol saturé). Ces paramètres sont fondamentaux pour l'analyse du comportement des sols (tassement, portance, perméabilité) et pour le dimensionnement des ouvrages géotechniques.

Données de l'étude

Un échantillon de sol a été prélevé sur un site.

Mesures effectuées en laboratoire :

  • Masse totale de l'échantillon humide (\(M_t\)) : \(385.0 \, \text{g}\)
  • Volume total de l'échantillon (\(V_t\)) : \(200.0 \, \text{cm}^3\)
  • Masse de l'échantillon après séchage à l'étuve (masse des solides, \(M_s\)) : \(325.0 \, \text{g}\)
  • Masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)) : \(2.70 \, \text{g/cm}^3\)

Donnée de référence :

  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) : \(1.00 \, \text{g/cm}^3\)
Schéma des Phases d'un Échantillon de Sol
Phases du Sol Air (Va) Eau (Vw) Solides (Vs) Vt Vv Vt = Vs + Vw + Va = Vs + Vv

Représentation schématique des trois phases d'un échantillon de sol : solides, eau et air.

Questions à traiter

  1. Calculer la masse d'eau (\(M_w\)) dans l'échantillon.
  2. Calculer la teneur en eau (\(w\)) de l'échantillon (en pourcentage).
  3. Calculer la masse volumique humide (\(\rho_h\)) de l'échantillon.
  4. Calculer la masse volumique sèche (\(\rho_d\)) de l'échantillon.
  5. Calculer le volume des grains solides (\(V_s\)).
  6. Calculer le volume des vides (\(V_v\)) dans l'échantillon.
  7. Calculer l'indice des vides (\(e\)) de l'échantillon.
  8. Calculer le volume d'eau (\(V_w\)) dans l'échantillon.
  9. Calculer le degré de saturation (\(S_r\)) de l'échantillon (en pourcentage).
  10. Calculer la masse volumique saturée (\(\rho_{\text{sat}}\)) si tous les vides étaient remplis d'eau.
  11. Calculer la masse volumique déjaugée (\(\rho'\)) du sol.

Correction : Masse Volumique et Saturation des Sols

Question 1 : Masse d'eau (\(M_w\))

Principe :

La masse totale de l'échantillon humide (\(M_t\)) est la somme de la masse des particules solides (\(M_s\)) et de la masse de l'eau (\(M_w\)) contenue dans les vides (la masse de l'air est négligeable). Donc, \(M_w = M_t - M_s\).

Formule(s) :
\[M_w = M_t - M_s\]
Données :
  • \(M_t = 385.0 \, \text{g}\)
  • \(M_s = 325.0 \, \text{g}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_w &= 385.0 \, \text{g} - 325.0 \, \text{g} \\ &= 60.0 \, \text{g} \end{aligned} \]
Masse d'eau : \(M_w = 60.0 \, \text{g}\).

Question 2 : Teneur en eau (\(w\))

Principe :

La teneur en eau est le rapport de la masse d'eau (\(M_w\)) à la masse des solides (\(M_s\)), exprimé en pourcentage.

Formule(s) :
\[w = \frac{M_w}{M_s} \times 100\%\]
Données :
  • \(M_w = 60.0 \, \text{g}\) (de Q1)
  • \(M_s = 325.0 \, \text{g}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w &= \frac{60.0 \, \text{g}}{325.0 \, \text{g}} \times 100\% \\ &\approx 0.1846 \times 100\% \\ &\approx 18.46\% \end{aligned} \]
Teneur en eau : \(w \approx 18.46\%\).

Question 3 : Masse volumique humide (\(\rho_h\))

Principe :

La masse volumique humide est la masse totale de l'échantillon (\(M_t\)) divisée par son volume total (\(V_t\)).

Formule(s) :
\[\rho_h = \frac{M_t}{V_t}\]
Données :
  • \(M_t = 385.0 \, \text{g}\)
  • \(V_t = 200.0 \, \text{cm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{385.0 \, \text{g}}{200.0 \, \text{cm}^3} \\ &= 1.925 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Masse volumique humide : \(\rho_h = 1.925 \, \text{g/cm}^3\).

Question 4 : Masse volumique sèche (\(\rho_d\))

Principe :

La masse volumique sèche est la masse des solides (\(M_s\)) divisée par le volume total de l'échantillon (\(V_t\)). Alternativement, \(\rho_d = \rho_h / (1 + w)\) où \(w\) est la teneur en eau en décimal.

Formule(s) :
\[\rho_d = \frac{M_s}{V_t} \quad \text{ou} \quad \rho_d = \frac{\rho_h}{1 + w_{\text{decimal}}}\]
Données :
  • \(M_s = 325.0 \, \text{g}\)
  • \(V_t = 200.0 \, \text{cm}^3\)
  • \(\rho_h = 1.925 \, \text{g/cm}^3\) (de Q3)
  • \(w \approx 0.1846\) (de Q2, en décimal)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{325.0 \, \text{g}}{200.0 \, \text{cm}^3} \\ &= 1.625 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2, vérification) :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{1.925 \, \text{g/cm}^3}{1 + 0.1846} = \frac{1.925}{1.1846} \\ &\approx 1.625 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Masse volumique sèche : \(\rho_d = 1.625 \, \text{g/cm}^3\).

Question 5 : Volume des grains solides (\(V_s\))

Principe :

La masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)) est la masse des solides (\(M_s\)) divisée par le volume des solides (\(V_s\)). Donc, \(V_s = M_s / \rho_s\).

Formule(s) :
\[V_s = \frac{M_s}{\rho_s}\]
Données :
  • \(M_s = 325.0 \, \text{g}\)
  • \(\rho_s = 2.70 \, \text{g/cm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{325.0 \, \text{g}}{2.70 \, \text{g/cm}^3} \\ &\approx 120.37 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Volume des grains solides : \(V_s \approx 120.37 \, \text{cm}^3\).

Question 6 : Volume des vides (\(V_v\))

Principe :

Le volume total de l'échantillon (\(V_t\)) est la somme du volume des solides (\(V_s\)) et du volume des vides (\(V_v\)). Donc, \(V_v = V_t - V_s\).

Formule(s) :
\[V_v = V_t - V_s\]
Données :
  • \(V_t = 200.0 \, \text{cm}^3\)
  • \(V_s \approx 120.37 \, \text{cm}^3\) (de Q5)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_v &= 200.0 \, \text{cm}^3 - 120.37 \, \text{cm}^3 \\ &= 79.63 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Volume des vides : \(V_v \approx 79.63 \, \text{cm}^3\).

Question 7 : Indice des vides (\(e\))

Principe :

L'indice des vides est le rapport du volume des vides (\(V_v\)) au volume des solides (\(V_s\)).

Formule(s) :
\[e = \frac{V_v}{V_s}\]
Données :
  • \(V_v \approx 79.63 \, \text{cm}^3\) (de Q6)
  • \(V_s \approx 120.37 \, \text{cm}^3\) (de Q5)
Calcul :
\[ \begin{aligned} e &= \frac{79.63 \, \text{cm}^3}{120.37 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 0.6615 \end{aligned} \]

Note: Cette valeur est proche de celle donnée dans l'énoncé (0.65), les petites différences sont dues aux arrondis.

Indice des vides : \(e \approx 0.66\).

Question 8 : Volume d'eau (\(V_w\))

Principe :

Le volume d'eau est la masse d'eau (\(M_w\)) divisée par la masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)).

Formule(s) :
\[V_w = \frac{M_w}{\rho_w}\]
Données :
  • \(M_w = 60.0 \, \text{g}\) (de Q1)
  • \(\rho_w = 1.00 \, \text{g/cm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_w &= \frac{60.0 \, \text{g}}{1.00 \, \text{g/cm}^3} \\ &= 60.0 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Volume d'eau : \(V_w = 60.0 \, \text{cm}^3\).

Question 9 : Degré de saturation (\(S_r\))

Principe :

Le degré de saturation est le rapport du volume d'eau (\(V_w\)) au volume des vides (\(V_v\)), exprimé en pourcentage.

Formule(s) :
\[S_r = \frac{V_w}{V_v} \times 100\%\]
Données :
  • \(V_w = 60.0 \, \text{cm}^3\) (de Q8)
  • \(V_v \approx 79.63 \, \text{cm}^3\) (de Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_r &= \frac{60.0 \, \text{cm}^3}{79.63 \, \text{cm}^3} \times 100\% \\ &\approx 0.7535 \times 100\% \\ &\approx 75.35\% \end{aligned} \]
Degré de saturation : \(S_r \approx 75.35\%\).

Question 10 : Masse volumique saturée (\(\rho_{\text{sat}}\))

Principe :

La masse volumique saturée est la masse volumique du sol lorsque tous les vides sont remplis d'eau (\(S_r = 100\%\)). \(M_{\text{eau_sat}} = V_v \times \rho_w\). \(M_{\text{total_sat}} = M_s + M_{\text{eau_sat}}\). \(\rho_{\text{sat}} = M_{\text{total_sat}} / V_t\). Ou plus directement : \(\rho_{\text{sat}} = \frac{M_s + V_v \rho_w}{V_t}\) ou \(\rho_{\text{sat}} = \frac{\rho_s + e \rho_w}{1+e}\).

Formule(s) :
\[\rho_{\text{sat}} = \frac{\rho_s + e \rho_w}{1+e}\]
Données :
  • \(\rho_s = 2.70 \, \text{g/cm}^3\)
  • \(e \approx 0.6615\) (de Q7, ou 0.65 de l'énoncé)
  • \(\rho_w = 1.00 \, \text{g/cm}^3\)
Calcul (avec \(e=0.65\)) :
\[ \begin{aligned} \rho_{\text{sat}} &= \frac{2.70 + (0.65 \times 1.00)}{1 + 0.65} \\ &= \frac{2.70 + 0.65}{1.65} = \frac{3.35}{1.65} \\ &\approx 2.030 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Masse volumique saturée : \(\rho_{\text{sat}} \approx 2.030 \, \text{g/cm}^3\).

Question 11 : Masse volumique déjaugée (\(\rho'\))

Principe :

La masse volumique déjaugée est la masse volumique saturée moins la masse volumique de l'eau. \(\rho' = \rho_{\text{sat}} - \rho_w\). Ou \(\rho' = \frac{\rho_s - \rho_w}{1+e}\) (déjà calculée en Q1 de l'exercice précédent sur le gradient critique, mais recalculons ici pour la cohérence).

Formule(s) :
\[\rho' = \rho_{\text{sat}} - \rho_w\]
Données :
  • \(\rho_{\text{sat}} \approx 2.030 \, \text{g/cm}^3\) (de Q10)
  • \(\rho_w = 1.00 \, \text{g/cm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \rho' &= 2.030 \, \text{g/cm}^3 - 1.00 \, \text{g/cm}^3 \\ &= 1.030 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Masse volumique déjaugée : \(\rho' \approx 1.030 \, \text{g/cm}^3\).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si \(\rho_h = 2.0 \, \text{g/cm}^3\) et \(w=10\%\), alors \(\rho_d\) est environ :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La masse volumique sèche (\(\rho_d\)) est toujours ... à la masse volumique humide (\(\rho_h\)) (sauf si le sol est parfaitement sec).

2. Un degré de saturation \(S_r = 100\%\) signifie que :

3. L'indice des vides (\(e\)) est le rapport :

Glossaire

Masse Volumique Humide (\(\rho_h\))
Masse totale de l'échantillon de sol (solides + eau + air, où la masse de l'air est négligeable) divisée par son volume total.
Masse Volumique Sèche (\(\rho_d\))
Masse des particules solides du sol divisée par le volume total de l'échantillon.
Masse Volumique des Grains Solides (\(\rho_s\))
Masse des particules solides du sol divisée par le volume de ces particules solides uniquement (sans les vides).
Masse Volumique de l'Eau (\(\rho_w\))
Masse de l'eau par unité de volume (typiquement \(1 \, \text{g/cm}^3\) ou \(1000 \, \text{kg/m}^3\)).
Teneur en Eau (\(w\))
Rapport de la masse d'eau (\(M_w\)) à la masse des particules solides (\(M_s\)) dans un échantillon de sol, généralement exprimé en pourcentage.
Indice des Vides (\(e\))
Rapport du volume des vides (\(V_v\), somme des volumes d'air et d'eau) au volume des particules solides (\(V_s\)).
Degré de Saturation (\(S_r\))
Rapport du volume d'eau (\(V_w\)) au volume total des vides (\(V_v\)), exprimé en pourcentage. Il indique la proportion des vides remplie par l'eau.
Masse Volumique Saturée (\(\rho_{\text{sat}}\))
Masse volumique du sol lorsque tous les vides sont remplis d'eau (\(S_r = 100\%\)).
Masse Volumique Déjaugée (\(\rho'\))
Différence entre la masse volumique saturée et la masse volumique de l'eau (\(\rho' = \rho_{\text{sat}} - \rho_w\)). Elle représente la masse effective du sol lorsqu'il est immergé.
Poids Volumique (\(\gamma\))
Poids par unité de volume (\(\gamma = \rho \times g\), où \(g\) est l'accélération de la pesanteur). On distingue \(\gamma_h, \gamma_d, \gamma_s, \gamma_w, \gamma_{\text{sat}}, \gamma'\).
Masse Volumique et Saturation des Sols - Exercice d'Application

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