Calcul du Nombre de Poutres pour Plancher

Point Clé : Le poids propre de la dalle dépend de son épaisseur (\(h_d\)), qui est encore inconnue. La charge de calcul \(p_U\) sera donc exprimée en fonction de cette variable \(h_d\). C'est une démarche itérative typique en conception de structures.

La combinaison d'actions fondamentale à l'ELU est définie par l'Eurocode 0 (EN 1990, équation 6.10) : \( \sum \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_Q Q_{k,1} + \sum \gamma_Q \psi_{0,i} Q_{k,i} \). Pour un plancher de bâtiment simple, elle se réduit à la formule bien connue \(1.35G + 1.5Q\).

On suppose que les charges données sont des valeurs caractéristiques et uniformément réparties sur toute la surface du plancher.

Cette équation est notre outil de base. Elle nous montre qu'il y a une charge "fixe" de 5.775 kN/m² (charges permanentes et d'exploitation pondérées) à laquelle s'ajoute une charge variable qui dépend directement de l'épaisseur de la dalle que nous choisirons. Plus la dalle sera épaisse, plus elle devra supporter son propre poids.

La connaissance de la charge ultime est la première étape de tout calcul de résistance. Sans elle, il est impossible de dimensionner quelque élément que ce soit (dalle, poutre, poteau, fondation).

Oublier de pondérer les charges : Calculer avec les charges de service (G+Q) pour un dimensionnement à la rupture (ELU) est une erreur grave qui conduirait à une structure dangereusement sous-dimensionnée.

Point Clé : Cette règle est une condition de rigidité (anti-déformation), pas une condition de résistance. Une dalle peut très bien résister à la flexion (ne pas casser) avec une épaisseur plus faible, mais elle se déformerait de manière excessive, ce qui n'est pas acceptable (fissuration des cloisons, sensation d'insécurité).

L'Eurocode 2 (section 7.4.2) fournit des méthodes pour le contrôle des flèches, y compris des ratios portée/hauteur utile limites. La valeur L/25 est une simplification couramment admise de ces règles pour les dalles portant dans une seule direction.

On suppose que la dalle est simplement appuyée sur les poutres secondaires. Si elle était continue sur plusieurs travées, on pourrait utiliser un ratio plus favorable (ex: L/30), ce qui permettrait une dalle plus fine pour un même espacement.

Nous avons maintenant une deuxième équation qui lie nos deux inconnues : l'épaisseur de la dalle \(h_d\) et l'espacement des poutres \(E\). Nous allons pouvoir combiner cette relation avec celle de la charge pour trouver une solution.

Cette étape est cruciale car elle introduit la contrainte de déformation dans notre problème de conception. Sans cette règle, on pourrait être tenté de choisir un espacement de poutres très grand pour en mettre le moins possible, mais cela conduirait à une dalle de plusieurs mètres d'épaisseur, ce qui est absurde.

Utiliser le mauvais ratio : Les ratios dépendent des conditions d'appui (simple appui, encastrement, continue) et du type d'élément (dalle, poutre). Utiliser un ratio destiné à une poutre continue pour une dalle sur appuis simples serait non sécuritaire.

Point Clé : Le pré-dimensionnement n'est pas une science exacte mais un processus de convergence. On pose des hypothèses (comme l'épaisseur max et min), on en déduit une plage de solutions, puis on affine. Les limites de 16 cm et 25 cm sont des valeurs issues de l'expérience des ingénieurs.

Il n'y a pas de norme qui impose une épaisseur maximale "économique". C'est une règle de l'art. Cependant, l'Eurocode 2 impose des épaisseurs minimales pour des raisons de durabilité (enrobage) et de résistance au feu, ce qui justifie de ne pas descendre en dessous d'une certaine valeur (ici, 16 cm).

On fixe une épaisseur maximale de dalle \(h_{d, \text{max}} = 0.25 \, \text{m}\) pour des raisons économiques. On fixe une épaisseur minimale de dalle \(h_{d, \text{min}} = 0.16 \, \text{m}\) pour des raisons de robustesse.

Nous avons défini une "fenêtre de tir" pour notre conception. Tout espacement de poutres choisi entre 4.0 m et 6.25 m conduira à une épaisseur de dalle raisonnable (entre 16 et 25 cm). Cela nous laisse une bonne flexibilité pour la suite.

Cette étape transforme un problème ouvert ("comment disposer les poutres ?") en un problème borné ("choisir une valeur entre 4.0 et 6.25 m"). C'est une étape essentielle pour converger vers une solution unique et justifiable.

Ne pas vérifier les deux bornes : Se contenter de calculer une seule limite (par exemple, la maximale) ne suffit pas. Il faut toujours définir une plage de travail complète pour s'assurer que la solution choisie est cohérente.

Point Clé : On cherche les diviseurs entiers de la largeur totale (20 m) qui donnent un résultat se trouvant dans notre fourchette [4.0 m ; 6.25 m]. C'est un simple exercice d'arithmétique.

Il n'y a pas de norme pour ce choix, c'est une décision de conception qui relève du bon sens de l'ingénieur et de la concertation avec l'entreprise de construction.

On cherche une solution avec des travées de dalles identiques pour optimiser la construction.

Le choix de \(E = 5.0 \, \text{m}\) est une excellente solution d'ingénierie. C'est une valeur ronde, facile à implanter sur chantier, et elle se situe bien au milieu de notre fourchette viable, ce qui nous donne une marge de manœuvre. L'épaisseur de dalle correspondante sera de \(h_d = 5.0 / 25 = 0.20 \, \text{m}\), soit 20 cm, ce qui est très standard.

Cette étape finalise le choix de conception. On passe d'une plage de possibilités à une décision unique et argumentée, qui va servir de base à tous les calculs de ferraillage détaillés qui suivront.

Choisir une valeur non pratique : Choisir un espacement de 5.87 m, même s'il est dans la fourchette, serait une mauvaise décision. Cela compliquerait inutilement le travail sur chantier et augmenterait les risques d'erreurs d'implantation.

Point Clé : Attention au "piège du poteau de clôture". Pour clôturer un champ avec N travées, il faut N+1 poteaux. Mais ici, les "poteaux" de rive (les poutres principales) existent déjà. On ne compte donc que les poutres intermédiaires.

Ce calcul relève de la géométrie et de la topologie de la structure, pas d'une norme de calcul de résistance. C'est une étape de définition du modèle structurel.

On suppose que les deux poutres principales situées aux extrémités de la portée de 20 m supportent les bords de la dalle. Nous ne calculons donc que le nombre de poutres secondaires *intermédiaires*.

La solution finale est donc un plancher avec 3 poutres secondaires intermédiaires, créant 4 travées de dalle de 5 mètres de portée chacune. C'est une solution structurelle claire, simple et équilibrée, prête pour les calculs de ferraillage détaillés.

Cette dernière étape quantifie la solution. Le résultat "3 poutres" est l'information concrète qui sera utilisée pour dessiner les plans de coffrage et estimer les quantités de matériaux pour le projet.

Arrondir le nombre de travées : Le nombre de travées doit être un entier. Si la division ne tombe pas juste (parce qu'on n'a pas choisi un diviseur exact), il faut revoir le choix de l'espacement \(E\) pour obtenir un nombre entier de travées.