Calcul du Nombre de Poutres pour Plancher en béton armé
📝 Situation du Projet et Enjeux Structurels
Le projet concerne la construction d'un immeuble de bureaux de haut standing situé au cœur du quartier d'affaires de la Part-Dieu à Lyon, une zone dense où l'optimisation des volumes est cruciale. La structure porteuse est intégralement réalisée en béton armé coulée en place pour garantir la pérennité et l'inertie thermique de l'ouvrage.
La contrainte architecturale majeure de ce niveau (R+2) réside dans la volonté du Maître d'Ouvrage de proposer des plateaux de type "Open Space" pour maximiser la flexibilité d'aménagement pour les futurs locataires. Cette exigence se traduit par l'absence totale de poteaux intermédiaires dans la zone centrale des bureaux, créant une trame libre de \(12,00 \, \text{m} \times 8,00 \, \text{m}\).
En l'état actuel de la conception, une dalle pleine couvrant l'intégralité de cette surface (\(12 \, \text{m} \times 8 \, \text{m}\)) sans appuis intermédiaires engendrerait une épaisseur de béton excessive (estimée à plus de \(35 \, \text{cm}\) pour respecter les flèches), ce qui alourdirait considérablement les fondations et réduirait la hauteur sous plafond disponible. La stratégie structurelle retenue consiste donc à créer un réseau de poutres secondaires (poutrelles) s'appuyant sur les poutres principales de rive. Ces poutres secondaires permettront de fragmenter la grande portée de la dalle en plusieurs petites travées, autorisant ainsi une réduction drastique de l'épaisseur du plancher tout en conservant une grande rigidité d'ensemble.
En tant qu'Ingénieur Structure Confirmé, votre rôle est déterminant pour la viabilité économique du lot Gros Œuvre. Vous devez dimensionner le solivage du plancher haut du R+2. Concrètement, vous devez déterminer le nombre optimal de poutres secondaires à implanter et calculer leur entraxe exact. Votre objectif est double : garantir une épaisseur de dalle très faible (fixée à \(18 \, \text{cm}\) pour intégrer les réseaux en faux-plafond) tout en assurant la faisabilité géométrique de la solution sur chantier.
- Localisation
Lyon (69), Zone de sismicité modérée (Zone 3 selon Eurocode 8) - Maître d'Ouvrage
SCI Immobilier Plus (Investisseur Privé) - Lot Concerné
Lot 02 : Gros Œuvre - Structures Horizontales
"Attention, pour des raisons esthétiques et de passage des réseaux (Plénum), l'épaisseur totale de la dalle brute ne doit absolument pas dépasser \(18 \, \text{cm}\). Adaptez le nombre de poutres pour respecter cette contrainte stricte."
Pour mener à bien ce dimensionnement avec la rigueur attendue en phase d'exécution, nous nous appuyons sur un cadre normatif précis et des choix de matériaux justifiés par des critères technico-économiques.
📚 Référentiel Normatif et Justification
1. Eurocode 0 (EN 1990) - Bases de calcul des structures :
Ce texte fondateur définit les principes de la sécurité structurale par la méthode des états limites. Pour ce projet, nous appliquerons les coefficients de sécurité partiels classiques : \(\gamma_{\text{G}} = 1,35\) pour les charges permanentes et \(\gamma_{\text{Q}} = 1,5\) pour les charges d'exploitation, garantissant une marge de sécurité probabiliste face aux incertitudes de chargement.
2. Eurocode 2 (EN 1992-1-1) - Calcul des structures en béton :
Il s'agit de la "bible" pour le dimensionnement du béton armé. Nous utiliserons spécifiquement la clause 7.4 relative au contrôle des flèches par la méthode simplifiée du ratio portée/hauteur utile. Cette méthode permet, sans calculs d'intégrales complexes, de garantir que la déformation de la dalle restera imperceptible à l'œil nu et n'endommagera pas les cloisons légères, sous réserve de respecter un élancement limite.
[Art. 3.2] CHOIX DU BÉTON STRUCTUREL
Le béton retenu est de classe de résistance C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\) sur cylindre). Ce choix résulte d'un arbitrage économique : le C25/30 est le standard le plus courant et le moins onéreux en centrale à béton pour le bâtiment tertiaire. Une classe supérieure (C30/37) n'apporterait pas de gain significatif sur la rigidité (module de Young) pour ce type de portée, tout en augmentant le coût au \(m^3\).
[Art. 3.4] ACIERS DE FERRAILLAGE
Les armatures passives seront en Acier Haute Adhérence (HA) de nuance B500B. La limite élastique \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\) permet de minimiser les sections d'acier nécessaires par rapport à l'ancien standard FeE400. La classe de ductilité "B" est imposée pour garantir un comportement plastique suffisant en cas de séisme (Zone 3), évitant une rupture fragile de la structure.
[Art. 4.1] STANDARDISATION DES COFFRAGES
Afin de rationaliser la rotation des banches et des coffrages sur le chantier, l'entreprise de Gros Œuvre impose une largeur unique pour l'âme de toutes les poutres secondaires : \(b_{\text{w}} = 25 \, \text{cm}\). Cette largeur permet également un bétonnage aisé et un bon enrobage des aciers sans risque de nids de cailloux.
Les dimensions ci-dessous ne sont pas arbitraires : elles sont issues de la synthèse entre la trame structurelle du bâtiment (portée par les poteaux de façade) et les requis architecturaux (hauteur sous plafond). Le respect de ces valeurs est impératif pour la validation du Bureau de Contrôle.
| ESPACE À COUVRIR (Géométrie de la trame) | |
| Longueur totale libre (entre nus poutres principales) | \(L = 12,00 \, \text{m}\) |
| Largeur de portée (portée des poutres) | \(l = 8,00 \, \text{m}\) |
| CONTRAINTES DIMENSIONNELLES (Architecte) | |
| Épaisseur de dalle imposée (cible indépassable) | \(h_d = 18 \, \text{cm}\) |
| Largeur poutre secondaire imposée (Exécution) | \(b_{\text{w}} = 0,25 \, \text{m}\) |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer le calepinage structurel optimal, nous allons suivre une démarche rigoureuse basée sur le critère de flèche de la dalle.
Analyse du Ratio de Portée
Comprendre la relation entre l'épaisseur de la dalle et sa portée maximale admissible selon l'Eurocode 2.
Calcul de l'Entraxe Maximum
Inverser la formule de prédimensionnement pour trouver l'espacement maximal (\(e_{\text{max}}\)) autorisé pour une dalle de \(18 \, \text{cm}\).
Détermination du Nombre de Poutres
Discrétiser la longueur totale \(L=12 \, \text{m}\) en un nombre entier d'intervalles respectant l'entraxe maximum.
Vérifications Géométriques
Calculer l'entraxe réel et l'espacement entre nus pour valider la constructibilité.
Calcul du Nombre de Poutres pour Plancher en béton armé
🎯 Objectif Détaillé : Pourquoi définir un Ratio ?
Dans un bureau d'études, nous ne commençons jamais par un calcul complexe de flèche (déformation) car cela demanderait de connaître déjà le ferraillage exact de la dalle, son inertie fissurée et son module de fluage à l'infini. C'est le problème de "l'œuf et de la poule".
L'objectif de cette première étape est donc d'utiliser une méthode empirique validée par les normes (Eurocode 2) : la méthode du ratio \(l/d\). Il s'agit de définir une règle mathématique simple qui lie la portée admissible \(l_{\text{portée}}\) à l'épaisseur de la dalle \(h_d\). Si ce ratio est respecté, l'expérience prouve que la dalle ne se déformera pas de manière excessive. C'est un critère de rigidité.
📚 Référentiel Technique
Eurocode 2 - Article 7.4.1Cet article stipule que le contrôle des flèches par le calcul n'est pas nécessaire si le rapport portée/hauteur utile ne dépasse pas certaines limites tabulées. C'est la méthode dite "forfaitaire" ou "réputée satisfaire".
Analysons le fonctionnement mécanique de notre plancher :
1. La dalle repose sur plusieurs poutres parallèles successives.
2. Lors du coulage du béton, la dalle ne sera pas "coupée" au-dessus de chaque poutre. Le béton filera d'une traite.
3. Des aciers (chapeaux) seront placés en partie supérieure au-dessus des poutres pour reprendre le moment négatif.
Cette configuration crée une continuité mécanique. Contrairement à une planche posée sur deux tréteaux (système isostatique) qui se courbe librement, notre dalle est "tenue" aux appuis. Cette encastrement partiel rigidifie considérablement la structure et réduit la flèche au centre de la travée d'environ 20% à 30% par rapport à une travée simple.
Conséquence pratique : Nous pouvons nous autoriser une portée plus grande pour la même épaisseur de béton, d'où le choix d'un ratio plus élevé.
La flèche \(f\) d'une poutre ou d'une dalle sous charge répartie \(p\) s'écrit généralement sous la forme : \[ f = \frac{5 \cdot p \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \] On voit que la flèche dépend de l'inertie \(I\) (liée à l'épaisseur \(h^3\)) et de la portée \(L^4\). Contrôler le rapport \(L/h\) revient indirectement à s'assurer que l'inertie est suffisante pour contrer l'effet dévastateur de la puissance 4 de la portée.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| Type de charge | Bureaux | Charges modérées (2,5 kN/m²), permet un ratio standard. |
| Système statique | Continu | Dalle hyperstatique sur appuis multiples. |
| Béton | C25/30 | Béton standard, module E correct. |
Sur chantier, on dit souvent "la dalle porte 25 fois son épaisseur". C'est un moyen mnémotechnique facile. Si vous avez une dalle de 20cm, elle porte 5m. Une dalle de 10cm porte 2,5m. C'est la "règle du pouce" de l'ingénieur béton.
📝 Calcul Détaillé : Justification du Ratio \(\lambda\)
1. Valeur de référence (Dalle isostatique) :
Pour une dalle béton reposant sur deux appuis simples sans continuité (cas le plus défavorable), le ratio de base usuel recommandé par l'Eurocode pour des taux de travail classiques de l'acier est de :
2. Application du coefficient de continuité :
La continuité mécanique de la dalle au-dessus des poutres (hyperstaticité) augmente sa rigidité. On applique un coefficient majorateur \(K_{\text{cont}}\) (généralement entre 1,2 et 1,3) pour tenir compte de cet effet bénéfique. Ici, nous prenons 1,25.
3. Valeur Retenue :
Nous validons cette valeur calculée pour le dimensionnement. Elle est sécuritaire pour des bureaux.
Conclusion : La règle d'or de ce projet sera : "La portée ne doit pas dépasser 25 fois l'épaisseur".
Pourquoi pas 30 ? Parce qu'à 30, le risque de flèche nuisible (qui fissure les cloisons) devient réel, surtout avec le fluage du béton dans le temps. Pourquoi pas 20 ? Parce qu'à 20, on surconsomme du béton inutilement. 25 est l'optimum technico-économique.
Attention, ce ratio suppose que le ferraillage sera correctement réalisé, notamment les "chapeaux" (aciers supérieurs) sur les poutres pour assurer la continuité. Si ces aciers sont oubliés sur chantier, la dalle redeviendra isostatique (\(\lambda=20\)) et fissurera car elle sera sous-dimensionnée avec notre hypothèse de 25.
🎯 Objectif Détaillé
Nous connaissons désormais l'épaisseur de la dalle (\(18 \, \text{cm}\), imposée par l'architecte pour passer les gaines de ventilation) et le ratio de rigidité (\(25\), imposé par la physique du béton armé). L'objectif est maintenant de déterminer mathématiquement l'écartement maximal autorisé entre deux poutres, noté \(e_{\text{max}}\). C'est une valeur critique : toute valeur supérieure à ce seuil rendrait la dalle de \(18 \, \text{cm}\) non conforme (trop souple).
📚 Référentiel
Résistance des Matériaux (RDM) - Flexion des PlaquesC'est une démarche inverse à la conception habituelle.
En temps normal : On a une portée (ex: 5m) -> On calcule l'épaisseur nécessaire (ex: \(500/25 = 20\text{cm}\)).
Ici (Rénovation ou contrainte forte) : On a l'épaisseur (\(18\text{cm}\)) -> On cherche la portée maximale.
Dans notre système de poutraison, la "portée de la dalle" correspond géométriquement à l'entraxe entre les poutres secondaires. Nous allons donc manipuler l'équation du ratio pour isoler la portée.
Rappelez-vous toujours : la flèche est proportionnelle à \(L^4\).
Si vous augmentez la portée de seulement 10% (ex: de 4m à 4,4m), la flèche augmente de \(1,1^4 = 1,46\), soit +46% !
C'est pourquoi la limite de portée est une "falaise" : dès qu'on la dépasse un tout petit peu, les déformations explosent. Il faut être très strict sur \(e_{\text{max}}\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Épaisseur de dalle cible | \(h_d\) | \(0,18 \, \text{m}\) |
| Ratio d'élancement retenu | \(\lambda\) | \(25\) |
Toujours convertir les centimètres en mètres (SI) avant de commencer le moindre calcul. Une erreur classique est de faire \(18 \times 25 = 450\). Si on croit que c'est des mètres, c'est la catastrophe. Si on sait que c'est des cm, ça va. Mais pour être sûr : \(18 \, \text{cm} \rightarrow 0,18 \, \text{m}\).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Calcul :
On remplace les variables par les valeurs du projet :
Interprétation Physique : Pour que la dalle de \(18 \, \text{cm}\) soit viable mécaniquement, l'entraxe entre les poutres secondaires ne doit jamais dépasser \(4,50\) mètres. C'est notre borne supérieure absolue.
\(4,50 \, \text{m}\) est une portée très standard pour une dalle pleine de \(18 \, \text{cm}\).
- Si nous avions trouvé \(10 \, \text{m}\) : Impossible, une dalle de 18cm ne tient jamais 10m (il faudrait du précontraint).
- Si nous avions trouvé \(1 \, \text{m}\) : Suspect, le béton est plus performant que ça.
Le résultat est cohérent avec les abaques usuels du bâtiment.
Attention, cette valeur est un MAXIMUM théorique. Il faut toujours viser en dessous pour avoir une marge de sécurité. Si on tombe pile sur 4,50m, on est à la limite de la flèche admissible.
🎯 Objectif Détaillé : Discrétisation
Nous connaissons la limite à ne pas franchir (\(4,50 \, \text{m}\)). Nous devons maintenant diviser la longueur totale du bâtiment (\(L = 12,00 \, \text{m}\)) en un nombre entier de travées égales qui respectent cette limite.
On ne peut pas construire "2,66 poutres". Le but est de trouver le nombre entier d'intervalles qui donne l'espacement le plus grand possible (pour l'économie) mais inférieur à 4,50m.
📚 Référentiel
Mathématiques Appliquées (Arithmétique modulaire simple)C'est une étape de "calepinage". On cherche à remplir une longueur fixe avec des modules égaux.
Si on prend 1 intervalle (pas de poutre) -> portée = 12m (Trop grand).
Si on prend 2 intervalles (1 poutre au milieu) -> portée = 6m (Trop grand car > 4,50m).
Si on prend 3 intervalles (2 poutres) -> portée = 4m (OK car < 4,50m).
C'est ce raisonnement itératif que nous allons formaliser mathématiquement.
Attention à la confusion classique :
- Nombre d'intervalles (\(n\)) : C'est le nombre d'espaces vides (travées de dalle).
- Nombre de séparateurs (\(N\)) : C'est le nombre de poutres à ajouter.
Dans un espace borné aux deux extrémités (par les poutres de rive), la relation est toujours :
\[ N_{\text{poutres}} = n_{\text{intervalles}} - 1 \]
(Exemple : Pour couper une baguette en 2 morceaux, il faut 1 coup de couteau).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Longueur Totale (\(L_{\text{tot}}\)) | \(12,00 \, \text{m}\) |
| Entraxe Max (\(e_{\text{max}}\)) | \(4,50 \, \text{m}\) |
Si on a besoin de 2,66 intervalles pour respecter la limite, et qu'on arrondit à 2 (inférieur), les intervalles seront plus grands que la limite (12/2 = 6m > 4,5m -> CRASH).
Si on arrondit à 3 (supérieur), les intervalles seront plus petits (12/3 = 4m < 4,5m -> OK).
En structure, pour les appuis, on arrondit toujours à l'entier supérieur.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul du nombre d'intervalles minimal (théorique) :
Combien de fois 4,50m rentrent dans 12m ?
2. Passage à l'entier (Sécurité) :
On prend l'entier supérieur pour resserrer les poutres.
3. Calcul du nombre de poutres à commander :
On applique la formule \(n-1\).
4. Calcul de l'entraxe réel définitif :
On divise la longueur totale par le nombre d'intervalles choisi.
Résultat : Nous allons poser 2 poutres. L'entraxe sera constant et égal à 4,00 m.
\(4,00 \, \text{m}\) est bien inférieur à \(4,50 \, \text{m}\). La condition de rigidité est respectée avec une marge. De plus, \(4,00 \, \text{m}\) est un chiffre rond, ce qui est excellent pour l'implantation sur chantier (moins de risque d'erreur de mesure au décamètre).
Attention à la symétrie. Les 2 poutres doivent être placées à 4m et 8m du bord. Si on les décale, une travée sera plus grande que 4m et risque de ne plus vérifier la condition.
🎯 Objectif Détaillé : La Réalité Physique
Jusqu'à présent, nous avons calculé avec des lignes sans épaisseur (entraxe axe à axe). Mais sur le chantier, les poutres ont une largeur (\(25 \, \text{cm}\)).
L'objectif est de vérifier la portée libre (ou portée au nu), c'est-à-dire la distance réelle de vide que la dalle doit franchir. C'est cette valeur qui détermine la flexion réelle.
Si l'entraxe est bon, la portée libre sera forcément bonne, mais il faut la calculer pour les plans de coffrage.
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Clause 5.3.2.2 (Portée efficace)Une poutre n'est pas un fil de fer, c'est un bloc de béton.
La dalle ne commence à fléchir qu'à partir du bord de la poutre. La zone de dalle qui est posée SUR la poutre ne fléchit pas.
Donc, la portée réelle \(l_n\) est plus petite que l'entraxe \(e_{\text{réel}}\).
Calculer \(l_n\) nous permet de quantifier notre "marge de sécurité" réelle et de fournir la bonne info au coffreur.
- Entraxe (\(e\)) : Distance entre les axes de symétrie. Utile pour le géomètre (implantation).
- Portée au nu (\(l_n\)) : Distance entre les faces intérieures. Utile pour le coffreur (longueur de planche) et le ferrailleur (flexion).
Relation : \(l_n = e - \frac{b_w}{2} - \frac{b_w}{2} = e - b_w\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Entraxe Réel (\(e_{\text{réel}}\)) | \(4,00 \, \text{m}\) |
| Largeur de poutre (\(b_{\text{w}}\)) | \(0,25 \, \text{m}\) |
Si vous oubliez de soustraire la largeur de la poutre, vous surestimez la flexion. C'est sécuritaire (conservateur), mais moins économique et moins précis.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Calcul :
On soustrait la largeur de la poutre à l'entraxe calculé en Q3.
Résultat : La zone de dalle qui subit réellement la flexion ne fait que 3,75 m de large.
Recalculons le ratio réel avec cette portée : \[ \text{Ratio réel} = \frac{3,75}{0,18} = 20,8 \] On est très loin de la limite de 25. Cela signifie que notre dalle sera très rigide, avec très peu de flèche. C'est excellent pour la pérennité des cloisons et du carrelage.
Sur le plan, il faudra indiquer clairement "Poutres 25x50 ht". Le "25" impacte directement la portée libre. Si l'entreprise coule des poutres de 20cm de large par erreur, la portée libre augmente à 3,80m. Cela reste OK ici, mais c'est une déviation.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
69003 LYON
Note de Dimensionnement
Objet : Détermination du solivage (Poutres Secondaires) - Plancher R+2
La solution technique validée pour respecter l'épaisseur de dalle de 18cm est la suivante :
Conclusion : La portée libre (\(3,75 \, \text{m}\)) étant inférieure à la portée maximale admissible (\(4,50 \, \text{m}\)), la condition de rigidité est vérifiée avec une marge de sécurité confortable de 16%.
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