Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
Comprendre le Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
Vous êtes ingénieur en structure pour une société de construction chargée de concevoir un immeuble de bureaux de 5 étages. Pour soutenir la structure, vous devez concevoir les poteaux en béton armé qui seront utilisés tout au long de l’édifice.
Pour comprendre le Calcul les aciers d’un poteau, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- Charge permanente (G) sur un étage: 750 kN (y compris le poids du poteau)
- Charge d’exploitation (Q) sur un étage: 500 kN
- Nombre d’étages soutenus par le poteau: 5
- Matériau: Béton C25/30 et acier de renforcement B500b
- Contraintes admissibles:
- Béton: 17 MPa
- Acier: 435 MPa
- Coefficient de sécurité pour le béton: 1.5
- Coefficient de sécurité pour l’acier: 1.15
- Dimensions du poteau: à déterminer (section carrée)
Questions:
1. Calcul des charges totales: Calculer la charge totale que le poteau doit supporter.
2. Calcul des contraintes: Déterminer la section transversale minimale nécessaire du poteau pour que les contraintes dans le béton et dans l’acier ne dépassent pas les valeurs admissibles.
3. Vérification de la capacité portante: Vérifier si la section choisie est suffisante pour les contraintes calculées.
4. Dimensionnement des armatures: Calculer la quantité nécessaire d’acier de renforcement dans le poteau.
Correction : Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
1. Calcul de la charge totale à supporter
Le poteau supporte la charge totale cumulée de tous les étages qu’il dessert. Pour chaque étage, la charge totale est la somme de la charge permanente et de la charge d’exploitation.
Formule :
\[ N = n_{\text{étages}} \times (G + Q) \]
Données :
- \(G = 750\ \text{kN}\)
- \(Q = 500\ \text{kN}\)
- \(n_{\text{étages}} = 5\)
Calcul :
\[ N = 5 \times (750 + 500) \] \[ N = 5 \times 1250 \] \[ N = 6250\ \text{kN} \]
En Newton (N) :
\[ 6250\ \text{kN} = 6\,250\,000\ \text{N} \]
2. Détermination de la section transversale minimale
Objectif :
Trouver la section \(A\) du poteau de sorte que les contraintes dans le béton et dans l’acier, lorsqu’ils travaillent ensemble, ne dépassent pas leurs valeurs de calcul \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
2.1. Équilibre global dans la section
En compression, la résistance combinée du béton et de l’acier est exprimée par la formule d’équilibre :
\[ N = f_{cd}\,(A – A_s) + f_{yd}\,A_s \]
où :
- \(A\) est l’aire totale de la section (en mm²),
- \(A_s\) est l’aire totale des armatures,
- \(A – A_s\) est l’aire de béton dans la section.
En introduisant le taux d’armature \(\rho = \frac{A_s}{A}\), on a \(A_s = \rho\,A\). Ainsi, l’équation s’écrit :
\[ N = A\left[ f_{cd}\,(1 – \rho) + f_{yd}\,\rho \right] \]
Substitution des valeurs numériques
Données et calcul :
- \(f_{cd} = 11,33\ \text{MPa}\)
- \(f_{yd} = 378,26\ \text{MPa}\)
- \(\rho = 0,02\)
Calculons les deux termes :
- Contribution du béton :
\[ f_{cd}\,(1 – \rho) = 11,33 \times (1 – 0,02) \] \[ f_{cd}\,(1 – \rho) = 11,33 \times 0,98 \] \[ f_{cd}\,(1 – \rho) \approx 11,11\ \text{MPa} \]
- Contribution de l’acier :
\[ f_{yd}\,\rho = 378,26 \times 0,02 \] \[ f_{yd}\,\rho \approx 7,57\ \text{MPa} \]
La somme donne une résistance moyenne « équivalente » :
\[ f_{\text{eff}} = 11,11 + 7,57 \] \[ f_{\text{eff}} = 18,68\ \text{MPa} \]
Remarque sur les unités :
Ici, \(1\ \text{MPa} = 1\ \text{N/mm}^2\). Nous travaillerons en N et mm².
2.2. Calcul de l’aire minimale \(A\)
Formule :
\[ A = \frac{N}{f_{cd}\,(1 – \rho) + f_{yd}\,\rho} = \frac{6\,250\,000\ \text{N}}{18,68\ \text{N/mm}^2} \]
Calcul :
\[ A \approx \frac{6\,250\,000}{18,68} \approx 334\,500\ \text{mm}^2 \]
Conversion en m² :
\[ 334\,500\ \text{mm}^2 = 0,3345\ \text{m}^2 \]
Dimension de la section carrée :
Si la section est carrée, le côté \(b\) est :
\[ b = \sqrt{A} \approx \sqrt{334\,500} \approx 578\ \text{mm} \]
Choix pratique :
Pour tenir compte des tolérances, de la mise en œuvre et pour ajouter une marge de sécurité, il est courant d’arrondir à une dimension standard.
Nous pouvons ainsi retenir une section de 600 mm × 600 mm.
3. Vérification de la capacité portante
But :
Vérifier que, pour la section retenue, les efforts supportés par le béton et par l’acier ne dépassent pas leurs capacités de calcul.
3.1. Calcul de l’aire d’armature requise
Avec \(\rho = 0,02\) et \(A = 334\,500\ \text{mm}^2\) (la base de calcul) :
\[ A_s = \rho \, A = 0,02 \times 334\,500 \approx 6690\ \text{mm}^2 \]
3.2. Répartition de la force entre béton et acier
- Force portée par l’acier :
\[ N_s = f_{yd} \, A_s \] \[ N_s \approx 378,26\ \text{N/mm}^2 \times 6690\ \text{mm}^2 \] \[ N_s \approx 2\,530\,000\ \text{N} \]
- Force portée par le béton :
\[ N_c = f_{cd} \, (A – A_s) \] où \(A – A_s = 334\,500 – 6690 \approx 327\,810\ \text{mm}^2\)
\[ N_c \approx 11,33\ \text{N/mm}^2 \times 327\,810\ \text{mm}^2 \] \[ N_c \approx 3\,720\,000\ \text{N} \]
- Force totale :
\[ N_{\text{total}} = N_s + N_c \] \[ N_{\text{total}} \approx 2\,530\,000 + 3\,720\,000 \] \[ N_{\text{total}} = 6\,250\,000\ \text{N} \]
Cette somme correspond bien à la charge à supporter, ce qui confirme que la section calculée est adéquate (au niveau limite de la conception).
4. Dimensionnement des armatures
But :
Déterminer la quantité et la disposition des barres d’acier nécessaires pour fournir l’aire d’armature \(A_s \approx 6690\ \text{mm}^2\).
4.1. Choix du diamètre des barres
Deux solutions possibles :
- Option 1 : Barres de 16 mm
Aire d’une barre de 16 mm :
\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi\,16^2}{4} \approx 201\ \text{mm}^2 \]
Nombre de barres nécessaires :
\[ n \approx \frac{6690}{201} \approx 33,3 \quad \Rightarrow \quad 34\ \text{barres (arrondi)} \]
Remarque : 34 barres dans une section de 600 mm × 600 mm peuvent être difficiles à mettre en œuvre (trop d’armatures).
- Option 2 : Barres de 20 mm
Aire d’une barre de 20 mm :
\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi\,20^2}{4} \approx 314\ \text{mm}^2 \]
Nombre de barres nécessaires :
\[ n \approx \frac{6690}{314} \approx 21,3 \quad \Rightarrow \quad 22\ \text{barres (arrondi)} \]
Remarque : 22 barres dans une section de 600 mm × 600 mm offrent une disposition plus pratique.
Choix recommandé :
Utiliser 22 barres de 20 mm de diamètre pour atteindre une aire totale d’armature d’environ :
\[ 22 \times 314 \approx 6910\ \text{mm}^2 \]
Ce qui est légèrement supérieur à la valeur minimale calculée (6690 mm²) et permet d’assurer un confort de conception.
Conclusion
Pour un poteau supportant une charge totale de 6250 kN (6 250 000 N) :
1. Section minimale de la face (calculée) :
- Aire : environ 334 500 mm² (soit 0,3345 m²)
- Pour une section carrée, côté \(\approx 578\ \text{mm}\)
2. Dimension retenue (pratique) :
- Une section 600 mm × 600 mm est retenue pour offrir une marge de sécurité et faciliter la mise en œuvre.
3. Armatures :
- Taux d’armature : 2%, soit \(A_s \approx 6690\ \text{mm}^2\) (calcul théorique).
- Dimensionnement pratique :
En adoptant des barres de 20 mm de diamètre, on utilisera environ 22 barres (fournissant \(\approx 6910\ \text{mm}^2\)), ce qui est conforme aux exigences de résistance.
4. Vérification :
La répartition des efforts (approximativement 3,72 MN dans le béton et 2,53 MN dans l’acier) confirme que ni la contrainte dans le béton (11,33 MPa) ni celle dans l’acier (378,26 MPa) ne sont dépassées.
Remarque finale :
En pratique, le dimensionnement des poteaux intègre également des vérifications complémentaires (effets de flambement, conditions d’ancrage, contraintes transversales, etc.). La solution présentée ici se limite à une vérification en charge axiale pure conformément aux données fournies.
Ainsi, pour ce cas d’étude, un poteau de section 600 mm × 600 mm armé avec environ 22 barres de 20 mm de diamètre est adéquat pour supporter la charge de 6250 kN.
Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
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