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DatePar EGC
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Dossier Technique : Excavation Portuaire

Outil

DOSSIER TECHNIQUE N° GEO-2024-HYD

Calcul des Coefficients de Perméabilité

Mission : Caractérisation Hydrogéologique & Dimensionnement
1. Contexte de la MissionPHASE : PRO / EXE
📝 Situation du Projet : Extension du Terminal Nord

Dans le cadre stratégique de l'extension du terminal conteneurs Nord du Grand Port Maritime, notre bureau d'études géotechniques (SOL-INGÉNIERIE) a été officiellement mandaté par la Maîtrise d'Ouvrage pour mener les études d'exécution relatives au blindage et à l'épuisement des eaux de la future fosse de maintenance. Cet ouvrage souterrain, crucial pour la logistique portuaire, nécessite une excavation à ciel ouvert atteignant une cote de fond de fouille de -8.00 m NGF, en plein cœur d'un environnement sédimentaire complexe et saturé.

Le site est caractérisé par une géologie typique des zones estuariennes, présentant une alternance hétérogène de strates perméables et imperméables. Le profil géologique révèle, de haut en bas : une couverture de sables fins alluvionnaires très perméables, reposant sur une couche intermédiaire de limons argileux compressibles, elle-même surmontant un aquifère puissant constitué de graves alluvionnaires. La nappe phréatique, influencée par les marées voisines, se stabilise à une cote moyenne de -1.00 m NGF, ce qui implique une charge hydraulique permanente de 7 mètres d'eau sur le fond de fouille.

L'enjeu technique est double et critique :
1. Stabilité hydraulique : Prévenir tout risque de soulèvement de fond ou de "renard hydraulique" (boulance) qui pourrait entraîner la ruine catastrophique de l'ouvrage et mettre en péril la sécurité des compagnons.
2. Dimensionnement de l'exhaure : Calculer avec une précision chirurgicale le débit de fuite (\(Q\)) admissible pour dimensionner le parc de pompes. Une sous-estimation conduirait à l'inondation du chantier, tandis qu'une surestimation engendrerait des surcoûts énergétiques et matériels inacceptables.

Pour répondre à ces exigences, une campagne de reconnaissance géotechnique a été diligentée. Des carottages ont permis d'extraire des échantillons intacts des différentes couches, qui ont été immédiatement conditionnés et transférés à votre laboratoire pour une analyse fine de leur perméabilité verticale et horizontale.

🎯
Votre Mission d'Expertise :

En votre qualité d'Ingénieur Géotechnicien Senior, vous avez la responsabilité de déterminer les coefficients de perméabilité intrinsèques (\(k\)) de chaque horizon de sol. Pour cela, vous devrez exploiter les résultats bruts des essais de laboratoire spécifiques (Perméamètre à charge constante pour les sols grenus et à charge variable pour les sols fins). Vous devrez ensuite modéliser le comportement hydraulique global du massif en calculant les perméabilités équivalentes (\(k_h\) et \(k_v\)) pour enfin estimer le débit de fuite résiduel à travers le fond de fouille, validant ainsi la faisabilité technique du projet.

🗺️ COUPE GÉOTECHNIQUE SYNTHÉTIQUE DU PROJET
0.00 m TN -1.00 m -3.50 m -5.50 m -8.00 m -9.50 m Sable Fin (A) Perméable Limon Argileux (B) Semi-Imperméable Gravier (C) Aquifère Fond de Fouille (-8.00m) Nappe (-1.00m) ΔH = 7.00 m Largeur Fouille = 10.00 m
⚠️
ALERTE DU DIRECTEUR TECHNIQUE :

"Je tiens à attirer votre attention sur la Couche B (Limon Argileux). C'est elle qui assure l'étanchéité relative du fond de fouille. Une erreur sur son coefficient de perméabilité (\(k\)) pourrait nous faire sous-estimer le débit de fuite d'un facteur 10 ou 100. Pour cette couche, l'essai à charge constante est interdit (trop imprécis pour les sols fins). Basez-vous exclusivement sur les relevés du perméamètre à charge variable. Soyez extrêmement rigoureux sur les conversions d'unités."

2. Données Techniques de Référence

L'étude hydrogéologique s'appuie sur une campagne de reconnaissance géotechnique rigoureuse menée du 12 au 15 janvier 2024. Les échantillons, conditionnés en tubes PVC étanches pour préserver leur teneur en eau naturelle et leur structure, ont été acheminés au laboratoire central sous température contrôlée (20°C ± 2°C). Afin de caractériser précisément l'anisotropie du complexe sédimentaire, deux protocoles expérimentaux distincts ont été mis en œuvre en fonction de la granularité et de la cohésion des sols rencontrés.

📚 Référentiel Normatif & Standards

L'ensemble des essais et calculs doit se conformer strictement aux standards suivants :

NF P 94-090-1 (Sols : Essai à l'oedomètre & perméabilité) Loi de Darcy (1856) - Écoulement laminaire Eurocode 7 (Calcul géotechnique)
⚙️ Dispositifs Expérimentaux Utilisés
1. Charge Constante (Sable) L = 15cm ΔH = 40cm V 2. Charge Variable (Argile) h1 (t=0) h2 (t=24h) Sol B
🧪 Échantillon A : Sable Fin (Couche A)

L'Échantillon A (Réf. Labo: SAB-24-A) a été prélevé à une profondeur de -2.50m. Il s'agit d'un sable quartzeux beige, propre et mal gradué, caractéristique des dépôts de haute énergie. Compte tenu de sa texture grossière et de l'absence de cohésion, il a été remanié puis compacté à sa densité in-situ avant d'être soumis à un essai de perméabilité à charge constante dans un perméamètre de type "Moule K". Ce test est adapté aux sols dont la perméabilité est suffisante pour permettre un écoulement mesurable en quelques minutes.

DONNÉES GÉOMÉTRIQUESDONNÉES HYDRAULIQUES RELEVÉES
Diamètre échantillon (\(D\))10.0 cmDifférence de charge (\(h\))40.0 cm (Constante)
Longueur échantillon (\(L\))15.0 cmVolume d'eau recueilli (\(V\))650 cm³
Section (\(A\))(À calculer par l'étudiant)Durée de l'essai (\(t\))180 s (3 min)
🧪 Échantillon B : Limon Argileux (Couche B)

L'Échantillon B (Réf. Labo: LIM-24-B) provient de la couche intermédiaire à -5.00m. C'est un limon argileux grisâtre, plastique, présentant quelques traces d'oxydation ferrique. Sa matrice fine suggérant une très faible conductivité hydraulique, l'essai à charge constante a été formellement écarté au profit d'un dispositif à charge variable (tube capillaire fin). Ce test permet de mesurer la vitesse de chute du niveau d'eau dans un tube de faible section, amplifiant ainsi la lecture du phénomène pour des sols peu perméables.

DONNÉES GÉOMÉTRIQUESDONNÉES HYDRAULIQUES RELEVÉES
Diamètre échantillon (\(D\))10.0 cmCharge initiale (\(h_1\)) à \(t=0\)120.0 cm
Longueur échantillon (\(L\))12.0 cmCharge finale (\(h_2\)) à \(t=t_1\)85.0 cm
Diamètre tube piézométrique (\(d\))1.2 cmDurée de l'essai (\(t\))24 heures
🧱 Stratigraphie du Site (Pour calcul de perméabilité équivalente)

Pour le dimensionnement global, nous devons simplifier le sol complexe en un modèle bicouche ou tricouche homogène équivalent. Voici les épaisseurs moyennes relevées par les sondages :

  • Couche 1 (Sable Fin) : Épaisseur \(H_1 = 3.50 \text{ m}\). C'est la couche de couverture.
  • Couche 2 (Limon Argileux) : Épaisseur \(H_2 = 2.00 \text{ m}\). C'est la couche "étanche" critique.
  • Couche 3 (Gravier Alluvionnaire) : Épaisseur \(H_3 = 4.00 \text{ m}\). Pour cette couche, en l'absence d'essai spécifique, vous prendrez une valeur bibliographique sécuritaire de \(k_3 = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m/s}\).

E. Protocole de Résolution

Pour garantir la fiabilité du dimensionnement du pompage, nous allons procéder méthodiquement, de l'échelle de l'échantillon à l'échelle de l'ouvrage.

1

Calcul de la perméabilité \(k_1\) (Sable)

Exploitation des résultats de l'essai à charge constante. Application de la loi de Darcy pour les sols grenus.

2

Calcul de la perméabilité \(k_2\) (Limon)

Exploitation des résultats de l'essai à charge variable. Intégration de la loi de Darcy pour tenir compte de la baisse de charge hydraulique.

3

Perméabilités Équivalentes

Détermination des perméabilités horizontale (\(k_h\)) et verticale (\(k_v\)) du massif stratifié pour comprendre l'anisotropie du terrain.

4

Estimation du Débit de Fuite

Calcul du débit (\(Q\)) traversant le fond de fouille en utilisant les paramètres homogénéisés et le gradient hydraulique moyen.

CORRECTION

Calcul des Coefficients de Perméabilité

1
Détermination de la Perméabilité du Sable (\(k_1\))
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape

L'objectif premier de cette étape est de quantifier la propriété hydraulique intrinsèque du sable fin (Couche A), à savoir son coefficient de perméabilité, noté \(k_1\). Cette valeur fondamentale, exprimée en mètres par seconde (m/s), traduit la vitesse à laquelle l'eau peut circuler à travers les interstices du squelette granulaire sous un gradient hydraulique unitaire. La précision de ce calcul est capitale car le sable constitue la couche de couverture immédiatement sous la surface ; sa perméabilité dictera la rapidité de saturation des fouilles superficielles lors des phases de terrassement initiales.

📚 Référentiel Technique

Nous nous appuyons sur les fondamentaux de l'hydraulique souterraine :

  • Loi de Darcy (1856) : Principe directeur régissant l'écoulement laminaire dans les milieux poreux saturés.
  • NF P 94-090-1 : Norme française définissant le protocole de l'essai de perméabilité à charge constante (Constant Head Test).
🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Pourquoi avoir choisi l'essai à charge constante ? Pour un sol grenu comme le sable, la perméabilité est relativement élevée (généralement \(k > 10^{-4} \text{ m/s}\)). Lors de l'essai, l'eau traverse l'échantillon rapidement. Si nous utilisions un tube fin (charge variable), il se viderait quasi-instantanément, rendant la mesure du temps imprécise. À l'inverse, avec un réservoir d'alimentation à niveau constant, nous pouvons maintenir un régime permanent (débit stable) et mesurer confortablement un volume d'eau significatif sur une durée chronométrée. La stratégie de résolution consiste donc à isoler \(k\) dans l'équation de Darcy en connaissant toutes les autres variables géométriques et hydrauliques imposées par l'appareil.

Flux Q Constant Gradient i = h/L

Schéma de principe : Écoulement permanent

📘 Rappel Théorique : La Loi de Darcy

La loi de Darcy stipule que la vitesse de décharge apparente (\(v\)) de l'eau à travers un milieu poreux est directement proportionnelle au gradient hydraulique (\(i\)).

\[ Q = v \cdot A = k \cdot i \cdot A \]

Dans notre configuration expérimentale :
- Le débit \(Q\) est le volume \(V\) divisé par le temps \(t\) : \(Q = V/t\).
- Le gradient hydraulique \(i\) est la perte de charge \(h\) divisée par la longueur de drainage \(L\) : \(i = h/L\).
En substituant ces termes, nous obtenons l'équation maîtresse de l'essai.

🧮 Démonstration de la Formule

Partons de l'expression du débit de Darcy :

\[ \begin{aligned} Q &= k \cdot i \cdot A \\ \frac{V}{t} &= k \cdot \frac{h}{L} \cdot A \\ V \cdot L &= k \cdot h \cdot A \cdot t \\ k &= \frac{V \cdot L}{A \cdot h \cdot t} \end{aligned} \]
📐 Formule Clé - Perméamètre à Charge Constante
\[ k = \frac{V \cdot L}{A \cdot h \cdot t} \]

Cette formule permet d'extraire \(k\) en fonction des paramètres mesurés.

📋 Données d'Entrée (Rappel)
ParamètreValeur BruteUnité SI (Cible)
Volume d'eau (\(V\))650 cm³\(6.50 \times 10^{-4} \text{ m}^3\)
Longueur (\(L\))15.0 cm\(0.15 \text{ m}\)
Diamètre (\(D\))10.0 cm\(0.10 \text{ m}\)
Charge (\(h\))40.0 cm\(0.40 \text{ m}\)
Temps (\(t\))180 s\(180 \text{ s}\)
💡 Astuce Méthodologique

Ne jamais mélanger les unités ! En géotechnique, les dimensions de laboratoire sont en cm, mais les calculs d'ingénierie se font en mètres et secondes. Convertissez systématiquement toutes vos données en Unités du Système International (USI) avant même d'écrire la première ligne de calcul. Cela évite les erreurs fatales de facteurs 10, 100 ou 1000.


📝 Calculs Détaillés
1. Détermination de la section transversale de l'échantillon (\(A\)) :

L'échantillon est cylindrique. Nous devons calculer la surface du disque à travers lequel l'eau s'infiltre. Utilisons le diamètre converti en mètres (\(0.10 \text{ m}\)).

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (0.10)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.01}{4} \\ &= 7.854 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Interprétation : La surface d'écoulement est d'environ \(78.5 \text{ cm}^2\), ce qui est standard pour un moule Proctor ou CBR utilisé en perméabilité.

2. Application numérique pour le coefficient \(k_1\) :

Nous injectons maintenant toutes les valeurs converties dans la formule de Darcy restructurée.

\[ \begin{aligned} k_1 &= \frac{V \cdot L}{A \cdot h \cdot t} \\ &= \frac{6.50 \times 10^{-4} \cdot 0.15}{7.854 \times 10^{-3} \cdot 0.40 \cdot 180} \\ &= \frac{9.75 \times 10^{-5}}{0.5655} \\ &= 1.724 \times 10^{-4} \text{ m/s} \end{aligned} \]

Interprétation : Le résultat brut est obtenu en m/s. Nous arrondirons à 3 chiffres significatifs.

\[ \textbf{Résultat final : } k_1 = 1.72 \times 10^{-4} \text{ m/s} \]
✅ Interprétation Globale

Nous avons déterminé que la couche de sable possède une perméabilité de \(1.72 \times 10^{-4} \text{ m/s}\). Cela signifie qu'elle se comporte comme un milieu drainant classique. Cette valeur sera utilisée comme \(k_{\text{high}}\) dans nos futurs calculs d'anisotropie.

⚖️ Analyse de Cohérence

Est-ce que ce résultat a du sens ? Pour un "Sable Fin", la littérature (ex: tables de Casagrande) indique généralement des perméabilités comprises entre \(10^{-5}\) et \(10^{-3} \text{ m/s}\). Notre valeur de \(1.7 \times 10^{-4}\) tombe pile au milieu de cette fourchette. Le résultat est donc physiquement cohérent et valide l'hypothèse d'un sol drainant.

⚠️ Point de Vigilance

Un tel sol est très perméable. En cas d'excavation sous la nappe sans précaution, l'eau envahirait la fouille en quelques minutes. Les parois devront être étanches (palplanches, paroi moulée) sur toute la hauteur de cette couche.

2
Détermination de la Perméabilité du Limon (\(k_2\))
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape

Nous abordons ici la caractérisation de la couche critique : le limon argileux (Couche B). L'objectif est de mesurer une perméabilité extrêmement faible, invisible à l'œil nu sur une courte période. C'est cette couche qui jouera le rôle de "bouchon" hydraulique partiel au fond de la fouille. Une erreur d'évaluation ici, et c'est tout le modèle de débit de fuite qui s'effondre.

📚 Référentiel Technique

Comme pour la couche précédente, nous restons dans le cadre de la Loi de Darcy et de la norme NF P 94-090-1. Cependant, le protocole expérimental s'adapte à la nature du sol : c'est l'essai à charge variable.

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

L'astuce de cet essai réside dans le facteur d'amplification hydraulique : le rapport des sections \(a/A\). Comme le tube est très fin (\(d=1.2\text{ cm}\)) par rapport à l'échantillon (\(D=10\text{ cm}\)), une toute petite quantité d'eau traversant le sol provoque une baisse visible du niveau dans le tube. C'est ce "micromètre hydraulique" qui nous permet de mesurer des perméabilités de l'ordre du milliardième de mètre par seconde.

h1 h2 Décroissance log
📘 Rappel Théorique : L'équation différentielle

Ici, la charge \(h\) diminue au cours du temps \(t\). Le débit entrant \(q_{\text{in}}\) (baisse dans le tube) est égal au débit sortant \(q_{\text{out}}\) (traversée du sol). Par conservation de la masse :

Le terme \(dh/dt\) représente la vitesse de baisse du niveau. Le signe "moins" indique que la hauteur \(h\) diminue quand le temps \(t\) augmente.

\[ -a \cdot \frac{dh}{dt} = k \cdot A \cdot \frac{h}{L} \]
🧮 Démonstration de l'Intégration

Pour obtenir la formule finale, nous devons intégrer l'équation différentielle entre l'état initial (\(t=0, h=h_1\)) et l'état final (\(t=t_1, h=h_2\)).

\[ \begin{aligned} -a \frac{dh}{h} &= \frac{k \cdot A}{L} dt \\ \int_{h_1}^{h_2} -\frac{dh}{h} &= \int_{0}^{t} \frac{k \cdot A}{a \cdot L} dt \\ \left[ -\ln(h) \right]_{h_1}^{h_2} &= \frac{k \cdot A}{a \cdot L} \cdot t \\ \ln(h_1) - \ln(h_2) &= \frac{k \cdot A \cdot t}{a \cdot L} \\ \ln\left(\frac{h_1}{h_2}\right) &= \frac{k \cdot A \cdot t}{a \cdot L} \\ k &= \frac{a \cdot L}{A \cdot t} \ln\left(\frac{h_1}{h_2}\right) \end{aligned} \]
📐 Formule Clé - Perméamètre à Charge Variable
\[ k = \frac{a \cdot L}{A \cdot t} \cdot \ln\left(\frac{h_1}{h_2}\right) \]

Note : On utilise ici le logarithme népérien (\(\ln\)). Si vous utilisez \(\log_{10}\), il faut multiplier par 2.3.

📋 Données d'Entrée (Rappel)
ParamètreValeur BruteUnité SI (Cible)
Diamètre Tube (\(d\))1.2 cm\(0.012 \text{ m}\)
Diamètre Sol (\(D\))10.0 cm\(0.10 \text{ m}\)
Longueur Sol (\(L\))12.0 cm\(0.12 \text{ m}\)
Charge Initiale (\(h_1\))120.0 cm\(1.20 \text{ m}\)
Charge Finale (\(h_2\))85.0 cm\(0.85 \text{ m}\)
Durée (\(t\))24 heures\(86400 \text{ s}\)
💡 Astuce de Calcul

Ne vous trompez pas de logarithme ! La formule standard utilise le logarithme népérien (base e). Si votre calculatrice ou vos abaques utilisent le log décimal (base 10), n'oubliez pas le facteur correctif de 2.303.


📝 Calculs Détaillés
1. Calcul des sections hydrauliques (\(a\) et \(A\)) :

Calculons d'abord la petite section du tube piézométrique et la grande section de l'échantillon.

\[ \begin{aligned} a &= \frac{\pi \cdot d^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (0.012)^2}{4} \\ &= 1.131 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (0.10)^2}{4} \\ &= 7.854 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \end{aligned} \]
2. Conversion critique du temps :

C'est le piège classique. La durée est en heures, il faut impérativement la passer en secondes.

\[ \begin{aligned} t &= 24 \text{ h} \\ &= 24 \times 60 \times 60 \\ &= 86400 \text{ s} \end{aligned} \]
3. Calcul du terme logarithmique (Ratio de charge) :

Ce terme sans unité représente la décroissance de l'énergie potentielle.

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{h_1}{h_2} \\ &= \frac{1.20}{0.85} \\ &\approx 1.4118 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \ln(\text{Ratio}) &= \ln(1.4118) \\ &\approx 0.3448 \end{aligned} \]
4. Calcul final de \(k_2\) :
\[ \begin{aligned} k_2 &= \frac{1.131 \times 10^{-4} \cdot 0.12}{7.854 \times 10^{-3} \cdot 86400} \cdot 0.3448 \\ &= \frac{1.357 \times 10^{-5}}{678.58} \cdot 0.3448 \\ &= 2.00 \times 10^{-8} \cdot 0.3448 \\ &= 6.896 \times 10^{-9} \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \textbf{Résultat final : } k_2 = 6.90 \times 10^{-9} \text{ m/s} \]
✅ Interprétation Globale

Nous avons réussi à quantifier la perméabilité de la couche limitante. Avec \(k \approx 7 \times 10^{-9} \text{ m/s}\), cette couche d'argile est des milliers de fois plus étanche que le sable. C'est elle qui va contrôler la cinétique des flux verticaux.

⚖️ Analyse de Cohérence

L'ordre de grandeur (\(10^{-9} \text{ m/s}\)) est typique d'un limon argileux compact ou d'une argile silteuse. C'est un sol très peu perméable (quasi-imperméable à l'échelle humaine). Comparé au sable (\(10^{-4}\)), il y a un facteur 100 000 de différence ! C'est considérable.

⚠️ Point de Vigilance

Une perméabilité aussi faible signifie que la pression interstitielle mettra du temps à se dissiper. Attention aux phénomènes de consolidation ou de gonflement à long terme, même si cela dépasse le cadre strict de cette étude hydraulique.

3
Perméabilités Équivalentes (Anisotropie)
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape

Nous disposons maintenant des caractéristiques individuelles des "briques" (les couches de sol). Mais l'ouvrage interagit avec le "mur" entier (le massif stratifié). L'objectif est de calculer les propriétés globales de ce massif. En géotechnique, un sol stratifié horizontalement n'a pas la même perméabilité selon qu'on le traverse verticalement ou qu'on le longe horizontalement : c'est l'anisotropie macroscopique. Nous devons quantifier \(k_h\) (horizontal) et \(k_v\) (vertical).

📚 Référentiel Technique

Ce calcul se base sur les modèles d'homogénéisation des milieux stratifiés, dérivés directement des lois de l'hydraulique souterraine et des analogies électriques (Loi de Kirchhoff).

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Nous allons considérer le sol comme un système de conducteurs hydrauliques. Horizontalement, l'eau peut choisir sa couche : elle passera massivement par les couches les plus perméables (court-circuit). Verticalement, elle est obligée de traverser toutes les couches, y compris les plus étanches qui feront goulot d'étranglement. Nous nous attendons donc mathématiquement à ce que \(k_h \gg k_v\).

Horizontal (Parallèle) Vertical (Série)
📘 Rappel Théorique : Série vs Parallèle
➡️ Flux Horizontal (Analogie : Parallèle)

Lorsque l'eau s'écoule horizontalement, elle emprunte toutes les couches simultanément. La loi de conservation indique que le débit total est la somme des débits : \(Q_{\text{tot}} = \sum Q_i\). Or \(Q_i = k_i \cdot H_i \cdot i\). Le gradient \(i\) est commun à toutes les couches.

⬇️ Flux Vertical (Analogie : Série)

Lorsque l'eau s'écoule verticalement, elle doit traverser successivement chaque couche. Le débit \(Q\) est constant à travers toutes les couches (conservation de la masse), mais la perte de charge totale est la somme des pertes de charge individuelles : \(\Delta H_{\text{tot}} = \sum \Delta H_i\).

🧮 Justification Physique des Moyennes

1. Pour la perméabilité horizontale (\(k_h\)) :

Le débit total par unité de largeur est :

\[ Q = k_h \cdot H_{\text{tot}} \cdot i \]

La somme des débits des couches individuelles est :

\[ \sum Q_i = \sum (k_i \cdot H_i \cdot i) \]

En égalisant et en simplifiant par le gradient \(i\) (commun) :

\[ k_h \cdot H_{\text{tot}} = \sum (k_i \cdot H_i) \]

2. Pour la perméabilité verticale (\(k_v\)) :

La perte de charge totale est :

\[ \Delta H_{\text{tot}} = L_{\text{tot}} \cdot i_{\text{eq}} = H_{\text{tot}} \cdot \frac{v}{k_v} \]

La somme des pertes de charge est :

\[ \sum \Delta H_i = \sum \left( H_i \cdot \frac{v}{k_i} \right) \]

En égalisant et en simplifiant par \(v\) :

\[ \frac{H_{\text{tot}}}{k_v} = \sum \frac{H_i}{k_i} \]
📐 Formules d'Équivalence 1. Perméabilité Horizontale Équivalente (\(k_h\))
\[ k_h = \frac{1}{H_{\text{tot}}} \sum_{i=1}^{n} (k_i \cdot H_i) \]
2. Perméabilité Verticale Équivalente (\(k_v\))
\[ k_v = \frac{H_{\text{tot}}}{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{H_i}{k_i}\right)} \]
📋 Données Stratigraphiques Consolidées
  • Couche A (Sable) : \(H_1 = 3.5 \text{ m}, k_1 = 1.72 \times 10^{-4} \text{ m/s}\)
  • Couche B (Limon) : \(H_2 = 2.0 \text{ m}, k_2 = 6.90 \times 10^{-9} \text{ m/s}\)
  • Couche C (Gravier) : \(H_3 = 4.0 \text{ m}, k_3 = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m/s}\)
  • Hauteur Totale (\(H_{\text{tot}}\)) : \(3.5 + 2.0 + 4.0 = 9.5 \text{ m}\)
💡 Astuce de Calcul

Pour le calcul vertical, vous manipulez des inverses de très petits nombres (\(1/10^{-9} = 10^9\)). Les termes deviennent gigantesques (résistances hydrauliques). Ne soyez pas surpris d'obtenir des sommes de l'ordre de plusieurs centaines de millions avant de diviser.


📝 Calculs Détaillés
1. Calcul de la Perméabilité Horizontale (\(k_h\)) :

Calculons la somme des transmissivités (\(k \cdot H\)) de chaque couche.

\[ \begin{aligned} \sum (k_i \cdot H_i) &= (1.72 \times 10^{-4} \cdot 3.5) + (6.90 \times 10^{-9} \cdot 2.0) + (1.0 \times 10^{-2} \cdot 4.0) \\ &= (6.02 \times 10^{-4}) + (1.38 \times 10^{-8}) + (4.0 \times 10^{-2}) \\ &= 0.000602 + 0.0000000138 + 0.0400 \\ &\approx 0.040602 \text{ m}^2/s \end{aligned} \]

Notez que le terme du gravier (0.04) domine écrasantement les autres. L'argile ne contribue presque pas au flux horizontal.

\[ \begin{aligned} k_h &= \frac{0.040602}{9.5} \\ &= 4.274 \times 10^{-3} \text{ m/s} \end{aligned} \]
2. Calcul de la Perméabilité Verticale (\(k_v\)) :

Calculons la somme des résistances hydrauliques (\(H / k\)).

\[ \begin{aligned} \sum \left(\frac{H_i}{k_i}\right) &= \frac{3.5}{1.72 \times 10^{-4}} + \frac{2.0}{6.90 \times 10^{-9}} + \frac{4.0}{1.0 \times 10^{-2}} \\ &= (2.03 \times 10^{4}) + (2.898 \times 10^{8}) + (4.0 \times 10^{2}) \\ &\approx 2.898 \times 10^{8} \text{ s} \end{aligned} \]

Ici, c'est l'inverse ! Le terme de l'argile (\(10^8\)) est gigantesque par rapport aux autres. C'est elle qui freine tout le système.

\[ \begin{aligned} k_v &= \frac{9.5}{2.898 \times 10^{8}} \\ &= 3.278 \times 10^{-8} \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k_h &= 4.27 \times 10^{-3} \text{ m/s} \\ k_v &= 3.28 \times 10^{-8} \text{ m/s} \end{aligned} \]
✅ Interprétation Globale

Le calcul révèle une anisotropie spectaculaire. Le ratio \(k_h / k_v\) est de l'ordre de \(130 000\) ! Cela signifie concrètement que l'eau circule 130 000 fois plus facilement à l'horizontal qu'à la verticale.

⚖️ Analyse de Cohérence

Ce résultat est extrêmement cohérent avec la structure géologique. La perméabilité horizontale est proche de celle du gravier (la couche la plus perméable), tandis que la verticale est proche de celle de l'argile (la couche la moins perméable). C'est la signature classique d'un sol stratifié.

⚠️ Point de Vigilance

Pour notre excavation, c'est une excellente nouvelle : la couche d'argile agit comme un plancher presque étanche qui empêche l'eau de l'aquifère profond (gravier) de remonter rapidement dans la fouille, à condition que l'on ne perce pas cette couche.

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Estimation du Débit de Fuite (\(Q\))
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape

C'est l'étape finale du dimensionnement. Nous devons fournir au chef de chantier une valeur concrète : combien de litres d'eau par heure vont s'infiltrer au fond de la fouille ? Cette valeur conditionne le choix de la pompe. Si le débit est faible (< 5 m³/h), une petite pompe vide-cave suffit. S'il est énorme, il faut une installation industrielle complexe.

📚 Référentiel Technique

Le dimensionnement s'effectue selon le principe de la Loi de Darcy appliquée à un massif (Modèle 1D simplifié), couramment utilisé en phase d'avant-projet pour estimer les exhaures.

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Nous faisons l'hypothèse d'un écoulement unidirectionnel vertical ascendant. L'eau cherche à remonter du fond (zone sous pression) vers la surface libre de la fouille (zone atmosphérique). Le "moteur" de cet écoulement est la différence de niveau entre la nappe extérieure et le fond de fouille. Le "frein" est la couche de sol située sous le fond de fouille. Pour ce calcul rapide de sécurité, on considère que l'écoulement traverse verticalement une épaisseur moyenne de sol de 3 mètres sous la fouille, avec la perméabilité \(k_v\) calculée précédemment.

Fond de Fouille Q (Remontée) Zone de freinage (L=3m) Perméabilité = kv
📘 Rappel Théorique

Le débit \(Q\) est le produit de la vitesse de Darcy par la surface d'infiltration. La vitesse dépend du gradient hydraulique \(i\) et de la perméabilité du milieu \(k\).

📐 Formule Appliquée

On réutilise la loi de Darcy à l'échelle macroscopique :

\[ Q = k \cdot i \cdot S \]
  • \(k\) : Perméabilité verticale équivalente (\(k_v\))
  • \(i\) : Gradient hydraulique moyen (\(\Delta H / L\))
  • \(S\) : Surface du fond de fouille (\(10m \times 20m\))
📋 Données d'Entrée
ParamètreValeur
Niveau Nappe-1.0 m
Niveau Fond Fouille-8.0 m
Différence de Charge (\(\Delta H\))7.0 m
Longueur de Drainage (\(L\))3.0 m
Surface Fouille (\(S\))200 m²
Perméabilité (\(k_v\))\(3.28 \times 10^{-8} \text{ m/s}\)
💡 Astuce

N'oubliez pas que le débit final en m³/s sera très petit (puisances de 10 négatives). Pour le rendre intelligible, convertissez-le systématiquement en Litres/heure ou m³/heure.


📝 Calculs Détaillés
1. Calcul du Gradient Hydraulique (\(i\)) :

La charge motrice est la différence de hauteur d'eau. La longueur de drainage est l'épaisseur de sol traversée.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{tot}} &= \text{Niveau Nappe} - \text{Fond Fouille} \\ &= (-1.0) - (-8.0) \\ &= 7.0 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} L_{\text{ecoulement}} &= 3.0 \text{ m} \\ i &= \frac{7.0}{3.0} \\ &= 2.333 \end{aligned} \]
2. Calcul de la Surface (\(S\)) :
\[ \begin{aligned} S_{\text{fond}} &= 10 \times 20 \\ &= 200 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
3. Calcul du Débit (\(Q\)) :

On utilise \(k_v\) (\(3.28 \times 10^{-8} \text{ m/s}\)) car le flux est vertical.

\[ \begin{aligned} Q &= k_v \cdot i \cdot S_{\text{fond}} \\ &= (3.28 \times 10^{-8}) \cdot 2.333 \cdot 200 \\ &= 1.528 \times 10^{-5} \text{ m}^3/s \end{aligned} \]
4. Conversion en litres/heure :

Pour que le résultat soit "parlant" sur un chantier.

\[ \begin{aligned} Q_{\text{horaire}} &= 1.528 \times 10^{-5} \times 3600 \text{ s} \\ &= 0.055 \text{ m}^3/h \\ &= 55 \text{ Litres/heure} \end{aligned} \]
\[ \textbf{Débit estimé : } Q \approx 55 \text{ L/h} \]
✅ Interprétation Globale

Le débit d'infiltration calculé est extrêmement faible (55 litres par heure pour 200 m²). Cela confirme que la couche de limon argileux joue parfaitement son rôle d'écran étanche.

⚖️ Analyse de Cohérence

55 L/h correspond au débit d'un petit robinet de jardin à peine ouvert. Pour une fouille de cette taille, c'est insignifiant et facilement gérable par une petite pompe de puisard.

⚠️ Points de Vigilance Critique

Ce résultat extrêmement faible n'est valide QUE SI la couche d'argile est continue et non fissurée. Si les travaux perforent cette couche ou s'il existe des lentilles de sable non détectées, le perméabilité locale passera de \(k_v\) à \(k_h\) (voire pire), et le débit pourrait être multiplié par 100 000 ! Le suivi piézométrique en temps réel est donc obligatoire.

📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)

BON POUR EXE
Projet : Extension Terminal Nord
NOTE DE DIMENSIONNEMENT HYDRAULIQUE
Affaire :TCN-2024
Phase :EXE
Date :29/01/24
Indice :B
Ind.DateObjet de la modificationRédacteur
A10/01/24Création du document / Première diffusionJ. Du Sol
B29/01/24Mise à jour suite aux essais de laboratoireJ. Du Sol
1. Synthèse des Paramètres Hydrauliques

Les essais réalisés conformément à la norme NF P 94-090-1 ont permis d'arrêter les valeurs caractéristiques suivantes pour le dimensionnement :

Perméabilité Sable (k1)1.72 x 10-4 m/s
Perméabilité Limon (k2)6.90 x 10-9 m/s
Perméabilité Gravier (k3)1.00 x 10-2 m/s
Perméabilité Verticale Équivalente (kv)3.28 x 10-8 m/s
2. Modélisation des Flux
FLUX HORIZONTAL RAPIDE (kh ≈ 4.10⁻³ m/s) FLUX VERTICAL FREINÉ (kv ≈ 3.10⁻⁸ m/s) Rôle "Bouchon" de l'argile Sable (k = 10⁻⁴) Argile (k = 10⁻⁹) Gravier (k = 10⁻²)
3. Conclusion & Décision
AVIS FAVORABLE SOUS RÉSERVE
✅ DÉBIT DE FUITE NÉGLIGEABLE (55 L/h)
L'analyse démontre que la couche d'argile joue parfaitement son rôle d'écran étanche. Le débit d'exhaure théorique est très faible.
Préconisation : Prévoir une pompe vide-cave de sécurité (5 m³/h) et installer deux piézomètres d'alerte pour surveiller la sous-pression dans les graviers.
Ingénieur Géotechnicien :
Jean DU SOL
Directeur Technique :
Dr. A. QUIFERE
VISA QUALITÉ
(Tampon)
Génie Civil & Géotechnique - Module Hydrogéologie
Section Publicitaire Élégante

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