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Évaluation du Tassement Total d’une Fondation

Évaluation du Tassement Total d’une Fondation en Géotechnique

Évaluation du Tassement Total d’une Fondation

Contexte : La stabilité des sols, fondement de toute construction.

En géotechnique, la prédiction du tassement d'une fondation est une étape capitale dans la conception de tout ouvrage de Génie Civil. Un tassement excessif ou non uniforme peut engendrer des désordres structurels graves (fissures, inclinaison). Cet exercice vous guidera à travers la méthode classique pour évaluer le tassement total d'une semelle superficielle reposant sur une couche de sol compressible, en décomposant le phénomène en tassement immédiat et tassement de consolidation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'application des principes fondamentaux de la mécanique des sols (principe de la contrainte effective de Terzaghi, théorie de la consolidation) à un cas d'ingénierie concret. L'objectif est de lier les paramètres de laboratoire (indice de compression, etc.) au comportement réel d'une fondation sur le terrain.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la contrainte effective initiale dans le sol à une profondeur donnée.
  • Estimer l'augmentation de contrainte due à la charge de la fondation.
  • Calculer le tassement de consolidation primaire d'une couche d'argile.
  • Calculer le tassement immédiat (élastique) sous la fondation.
  • Sommer les composantes pour obtenir le tassement total et l'interpréter.

Données de l'étude

Une semelle de fondation carrée de 2m x 2m est prévue pour supporter la charge d'un poteau. Le profil du sol consiste en une couche de sable de 3m d'épaisseur reposant sur une couche d'argile saturée de 5m d'épaisseur. La nappe phréatique est située à 1.5m sous la surface. La base de la fondation est à 1m de profondeur.

Schéma du profil de sol et de la fondation
Surface (z=0m) Q B = 2m Df = 1m Nappe (z=1.5m) Sable γ = 18 kN/m³ γ_sat = 20 kN/m³ Argile Saturée γ_sat = 19 kN/m³ Cc=0.25, e₀=0.9 3m 5m Substratum Rocheux Point A (milieu de l'argile)
ParamètreSymboleValeurUnité
Charge totale appliquée\(Q\)1200\(\text{kN}\)
Largeur de la semelle\(B\)2\(\text{m}\)
Poids vol. du sable\(\gamma_{\text{sable}}\)18\(\text{kN/m}^3\)
Poids vol. saturé du sable\(\gamma_{\text{sat,sable}}\)20\(\text{kN/m}^3\)
Poids vol. saturé de l'argile\(\gamma_{\text{sat,argile}}\)19\(\text{kN/m}^3\)
Indice de compression\(C_c\)0.30-
Indice des vides initial\(e_0\)0.85-
Contrainte de préconsolidation\(\sigma'_{\text{p}}\)100\(\text{kPa}\)
Module de Young de l'argile\(E_u\)10000\(\text{kPa}\)
Coefficient de Poisson\(\nu\)0.5-

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte verticale effective initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\)) au milieu de la couche d'argile.
  2. Calculer le supplément de contrainte (\(\Delta\sigma'\)) au milieu de la couche d'argile dû à la fondation (utiliser la méthode de diffusion 2V:1H).
  3. Déterminer le tassement de consolidation primaire (\(S_c\)).
  4. Calculer le tassement immédiat (\(S_i\)) en considérant un facteur d'influence \(I_s = 1.12\).
  5. Calculer le tassement total (\(S_t\)) de la fondation.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de résoudre l'exercice, rappelons quelques concepts essentiels.

1. Le Principe de la Contrainte Effective :
Formulé par Karl Terzaghi, c'est le concept le plus important en mécanique des sols. Il stipule que la déformation et la résistance d'un sol dépendent de la contrainte effective (\(\sigma'\)), et non de la contrainte totale (\(\sigma\)). La contrainte effective est la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle (\(u\)). \[ \sigma' = \sigma - u \] C'est la contrainte "supportée par le squelette solide" du sol.

2. Le Tassement de Consolidation :
Ce phénomène se produit dans les sols fins saturés (argiles, limons) lorsqu'une charge est appliquée. L'augmentation de contrainte est initialement reprise par l'eau interstitielle (surpression interstitielle). Le tassement se produit au fur et à mesure que cette eau s'évacue lentement, transférant la charge au squelette solide. La formule dépend de si le sol reste surconsolidé (OC) ou devient normalement consolidé (NC). \[ S_c = H_0 \frac{C_c}{1+e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \]

3. Le Tassement Immédiat :
Ce tassement se produit instantanément lors de l'application de la charge. Il est dû à la déformation élastique du sol, sans changement de volume (sans expulsion d'eau). On le calcule en utilisant la théorie de l'élasticité. \[ S_i = q_n \cdot B \cdot \frac{1-\nu^2}{E_u} \cdot I_s \] Où \(q_n\) est la contrainte nette appliquée et \(I_s\) est un facteur de forme.

Correction : Évaluation du Tassement Total d’une Fondation

Question 1 : Calculer la contrainte effective initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte effective initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\)) en un point est la pression exercée par le poids des grains de sol situés au-dessus de ce point. Elle représente l'état de contrainte "naturel" du sol avant la construction. Pour la calculer, on somme le poids des différentes couches de sol, en prenant soin de soustraire l'effet de la pression de l'eau sous la nappe phréatique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte totale (\(\sigma_v\)) à une profondeur z est le poids de toute la colonne de sol (grains + eau) au-dessus. La pression interstitielle (\(u\)) est la pression de l'eau dans les pores. Selon le principe de Terzaghi, la contrainte effective (\(\sigma'_v\)) est la partie de la contrainte totale qui est supportée par le contact entre les grains. C'est cette contrainte qui gouverne la compressibilité et la résistance du sol.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une éponge saturée d'eau. Si vous la pressez, la pression totale que vous appliquez se répartit entre l'eau et la structure de l'éponge. La contrainte effective est la partie de la pression qui comprime réellement l'éponge elle-même. La nappe phréatique agit comme la poussée d'Archimède : elle "allège" les grains de sol, réduisant ainsi la contrainte effective.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) impose le calcul des contraintes effectives comme base de toute justification de stabilité et de tassement. Il définit les méthodes de détermination des poids volumiques des sols et de la position de la nappe phréatique de calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule la contrainte totale \(\sigma_{\text{v0}}\), la pression interstitielle \(u_0\) et la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v0}}\) :

\[ \sigma_{\text{v0}} = \sum (\gamma_i \cdot h_i) \]
\[ u_0 = \gamma_w \cdot h_w \]
\[ \sigma'_{\text{v0}} = \sigma_{\text{v0}} - u_0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le terrain est horizontal, les couches de sol sont homogènes et d'épaisseur constante, et les conditions hydrostatiques sont établies (pas d'écoulement d'eau vertical).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profondeur du point A (milieu de l'argile) : z = 3\(\text{m}\) (sable) + 2.5\(\text{m}\) (argile) = 5.5\(\text{m}\)
  • Profondeur de la nappe : 1.5\(\text{m}\)
  • \(\gamma_{\text{sable}} = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(\gamma_{\text{sat,sable}} = 20 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(\gamma_{\text{sat,argile}} = 19 \, \text{kN/m}^3\), \(\gamma_w \approx 10 \, \text{kN/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une méthode rapide est d'utiliser directement le poids volumique déjaugé (\(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w\)) pour les couches sous la nappe. Le calcul devient : \(\sigma'_{\text{v0}} = (1.5 \cdot \gamma_{\text{sable}}) + (1.5 \cdot \gamma'_{\text{sable}}) + (2.5 \cdot \gamma'_{\text{argile}})\). Cela donne : \((1.5 \cdot 18) + (1.5 \cdot (20-10)) + (2.5 \cdot (19-10)) = 27 + 15 + 22.5 = 64.5 \, \text{kPa}\). On retrouve le même résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Profil de sol pour le calcul des contraintes
Sable (γ=18)Nappe à 1.5mSable (γ_sat=20)Argile (γ_sat=19)Point A
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte totale \(\sigma_{\text{v0}}\) à z = 5.5m :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{v0}} &= (1.5 \cdot \gamma_{\text{sable}}) + (1.5 \cdot \gamma_{\text{sat,sable}}) + (2.5 \cdot \gamma_{\text{sat,argile}}) \\ &= (1.5 \cdot 18) + (1.5 \cdot 20) + (2.5 \cdot 19) \\ &= 27 + 30 + 47.5 \\ &= 104.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de la pression interstitielle \(u_0\) à z = 5.5m :

\[ \begin{aligned} u_0 &= \gamma_w \cdot (5.5 - 1.5) \\ &= 10 \cdot 4.0 \\ &= 40 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v0}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v0}} &= \sigma_{\text{v0}} - u_0 \\ &= 104.5 - 40 \\ &= 64.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des contraintes verticales
σ_vuσ'_v64.5 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 64.5 kPa représente la contrainte de compression que le "squelette" de l'argile subit depuis des milliers d'années. C'est notre point de départ. Tout tassement futur sera causé par une augmentation de cette contrainte.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de mal calculer la hauteur d'eau \(h_w\) ou d'oublier d'utiliser le poids volumique saturé \(\gamma_{\text{sat}}\) sous la nappe pour le calcul de la contrainte totale. Une autre erreur est de confondre contrainte totale et effective.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte effective est la clé : \(\sigma' = \sigma - u\).
  • Le calcul se fait par couches, en partant de la surface.
  • Sous la nappe, la contrainte totale utilise \(\gamma_{\text{sat}}\) et la pression de l'eau \(u\) augmente avec la profondeur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certaines situations (conditions artésiennes), la pression de l'eau peut être supérieure à la pression hydrostatique. Cela peut réduire considérablement la contrainte effective, et dans des cas extrêmes (pression égale à la contrainte totale), conduire à la liquéfaction du sable, où le sol se comporte comme un fluide.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la nappe phréatique descend ?

Si la nappe descend, la hauteur d'eau \(h_w\) diminue, donc \(u\) diminue. La contrainte totale \(\sigma\) augmente (car une partie du sol passe de \(\gamma_{\text{sat}}\) à \(\gamma\)). Le résultat net est une augmentation de la contrainte effective \(\sigma'\), ce qui peut provoquer un tassement régional, même sans construire de bâtiment !

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte effective initiale au milieu de la couche d'argile est de 64.5 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la nappe phréatique était à la surface (z=0m), quelle serait la nouvelle contrainte effective \(\sigma'_{\text{v0}}\) au point A en kPa ?

Question 2 : Calculer le supplément de contrainte (\(\Delta\sigma'\))

Principe (le concept physique)

La charge apportée par la fondation se diffuse dans le sol en profondeur. Le supplément de contrainte (\(\Delta\sigma'\)) n'est pas constant et diminue avec la profondeur. Pour des calculs courants, on utilise des méthodes simplifiées comme la diffusion à 2V:1H (2 vertical pour 1 horizontal) pour estimer cette augmentation de pression au cœur de la couche compressible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La charge de la fondation crée un "bulbe de contraintes" dans le sol. La théorie de l'élasticité (équations de Boussinesq) permet de calculer précisément cette contrainte en tout point. La méthode 2V:1H est une approximation qui suppose que la charge se répartit sur une surface de plus en plus grande avec la profondeur, la pente de cette diffusion étant de 1 horizontal pour 2 vertical.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que votre fondation est un arrosoir. L'eau (la charge) qui en sort s'étale sur une surface de plus en plus grande à mesure qu'elle tombe. La "pression" de l'eau au sol est donc bien plus faible que la pression à la sortie de l'arrosoir. La méthode 2V:1H est juste une façon simple de calculer la taille de la "tache d'eau" à une certaine profondeur.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 autorise l'utilisation de méthodes simplifiées pour la diffusion des contraintes, comme la méthode 2V:1H, pour les analyses préliminaires ou lorsque la précision des abaques de Boussinesq n'est pas jugée nécessaire. La clé est de toujours partir de la contrainte NETTE appliquée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Contrainte nette appliquée par la fondation (\(q_n\)):

\[ q_n = \frac{Q}{B^2} - \gamma_{\text{sable}} \cdot D_f \]

2. Diffusion de la contrainte à une profondeur z sous la semelle (pour une semelle carrée B=L):

\[ \Delta\sigma'_{\text{z}} = q_n \cdot \frac{B^2}{(B+z)^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte nette se répartit uniformément sur l'aire élargie à la profondeur z. Cette méthode est une simplification et ne représente pas la distribution réelle (en forme de cloche) des contraintes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge totale, \(Q = 1200 \, \text{kN}\)
  • Largeur de la semelle, \(B = 2 \, \text{m}\)
  • Profondeur d'encastrement, \(D_f = 1 \, \text{m}\)
  • Poids vol. du sol excavé, \(\gamma_{\text{sable}} = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Profondeur du point A sous la semelle: z = (3 - 1) + 2.5 = 4.5 m
Astuces(Pour aller plus vite)

L'erreur la plus courante est d'oublier de calculer la contrainte NETTE. On doit toujours déduire le poids du sol qui a été enlevé pour construire la fondation. C'est la charge *supplémentaire* qui cause le tassement. Pensez-y : si vous remplacez le sol par du béton de même poids, il n'y a pas de charge nette et pas de tassement !

Schéma (Avant les calculs)
Diffusion des contraintes (Méthode 2V:1H)
q_nB+zz = 4.5m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte nette \(q_n\):

\[ \begin{aligned} q_n &= \frac{1200}{2^2} - (18 \cdot 1) \\ &= 300 - 18 \\ &= 282 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Calcul du supplément de contrainte \(\Delta\sigma'\) à z = 4.5m :

\[ \begin{aligned} \Delta\sigma' &= 282 \cdot \frac{2^2}{(2+4.5)^2} \\ &= 282 \cdot \frac{4}{42.25} \\ &\approx 26.7 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Appliquée au Milieu de l'Argile
Couche d'argileσ'_v0 = 64.5Δσ' = 26.7
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte effective initiale de 64.5 kPa va augmenter de 26.7 kPa. C'est cette augmentation qui va "compresser" le squelette du sol et provoquer un tassement. Notez que la contrainte ajoutée est bien plus faible que la contrainte nette en surface (282 kPa) en raison de la diffusion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de calculer la profondeur z depuis la surface du sol au lieu de la base de la fondation. La diffusion commence à partir du niveau où la charge est appliquée, c'est-à-dire la base de la semelle. N'oubliez pas non plus que pour une semelle rectangulaire, la formule est \((B+z)(L+z)\) au dénominateur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement est causé par la contrainte NETTE (\(q_n\)).
  • Cette contrainte diminue avec la profondeur (diffusion).
  • La méthode 2V:1H est une approximation simple pour calculer cette diffusion.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fondations très larges, comme les radiers généraux sous les grands immeubles, la diffusion est beaucoup plus lente. L'augmentation de contrainte en profondeur est presque égale à la contrainte nette appliquée en surface (\(\Delta\sigma' \approx q_n\)). Cela peut entraîner des tassements très importants.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette méthode est-elle toujours précise ?

Non, c'est une simplification. Elle est généralement conservative (surestime un peu la contrainte) au centre sous la fondation. Pour des projets complexes ou des géométries particulières, les ingénieurs utilisent des logiciels basés sur la méthode des éléments finis qui résolvent les équations de l'élasticité pour un calcul plus précis du champ de contraintes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le supplément de contrainte au milieu de la couche d'argile est d'environ 26.7 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la semelle était rectangulaire (B=2m, L=4m), quel serait le \(\Delta\sigma'\) à la même profondeur en kPa ?

Question 3 : Déterminer le tassement de consolidation (\(S_c\))

Principe (le concept physique)

Le tassement de consolidation est le résultat de la compression lente de la couche d'argile sous l'effet du supplément de charge. Il faut d'abord vérifier si la charge finale dépasse la contrainte de préconsolidation pour savoir si le sol va tasser sur la courbe de recompression (faible tassement) ou sur la courbe vierge (tassement important).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'essai oedométrique en laboratoire permet de tracer la courbe de compressibilité du sol : l'indice des vides \(e\) en fonction du logarithme de la contrainte effective \(\log(\sigma')\). Cette courbe présente une rupture de pente à la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\). La pente de la partie plate est l'indice de recompression \(C_r\), et la pente de la partie raide est l'indice de compression \(C_c\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous marchez sur de la neige fraîche : vous vous enfoncez beaucoup (comportement normalement consolidé, pente \(C_c\)). Maintenant, imaginez que vous repassez dans vos propres traces : vous vous enfoncez très peu (comportement surconsolidé, pente \(C_r\)). La contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) est la pression maximale que la "neige" a connue dans le passé. Le calcul du tassement dépend crucialement de si vous allez dépasser ou non cette pression historique.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 exige que les paramètres de compressibilité (\(C_c, C_r, \sigma'_{\text{p}}\)) soient déterminés à partir d'essais de laboratoire pertinents (principalement l'essai oedométrique, normalisé par l'ISO 17892-5) sur des échantillons de sol de haute qualité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule d'abord la contrainte finale :

\[\sigma'_{\text{vf}} = \sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'\]

Puis on compare \(\sigma'_{\text{vf}}\) à \(\sigma'_{\text{p}}\).
Cas 1 : Sol surconsolidé (\(\sigma'_{\text{vf}} \le \sigma'_{\text{p}}\))

\[ S_c = \frac{H_0}{1+e_0} C_r \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \]

Cas 2 : Sol devenant normalement consolidé (\(\sigma'_{\text{vf}} > \sigma'_{\text{p}}\))

\[ S_c = \frac{H_0}{1+e_0} \left[ C_r \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{p}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) + C_c \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{p}}}\right) \right] \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le tassement est unidimensionnel (vertical), que la couche d'argile est homogène avec des paramètres constants, et que la charge est appliquée instantanément et uniformément.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma'_{\text{v0}} = 64.5 \, \text{kPa}\) (de Q1)
  • \(\Delta\sigma' = 26.7 \, \text{kPa}\) (de Q2)
  • \(\sigma'_{\text{p}} = 100 \, \text{kPa}\)
  • \(H_0 = 5 \, \text{m}\), \(e_0 = 0.85\), \(C_c = 0.30\), et on prend \(C_r \approx C_c / 10 = 0.03\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La première chose à faire est toujours de calculer \(\sigma'_{\text{vf}}\) et de le placer sur un axe avec \(\sigma'_{\text{v0}}\) et \(\sigma'_{\text{p}}\). Cela vous indique immédiatement quelle formule utiliser et vous évite la plus grosse erreur possible sur cette question.

Schéma (Avant les calculs)
Courbe de compressibilité et contraintes
σ'_p=100σ'_v0=64.5σ'_vf=91.2Indice des vides elog(σ')
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte finale \(\sigma'_{\text{vf}}\):

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{vf}} &= 64.5 + 26.7 \\ &= 91.2 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Vérification de l'état de consolidation : \(\sigma'_{\text{vf}} (91.2 \text{ kPa}) < \sigma'_{\text{p}} (100 \text{ kPa})\). Le sol reste surconsolidé. On utilise la formule avec \(C_r\).

\[ \begin{aligned} S_c &= \frac{H_0}{1+e_0} \cdot C_r \cdot \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \\ &= \frac{5}{1+0.85} \cdot 0.03 \cdot \log_{10}\left(\frac{91.2}{64.5}\right) \\ &\approx 2.703 \cdot 0.03 \cdot 0.150 \\ &\approx 0.012 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Compression de la couche d'argile
Argile H₀=5mS_c ≈ 12 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tassement de consolidation est de 12 mm. C'est une valeur relativement faible car la charge additionnelle n'a pas "réveillé" le sol en dépassant sa mémoire de la charge maximale passée (\(\sigma'_{\text{p}}\)). Le sol s'est tassé le long de la pente "rigide" \(C_r\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande erreur est d'utiliser la mauvaise formule (celle avec \(C_c\) alors que le sol reste OC, ou vice-versa). Une autre erreur est d'utiliser le logarithme népérien (ln) au lieu du logarithme décimal (\(\log_{10}\)). Les formules de tassement en géotechnique utilisent quasi exclusivement le \(\log_{10}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Comparer \(\sigma'_{\text{vf}}\) à \(\sigma'_{\text{p}}\) est l'étape CRUCIALE.
  • Si \(\sigma'_{\text{vf}} < \sigma'_{\text{p}}\), le sol est "rigide", on utilise \(C_r\).
  • Si \(\sigma'_{\text{vf}} > \sigma'_{\text{p}}\), le sol devient "mou", on utilise \(C_c\) pour la partie de charge dépassant \(\sigma'_{\text{p}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La ville de Mexico est construite sur une ancienne cuvette lacustre remplie d'argiles très compressibles. Le pompage de l'eau dans les aquifères a provoqué une augmentation massive de la contrainte effective, entraînant des tassements de consolidation de plusieurs mètres dans certains quartiers, un des cas les plus extrêmes au monde.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le tassement secondaire ?

C'est un tassement qui se produit à contrainte effective constante, après la fin de la consolidation primaire (dissipation de la surpression interstitielle). Il est dû au fluage (réarrangement à long terme) du squelette solide du sol. Il est particulièrement important dans les sols très organiques comme la tourbe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement de consolidation primaire est d'environ 12 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge Q était de 2000 kN, le sol deviendrait normalement consolidé. Quel serait alors le tassement \(S_c\) en mm ? (Utiliser les formules complètes).

Question 4 : Calculer le tassement immédiat (\(S_i\))

Principe (le concept physique)

Le tassement immédiat est la déformation élastique du sol sous la charge. Il se produit sans variation de volume (l'eau n'a pas le temps de s'évacuer). On l'estime en utilisant des formules issues de la théorie de l'élasticité, qui dépendent du module de déformation du sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On modélise le sol comme un milieu semi-infini, homogène, isotrope et élastique (un "matelas" géant). Le tassement en surface dépend alors de la pression appliquée (\(q_n\)), de la taille de la zone chargée (B), des propriétés élastiques du sol (Module de Young E et coefficient de Poisson \(\nu\)), et d'un facteur de forme et de rigidité (\(I_s\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la partie "ressort" du comportement du sol. Dès que vous appliquez la charge, le sol se déforme instantanément, comme un matelas quand on s'assoit dessus. Pour les sols granulaires (sables, graviers), c'est la quasi-totalité du tassement. Pour les argiles, ce n'est que le début du processus.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 fournit des méthodes pour le calcul du tassement immédiat, basées sur la théorie de l'élasticité. Le choix des paramètres E et \(\nu\) est crucial et doit être basé sur des essais de laboratoire (essai triaxial) ou des corrélations avec des essais in-situ (pressiomètre, pénétromètre).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ S_i = q_n \cdot B \cdot \frac{1-\nu^2}{E_u} \cdot I_s \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol se comporte de manière élastique et que la charge est appliquée sur une fondation flexible. Le module de Young est supposé constant sous la fondation. On est en conditions non drainées pour l'argile saturée (\(\nu=0.5\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_n = 282 \, \text{kPa}\) (de Q2)
  • \(B = 2 \, \text{m}\)
  • \(E_u = 10000 \, \text{kPa}\)
  • \(\nu = 0.5\) (pour un sol saturé en conditions non drainées)
  • \(I_s = 1.12\) (facteur d'influence pour une semelle carrée flexible)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez la cohérence des unités ! Si \(q_n\) et \(E_u\) sont en kPa, et B est en m, alors le tassement \(S_i\) sera calculé en mètres. C'est le système le plus simple pour cette formule. Le terme \(1-\nu^2\) pour \(\nu=0.5\) vaut toujours 0.75, un chiffre bon à mémoriser.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle élastique pour le tassement immédiat
Milieu élastique (E, ν)q_nS_i = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} S_i &= q_n \cdot B \cdot \frac{1-\nu^2}{E_u} \cdot I_s \\ &= 282 \cdot 2 \cdot \frac{1-0.5^2}{10000} \cdot 1.12 \\ &= 564 \cdot \frac{0.75}{10000} \cdot 1.12 \\ &\approx 0.0474 \, \text{m} \\ &\approx 47 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tassement élastique calculé
S_i ≈ 47 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tassement immédiat de 47 mm est important, bien plus que le tassement de consolidation dans ce cas. Cela indique que la déformabilité à court terme de l'argile (représentée par son module \(E_u\)) est le facteur dominant pour cette fondation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas utiliser le bon module (il existe plusieurs types de modules en géotechnique : \(E_u\) non drainé, E' drainé, E oedométrique...). Pour le tassement immédiat sur argile, on utilise le module non drainé \(E_u\). Il faut aussi utiliser le bon facteur d'influence \(I_s\) qui dépend de la forme et de la rigidité de la semelle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement immédiat est une déformation élastique, calculée avec E et \(\nu\).
  • Il se produit instantanément sous la charge.
  • Il dépend fortement de la largeur de la fondation B.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fondations sur le roc, le tassement est presque exclusivement un tassement immédiat (élastique). Comme le module E du roc est très élevé (plusieurs GPa), les tassements sont généralement très faibles, de l'ordre de quelques millimètres seulement, même pour de lourdes charges.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\nu=0.5\) ?

Un coefficient de Poisson de 0.5 signifie que le matériau est incompressible en volume. Pour une argile saturée, une charge rapide (non drainée) ne laisse pas le temps à l'eau de s'échapper. Comme l'eau est incompressible, le volume total du sol ne change pas, d'où \(\nu=0.5\). La déformation se produit uniquement par changement de forme.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement immédiat est d'environ 47 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était une argile plus rigide avec un module \(E_u = 25000\) kPa, quel serait le nouveau tassement immédiat \(S_i\) en mm ?

Question 5 : Calculer le tassement total (\(S_t\))

Principe (le concept physique)

Le tassement total est simplement la somme des différentes composantes du tassement (immédiat, consolidation primaire, et parfois secondaire). Pour les besoins de cet exercice, nous additionnons le tassement immédiat et celui de consolidation primaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le tassement total est la déformation verticale finale de la fondation. Il est la somme de \(S_i\) (déformation instantanée sans changement de volume), \(S_c\) (déformation différée due à l'expulsion de l'eau), et \(S_s\) (tassement de fluage à long terme). La somme \(S_i + S_c\) donne le tassement primaire total.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape finale où l'on assemble les pièces du puzzle. On a calculé la déformation "rapide" du ressort et la déformation "lente" de l'éponge qui se vide. Le tassement total est la somme des deux. C'est ce chiffre final que l'on compare aux limites fixées par les codes de construction pour s'assurer que le bâtiment ne subira pas de dommages.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 définit des états-limites de service (ELS) pour les tassements. Ces limites dépendent du type de structure, de sa sensibilité aux déformations, et de la présence d'éléments fragiles (cloisons, façades). Un tassement total admissible typique pour une semelle isolée est de 50 mm.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ S_t = S_i + S_c \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige le tassement secondaire (fluage), ce qui est une hypothèse raisonnable pour les argiles inorganiques modérément surconsolidées sur une échelle de temps de conception typique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tassement de consolidation, \(S_c = 12 \, \text{mm}\) (de Q3)
  • Tassement immédiat, \(S_i = 47 \, \text{mm}\) (de Q4)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de conclure, analysez la contribution de chaque composante. Ici, \(S_i\) représente \(47/59 \approx 80\%\) du tassement total. Cela vous indique que les efforts d'amélioration devraient se concentrer sur la réduction du tassement immédiat (par exemple, en augmentant la taille de la semelle ou en améliorant le sol en surface).

Schéma (Avant les calculs)
Composition du Tassement Total
S_iS_c+=S_t?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} S_t &= S_i + S_c \\ &= 47 \, \text{mm} + 12 \, \text{mm} \\ &= 59 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition du Tassement Total
S_t = 59 mm (> 50mm Limite)S_i = 47 mm (80%)S_c
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un tassement total de 59 mm (environ 6 cm) est une valeur significative qui dépasse le seuil admissible commun de 50 mm. En tant qu'ingénieur, ce résultat indiquerait que la conception actuelle de la fondation n'est pas acceptable. Des mesures correctives seraient nécessaires, comme augmenter les dimensions de la semelle pour réduire la contrainte appliquée, ou envisager une fondation plus profonde.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais présenter un résultat final sans le comparer à un critère d'acceptabilité. Un chiffre seul ne veut rien dire. Le rôle de l'ingénieur est d'interpréter ce chiffre et de conclure sur la viabilité de la conception. Oublier une des composantes du tassement est aussi une erreur grave.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement total est la somme des tassements immédiat et de consolidation.
  • Ce résultat final doit être comparé aux tassements admissibles pour la structure.
  • L'analyse des contributions relatives de \(S_i\) et \(S_c\) guide les solutions d'optimisation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bâtiment le plus haut du monde, le Burj Khalifa, repose sur un radier et 192 pieux forés de 1.5m de diamètre descendant à 50m de profondeur. Le tassement total a été limité à moins de 7.5 cm, une prouesse d'ingénierie étant donné le poids colossal de la structure et les conditions de sol complexes.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le tassement différentiel ?

C'est la différence de tassement entre deux points d'une même structure (par exemple, entre deux poteaux). C'est souvent plus dangereux que le tassement total uniforme, car il induit des contraintes de flexion et de cisaillement dans la structure, pouvant causer des fissures importantes. La Tour de Pise en est l'exemple parfait.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement total estimé de la fondation est de 59 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la couche d'argile était deux fois plus compressible (\(C_c=0.60, C_r=0.06\)), quel serait le nouveau tassement total \(S_t\) en mm ?

Outil Interactif : Paramètres de Tassement

Modifiez les paramètres de la fondation et du sol pour observer leur impact sur le tassement.

Paramètres d'Entrée
1200 kN
2.0 m
0.30
Résultats Clés
Tassement Immédiat (mm) -
Tassement Consolidation (mm) -
Tassement Total (mm) -

Le Saviez-Vous ?

La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre de problème de tassement. Son inclinaison est due à un tassement différentiel : le sol sous le côté sud de la tour s'est tassé beaucoup plus que sous le côté nord. Les travaux de stabilisation modernes ont consisté à extraire soigneusement du sol du côté nord pour réduire l'inclinaison !

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la largeur d'une semelle carrée tout en gardant la même charge totale Q, que se passe-t-il ?

2. La présence d'une nappe phréatique...

Évaluation du Tassement Total d’une Fondation

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