Dimensionnement d'un tirant en béton armé

Comprendre le Dimensionnement d'un Tirant en Béton Armé

Un tirant en béton armé fait partie d'une structure (par exemple, la membrure inférieure d'une ferme de charpente ou un élément de reprise de poussée). Il est soumis à un effort de traction pur. L'objectif est de déterminer la section d'acier nécessaire pour reprendre cet effort selon l'Eurocode 2.

Données

Géométrie du Tirant :

Section rectangulaire : \(b = 250 \, \text{mm}\), \(h = 400 \, \text{mm}\)

Sollicitations (à l'ELU) :

Effort normal de traction de calcul : \(N_{Ed} = 600 \, \text{kN}\)

Matériaux :

Béton : Classe C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\))
Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))

Coefficients (Eurocode 2) :

Coefficient partiel pour l'acier : \(\gamma_s = 1.15\)

Schéma : Section du Tirant et Effort

Questions

Calculer la résistance de calcul de l'acier (\(f_{yd}\)).
Calculer la section d'acier minimale (\(A_{s,min}\)) requise par l'Eurocode 2 pour le contrôle de la fissuration.
Calculer la section d'acier (\(A_s\)) nécessaire pour reprendre l'effort de traction \(N_{Ed}\).
Choisir un ferraillage pratique (nombre et diamètre de barres) et vérifier qu'il respecte les conditions minimales et calculées.

Correction : Dimensionnement d’un Tirant en Béton Armé

Question 1 : Calcul de la Résistance de Calcul de l'Acier (\(f_{yd}\))

Principe :

La résistance de calcul de l'acier \(f_{yd}\) est obtenue en divisant la limite d'élasticité caractéristique \(f_{yk}\) par le coefficient partiel de sécurité pour l'acier \(\gamma_s\).

Formule (EC2 - 3.2.7(2)) :

f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}

Données :

\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\) (pour B500B)
\(\gamma_s = 1.15\)

Calcul :

f_{yd} = \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \approx 434.78 \, \text{MPa}

Résultat Question 1 : La résistance de calcul de l'acier est \(f_{yd} \approx 435 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Calcul de la Section d'Acier Minimale (\(A_{s,min}\))

Principe (EC2 - 7.3.2 Contrôle de la fissuration) :

Une section minimale d'armatures de traction est requise pour contrôler la fissuration due aux contraintes de traction (retrait, effets thermiques, ou traction externe). La condition est que la résistance de la section fissurée armée soit au moins égale à la résistance de la section non fissurée juste avant la fissuration.

La formule générale est \(A_{s,min} \sigma_s = k_c k f_{ct,eff} A_{ct}\).

Pour un tirant en traction pure, on considère souvent que l'acier atteint sa limite élastique (\(\sigma_s = f_{yd}\)) et que la contrainte effective de traction du béton est sa résistance moyenne en traction (\(f_{ct,eff} = f_{ctm}\)). La section de béton tendue \(A_{ct}\) est la section totale \(A_c\).

Les coefficients \(k_c\) et \(k\) dépendent de la forme de la section et de la distribution des contraintes. Pour une section rectangulaire en traction pure, \(k_c = 1.0\) et \(k = 1.0\).

Formule Simplifiée (EC2 - 7.3.2(2)) :

A_{s,min} f_{yd} \ge k_c k f_{ctm} A_c\] \[A_{s,min} \ge \frac{k_c k f_{ctm} A_c}{f_{yd}}

Avec \(k_c = 1.0\) (traction) et \(k = 1.0\) (section rectangulaire).

A_{s,min} \ge \frac{f_{ctm} A_c}{f_{yd}}

L'Eurocode 2 (9.2.1.1 (1) Note) recommande aussi \( A_{s,min} \ge 0.0013 A_c \) pour les sections en traction.

On prendra le maximum des deux conditions.

Données :

\(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\) (pour C25/30)
\(b = 250 \, \text{mm}\)
\(h = 400 \, \text{mm}\)
\(f_{yd} \approx 435 \, \text{MPa}\)

Calcul :

Calcul de l'aire de la section de béton \(A_c\) :

A_c = b \times h \] \[A_c = 250 \, \text{mm} \times 400 \, \text{mm} \] \[A_c = 100 \, 000 \, \text{mm}^2

Calcul de \(A_{s,min}\) basé sur la résistance à la traction du béton :

A_{s,min,1} = \frac{f_{ctm} A_c}{f_{yd}} \] \[A_{s,min,1} = \frac{2.6 \, \text{MPa} \times 100 \, 000 \, \text{mm}^2}{435 \, \text{MPa}} \] \[A_{s,min,1} \approx 597.7 \, \text{mm}^2

Calcul de \(A_{s,min}\) basé sur le pourcentage minimal (Note EC2 9.2.1.1(1)) :

A_{s,min,2} = 0.0013 \times A_c \] \[A_{s,min,2} = 0.0013 \times 100 \, 000 \, \text{mm}^2 \] \[A_{s,min,2} = 130 \, \text{mm}^2

La section minimale requise est le maximum des deux :

A_{s,min} = \max(A_{s,min,1}; A_{s,min,2}) \] \[A_{s,min} = \max(597.7 \, \text{mm}^2; 130 \, \text{mm}^2) \] \[A_{s,min} = 597.7 \, \text{mm}^2

Résultat Question 2 : La section d'acier minimale requise pour le contrôle de la fissuration est \(A_{s,min} \approx 598 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Calcul de la Section d'Acier (\(A_s\)) Nécessaire pour Reprendre \(N_{Ed}\)

Principe (ELU) :

À l'État Limite Ultime (ELU), on néglige la résistance à la traction du béton. L'effort de traction \(N_{Ed}\) doit être entièrement repris par les armatures en acier travaillant à leur résistance de calcul \(f_{yd}\).

Formule (EC2 - 6.1) :

N_{Ed} \le N_{Rd,s} = A_s f_{yd}\] \[A_s \ge \frac{N_{Ed}}{f_{yd}}

Données :

\(N_{Ed} = 600 \, \text{kN} = 600 \, 000 \, \text{N}\)
\(f_{yd} \approx 435 \, \text{MPa} = 435 \, \text{N/mm}^2\)

Calcul :

A_s = \frac{600 \, 000 \, \text{N}}{435 \, \text{N/mm}^2} \approx 1379.3 \, \text{mm}^2

Résultat Question 3 : La section d'acier nécessaire pour reprendre l'effort de traction est \(A_s \approx 1380 \, \text{mm}^2\).

Question 4 : Choix du Ferraillage Pratique et Vérification

Principe :

Il faut choisir un nombre de barres d'un diamètre commercialisé dont la section totale (\(A_{s,prov}\)) est supérieure ou égale à la section calculée (\(A_s\)) et à la section minimale (\(A_{s,min}\)).

A_{s,prov} \ge \max(A_s; A_{s,min})

Le schéma suggère 4 HA 25.

Calcul de la Section Fournie (4 HA 25) :

Section d'une barre HA 25 :

A_{\phi 25} = \pi \frac{d^2}{4} = \pi \frac{(25 \, \text{mm})^2}{4} \] \[A_{\phi 25} \approx 490.87 \, \text{mm}^2

Section totale fournie par 4 barres HA 25 :

A_{s,prov} = 4 \times A_{\phi 25} \] \[A_{s,prov} = 4 \times 490.87 \, \text{mm}^2 \] \[A_{s,prov} \approx 1963.5 \, \text{mm}^2

Vérification :

Comparaison avec la section calculée \(A_s\) :

A_{s,prov} = 1963.5 \, \text{mm}^2 \ge A_s = 1380 \, \text{mm}^2 \quad (\text{OK})

Comparaison avec la section minimale \(A_{s,min}\) :

A_{s,prov} = 1963.5 \, \text{mm}^2 \ge A_{s,min} = 598 \, \text{mm}^2 \quad (\text{OK})

Résultat Question 4 : Le choix de 4 barres HA 25 (\(A_{s,prov} = 1964 \, \text{mm}^2\)) est satisfaisant car il fournit une section d'acier supérieure à la section requise par le calcul (\(1380 \, \text{mm}^2\)) et à la section minimale pour le contrôle de la fissuration (\(598 \, \text{mm}^2\)).