Dimensionnement poutre précontrainte

Comprendre le Dimensionnement d'une Poutre Précontraint

Vous êtes ingénieur structure et devez vérifier une poutre précontrainte par post-tension, simplement appuyée, destinée à un plancher de bâtiment. La poutre a une section en T et supporte son poids propre ainsi que les charges permanentes et d'exploitation du plancher.

Données

Géométrie de la Poutre (Section en T) :
- Largeur de la table de compression (\(b_f\)) : 1200 \(\text{mm}\)
- Épaisseur de la table (\(h_f\)) : 150 \(\text{mm}\)
- Largeur de l'âme (\(b_w\)) : 300 \(\text{mm}\)
- Hauteur totale (\(h\)) : 800 \(\text{mm}\)
- Portée (\(L\)) : 15 \(\text{m}\)
Matériaux :
- Béton C40/50 : \(f_{ck} = 40 \, \text{MPa}\), \(f_{ctm} = 3.5 \, \text{MPa}\)
- Acier de précontrainte (torons TBP) : \(f_{pk} = 1860 \, \text{MPa}\), \(f_{p0,1k} = 1670 \, \text{MPa}\)
- Acier passif (armatures HA) : B500B, \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
Précontrainte :
- Type : Post-tension, adhérente
- Aire des aciers de précontrainte (\(A_p\)) : 1500 \(\text{mm}^2\)
- Force de précontrainte initiale (\(P_0\)) : 1800 \(\text{kN}\) (tension initiale avant pertes)
- Pertes totales de précontrainte estimées (\(\Delta P\)) : 20% de \(P_0\)
- Excentricité constante du câble (\(e_p\)) : 250 \(\text{mm}\) (vers le bas par rapport au centre de gravité de la section)
Charges Caractéristiques (en plus du poids propre) :
- Charge permanente additionnelle (\(g_{k,add}\)) : 10 \(\text{kN/m}\)
- Charge d'exploitation (\(q_k\)) : 15 \(\text{kN/m}\)
Coefficients (Eurocode) :
- Poids volumique béton armé : \(\gamma_{béton} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
- ELU : \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.5\)
- ELS (quasi-permanente) : \(\psi_2 = 0.3\) (pour bureaux/logements)
- Coefficients matériaux : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)

Schéma : Section en T et Précontrainte

Questions

Calculer les caractéristiques géométriques de la section brute (Aire \(A\), position du centre de gravité \(y_G\), moment d'inertie \(I_g\)).
Calculer le poids propre linéique (\(g_{k,pp}\)) et les moments fléchissants caractéristiques (\(M_{G,pp}\), \(M_{G,add}\), \(M_Q\)) au milieu de la portée.
Calculer la force de précontrainte moyenne (\(P_m\)) après pertes.
Vérifier les contraintes dans le béton à l'ELS sous combinaison quasi-permanente en service (contrainte limite en compression \(0.6 f_{ck}\), pas de traction admise pour cet exemple simplifié).
Calculer le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) de la section en flexion composée (simplifié, sans aciers passifs).
Vérifier la sécurité de la poutre à l'ELU en flexion.

Correction : Dimensionnement d’une Poutre en Béton Précontraint

Question 1 : Caractéristiques Géométriques de la Section Brute

Calcul de l'Aire (A) :

Somme de l'aire de la table (\(A_f\)) et de l'aire de l'âme (\(A_w\)).

\(b_f = 1200 \, \text{mm}\)
\(h_f = 150 \, \text{mm}\)
\(b_w = 300 \, \text{mm}\)
\(h_w = h - h_f = 800 - 150 = 650 \, \text{mm}\)

A_f = b_f \times h_f \] \[ A_f = 1200 \times 150 \] \[ A_f = 180000 \, \text{mm}^2

A_w = b_w \times h_w \] \[ A_w = 300 \times 650 \] \[ A_w = 195000 \, \text{mm}^2

A = A_f + A_w \] \[ A = 180000 + 195000 \] \[ A = 375000 \, \text{mm}^2

Position du Centre de Gravité (\(y_G\)) :

On calcule le moment statique par rapport à la fibre inférieure et on le divise par l'aire totale. \(y_{Gf}\) et \(y_{Gw}\) sont les distances des centres de gravité de la table et de l'âme par rapport à la fibre inférieure.

\(y_{Gf} = h - h_f/2 = 800 - 150/2 = 725 \, \text{mm}\)
\(y_{Gw} = h_w/2 = 650/2 = 325 \, \text{mm}\)

y_G = \frac{(A_f \times y_{Gf}) + (A_w \times y_{Gw})}{A} \] \[ y_G = \frac{(180000 \times 725) + (195000 \times 325)}{375000} \] \[ y_G = \frac{130500000 + 63375000}{375000} = \frac{193875000}{375000} \] \[ y_G \approx 517 \, \text{mm} \quad \text{(depuis la fibre inférieure)}

Distance depuis la fibre supérieure : \(y_{\text{sup}} = h - y_G = 800 - 517 = 283 \, \text{mm}\).

Moment d'Inertie (\(I_g\)) :

On utilise le théorème de Huygens : \(I_g = \sum (I_{gi} + A_i d_i^2)\), où \(I_{gi}\) est l'inertie propre de chaque partie et \(d_i\) est la distance entre le centre de gravité global et celui de la partie.

I_{gf} = \frac{b_f h_f^3}{12} = \frac{1200 \times 150^3}{12} \] \[ I_{gf} = 337.5 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \] \[ I_{gw} = \frac{b_w h_w^3}{12} = \frac{300 \times 650^3}{12} \] \[ I_{gw} = 6865.6 \times 10^6 \, \text{mm}^4

d_f = y_{Gf} - y_G \] \[ d_f = 725 - 517 \] \[ d_f = 208 \, \text{mm} \] \[ d_w = y_G - y_{Gw} \] \[ d_w = 517 - 325 \] \[ d_w = 192 \, \text{mm}

\begin{aligned} I_g &= (I_{gf} + A_f d_f^2) + (I_{gw} + A_w d_w^2) \\ &= (337.5 \times 10^6 + 180000 \times 208^2) + (6865.6 \times 10^6 + 195000 \times 192^2) \\ &\approx (337.5 \times 10^6 + 7783.7 \times 10^6) + (6865.6 \times 10^6 + 7188.5 \times 10^6) \\ &\approx 8121.2 \times 10^6 + 14054.1 \times 10^6 \\ &\approx 22175 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les caractéristiques géométriques sont :

Aire : \(A = 375000 \, \text{mm}^2\)
Position C.G. : \(y_G \approx 517 \, \text{mm}\) (depuis bas), \(y_{\text{sup}} \approx 283 \, \text{mm}\) (depuis haut)
Moment d'inertie : \(I_g \approx 2.22 \times 10^{10} \, \text{mm}^4\)

Question 2 : Poids Propre et Moments Caractéristiques

Poids Propre Linéique (\(g_{k,pp}\)) :

g_{k,pp} = A \times \gamma_{\text{béton}} \] \[ g_{k,pp} = (375000 \, \text{mm}^2 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{mm}^2) \times 25 \, \text{kN/m}^3 \] \[ g_{k,pp} = 0.375 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \] \[ g_{k,pp} = 9.375 \, \text{kN/m}

Moments Caractéristiques à Mi-Portée (\(L=15\,\text{m}\)) :

Pour une poutre simplement appuyée, \(M_{\text{max}} = p L^2 / 8\).

\(g_{k,pp} \approx 9.38 \, \text{kN/m}\)
\(g_{k,add} = 10 \, \text{kN/m}\)
\(q_k = 15 \, \text{kN/m}\)

M_{G,pp} = \frac{g_{k,pp} L^2}{8} = \frac{9.38 \times 15^2}{8} \] \[ M_{G,pp} \approx 263.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}

M_{G,add} = \frac{g_{k,add} L^2}{8} = \frac{10 \times 15^2}{8} \] \[ M_{G,add} = 281.25 \, \text{kN} \cdot \text{m}

M_Q = \frac{q_k L^2}{8} = \frac{15 \times 15^2}{8} \] \[ M_Q = 421.88 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Résultat Question 2 :

Poids propre : \(g_{k,pp} \approx 9.38 \, \text{kN/m}\)
Moments caractéristiques : \(M_{G,pp} \approx 264 \, \text{kN} \cdot \text{m}\), \(M_{G,add} \approx 281 \, \text{kN} \cdot \text{m}\), \(M_Q \approx 422 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Question 3 : Force de Précontrainte Moyenne (\(P_m\))

Principe :

La force de précontrainte diminue dans le temps à cause de divers phénomènes (relaxation de l'acier, retrait et fluage du béton, etc.). On estime une perte totale \(\Delta P\) pour obtenir la force moyenne \(P_m\) (ou la force finale \(P_{k,\infty}\)) qui est utilisée pour les vérifications en service.

Calcul :

Force initiale \(P_0 = 1800 \, \text{kN}\)
Pertes totales \(\Delta P = 20\% \times P_0\)

\Delta P = 0.20 \times 1800 \, \text{kN} \] \[ \Delta P = 360 \, \text{kN}

P_m = P_0 - \Delta P \] \[ P_m = 1800 - 360 \] \[ P_m = 1440 \, \text{kN}

Cette force \(P_m\) est considérée comme la force caractéristique de précontrainte à long terme.

Résultat Question 3 : La force de précontrainte moyenne (après pertes) est \(P_m = 1440 \, \text{kN}\).

Question 4 : Vérification des Contraintes ELS (Quasi-Permanente)

Principe :

On vérifie que les contraintes normales dans le béton (\(\sigma_c\)) sous la combinaison d'actions quasi-permanente (G + \(\psi_2\)Q + P) restent dans les limites admissibles pour éviter la fissuration excessive ou l'écrasement.

\sigma_c = \frac{P_m}{A} \pm \frac{M_{\text{ser,qp}} \times y}{I_g} \pm \frac{P_m \times e_p \times y}{I_g}

Le premier terme est la compression due à P, le second est dû au moment des charges externes, le troisième est dû à l'excentricité de P. On vérifie en fibre supérieure (\(y=y_{\text{sup}}\)) et inférieure (\(y=y_G\)).

Calcul du Moment ELS Quasi-Permanent (\(M_{\text{ser,qp}}\)) :

\(M_G = M_{G,pp} + M_{G,add} \)\(= 264 + 281 \)\(= 545 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
\(M_Q = 422 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
\(\psi_2 = 0.3\)

M_{\text{ser,qp}} = M_G + \psi_2 M_Q \] \[ M_{\text{ser,qp}} = 545 + (0.3 \times 422) \] \[ M_{\text{ser,qp}} \approx 545 + 126.6 \] \[ M_{\text{ser,qp}} = 671.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Calcul des Contraintes :

Unités : N et mm. \(P_m = 1440 \times 10^3 \, \text{N}\), \(M_{\text{ser,qp}} = 671.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\), \(A = 375000 \, \text{mm}^2\), \(I_g \approx 2.22 \times 10^{10} \, \text{mm}^4\), \(e_p = 250 \, \text{mm}\).

Effet de \(P_m\) (compression) :

\sigma_{c,P} = \frac{P_m}{A} = \frac{1440 \times 10^3}{375000} \] \[ \sigma_{c,P} \approx 3.84 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression, négatif par convention})

Effet de l'excentricité \(e_p\) (moment \(M_P = P_m e_p = 1440 \times 10^3 \times 250 = 360 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)) :

\sigma_{c,M_P,\text{sup}} = -\frac{M_P y_{\text{sup}}}{I_g} \] \[ \sigma_{c,M_P,\text{sup}} = -\frac{360 \times 10^6 \times 283}{2.22 \times 10^{10}} \] \[ \sigma_{c,M_P,\text{sup}} \approx -4.59 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \] \[ \sigma_{c,M_P,\text{inf}} = +\frac{M_P y_G}{I_g} \] \[ \sigma_{c,M_P,\text{inf}} = +\frac{360 \times 10^6 \times 517}{2.22 \times 10^{10}} \] \[ \sigma_{c,M_P,\text{inf}} \approx +8.38 \, \text{MPa} \quad (\text{Traction})

Effet du moment externe \(M_{\text{ser,qp}}\) :

\sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{sup}} = -\frac{M_{\text{ser,qp}} y_{\text{sup}}}{I_g} \] \[ \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{sup}} = -\frac{671.6 \times 10^6 \times 283}{2.22 \times 10^{10}} \] \[ \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{sup}} \approx -8.56 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \] \[ \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{inf}} = +\frac{M_{\text{ser,qp}} y_G}{I_g} \] \[ \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{inf}} = +\frac{671.6 \times 10^6 \times 517}{2.22 \times 10^{10}} \] \[ \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{inf}} \approx +15.63 \, \text{MPa} \quad (\text{Traction})

Contrainte totale en fibre supérieure :

\sigma_{\text{sup}} = \sigma_{c,P} + \sigma_{c,M_P,\text{sup}} + \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{sup}} \] \[ \sigma_{\text{sup}} = -3.84 - 4.59 - 8.56 \] \[ \sigma_{\text{sup}} = -16.99 \, \text{MPa}

Contrainte totale en fibre inférieure :

\sigma_{\text{inf}} = \sigma_{c,P} + \sigma_{c,M_P,\text{inf}} + \sigma_{c,M_{\text{ext}},\text{inf}} \] \[ \sigma_{\text{inf}} = -3.84 + 8.38 + 15.63 \] \[ \sigma_{\text{inf}} = +20.17 \, \text{MPa}

Vérification ELS :

Limite compression : \(0.6 f_{ck} = 0.6 \times 40 = 24 \, \text{MPa}\)
Limite traction : \(0 \, \text{MPa}\) (simplifié, normalement \(f_{ctm}\) pour fissuration)

|\sigma_{\text{sup}}| = 16.99 \, \text{MPa} \le 24 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})

\sigma_{\text{inf}} = 20.17 \, \text{MPa} > 0 \, \text{MPa} \quad (\text{NON OK - Traction excessive})

Résultat Question 4 : La contrainte de compression en fibre supérieure est acceptable (\(-17.0 \, \text{MPa} \le 24 \, \text{MPa}\)). Cependant, la contrainte de traction en fibre inférieure (\(+20.2 \, \text{MPa}\)) est très élevée et dépasse la limite de non-traction (et probablement \(f_{ctm}\)). La section ou la précontrainte devrait être ajustée, ou des armatures passives ajoutées pour contrôler la fissuration.

Question 5 : Calcul du Moment Résistant Ultime (\(M_{Rd}\))

Principe (Simplifié) :

On calcule le moment que la section peut reprendre à l'ELU, en considérant la résistance des aciers de précontrainte et la compression du béton. On néglige ici les aciers passifs pour simplifier.

Hypothèse : On suppose que l'acier de précontrainte atteint sa limite élastique de calcul \(f_{pd} = f_{p0,1k} / \gamma_s\).

Calcul de \(f_{pd}\) :

\(f_{p0,1k} = 1670 \, \text{MPa}\)
\(\gamma_s = 1.15\)

f_{pd} = \frac{1670}{1.15} \approx 1452 \, \text{MPa}

Calcul de la Force de Traction dans l'Acier (\(F_{pd}\)) :

\(A_p = 1500 \, \text{mm}^2\)
\(f_{pd} \approx 1452 \, \text{N/mm}^2\)

F_{pd} = A_p \times f_{pd} \] \[ F_{pd} = 1500 \times 1452 \] \[ F_{pd} \approx 2178000 \, \text{N} = 2178 \, \text{kN}

Calcul de la Hauteur Comprimée (\(x\)) et du Bras de Levier (\(z\)) :

On équilibre la force de traction \(F_{pd}\) avec la force de compression dans le béton (diagramme rectangulaire simplifié). \(f_{cd} = f_{ck}/\gamma_c = 40/1.5 \approx 26.7 \, \text{MPa}\). On suppose que la zone comprimée est dans la table (\(x \le h_f\)).

F_{cd} = 0.8 x b_f f_{cd} = F_{pd} \] \[ x = \frac{F_{pd}}{0.8 b_f f_{cd}} = \frac{2178 \times 10^3 \, \text{N}}{0.8 \times 1200 \, \text{mm} \times 26.7 \, \text{N/mm}^2} \] \[ x \approx \frac{2178000}{25632} \approx 85 \, \text{mm}

Comme \(x \approx 85 \, \text{mm} < h_f = 150 \, \text{mm}\), l'hypothèse est correcte.

Le bras de levier \(z\) est la distance entre le centre de gravité de l'acier et le centre de gravité de la zone comprimée.

\[ z = d_p - 0.4 x \]

Où \(d_p\) est la hauteur utile de l'acier de précontrainte. \(d_p = y_G + e_p = 517 + 250 = 767 \, \text{mm}\) (en supposant \(y_G\) depuis la fibre inférieure).

z = 767 - 0.4 \times 85 \] \[ z = 767 - 34 \] \[ z = 733 \, \text{mm}

Calcul du Moment Résistant Ultime (\(M_{Rd}\)) :

M_{Rd} = F_{pd} \times z \] \[ M_{Rd} = (2178 \times 10^3 \, \text{N}) \times (733 \, \text{mm}) \] \[ M_{Rd} \approx 1.596 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{mm} \] \[ M_{Rd} = 1596 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Résultat Question 5 : Le moment résistant ultime simplifié de la section est \(M_{Rd} \approx 1596 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 6 : Vérification de la Sécurité à l'ELU en Flexion

Calcul du Moment Fléchissant Ultime (\(M_{Ed}\)) :

On calcule le moment dû aux charges pondérées ELU.

\(g_{d,pp} = \gamma_G g_{k,pp} = 1.35 \times 9.38 \approx 12.66 \, \text{kN/m}\)
\(g_{d,add} = \gamma_G g_{k,add} = 1.35 \times 10 = 13.5 \, \text{kN/m}\)
\(q_d = \gamma_Q q_k = 1.5 \times 15 = 22.5 \, \text{kN/m}\)
Charge totale ELU \(p_d = g_{d,pp} + g_{d,add} + q_d = 12.66 + 13.5 + 22.5 = 48.66 \, \text{kN/m}\)

M_{Ed} = \frac{p_d L^2}{8} = \frac{48.66 \times 15^2}{8} \] \[ M_{Ed} \approx 1368.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Vérification :

\(M_{Ed} \approx 1369 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
\(M_{Rd} \approx 1596 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

M_{Ed} \approx 1369 \, \text{kN} \cdot \text{m} \le M_{Rd} \approx 1596 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})

Résultat Question 6 : Le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) est supérieur au moment sollicitant ultime (\(M_{Ed}\)). La poutre est donc adéquate vis-à-vis de la résistance en flexion à l'ELU (dans le cadre des simplifications effectuées).