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Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Module d’Young à partir d’un Essai de Traction en Béton Armé

Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Contexte : Comment caractériser la rigidité d'un acier ?

En génie civil, il est fondamental de connaître les propriétés mécaniques des matériaux que nous utilisons. Pour l'acier d'armature, l'une des caractéristiques les plus importantes est sa rigidité, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation élastique sous une charge. Cette propriété est quantifiée par le Module d'YoungAussi appelé module d'élasticité, il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique., noté \(E\). Pour le déterminer expérimentalement, on réalise un essai de traction sur une éprouvette du matériau. On applique une force de traction croissante et on mesure son allongement. Le graphique de la contrainte en fonction de la déformation nous permet de calculer ce module.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'analyse des résultats bruts d'un essai de traction sur une barre d'acier HA (Haute Adhérence). Nous allons transformer les données de force et d'allongement en contraintes et déformations, tracer la courbe correspondante, et en déduire le module d'Young en analysant la pente de la partie linéaire (élastique) du graphique.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre contrainte (\(\sigma\)) et déformation (\(\varepsilon\)).
  • Savoir convertir des données d'essai (force, allongement) en contrainte et déformation.
  • Interpréter un diagramme contrainte-déformation pour un acier.
  • Identifier le domaine élastique et le domaine plastique.
  • Calculer le module d'Young (E) à partir de la pente de la courbe dans le domaine élastique.

Données de l'étude

Un essai de traction a été réalisé en laboratoire sur une éprouvette d'acier d'armature. Les caractéristiques de l'éprouvette et les résultats de l'essai sont les suivants :

Schéma de l'essai de traction
F F L₀ ΔL

Caractéristiques de l'éprouvette et points de mesure :

  • Type d'acier : HA 12
  • Diamètre nominal : \(\phi = 12 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale entre repères : \(L_0 = 100 \, \text{mm}\)
  • Données de l'essai (Force \(F\) et allongement mesuré \(\Delta L\)) :
    PointForce F (kN)Allongement ΔL (mm)
    100
    222.60.10
    345.20.20

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale de la barre d'acier.
  2. Pour chaque point de mesure, calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) et la déformation relative (\(\varepsilon\)).
  3. Calculer le module d'élasticité de l'acier (Module d'Young, \(E_s\)).

Correction : Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Question 1 : Calculer l'aire de la section transversale de la barre d'acier

Principe avec image animée (le concept physique)
r = D/2 Aire = π * r²

La contrainte est une force divisée par une surface. La première étape est donc de calculer la surface de la section transversale de l'éprouvette sur laquelle la force de traction est appliquée. Comme la barre d'acier est cylindrique, sa section est un disque dont l'aire se calcule à partir de son diamètre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On utilise le diamètre "nominal" de la barre. En réalité, une barre d'acier HA (Haute Adhérence) n'est pas parfaitement lisse ; elle possède des nervures pour améliorer l'adhérence avec le béton. Cependant, pour les calculs de résistance, on utilise l'aire de la section nominale, qui correspond à un cylindre lisse de même masse par mètre linéaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La précision de cette aire est fondamentale. Toute erreur sur sa valeur se répercutera directement sur le calcul de la contrainte, et donc sur la valeur du module d'Young que nous cherchons.

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions et tolérances des aciers pour béton armé sont standardisées (par exemple, par la norme NF EN 10080). Les essais de traction eux-mêmes sont régis par des protocoles stricts (comme la norme ISO 6892-1).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la barre est parfaitement cylindrique et que son diamètre correspond au diamètre nominal.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire d'un disque :

\[ A = \pi \cdot \frac{\phi^2}{4} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre nominal \(\phi = 12 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire de la section :

\[ \begin{aligned} A &= \pi \times \frac{(12 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \pi \times \frac{144}{4} \\ &= 113.1 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'aire de la section est de 113.1 mm². C'est cette petite surface qui va devoir supporter des forces de plusieurs tonnes. Cela nous donne une idée des contraintes élevées que l'acier peut supporter.

Point à retenir : L'aire d'une barre d'acier de diamètre \(\phi\) est \(A = \pi \phi^2 / 4\).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La contrainte est définie comme une force par unité de surface (\(\sigma = F/A\)). Le calcul de l'aire est donc une étape obligatoire pour pouvoir calculer la contrainte à partir de la force mesurée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur sur le rayon/diamètre : Une erreur classique est d'oublier de diviser le diamètre par deux si on utilise la formule \(\pi r^2\), ou d'oublier de mettre le diamètre au carré.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les aciers pour béton armé sont classés par leur limite d'élasticité. Un acier "S500" signifie que sa limite d'élasticité caractéristique (\(f_{yk}\)) est de 500 MPa. C'est la contrainte au-delà de laquelle il commence à se déformer de manière permanente (déformation plastique).

FAQ (pour lever les doutes)
L'aire change-t-elle pendant l'essai de traction ?

Oui, très légèrement. Quand on tire sur la barre, son diamètre diminue un peu (effet du coefficient de Poisson). Cependant, pour les calculs de contrainte, on utilise toujours l'aire initiale de la section non déformée. C'est ce qu'on appelle la contrainte "ingénieur" ou "conventionnelle".

Résultat Final : L'aire de la section est \(A = 113.1 \, \text{mm}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait l'aire (en mm²) pour une barre de HA 16 (\(\phi = 16 \, \text{mm}\)) ?

Question 2 : Calculer la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation (\(\varepsilon\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Force F Aire A \(\Rightarrow\) Contrainte \(\sigma\) ΔL / L₀ \(\Rightarrow\) Déformation \(\varepsilon\)

Pour pouvoir comparer les matériaux entre eux, on ne travaille pas avec la force et l'allongement, qui dépendent de la taille de l'éprouvette. On les normalise. La force est divisée par l'aire pour obtenir la contrainte (\(\sigma\)), qui représente la force interne par unité de surface. L'allongement est divisé par la longueur initiale pour obtenir la déformation (\(\varepsilon\)), qui représente l'allongement par unité de longueur. Ces deux grandeurs sont intrinsèques au matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte (\(\sigma\)) s'exprime en Pascals (Pa) ou, plus couramment en génie civil, en Mégapascals (MPa), où 1 MPa = 1 N/mm². La déformation (\(\varepsilon\)) est un nombre sans dimension, souvent exprimé en pourcentage (%) ou en "pour mille" (‰). Le diagramme \(\sigma-\varepsilon\) est la "carte d'identité" mécanique d'un matériau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La conversion des unités est la principale source d'erreurs ici. La force est donnée en kilonewtons (kN) et doit être convertie en Newtons (N) pour obtenir des MPa avec une aire en mm².

Normes (la référence réglementaire)

Les définitions de la contrainte et de la déformation sont des concepts fondamentaux de la Résistance des Matériaux, utilisés dans toutes les normes de calcul de structure.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force est appliquée uniformément sur la section et que la déformation est homogène sur la longueur de mesure \(L_0\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte normale :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Déformation relative (ou unitaire) :

\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Aire \(A = 113.1 \, \text{mm}^2\)
  • Longueur initiale \(L_0 = 100 \, \text{mm}\)
  • Points de mesure du tableau de l'énoncé.
Calcul(s) (l'application numérique)

Pour le point 2 (\(F=22.6 \, \text{kN}, \Delta L = 0.10 \, \text{mm}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= \frac{22.6 \times 1000}{113.1} = 199.8 \, \text{MPa} \\ \varepsilon_2 &= \frac{0.10}{100} = 0.001 \end{aligned} \]

Pour le point 3 (\(F=45.2 \, \text{kN}, \Delta L = 0.20 \, \text{mm}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_3 &= \frac{45.2 \times 1000}{113.1} = 399.6 \, \text{MPa} \\ \varepsilon_3 &= \frac{0.20}{100} = 0.002 \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif :

PointContrainte σ (MPa)Déformation ε
100
2199.80.001
3399.60.002
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe une parfaite proportionnalité : quand la force double (de 22.6 à 45.2 kN), la contrainte double et la déformation double également. C'est la signature d'un comportement linéaire élastique, ce qui confirme que ces points sont bien dans le domaine d'application de la loi de Hooke.

Point à retenir : \(\sigma = F/A\) et \(\varepsilon = \Delta L / L_0\). La contrainte est en MPa, la déformation est sans dimension.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette transformation des données brutes en grandeurs intrinsèques (\(\sigma, \varepsilon\)) est indispensable pour pouvoir tracer le diagramme contrainte-déformation et en extraire les propriétés du matériau, comme le module d'Young.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Conversion des unités : L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les kilonewtons (kN) en Newtons (N). 1 kN = 1000 N. Sans cette conversion, la contrainte calculée sera 1000 fois trop faible.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'inventeur du concept de contrainte est Augustin-Louis Cauchy, un mathématicien français du 19ème siècle. La déformation a été formalisée par Thomas Young, un physicien britannique, qui a aussi donné son nom au module d'élasticité.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la déformation n'a-t-elle pas d'unité ?

Parce qu'elle est le rapport de deux longueurs (ex: mm/mm). Les unités s'annulent. On peut la voir comme un pourcentage d'allongement : \(\varepsilon = 0.002\) signifie que la barre s'est allongée de 0.2% de sa longueur initiale.

Résultat Final : Les points (\(\sigma, \varepsilon\)) sont (199.8 MPa, 0.001) et (399.6 MPa, 0.002).
Tracé de la Courbe Contrainte-Déformation

À vous de jouer : Calculez la déformation \(\varepsilon\) pour une force de 30 kN.

Question 3 : Calculer le module d'élasticité de l'acier (Module d'Young, \(E_s\))

Principe avec image animée (le concept physique)
ε σ Δσ Δε Pente = E = Δσ / Δε

Le module d'Young est défini par la loi de Hooke, qui stipule que dans le domaine élastique, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. Le coefficient de proportionnalité est le module d'Young : \(\sigma = E \cdot \varepsilon\). Graphiquement, cela signifie que le module d'Young est simplement la pente de la partie rectiligne initiale de la courbe contrainte-déformation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le domaine élastique est la zone où le matériau se déforme mais reprend sa forme initiale si on relâche la charge. Si on dépasse la limite d'élasticité (\(f_y\)), on entre dans le domaine plastique : le matériau subit des déformations permanentes. Pour l'acier, le module d'Young est une constante très bien connue, voisine de 200 000 MPa (ou 200 GPa). Cet essai sert à vérifier que l'acier testé est conforme à cette valeur standard.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Pour calculer la pente, il est plus précis d'utiliser deux points aussi éloignés que possible dans la zone manifestement linéaire. Utiliser l'origine (0,0) et le point le plus élevé encore dans le domaine élastique (ici, le point 3) est une bonne pratique.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, section 3.2.7 (4), donne une valeur nominale pour le module d'élasticité des aciers d'armature de \(E_s = 200 \, \text{GPa}\). Notre calcul expérimental devrait nous donner une valeur proche de celle-ci.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les points de mesure 2 et 3 sont bien situés dans le domaine de comportement linéaire élastique du matériau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Module d'Young :

\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \varepsilon} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Point n°3 : \(\sigma_3 = 399.6 \, \text{MPa}\), \(\varepsilon_3 = 0.002\)
  • Point n°1 (origine) : \(\sigma_1 = 0 \, \text{MPa}\), \(\varepsilon_1 = 0\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du module d'élasticité :

\[ \begin{aligned} E_s &= \frac{\sigma_3 - \sigma_1}{\varepsilon_3 - \varepsilon_1} \\ &= \frac{399.6 - 0}{0.002 - 0} \\ &= 199800 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur expérimentale obtenue, 199 800 MPa, est extrêmement proche de la valeur théorique de 200 000 MPa. Cela confirme que l'acier testé se comporte comme un acier standard pour béton armé et que les mesures de l'essai sont fiables. Cette valeur de \(E_s\) sera utilisée dans tous les calculs de déformation et de vérification à l'ELS de la structure.

Point à retenir : Le module d'Young \(E = \sigma / \varepsilon\) représente la pente de la courbe contrainte-déformation dans sa partie élastique.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du module d'Young est l'objectif final de l'essai de traction dans le domaine élastique. C'est la principale caractéristique qui définit la rigidité du matériau et qui est indispensable pour les calculs de déformations et de contraintes en service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser des points du domaine plastique : Si on utilise un point de mesure pris après la limite d'élasticité, la pente calculée sera beaucoup plus faible et ne représentera pas le module d'Young. Il faut s'assurer de rester dans la partie droite de la courbe.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le module d'Young de l'acier est remarquablement constant pour presque tous les types d'aciers de construction, qu'ils soient doux ou à haute résistance. Ce qui change drastiquement d'un acier à l'autre, c'est sa limite d'élasticité (\(f_y\)) et sa ductilité (sa capacité à s'allonger avant de rompre).

FAQ (pour lever les doutes)
Le module d'Young est-il le même en traction et en compression ?

Oui, pour l'acier, le comportement élastique est symétrique. Le module d'Young a la même valeur que l'on tire ou que l'on comprime la barre. Ce n'est pas toujours le cas pour d'autres matériaux comme le béton.

Résultat Final : Le module d'Young de l'acier est \(E_s = 199800 \, \text{MPa}\), soit environ \(200 \, \text{GPa}\).

À vous de jouer : Quel serait le module d'Young calculé si l'allongement pour le point 3 avait été de 0.19 mm ?

Mini Fiche Mémo : Essai de Traction

Étape Formule Clé & Objectif
1. Aire \( A = \pi \phi^2 / 4 \)
Déterminer la surface de la section testée.
2. Contrainte & Déformation \( \sigma = F/A \) et \( \varepsilon = \Delta L / L_0 \)
Convertir les mesures brutes en grandeurs matérielles.
3. Module d'Young \( E = \sigma / \varepsilon \)
Calculer la pente de la courbe dans le domaine élastique pour trouver la rigidité.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente la pente de la partie linéaire de la courbe contrainte-déformation ?

2. Si la longueur initiale (\(L_0\)) de l'éprouvette était plus grande, la déformation calculée (\(\varepsilon\)) pour le même allongement (\(\Delta L\)) serait :

Module d'Young (E)
Aussi appelé module d'élasticité, il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique.
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface à l'intérieur d'un matériau. Exprimée en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
Déformation (\(\varepsilon\))
Allongement ou raccourcissement relatif d'un matériau. C'est une grandeur sans dimension, calculée par \(\Delta L / L_0\).
Domaine Élastique
Zone de comportement d'un matériau où la déformation est proportionnelle à la contrainte et réversible (le matériau reprend sa forme initiale après déchargement).
Fondamentaux du Génie Civil : Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

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