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Détermination du Coefficient de Tassement (mv)

Détermination du Coefficient de Tassement (mv) en Géotechnique

Détermination du Coefficient de Tassement (mv)

Contexte : Prévoir l'enfoncement des bâtiments.

Lorsqu'on construit un bâtiment, son poids applique une charge sur le sol de fondation. Si ce sol est compressible, comme une argile, il va se tasser, un peu comme un matelas sous le poids d'une personne. Prévoir l'amplitude de ce tassement est une mission capitale pour l'ingénieur géotechnicien afin d'éviter des désordres graves sur la structure (fissures, inclinaison). L'essai à l'œdomètre est l'essai de laboratoire de référence pour mesurer la compressibilité d'un sol. Cet exercice vous guidera dans l'analyse des résultats d'un tel essai pour déterminer le coefficient de tassementAussi appelé coefficient de compressibilité volumique (mv), il représente la variation de volume d'un sol pour une variation de contrainte donnée. Plus mv est élevé, plus le sol est compressible..

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment, à partir d'un essai de laboratoire simulant le comportement du sol en profondeur, on peut extraire des paramètres de calcul essentiels pour l'ingénieur. Nous allons transformer des mesures de hauteur d'échantillon en indices des vides, puis analyser la courbe de compressibilité pour en déduire un coefficient qui sera directement utilisé dans les formules de prédiction de tassement.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'indice des vides initial (\(e_0\)) d'une éprouvette de sol.
  • Déterminer la variation de l'indice des vides (\(\Delta e\)) sous un chargement.
  • Calculer le coefficient de tassement (\(m_v\)) pour un intervalle de contrainte donné.
  • Estimer le tassement final d'une couche d'argile sous une fondation.
  • Se familiariser avec les grandeurs de la mécanique des sols (indice des vides, contrainte, kPa, MPa⁻¹).

Données de l'étude

Un essai œdométrique est réalisé sur une éprouvette d'argile saturée. L'échantillon, prélevé à grande profondeur, est placé dans une cellule rigide qui empêche toute déformation latérale. On applique des charges verticales par paliers et on mesure l'affaissement de l'échantillon.

Schéma de principe de l'essai œdométrique
Éprouvette de sol Piston de chargement Cellule œdométrique σ'v ΔH
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur initiale de l'éprouvette \(H_0\) 20.0 \(\text{mm}\)
Indice des vides initial \(e_0\) 0.950 -
Contrainte verticale initiale \(\sigma'_{v1}\) 100 \(\text{kPa}\)
Hauteur de l'éprouvette sous \(\sigma'_{v1}\) \(H_1\) 19.2 \(\text{mm}\)
Contrainte verticale finale \(\sigma'_{v2}\) 200 \(\text{kPa}\)
Hauteur de l'éprouvette sous \(\sigma'_{v2}\) \(H_2\) 18.8 \(\text{mm}\)
Épaisseur de la couche d'argile sur site \(H_{\text{site}}\) 5.0 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'indice des vides \(e_1\) correspondant à la contrainte \(\sigma'_{v1}\).
  2. Calculer l'indice des vides \(e_2\) correspondant à la contrainte \(\sigma'_{v2}\).
  3. Calculer le coefficient de tassement \(m_v\) pour l'intervalle de contrainte [\(\sigma'_{v1}\) ; \(\sigma'_{v2}\)].
  4. Estimer le tassement final \(\Delta H_{site}\) de la couche d'argile sur le site si elle est soumise à la même augmentation de contrainte (\(\Delta\sigma' = 100 \, \text{kPa}\)).

Les bases du Tassement des Sols

Avant de plonger dans la correction, revoyons les concepts clés de la compressibilité.

1. L'Indice des Vides (\(e\)) :
L'indice des vides est un paramètre fondamental qui décrit la proportion de "vide" dans un sol. Il est défini comme le rapport du volume des vides (\(V_v\)) sur le volume des grains solides (\(V_s\)). Contrairement à la porosité, il peut être supérieur à 1 pour les sols très lâches. \[ e = \frac{V_v}{V_s} \] Lorsqu'un sol se tasse, les grains se réarrangent et le volume des vides diminue, donc l'indice des vides \(e\) diminue.

2. La Courbe Œdométrique :
C'est le résultat principal de l'essai. On représente l'évolution de l'indice des vides \(e\) en fonction du logarithme de la contrainte effective verticale (\(\log(\sigma'_v)\)). Cette courbe permet de visualiser la compressibilité du sol. Sa pente, appelée indice de compression \(C_c\), caractérise la compressibilité du sol dans le domaine vierge.

3. Le Coefficient de Tassement (\(m_v\)) :
Ce coefficient relie directement la déformation du sol à l'augmentation de contrainte. Il est défini comme la variation de déformation par unité de variation de contrainte. Il n'est pas constant et dépend du niveau de contrainte. \[ m_v = \frac{\Delta \epsilon}{\Delta \sigma'_v} = \frac{\Delta H / H_1}{\Delta \sigma'_v} = \frac{\Delta e}{\Delta \sigma'_v \cdot (1+e_1)} \] Son unité est l'inverse d'une pression (par ex. m²/MN ou kPa⁻¹ ou MPa⁻¹).

Correction : Détermination du Coefficient de Tassement

Question 1 : Calculer l'indice des vides \(e_1\)

Principe (le concept physique)

Dans un essai œdométrique, la déformation est uniquement verticale. La variation de hauteur de l'échantillon est donc directement proportionnelle à la variation de son volume des vides, car le volume des grains solides est constant. En connaissant l'état initial (hauteur \(H_0\) et indice des vides \(e_0\)) et la hauteur à un état donné (\(H_1\)), on peut en déduire le nouvel indice des vides (\(e_1\)) par une simple relation de proportionnalité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation fondamentale du tassement unidimensionnel est \(\frac{\Delta H}{H_0} = \frac{\Delta e}{1+e_0}\). Cette formule montre que la déformation relative (\(\Delta H / H_0\)) est égale à la variation de l'indice des vides rapportée au "volume total initial" normalisé (\(1+e_0\)). C'est la base de tous les calculs de tassement à partir de l'indice des vides.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que l'échantillon est composé d'une hauteur de grains solides (qui ne change pas) et d'une hauteur de "vides". Quand on applique une charge, seule la hauteur des vides diminue. La formule nous permet de calculer la nouvelle "hauteur" des vides (représentée par \(e_1\)) à partir de la réduction de la hauteur totale de l'échantillon.

Normes (la référence réglementaire)

La conduite de l'essai œdométrique et l'interprétation de ses résultats sont régies par des normes précises, comme la norme NF P94-090-1 en France ou l'ASTM D2435. Ces normes définissent les paliers de chargement, les durées de consolidation et les méthodes de calcul pour assurer la qualité des résultats.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise la relation de proportionnalité pour trouver la variation de l'indice des vides, puis le nouvel indice des vides.

\[ \frac{\Delta H_1}{H_0} = \frac{\Delta e_1}{1+e_0} \quad \text{où} \quad \Delta H_1 = H_1 - H_0 \quad \text{et} \quad \Delta e_1 = e_1 - e_0 \]
\[ \Rightarrow e_1 = e_0 + \frac{\Delta H_1}{H_0}(1+e_0) \]

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'échantillon est entièrement saturé en eau et que les grains de sol sont incompressibles. Le tassement est donc uniquement dû à l'expulsion de l'eau des vides.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur initiale, \(H_0 = 20.0 \, \text{mm}\)
  • Indice des vides initial, \(e_0 = 0.950\)
  • Hauteur sous \(\sigma'_{v1}\), \(H_1 = 19.2 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque le sol se tasse, la hauteur diminue (\(\Delta H\) est négatif) et donc l'indice des vides doit aussi diminuer. Vérifiez toujours que \(e_1 < e_0\). Si ce n'est pas le cas, il y a probablement une erreur de signe dans votre calcul de \(\Delta H\).

Schéma (Avant les calculs)
État Initial et État 1 de l'Éprouvette
État InitialH₀=20mm, e₀=0.950+σ'v₁État 1H₁=19.2mm, e₁=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la variation de hauteur \(\Delta H_1\):

\[ \begin{aligned} \Delta H_1 &= H_1 - H_0 \\ &= 19.2 \, \text{mm} - 20.0 \, \text{mm} \\ &= -0.8 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calculer la variation de l'indice des vides \(\Delta e_1\):

\[ \begin{aligned} \Delta e_1 &= \frac{\Delta H_1}{H_0}(1+e_0) \\ &= \frac{-0.8 \, \text{mm}}{20.0 \, \text{mm}}(1+0.950) \\ &= -0.04 \times 1.95 \\ &= -0.078 \end{aligned} \]

3. Calculer l'indice des vides final \(e_1\):

\[ \begin{aligned} e_1 &= e_0 + \Delta e_1 \\ &= 0.950 - 0.078 \\ &= 0.872 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme (e, log σ') - Point 1
log(σ')ee₁ = 0.872log(100)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sous une contrainte de 100 kPa, l'indice des vides a diminué de 0.950 à 0.872. Cela quantifie la compressibilité du sol dans cet intervalle de charge. Nous avons maintenant le premier point de notre courbe de compressibilité, qui nous servira de référence pour le calcul suivant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes. La hauteur diminue, donc \(\Delta H\) est négatif, ce qui entraîne une variation \(\Delta e\) négative. Une erreur de signe conduirait à un indice des vides qui augmente sous la charge, ce qui est physiquement impossible.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement d'un sol correspond à une diminution de son indice des vides.
  • La relation \(\frac{\Delta H}{H_0} = \frac{\Delta e}{1+e_0}\) est la clé pour relier les déformations mesurées aux variations de l'indice des vides.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'essai œdométrique peut durer plusieurs jours, voire semaines. Chaque palier de charge est maintenu pendant 24 heures pour permettre à l'eau de s'évacuer des pores du sol (phénomène de consolidation) et au tassement de se stabiliser. La vitesse de tassement est aussi importante que son amplitude finale.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on l'indice des vides et pas simplement la hauteur ?

L'indice des vides est un paramètre intrinsèque du sol, indépendant de la taille de l'échantillon. Deux éprouvettes de hauteurs différentes du même sol auront des tassements \(\Delta H\) différents, mais leur variation d'indice des vides \(\Delta e\) sera la même pour un même chargement. Cela permet de transposer les résultats du laboratoire (échantillon de 20 mm) au terrain (couche de 5 m).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'indice des vides sous une contrainte de 100 kPa est \(e_1 = 0.872\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les mêmes données initiales (\(H_0=20\), \(e_0=0.950\)), si la hauteur mesurée était de 19.0 mm, quel serait le nouvel indice des vides \(e\)?

Question 2 : Calculer l'indice des vides \(e_2\)

Principe (le concept physique)

Le principe est exactement le même que pour la question précédente. On applique la même relation de proportionnalité, mais cette fois-ci en partant de l'état 1 (sous 100 kPa) comme nouvel état de référence pour calculer l'état 2 (sous 200 kPa). On pourrait aussi partir de l'état initial, mais il est plus courant et plus précis de travailler par paliers successifs.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En travaillant par paliers (\(0 \rightarrow 1\), \(1 \rightarrow 2\), etc.), on peut reconstituer point par point la courbe œdométrique \(e = f(\log \sigma'_v)\). L'analyse de la pente de cette courbe permet d'identifier des paramètres clés comme l'indice de compression \(C_c\) et l'indice de gonflement \(C_s\), qui sont fondamentaux pour les calculs de tassement avancés.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Chaque fois qu'on augmente la charge, le sol se comprime un peu plus, et l'indice des vides continue de diminuer. Il est important de bien utiliser les valeurs de l'état précédent (\(H_1\), \(e_1\)) comme référence pour le calcul de l'état suivant (\(e_2\)), afin de ne pas accumuler les erreurs d'arrondi.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes d'essai spécifient généralement un rapport de chargement constant, souvent en doublant la contrainte à chaque palier (ex: 25, 50, 100, 200, 400 kPa...). Cette progression logarithmique permet d'explorer une large gamme de contraintes et de bien définir la courbe œdométrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise la même relation, adaptée à l'intervalle [\(\sigma'_{v1}\) ; \(\sigma'_{v2}\)].

\[ \frac{\Delta H_2}{H_1} = \frac{\Delta e_2}{1+e_1} \quad \text{où} \quad \Delta H_2 = H_2 - H_1 \quad \text{et} \quad \Delta e_2 = e_2 - e_1 \]
\[ \Rightarrow e_2 = e_1 + \frac{\Delta H_2}{H_1}(1+e_1) \]

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1 : sol saturé, grains incompressibles, déformation purement verticale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur à l'état 1, \(H_1 = 19.2 \, \text{mm}\)
  • Indice des vides à l'état 1, \(e_1 = 0.872\) (de Q1)
  • Hauteur à l'état 2, \(H_2 = 18.8 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La variation de hauteur est de \(19.2 - 18.8 = 0.4\) mm. C'est la moitié de la variation précédente (0.8 mm). Comme la contrainte a aussi doublé, on peut s'attendre à ce que la variation de l'indice des vides soit de l'ordre de la moitié de la précédente, soit environ 0.04. Le nouvel indice des vides devrait donc être proche de \(0.872 - 0.04 = 0.832\).

Schéma (Avant les calculs)
Passage de l'État 1 à l'État 2
État 1H₁=19.2mm, e₁=0.872+σ'v₂État 2H₂=18.8mm, e₂=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la variation de hauteur \(\Delta H_2\):

\[ \begin{aligned} \Delta H_2 &= H_2 - H_1 \\ &= 18.8 \, \text{mm} - 19.2 \, \text{mm} \\ &= -0.4 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calculer la variation de l'indice des vides \(\Delta e_2\):

\[ \begin{aligned} \Delta e_2 &= \frac{\Delta H_2}{H_1}(1+e_1) \\ &= \frac{-0.4 \, \text{mm}}{19.2 \, \text{mm}}(1+0.872) \\ &\approx -0.02083 \times 1.872 \\ &\approx -0.039 \end{aligned} \]

3. Calculer l'indice des vides final \(e_2\):

\[ \begin{aligned} e_2 &= e_1 + \Delta e_2 \\ &= 0.872 - 0.039 \\ &= 0.833 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme (e, log σ') - Point 2
log(σ')ee₁=0.872log(100)e₂=0.833log(200)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'indice des vides continue de diminuer avec l'augmentation de la charge, passant à 0.833. Nous avons maintenant deux points sur la courbe de compressibilité, ce qui va nous permettre de calculer la pente moyenne de cette courbe sur l'intervalle de contrainte considéré, et donc le coefficient de tassement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'utiliser les valeurs initiales (\(H_0, e_0\)) comme référence au lieu des valeurs de l'état précédent (\(H_1, e_1\)). Le calcul doit se faire de manière incrémentale, palier par palier, car la relation de proportionnalité est valable pour de petites déformations par rapport à l'état actuel.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul de l'indice des vides se fait de manière itérative, palier par palier.
  • L'état final d'un palier devient l'état initial du palier suivant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La courbe œdométrique présente souvent un "coude" qui correspond à la contrainte de préconsolidation. C'est la contrainte maximale que le sol a subie dans son histoire géologique (par exemple, sous le poids d'un ancien glacier). Pour des contraintes inférieures, le sol est peu compressible. Au-delà, il devient beaucoup plus compressible.

FAQ (pour lever les doutes)
Obtiendrait-on le même résultat en partant de l'état initial ?

Oui, le résultat serait très proche. En partant de \(H_0\), on aurait \(\Delta H = 18.8 - 20.0 = -1.2\) mm. \(\Delta e = (-1.2/20.0)(1+0.950) = -0.117\). Donc \(e_2 = 0.950 - 0.117 = 0.833\). Le résultat est le même ici car les formules sont linéaires. Cependant, la méthode par paliers est la procédure standard et reste plus rigoureuse.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'indice des vides sous une contrainte de 200 kPa est \(e_2 = 0.833\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En partant de l'état 1 (\(H_1=19.2, e_1=0.872\)), si la hauteur finale était de 18.6 mm, quel serait l'indice des vides \(e_2\)?

Question 3 : Calculer le coefficient de tassement (\(m_v\))

Principe (le concept physique)

Le coefficient de tassement \(m_v\) est une mesure directe de la compressibilité du sol. Il représente la "facilité" avec laquelle le sol se déforme sous une augmentation de charge. Il est défini comme la variation de déformation verticale (\(\Delta \epsilon\)) divisée par la variation de contrainte effective (\(\Delta \sigma'_v\)) qui l'a provoquée. Une valeur de \(m_v\) élevée signifie que le sol est très compressible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient \(m_v\) est la pente de la courbe contrainte-déformation (\(\sigma'_v, \epsilon\)). Il n'est généralement pas constant. Pour les calculs, on utilise sa valeur moyenne sur l'intervalle de contrainte qui nous intéresse. Il est relié à l'indice de compression \(C_c\) (pente de la courbe \(e, \log \sigma'_v\)) mais est plus direct à utiliser pour le calcul du tassement final.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Voyez \(m_v\) comme un "coefficient de souplesse". Si vous appuyez sur deux matelas avec la même force, celui qui s'enfonce le plus a le \(m_v\) le plus élevé. En géotechnique, on préfère les sols avec un \(m_v\) faible, car ils se tasseront moins sous le poids des constructions.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de \(m_v\) à partir des données de l'essai œdométrique est une procédure standard d'interprétation. Ce coefficient est ensuite utilisé dans les formules de calcul de tassement préconisées par les normes de conception géotechnique, comme l'Eurocode 7.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il existe deux formules équivalentes pour calculer \(m_v\). La première utilise la variation de hauteur, la seconde la variation de l'indice des vides.

\[ m_v = \frac{\Delta H / H_1}{\Delta \sigma'_v} \quad \text{ou} \quad m_v = \frac{\Delta e}{\Delta \sigma'_v \cdot (1+e_1)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le comportement du sol est linéaire sur l'intervalle de contrainte [\(\sigma'_{v1}\) ; \(\sigma'_{v2}\)], ce qui nous autorise à utiliser la valeur moyenne de \(m_v\) sur cet intervalle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Variation de l'indice des vides, \(\Delta e = e_2 - e_1 = 0.833 - 0.872 = -0.039\)
  • Variation de contrainte, \(\Delta \sigma'_v = \sigma'_{v2} - \sigma'_{v1} = 200 - 100 = 100 \, \text{kPa}\)
  • Indice des vides de départ de l'intervalle, \(e_1 = 0.872\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Faites attention aux unités. Si \(\Delta \sigma'_v\) est en kPa, \(m_v\) sera en kPa⁻¹. Si vous le convertissez en MPa (\(100 \text{kPa} = 0.1 \text{MPa}\)), \(m_v\) sera en MPa⁻¹. La valeur numérique sera 1000 fois plus grande en MPa⁻¹ qu'en kPa⁻¹.

Schéma (Avant les calculs)
Pente de la Courbe de Compressibilité
σ' (kPa)ε(σ'₁, ε₁)(σ'₂, ε₂)ΔεΔσ'
Calcul(s) (l'application numérique)

On utilise la formule avec la variation de l'indice des vides.

\[ \begin{aligned} m_v &= \frac{\Delta e}{\Delta \sigma'_v \cdot (1+e_1)} \\ &= \frac{|-0.039|}{100 \, \text{kPa} \cdot (1+0.872)} \\ &= \frac{0.039}{100 \cdot 1.872} \, \text{kPa}^{-1} \\ &= \frac{0.039}{187.2} \, \text{kPa}^{-1} \\ &\approx 0.000208 \, \text{kPa}^{-1} \end{aligned} \]

On exprime souvent ce résultat en \( \text{MPa}^{-1}\). \(1 \, \text{kPa}^{-1} = 1000 \, \text{MPa}^{-1}\).

\[ \begin{aligned} m_v &= 0.000208 \times 1000 \, \text{MPa}^{-1} \\ &= 0.208 \, \text{MPa}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du Coefficient de Tassement
m_v ≈ 0.21 MPa⁻¹(Argile compressible)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(m_v\) de 0.21 MPa⁻¹ est typique d'une argile de compressibilité moyenne à élevée. À titre de comparaison, un sable dense aurait un \(m_v\) 10 à 100 fois plus faible. Cette valeur confirme que le sol est susceptible de tasser de manière significative sous de nouvelles charges.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est de se tromper dans les unités et les conversions entre kPa et MPa. De plus, il faut bien utiliser l'indice des vides au début de l'intervalle de charge (\(e_1\)) dans le dénominateur, et non l'indice des vides initial (\(e_0\)) ou une moyenne.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(m_v\) mesure la compressibilité du sol sur un intervalle de contrainte.
  • Plus \(m_v\) est grand, plus le sol est "mou" et se tassera facilement.
  • Sa valeur est utilisée pour calculer directement le tassement final.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La ville de Mexico est célèbre pour ses tassements spectaculaires. Construite sur d'anciens lits de lacs remplis d'argiles très compressibles, certaines parties de la ville se sont affaissées de plus de 10 mètres au cours du 20ème siècle, principalement à cause du pompage de l'eau dans les nappes phréatiques, ce qui augmente la contrainte effective sur les argiles.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que \(m_v\) est la même chose que le module d'Young E ?

Non, mais ils sont liés. Le module d'Young E mesure la rigidité d'un matériau. Le coefficient \(m_v\) mesure sa compressibilité. Pour un essai œdométrique, on définit un "module œdométrique" \(E_{oed}\) qui est simplement l'inverse de \(m_v\). Donc \(E_{oed} = 1/m_v\). Dans notre cas, \(E_{oed} = 1 / 0.208 \approx 4.8\) MPa, ce qui est une valeur de rigidité très faible, typique d'une argile molle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de tassement pour l'intervalle [100 ; 200 kPa] est \(m_v \approx 0.000208 \, \text{kPa}^{-1}\) (soit 0.208 MPa⁻¹).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si pour un \(\Delta \sigma'_v\) de 150 kPa, on mesurait un \(\Delta e\) de -0.050 à partir d'un \(e_1\) de 0.900, quel serait le \(m_v\) en MPa⁻¹ ?

Question 4 : Estimer le tassement final (\(\Delta H_{site}\))

Principe (le concept physique)

Le but ultime de l'essai œdométrique est de pouvoir prédire le comportement du sol à l'échelle du site. Le coefficient \(m_v\), déterminé sur un petit échantillon en laboratoire, peut être utilisé pour calculer le tassement total d'une couche de sol de plusieurs mètres d'épaisseur, à condition que cette couche soit soumise à la même variation de contrainte.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le tassement de consolidation primaire (\(S_c\)) d'une couche de sol d'épaisseur \(H\) est donné par la formule \(S_c = m_v \cdot \Delta \sigma'_v \cdot H\). Cette formule est une application directe de la définition de \(m_v\), puisque \(m_v \cdot \Delta \sigma'_v\) représente la déformation verticale \(\epsilon_v\), et le tassement total est simplement cette déformation multipliée par l'épaisseur initiale de la couche (\(S_c = \epsilon_v \cdot H\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que la magie de la mécanique des sols opère : un essai sur un échantillon de 2 cm de haut nous permet de prédire de combien de centimètres un bâtiment va s'enfoncer sur une couche de 5 mètres ! C'est la puissance des paramètres intrinsèques comme \(m_v\), qui sont indépendants de l'échelle.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du tassement est une étape obligatoire de la justification des fondations selon l'Eurocode 7. La norme exige de vérifier que les tassements (absolus et différentiels) restent dans des limites admissibles pour ne pas endommager la structure.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule du tassement final est :

\[ \Delta H_{\text{site}} = m_v \cdot \Delta \sigma'_v \cdot H_{\text{site}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'échantillon testé en laboratoire est parfaitement représentatif de l'ensemble de la couche d'argile de 5 mètres. On suppose également que l'augmentation de contrainte de 100 kPa (due par exemple au poids d'un remblai ou d'une fondation) est appliquée uniformément sur toute l'épaisseur de la couche.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coefficient de tassement, \(m_v = 0.000208 \, \text{kPa}^{-1}\) (de Q3)
  • Variation de contrainte, \(\Delta \sigma'_v = 100 \, \text{kPa}\)
  • Épaisseur de la couche sur site, \(H_{\text{site}} = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est capitale ici. Si \(m_v\) est en kPa⁻¹ et \(\Delta \sigma'_v\) en kPa, leur produit est sans dimension. Le tassement \(\Delta H\) aura donc la même unité que l'épaisseur de la couche \(H\). Si vous entrez \(H\) en mètres, le tassement sera en mètres.

Schéma (Avant les calculs)
Application du Laboratoire au Site Réel
Labo (m_v)Site (H_site, Δσ')ΔH_site = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule du tassement.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{site}} &= m_v \cdot \Delta \sigma'_v \cdot H_{\text{site}} \\ &= 0.000208 \, \text{kPa}^{-1} \cdot 100 \, \text{kPa} \cdot 5.0 \, \text{m} \\ &= 0.0208 \cdot 5.0 \, \text{m} \\ &= 0.104 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le tassement est donc de 0.104 m, soit 10.4 cm.

Schéma (Après les calculs)
Tassement Final de la Couche d'Argile
Avant charge5 mAprès chargeΔH ≈ 10.4 cm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un tassement de plus de 10 cm est très significatif. Si un bâtiment était construit sur cette couche, un tel tassement pourrait causer des dommages importants (fissures, problèmes de canalisations...). Ce calcul montre la nécessité soit de prévoir des fondations profondes qui traversent cette couche compressible, soit d'améliorer le sol en place (par exemple par consolidation ou colonnes ballastées) avant de construire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est de ne pas être cohérent avec les unités. Si \(H_{site}\) est en mètres, le résultat sera en mètres. N'oubliez pas de le convertir en centimètres ou millimètres pour une meilleure représentation. Assurez-vous aussi que la variation de contrainte \(\Delta \sigma'_v\) utilisée dans le calcul correspond bien à celle que subira le sol sur le site.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement final est proportionnel à l'épaisseur de la couche compressible.
  • La formule clé est \(\Delta H = m_v \cdot \Delta \sigma'_v \cdot H\).
  • Le calcul de tassement est une étape cruciale du dimensionnement des fondations.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise doit son inclinaison célèbre à un tassement différentiel. Le sol sous le côté sud de la tour est plus compressible que sous le côté nord. Dès le début de la construction au 12ème siècle, la tour a commencé à s'incliner car le côté sud s'enfonçait plus rapidement. C'est un exemple extrême de l'importance de bien caractériser le sol avant de construire.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce tassement de 10.4 cm est-il instantané ?

Non, et c'est un point crucial. Pour les sables, le tassement est quasi-instantané. Mais pour les argiles, qui sont peu perméables, l'eau met beaucoup de temps à s'évacuer. Ce tassement de 10.4 cm est le tassement final, qui pourrait prendre des années, voire des décennies, pour être atteint. La théorie de la consolidation de Terzaghi permet de calculer le tassement en fonction du temps.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement final estimé de la couche d'argile de 5 mètres est de 0.104 m, soit 10.4 cm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec le même \(m_v\), si la couche d'argile faisait 8 m d'épaisseur et que la charge appliquée était de 150 kPa, quel serait le tassement final en cm ?

Outil Interactif : Calcul de Tassement

Modifiez les paramètres du sol et du projet pour voir leur influence sur le tassement final.

Paramètres d'Entrée
0.21 MPa⁻¹
100 kPa
5.0 m
Résultat
Tassement Final Calculé (cm) -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien, il a révolutionné le domaine en publiant en 1925 son livre "Erdbaumechanik" qui posait les bases scientifiques de l'étude du comportement des sols. Il a notamment développé le concept fondamental de la contrainte effective, qui régit la résistance et la déformation des sols.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la densité sèche est-elle si importante pour le contrôle du compactage ?

Sur un chantier de terrassement (route, remblai), l'objectif est d'atteindre un certain niveau de compacité pour garantir la stabilité de l'ouvrage. Cet objectif est fixé par une valeur de densité sèche à atteindre (par exemple, 95% de l'optimum Proctor). La teneur en eau du sol peut varier avec la météo, mais la quantité de grains solides dans un volume donné (la densité sèche) doit rester conforme aux exigences du projet. On mesure donc \(\rho_h\) et \(w\) sur le terrain pour calculer \(\rho_d\) et vérifier que l'objectif est atteint.

Quelle est la différence entre densité et poids volumique ?

La densité (ou masse volumique) \(\rho\) est une masse par unité de volume (ex: kg/m³). Le poids volumique \(\gamma\) est un poids (une force) par unité de volume (ex: N/m³ ou kN/m³). Les deux sont liés par l'accélération de la pesanteur, \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\). La relation est \(\gamma = \rho \cdot g\). En pratique, les géotechniciens utilisent souvent les deux termes de manière interchangeable, mais il est important de connaître la distinction.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si un sol sèche (sa teneur en eau diminue) sans que son volume ne change, que se passe-t-il ?

2. Deux sols ont la même densité humide de 2000 kg/m³. Le sol A a une teneur en eau de 10% et le sol B de 20%. Lequel est le plus compact ?

Densité Humide (\(\rho_h\))
Masse totale d'un échantillon de sol (solides + eau) divisée par son volume total (solides + eau + air). C'est la masse volumique du sol dans son état naturel.
Teneur en Eau (\(w\))
Rapport de la masse de l'eau contenue dans les vides du sol à la masse des particules solides. Elle est généralement exprimée en pourcentage.
Densité Sèche (\(\rho_d\))
Masse des particules solides du sol divisée par le volume total de l'échantillon. C'est un indicateur clé de la compacité du sol.
Détermination du Coefficient de Tassement (mv)

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