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Conception d’une poutre en béton armé

Conception d'une Poutre en Béton Armé

Conception d'une Poutre en Béton Armé

Contexte : Quel est le rôle d'une poutre ?

Une poutre est un élément structurel horizontal qui supporte des charges verticales (comme le poids d'un plancher, d'un mur ou de la toiture) et les transfère aux éléments porteurs verticaux, tels que les poteaux ou les murs. Soumise à ces charges, la poutre subit une flexionDéformation d'un élément structurel sous l'effet de charges perpendiculaires à son axe, provoquant une compression dans la partie supérieure et une traction dans la partie inférieure.. La partie supérieure de la poutre est comprimée, tandis que la partie inférieure est tendue. Comme le béton résiste très bien à la compression mais très mal à la traction, on place des barres d'acier (armatures longitudinales) dans la zone tendue pour reprendre ces efforts et éviter la rupture.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le calcul complet des armatures d'une poutre rectangulaire simplement appuyée, soumise à une charge uniformément répartie. Nous calculerons les efforts à l'État Limite Ultime (ELU), puis nous dimensionnerons les aciers nécessaires pour résister à la flexion et à l'effort tranchant.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges de calcul à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Déterminer le moment fléchissant maximal (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal (\(V_{Ed}\)).
  • Dimensionner les armatures longitudinales (aciers principaux) pour reprendre la flexion.
  • Dimensionner les armatures transversales (étriersArmatures transversales, généralement en forme de cadre, qui ceinturent les aciers longitudinaux pour résister à l'effort tranchant et confiner le béton.) pour reprendre l'effort tranchant.
  • Vérifier les dispositions constructives minimales imposées par la réglementation.

Données de l'étude

On étudie une poutre rectangulaire en béton armé de portée \(L = 7.0 \, \text{m}\), simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle supporte un plancher.

Schéma de la poutre et de son chargement
P_Ed L = 7.0 m b=30cm h=50cm

Caractéristiques des matériaux et des charges :

  • Section de la poutre : rectangulaire, \(b = 30 \, \text{cm}\), \(h = 50 \, \text{cm}\)
  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Charges de service (ELS) :
    • Charge permanente (poids propre inclus) : \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\).
    • Charge d'exploitation : \(Q_k = 15 \, \text{kN/m}\).
  • Enrobage des armatures : \(c = 3.5 \, \text{cm}\)
  • Coefficients de sécurité : \(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_Q=1.5\), \(\gamma_c=1.5\), \(\gamma_s=1.15\).

Questions à traiter

  1. Calculer la charge répartie de calcul à l'ELU, \(P_{Ed}\).
  2. Déterminer le moment fléchissant maximal \(M_{Ed}\) à mi-portée.
  3. Calculer la section d'armatures longitudinales \(A_s\) requise pour la flexion.
  4. Déterminer l'effort tranchant maximal \(V_{Ed}\) aux appuis.
  5. Calculer les armatures d'effort tranchant (étriers) nécessaires.

Correction : Conception d'une Poutre en Béton Armé

Question 1 : Calculer la charge répartie de calcul à l'ELU (\(P_{Ed}\))

Principe avec image animée (le concept physique)

Pour garantir la sécurité de la structure, on ne calcule pas sa résistance avec les charges de tous les jours (charges de service), mais avec des charges majorées, dites "de calcul" ou "ultimes". L'État Limite Ultime (ELU) correspond à un état de charge exceptionnel qui amènerait la structure au bord de la rupture. On applique des coefficients de sécurité (\(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)) aux charges de service pour obtenir la charge de calcul \(P_{Ed}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions à l'ELU la plus courante est \(1.35 G_k + 1.50 Q_k\). Le coefficient 1.35 sur les charges permanentes (\(G_k\)) est plus faible que le 1.50 sur les charges d'exploitation (\(Q_k\)) car les charges permanentes (comme le poids propre) sont connues avec une meilleure précision que les charges d'exploitation (comme le mobilier, les personnes), qui sont plus variables et incertaines.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Faites bien attention à la distinction entre kN (une force) et kN/m (une force répartie sur une longueur). Ici, on manipule des charges réparties sur toute la longueur de la poutre.

Normes (la référence réglementaire)

Cette méthode de pondération des charges est définie par l'Eurocode 0 (EN 1990) - Bases de calcul des structures, qui établit les principes et exigences pour la sécurité, l'aptitude au service et la durabilité des structures.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont statiques et uniformément réparties. Le poids propre de la poutre est déjà inclus dans la charge permanente Gk, ce qui simplifie le calcul initial.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison de charges à l'ELU

\[ P_{\text{Ed}} = \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot Q_k \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(\gamma_G = 1.35\)
  • \(\gamma_Q = 1.50\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge ultime

\[ \begin{aligned} P_{\text{Ed}} &= (1.35 \times 20 \, \text{kN/m}) + (1.50 \times 15 \, \text{kN/m}) \\ &= 27 \, \text{kN/m} + 22.5 \, \text{kN/m} \\ &= 49.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge ultime de 49.5 kN/m est environ 41% plus élevée que la charge de service totale (20+15 = 35 kN/m). Cette marge de sécurité est essentielle pour couvrir les incertitudes sur les valeurs des charges et la résistance des matériaux.

Point à retenir : La sécurité d'une structure commence par la bonne évaluation des charges ultimes en appliquant les coefficients de sécurité réglementaires.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est la fondation de tous les calculs de dimensionnement à l'ELU. Une erreur ici se répercuterait sur le calcul du moment, de l'effort tranchant et donc de tout le ferraillage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Ne jamais utiliser les charges de service (Gk, Qk) pour le calcul du ferraillage à l'ELU. Inversement, ne pas utiliser les charges ultimes (PEd) pour les vérifications de déformation en service (ELS).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certaines situations, comme pour les structures sensibles au soulèvement par le vent, on utilise une combinaison où le coefficient sur la charge permanente est minorant (ex: 0.9 Gk) pour vérifier le cas le plus défavorable.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients de sécurité sont-ils différents pour G et Q?

Parce que les charges permanentes (G), comme le poids des matériaux, sont mieux connues et moins variables dans le temps que les charges d'exploitation (Q), comme le mobilier, les personnes ou la neige, qui sont plus incertaines.

Résultat Final : La charge de calcul répartie à l'ELU est \(P_{Ed} = 49.5 \, \text{kN/m}\).

À vous de jouer : Quelle serait la charge \(P_{Ed}\) (en kN/m) si la charge d'exploitation \(Q_k\) était de 20 kN/m ?

Question 2 : Déterminer le moment fléchissant maximal \(M_{Ed}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
M_max

La charge répartie \(P_{Ed}\) fait fléchir la poutre. Le moment fléchissant, qui mesure l'intensité de cette flexion, n'est pas constant le long de la poutre. Pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniforme, le moment est nul aux appuis et maximal au centre de la portée. C'est pour ce moment maximal que l'on doit dimensionner les aciers principaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme du moment fléchissant pour ce cas de charge est une parabole. La valeur maximale est obtenue en utilisant une formule classique de la Résistance des Matériaux (RDM). Cette formule est fondamentale en génie civil et s'applique à de très nombreux cas de planchers et de ponts courants.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La formule \(M = P \cdot L^2 / 8\) est un réflexe à avoir pour tout ingénieur. Elle ne s'applique que pour une poutre sur deux appuis et une charge uniforme, mais c'est le cas le plus fréquent.

Normes (la référence réglementaire)

Cette formule est un résultat direct de la statique et de la Résistance des Matériaux, dont les principes sont la base de l'Eurocode 2 pour le calcul des sollicitations (efforts internes).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est "simplement appuyée" (ou isostatique), c'est-à-dire qu'elle peut tourner librement à ses extrémités, sans moment d'encastrement qui la retiendrait.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment maximal à mi-portée

\[ M_{\text{Ed, max}} = \frac{P_{Ed} \cdot L^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(P_{Ed} = 49.5 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment maximal

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed, max}} &= \frac{49.5 \, \text{kN/m} \times (7.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{49.5 \times 49}{8} \\ &= 303.2 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un moment de 303 kNm est une sollicitation très importante. Il va créer une forte traction en partie inférieure de la poutre, qui devra être entièrement reprise par les aciers que nous calculerons à l'étape suivante.

Point à retenir : Le moment fléchissant est maximal là où l'effort tranchant est nul, ce qui correspond au milieu de la poutre pour ce cas de charge.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le dimensionnement des aciers de flexion se fait à partir du moment maximal. C'est la valeur la plus critique qui va déterminer la quantité d'acier principale dans la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Attention aux unités ! Si P est en kN/m et L en m, le résultat est en kNm. Une erreur d'unité est vite arrivée et peut avoir des conséquences graves.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la poutre était encastrée à ses extrémités, le moment maximal serait plus faible à mi-travée (\(PL^2/24\)), mais des moments négatifs (qui tendent la fibre supérieure) apparaîtraient aux appuis (\(PL^2/12\)).

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle toujours valable?

Non, elle change si la charge n'est pas uniforme (par exemple une charge ponctuelle au milieu donnerait \(M=PL/4\)) ou si les conditions d'appui sont différentes (poutre continue, encastrée, etc.).

Résultat Final : Le moment fléchissant maximal de calcul est \(M_{Ed} = 303.2 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

À vous de jouer : Quel serait le moment \(M_{Ed}\) (en kNm) si la portée L était de 6.0 m ?

Question 3 : Calculer la section d'armatures longitudinales (\(A_s\))

Principe (le concept physique)

Le moment \(M_{Ed}\) est équilibré par un couple de forces internes à la section de béton : une force de compression dans le béton en partie haute (\(F_c\)) et une force de traction dans les aciers en partie basse (\(F_s\)). La distance entre ces deux forces est le "bras de levier" (\(z\)). Le calcul consiste à trouver la section d'acier \(A_s\) nécessaire pour que la force de traction \(F_s = A_s \cdot f_{yd}\) équilibre le moment appliqué : \(M_{Ed} = F_s \cdot z\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du ferraillage en flexion à l'ELU se base sur l'équilibre d'un couple de forces interne : la résultante des contraintes de compression dans le béton et la résultante de la force de traction dans les aciers. La distance entre ces deux forces est le bras de levier \(z\). La formule simplifiée \(A_s = M_{Ed} / (z \cdot f_{yd})\) est très utilisée. Le bras de levier \(z\) est souvent estimé à \(0.9 \cdot d\), où \(d\) est la hauteur utile de la section.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La hauteur utile \(d\) est une dimension cruciale. C'est la distance entre la fibre la plus comprimée (en haut) et le centre de gravité des aciers tendus (en bas). Une petite erreur sur \(d\) a un impact important sur le calcul des aciers.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul est issue de l'Eurocode 2, section 6.1, qui décrit le calcul des sections soumises à la flexion simple. La formule simplifiée avec \(z=0.9d\) est une approche couramment admise pour le dimensionnement.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour calculer la hauteur utile \(d\), on doit faire une hypothèse sur le diamètre des aciers longitudinaux et transversaux. On suppose ici des étriers de 8 mm et des barres principales de 16 mm. Cette hypothèse sera à vérifier à la fin.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur utile

\[ d = h - c - \phi_{\text{étrier}} - \frac{\phi_{\text{long}}}{2} \]

Bras de levier (estimation)

\[ z \approx 0.9 \cdot d \]

Section d'acier requise

\[ A_s \ge \frac{M_{Ed}}{z \cdot f_{yd}} \quad \text{avec} \quad f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{Ed} = 303.2 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 0.3032 \, \text{MN} \cdot \text{m}\)
  • \(h = 50 \, \text{cm}\), \(c = 3.5 \, \text{cm}\)
  • Hypothèses : \(\phi_{\text{étrier}} = 8 \, \text{mm}\), \(\phi_{\text{long}} = 16 \, \text{mm}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Résistance de calcul de l'acier

\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &= 434.8 \, \text{MPa} \\ &= 434.8 \, \text{MN/m}^2 \end{aligned} \]

Hauteur utile \(d\)

\[ \begin{aligned} d &= 50 \, \text{cm} - 3.5 \, \text{cm} - 0.8 \, \text{cm} - \frac{1.6 \, \text{cm}}{2} \\ &= 44.9 \, \text{cm} \\ &= 0.449 \, \text{m} \end{aligned} \]

Bras de levier \(z\)

\[ \begin{aligned} z &= 0.9 \times 0.449 \, \text{m} \\ &= 0.404 \, \text{m} \end{aligned} \]

Section d'acier \(A_s\)

\[ \begin{aligned} A_s &\ge \frac{0.3032 \, \text{MN} \cdot \text{m}}{0.404 \, \text{m} \times 434.8 \, \text{MN/m}^2} \\ &\ge 0.001728 \, \text{m}^2 \\ &= 17.28 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

On choisit une combinaison de barres commerciales qui fournit au moins cette section. Par exemple : 4 barres HA 25 (\(A_s = 4 \times 4.91 = 19.64 \, \text{cm}^2\)) ou 6 barres HA 20 (\(A_s = 6 \times 3.14 = 18.84 \, \text{cm}^2\)). On choisit 6 HA 20, plus faciles à placer sur deux lits.

Schéma du ferraillage longitudinal
Aciers principaux: 6 HA 20 Aciers de montage (ex: 2 HA 10)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La section d'acier requise est assez importante (17.28 cm²). Le choix de 6 HA 20 est une solution pratique qui permet de répartir l'acier sur deux lits, assurant un bon enrobage par le béton tout en respectant les espacements.

Point à retenir : La section d'acier en flexion est directement proportionnelle au moment et inversement proportionnelle à la hauteur utile de la poutre.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape clé qui transforme un effort (le moment) en une quantité de matière (la section d'acier). C'est le résultat principal pour le plan de ferraillage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Toujours vérifier que la section d'acier choisie est supérieure à la section calculée. Il faut aussi s'assurer que les barres choisies peuvent être physiquement placées dans la largeur de la poutre en respectant les espacements minimaux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si le moment est trop grand, on peut se retrouver avec une section d'acier si importante qu'elle dépasse un certain pourcentage réglementaire. Dans ce cas, il faut augmenter les dimensions de la poutre (sa hauteur ou sa largeur) pour réduire la contrainte sur le béton.

FAQ (pour lever les doutes)
L'estimation \(z \approx 0.9d\) est-elle toujours valable?

C'est une excellente approximation pour les poutres et dalles courantes. Pour des éléments très fortement ferraillés ou de faible hauteur, le bras de levier réel peut être légèrement plus petit. Des formules plus précises existent, mais \(0.9d\) est une valeur de pré-dimensionnement sûre et reconnue.

Résultat Final : La section d'acier requise est \(A_s = 17.28 \, \text{cm}^2\). On choisit de mettre en place 6 HA 20.

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier \(A_s\) (en cm²) si le moment était de 250 kNm ?

Question 4 : Déterminer l'effort tranchant maximal \(V_{Ed}\)

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant est un effort qui tend à faire glisser verticalement les sections de la poutre les unes par rapport aux autres. Il est maximal aux endroits où la charge est transmise aux appuis. Cet effort peut provoquer des fissures inclinées caractéristiques. Les armatures transversales (étriers) sont là pour "coudre" ces fissures et empêcher la rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'effort tranchant est la somme des forces verticales agissant sur un côté d'une section. Son diagramme pour une poutre sur deux appuis est linéaire, partant d'une valeur maximale (la réaction d'appui) à une extrémité, passant par zéro au milieu, et atteignant la valeur opposée à l'autre extrémité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'effort tranchant est souvent négligé par les débutants, mais il est tout aussi critique que le moment fléchissant. Une rupture par effort tranchant est fragile et doit absolument être évitée.

Normes (la référence réglementaire)

Comme pour le moment fléchissant, cette formule est un résultat direct de la statique et de la Résistance des Matériaux, dont les principes sont la base de l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les appuis sont ponctuels et situés aux extrémités de la portée L. La valeur calculée correspond à la réaction d'appui.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Effort tranchant maximal aux appuis

\[ V_{\text{Ed, max}} = \frac{P_{Ed} \cdot L}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(P_{Ed} = 49.5 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'effort tranchant maximal

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed, max}} &= \frac{49.5 \, \text{kN/m} \times 7.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{346.5 \, \text{kN}}{2} \\ &= 173.25 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort de 173 kN est l'effort que les étriers devront reprendre près des appuis. On voit que cet effort est maximal là où le moment est nul, et inversement. Les besoins en ferraillage de flexion et d'effort tranchant sont donc localisés à des endroits différents de la poutre.

Point à retenir : L'effort tranchant, qui sollicite les étriers, est maximal aux appuis.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette valeur est indispensable pour la question suivante : le dimensionnement des armatures transversales (étriers), qui empêchent la rupture par cisaillement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Ne pas confondre le diagramme de l'effort tranchant (linéaire, max aux appuis) avec celui du moment fléchissant (parabolique, max au centre).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En réalité, on ne calcule pas le ferraillage pour l'effort tranchant maximal à l'appui même, mais à une distance 'd' (hauteur utile) de l'appui. C'est parce que la charge est transmise à l'appui via une bielle de béton inclinée, ce qui soulage l'effort tranchant juste à côté de l'appui. Pour simplifier, nous avons pris la valeur maximale ici.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'effort tranchant est-il nul au milieu?

Parce qu'à mi-portée, les charges à gauche et à droite de la section s'équilibrent parfaitement. Il n'y a pas de tendance au glissement vertical. La pente du diagramme de moment est nulle, donc l'effort tranchant (qui est la dérivée du moment) est nul.

Résultat Final : L'effort tranchant maximal de calcul est \(V_{Ed} = 173.25 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quel serait l'effort tranchant \(V_{Ed}\) (en kN) si la charge \(P_{Ed}\) était de 60 kN/m ?

Question 5 : Calculer les armatures d'effort tranchant (étriers)

Principe (la traduction du calcul en plan)

Le calcul des étriers se base sur l'analogie du treillis, où les étriers verticaux agissent comme des montants tendus qui reprennent l'effort tranchant, tandis que le béton agit comme des bielles inclinées comprimées. La quantité d'acier d'étrier par mètre de poutre dépend de l'intensité de l'effort tranchant \(V_{Ed}\). On choisit un diamètre d'étrier et on en déduit l'espacement maximal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La réglementation (Eurocode 2) impose des pourcentages minimaux d'étriers même si le calcul n'en requiert pas, pour assurer un comportement ductile et coudre d'éventuelles fissures. Elle impose aussi un espacement maximal pour garantir le bon confinement du béton et l'efficacité des étriers.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul donne un espacement théorique. L'ingénieur doit toujours choisir un espacement pratique (multiple de 2.5 cm ou 5 cm) et inférieur ou égal à la valeur calculée ET aux limites réglementaires. On prend toujours la contrainte la plus forte (l'espacement le plus faible).

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul est basé sur la section 6.2 de l'Eurocode 2 (Effort tranchant). Les espacements maximaux sont définis dans la section 9.2.2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On choisit une inclinaison des bielles de béton \(\theta = 22^\circ\). C'est une valeur prudente qui maximise la quantité d'étriers requise. On pourrait optimiser en prenant un angle plus grand (jusqu'à 45°), ce qui réduirait le besoin en acier mais solliciterait plus le béton.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Ratio d'armatures transversales (formule générale)

\[ \frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{V_{Ed}}{0.9 \cdot d \cdot f_{ywd} \cdot (\cot\theta + \cot\alpha)} \]

Ratio d'armatures (formule simplifiée)

\[ \frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{V_{Ed}}{0.9 \cdot d \cdot f_{\text{ywd}} \cdot \cot(22^\circ)} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(V_{Ed} = 173.25 \, \text{kN} = 0.17325 \, \text{MN}\)
  • \(d = 0.449 \, \text{m}\)
  • \(f_{\text{ywd}} = f_{yd} = 434.8 \, \text{MPa}\)
  • Choix d'étriers : HA 8 à 2 brins, \(A_{sw} = 2 \times 0.503 = 1.006 \, \text{cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du ratio d'acier d'effort tranchant

\[ \begin{aligned} \frac{A_{sw}}{s} &\ge \frac{0.17325}{0.9 \times 0.449 \times 434.8 \times 2.475} \\ &\ge \frac{0.17325}{434.8} \\ &= 0.000398 \, \text{m} \\ &= 3.98 \, \text{cm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Calcul de l'espacement maximal

\[ \begin{aligned} s &\le \frac{A_{sw}}{3.98 \, \text{cm}^2/\text{m}} \\ &\le \frac{1.006 \, \text{cm}^2}{3.98 \, \text{cm}^2/\text{m}} \\ &= 0.252 \, \text{m} \\ &= 25.2 \, \text{cm} \end{aligned} \]

On doit aussi respecter l'espacement maximal réglementaire, qui est \(s_{\text{max}} = 0.75 \cdot d = 0.75 \times 44.9 = 33.7 \, \text{cm}\). On choisit donc un espacement pratique de 25 cm dans les zones proches des appuis où l'effort tranchant est élevé.

Schéma du ferraillage transversal (Coupe A-A)
b = 30 cm h = 50 cm 6 HA 20 Cadre HA 8
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un espacement de 25 cm est assez courant pour une poutre de cette taille et sous ces charges. On pourrait être amené à resserrer cet espacement (ex: 15 cm) juste à côté des appuis et à l'augmenter vers le centre de la poutre où l'effort tranchant diminue.

Point à retenir : Les étriers sont essentiels pour la résistance à l'effort tranchant. Leur espacement est inversement proportionnel à l'effort tranchant.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finalise le dimensionnement de la poutre en assurant sa sécurité vis-à-vis du deuxième mode de rupture principal : l'effort tranchant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Ne jamais oublier de comparer l'espacement calculé avec l'espacement maximal réglementaire (\(s_{\text{max}}\)) et de choisir le plus petit des deux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones de séismes, les règles pour les étriers sont beaucoup plus sévères. On les resserre considérablement, notamment aux extrémités de la poutre, pour 'confiner' le béton et lui permettre de se déformer sans exploser, assurant ainsi la ductilité de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'angle \(\theta\) est-il variable?

L'angle d'inclinaison de la bielle de béton comprimée n'est pas fixe. La norme permet de le choisir dans une plage (généralement entre 22° et 45°). Un angle plus faible sollicite plus les étriers, un angle plus fort sollicite plus le béton. Le choix est une optimisation.

Résultat Final : On choisit des étriers HA 8 espacés de 25 cm.

À vous de jouer : Quel serait l'espacement \(s\) (en cm) si on utilisait des étriers HA 10 (\(A_{sw} = 1.57 \, \text{cm}^2\)) ?

Mini Fiche Mémo : Conception d'une Poutre

Étape Formule Clé & Objectif
1. Charges (ELU) \( P_{Ed} = 1.35 G_k + 1.5 Q_k \)
Déterminer la charge de calcul pour la vérification à la rupture.
2. Moment Max (ELU) \( M_{Ed} = P_{Ed} \cdot L^2 / 8 \)
Calculer le moment de flexion maximal pour dimensionner les aciers principaux.
3. Aciers Longitudinaux \( A_s \ge M_{Ed} / (0.9 d \cdot f_{yd}) \)
Calculer la section d'acier en zone tendue pour résister à la flexion.
4. Effort Tranchant Max \( V_{Ed} = P_{Ed} \cdot L / 2 \)
Calculer l'effort tranchant maximal pour dimensionner les étriers.

Outil Interactif : Calculateur de Poutre

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur le ferraillage.

Paramètres
7.0 m
49.5 kN/m
Résultats
Moment Max M_Ed -
Aciers de flexion requis (As) -

Le Saviez-Vous ?

Pour les très grandes portées, comme dans les ponts, on utilise du "béton précontraint". Avant de mettre la poutre en service, on tend des câbles d'acier à l'intérieur, ce qui la comprime. Cette compression initiale compense la traction qui apparaîtra sous l'effet des charges, permettant de franchir des distances beaucoup plus grandes avec moins de matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi calcule-t-on la poutre à l'ELU et pas à l'ELS ?

On calcule principalement les armatures à l'ELU pour garantir que la poutre ne se rompra pas sous des charges extrêmes (sécurité des personnes). On effectue ensuite des vérifications à l'ELS (fissuration, déformation) pour s'assurer que la poutre reste en bon état et confortable en conditions d'utilisation normales (confort des usagers).

Que se passe-t-il si on ne met pas assez d'étriers ?

Un manque d'étriers peut conduire à une rupture fragile et soudaine par effort tranchant. Des fissures inclinées apparaissent près des appuis et se propagent rapidement, menant à l'effondrement de la poutre sans signes avant-coureurs. C'est l'un des modes de rupture les plus dangereux en béton armé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Où le moment fléchissant est-il maximal dans une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniforme ?

  • Au quart de la portée.

2. Les armatures principales (longitudinales) dans une poutre servent principalement à reprendre :

Flexion
Déformation d'un élément structurel sous l'effet de charges perpendiculaires à son axe, provoquant une compression dans la partie supérieure et une traction dans la partie inférieure.
Effort Tranchant
Effort interne qui tend à faire glisser verticalement les sections transversales d'une poutre l'une par rapport à l'autre.
Étrier
Armature transversale, généralement en forme de cadre, qui ceinture les aciers longitudinaux pour résister à l'effort tranchant et confiner le béton.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée d'une section en béton et le centre de gravité des armatures tendues. C'est une dimension clé pour le calcul en flexion.
Fondamentaux du Génie Civil : Conception d'une Poutre en Béton Armé

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