Calcul l’effort tranchant et le moment fléchissant
📝 Situation du Projet
Vous avez intégré le bureau d'études structures "Solidarité Ingénierie" en tant qu'ingénieur calculateur junior. La commune de Val-de-Reuil souhaite implanter une nouvelle passerelle piétonne, baptisée "L'Enjambée", pour relier le parc municipal à la zone d'activité, en franchissant une petite rivière locale, l'Eure. L'architecte a conçu un ouvrage épuré reposant sur deux poutres principales en acier.
Votre responsabilité est critique : vous devez valider le dimensionnement de la poutre maîtresse longitudinale. Cette poutre sera soumise à son propre poids, au poids du tablier, ainsi qu'à une charge d'exploitation ponctuelle représentant un véhicule de service ou une concentration de foule lors de l'inauguration. Une erreur de calcul à ce stade pourrait entraîner des déformations inacceptables, voire la ruine de l'ouvrage. L'objectif est de déterminer les sollicitations internes maximales (Effort Tranchant et Moment Fléchissant) afin de choisir le profilé adéquat (IPE ou HEA) par la suite.
En tant qu'Ingénieur Structure, vous devez modéliser mécaniquement la poutre et calculer les diagrammes des sollicitations internes. Vous identifierez les sections critiques où l'effort tranchant et le moment fléchissant sont maximaux.
"Attention, respectez rigoureusement la convention de signe de la Résistance des Matériaux (RDM) pour les coupures virtuelles. Une erreur de signe sur l'effort tranchant faussera le diagramme du moment fléchissant. Soyez vigilants sur les unités : tout en kN et mètres."
Pour mener à bien cette étude statique, nous nous basons sur les hypothèses simplificatrices de la théorie des poutres (Bernoulli) et sur les charges définies par les Eurocodes. L'ensemble des données ci-dessous est validé pour la phase APD.
📚 Référentiel Normatif Détaillé
Le dimensionnement s'appuie sur deux piliers normatifs européens :
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Eurocode 0 (EN 1990) : Définit les bases de calcul des structures, notamment les coefficients de sécurité partiels (1.35 pour les charges permanentes, 1.5 pour les variables) et les combinaisons d'actions à l'État Limite Ultime (ELU).
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Eurocode 1 (EN 1991-2) : Spécifie les charges de trafic sur les ponts. Ici, la charge P modélise le "véhicule de service" réglementaire pour l'entretien.
Explication des Hypothèses de Chargement
La portée de 10 mètres a été déterminée par l'étude hydrologique pour garantir que les culées restent hors d'eau lors des crues centennales. La charge répartie est fixée par le poids propre estimé. Quant à la charge ponctuelle, elle simule l'essieu arrière d'une camionnette de maintenance.
- Charge répartie : q = 5 kN/m
- Charge ponctuelle : P = 20 kN
📐 Géométrie & Chargement
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur Totale | \(L\) | 10 | m |
| Position Charge P | \(a\) | 6 | m (depuis A) |
| Charge Répartie | \(q\) | 5 | kN/m |
| Charge Ponctuelle | \(P\) | 20 | kN |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la stabilité de l'ouvrage, nous suivrons rigoureusement la méthodologie de la statique des poutres.
Équilibre Global
Calcul des réactions d'appuis en A et B en utilisant le Principe Fondamental de la Statique (PFS).
Effort Tranchant V(x)
Détermination des variations de l'effort de cisaillement par la méthode des coupures analytiques.
Moment Fléchissant M(x)
Calcul des moments de flexion le long de la poutre et identification du moment maximum.
Diagrammes & Synthèse
Tracé des diagrammes et validation des valeurs extrêmes pour le dimensionnement.
Calcul l’effort tranchant et le moment fléchissant
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est fondamental : il s'agit d'isoler mécaniquement la poutre pour déterminer les forces inconnues exercées par le sol (via les culées) sur la structure. Ces forces, appelées "réactions d'appuis", s'opposent aux charges appliquées pour maintenir l'ouvrage en équilibre statique parfait. Sans ces valeurs, impossible de calculer ce qui se passe à l'intérieur de la matière.
📚 Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS)Lois de NewtonNous sommes face à un système isostatique : une poutre sur deux appuis simples. L'appui A est une rotule (bloque les mouvements verticaux et horizontaux), l'appui B est un rouleau (bloque uniquement le mouvement vertical). Puisqu'il n'y a aucune force horizontale externe, la réaction horizontale en A est nulle. Il nous reste deux inconnues verticales : \(R_{\text{A}}\) et \(R_{\text{B}}\). Pour les trouver, nous allons utiliser deux équations d'équilibre : la somme des forces verticales doit être nulle (la poutre ne s'envole pas et ne s'enfonce pas) et la somme des moments doit être nulle (la poutre ne tourne pas sur elle-même).
Le moment d'une force par rapport à un point est la capacité de cette force à faire tourner le système autour de ce point. Il se calcule par le produit de la force et de la distance perpendiculaire (bras de levier). Conventionnellement, nous comptons positif un moment qui fait tourner dans le sens trigonométrique (anti-horaire).
A. Somme des Moments (Rotation) :
Cette équation isole \(R_{\text{B}}\) en éliminant \(R_{\text{A}}\) dont le bras de levier est nul au point A.
B. Somme des Forces (Translation) :
Cette équation assure que l'action globale vers le haut compense l'action globale vers le bas.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Longueur \(L\) | 10 m |
| Position \(a\) | 6 m |
| Charge \(P\) | 20 kN |
| Charge \(q\) | 5 kN/m |
Commencez toujours par l'équation des moments en un point d'appui (ici A). Cela annule le moment de la réaction \(R_{\text{A}}\) (bras de levier nul) et permet de trouver directement \(R_{\text{B}}\). Utilisez ensuite la somme des forces pour déduire l'autre réaction.
Schéma Mécanique : Diagramme du Corps Libre (DCL)
Calculs Détaillés
1. Écriture de l'équation du moment en A :
Pour obtenir cette équation, nous listons les contributions de chaque force à la rotation autour du point A :
- La réaction \(R_{\text{B}}\) agit à l'extrémité (bras de levier \(L=10\)). Elle pousse vers le haut, créant une rotation anti-horaire (positive).
- La charge ponctuelle \(P\) agit à \(a=6\). Elle pousse vers le bas, rotation horaire (négative).
- La charge répartie \(q\) couvre toute la poutre. On la remplace par une force équivalente \(Q = q \times L\) placée au milieu de la poutre (bras de levier \(L/2 = 5\)).
L'équation complète est :
2. Résolution pour \(R_{\text{B}}\) :
Nous simplifions les termes pour isoler l'inconnue \(R_{\text{B}}\).
Nous obtenons la réaction d'appui droite.
3. Résolution pour \(R_{\text{A}}\) (Projection verticale) :
Connaissant \(R_{\text{B}}\), nous utilisons la somme des forces verticales pour trouver \(R_{\text{A}}\).
Nous obtenons la réaction d'appui gauche.
✅ Interprétation Globale
L'étape d'équilibre statique est validée. Les réactions d'appuis sont positives, ce qui signifie que la poutre appuie bien vers le bas sur ses supports (pas de soulèvement). La dissymétrie des réactions (\(37 > 33\)) est cohérente avec la position de la charge \(P\) à 6m (plus proche de B).
Charge Totale descendante = \(P + qL = 20 + 5 \times 10 = 70\) kN.
Somme des Réactions = \(33 + 37 = 70\) kN.
L'équilibre est vérifié. Nous pouvons passer sereinement à l'étude interne.
Une erreur fréquente consiste à oublier le bras de levier de la charge répartie (\(L/2\)) dans l'équation des moments, ou à confondre la longueur totale \(L\) avec la position \(a\). Vérifiez toujours que \(R_{\text{A}} + R_{\text{B}}\) égale la charge totale.
🎯 Objectif
L'effort tranchant, noté \(V(x)\) (ou \(T(x)\)), représente la force verticale interne qui tend à cisailler la poutre en deux sections glissant l'une contre l'autre. L'objectif est d'exprimer cette force en tout point \(x\) de la poutre pour tracer son diagramme et identifier la zone où le cisaillement est maximal.
📚 Référentiel
Méthode des CoupuresLa présence d'une charge ponctuelle \(P\) à \(x=6\) m introduit une discontinuité brutale dans la répartition des efforts. Cela nous oblige à diviser l'étude en deux zones distinctes (ou intervalles) : avant la charge P (Zone 1) et après la charge P (Zone 2). Dans chaque zone, nous réalisons une "coupure virtuelle" à une distance \(x\) et nous isolons le tronçon de gauche. L'effort tranchant est alors égal à la somme algébrique des forces verticales situées à gauche de la coupure.
Pour la partie gauche de la coupure :
- Une force vers le HAUT crée un effort tranchant POSITIF.
- Une force vers le BAS crée un effort tranchant NÉGATIF.
C'est une convention arbitraire mais standardisée qui assure la cohérence avec le signe de la pente du moment fléchissant.
A. Somme des Forces Verticals (Gauche) :
On additionne algébriquement toutes les forces situées à gauche de l'abscisse \(x\).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Zone | Intervalle | Forces à Gauche |
|---|---|---|
| Zone 1 | \(0 \le x < 6\) | \(R_{\text{A}}\), \(q\) sur longueur \(x\) |
| Zone 2 | \(6 < x \le 10\) | \(R_{\text{A}}\), \(q\) sur longueur \(x\), \(P\) |
Vérifiez toujours la discontinuité sous la charge ponctuelle. La différence entre \(V(6^-)\) et \(V(6^+)\) doit être exactement égale à la valeur de la charge \(P\) (au signe près).
Calcul Détaillé V(x)
1. Établissement de l'équation (Zone 1 : \(0 \le x < 6\)) :
Imaginez une coupe verticale à une distance \(x\) arbitraire. On isole le morceau de gauche.
La réaction \(R_{\text{A}}\) est présente. Sens : haut \(\to\) signe +.
La charge répartie n'est plus totale, on ne prend que la partie sur la longueur \(x\). Intensité : \(q \times x\). Sens : bas \(\to\) signe -.
On somme ces deux termes.
C'est l'équation d'une droite de pente négative (-5).
2. Calcul des valeurs aux bornes (Zone 1) :
Nous évaluons l'effort tranchant au début de la poutre et juste avant la charge P.
L'effort diminue progressivement de 33 à 3 kN.
3. Établissement de l'équation (Zone 2 : \(6 < x \le 10\)) :
Nous avons passé la charge P. Elle entre désormais dans le bilan des forces à gauche (négative).
L'ordonnée à l'origine change, mais la pente reste identique.
4. Calcul des valeurs aux bornes (Zone 2) :
Nous évaluons l'effort juste après la charge P et à la fin de la poutre.
L'effort devient négatif et atteint son maximum absolu en B.
✅ Interprétation Globale
L'effort tranchant varie linéairement. Il est positif sur la première partie de la poutre et devient négatif après la charge ponctuelle. La valeur maximale en valeur absolue (37 kN) se trouve sur l'appui B, ce qui est logique car c'est l'appui le plus chargé. C'est cette valeur qui servira à dimensionner l'âme du profilé.
Remarquez qu'à \(x=6\), l'effort tranchant passe brusquement de \(+3\) kN à \(-17\) kN. Le "saut" est exactement égal à \(3 - (-17) = 20\) kN, ce qui correspond parfaitement à la valeur de la charge ponctuelle \(P\). De plus, à \(x=10\), on trouve \(-37\) kN, ce qui correspond à \(-R_{\text{B}}\). Tout est cohérent.
Attention aux signes ! Un effort tranchant négatif n'est pas "plus petit", il agit simplement dans le sens opposé. Pour le cisaillement du matériau, c'est la valeur absolue \(|V_{\text{max}}|\) qui compte.
🎯 Objectif
Le moment fléchissant \(M(x)\) traduit la tendance de la poutre à se courber sous l'effet des charges. C'est la sollicitation la plus critique pour le dimensionnement (choix du profilé IPE). Nous cherchons l'équation du moment le long de la poutre et la valeur maximale \(M_{\text{max}}\).
📚 Référentiel
Relation Différentielle : dM/dx = V(x)Théorème du MomentLe moment en un point \(x\) est la somme des moments de toutes les forces situées à gauche de la coupure, calculés par rapport au point de coupure \(x\). Convention : Une force qui tend à faire "sourire" la poutre (tension en bas, compression en haut) crée un moment positif.
Puisque l'effort tranchant \(V(x)\) est linéaire (degré 1), le moment fléchissant \(M(x)\) sera parabolique (degré 2), car le moment est l'intégrale de l'effort tranchant.
Le moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant : \(M(x) = \int V(x) dx\). Cela signifie que la valeur du moment augmente tant que l'effort tranchant est positif, atteint un maximum quand l'effort tranchant est nul, et diminue quand l'effort tranchant est négatif.
A. Définition Intégrale :
B. Calcul par Bras de Levier :
Somme des moments des forces de gauche par rapport à la section \(x\).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Force | Bras de Levier / Coupure \(x\) |
|---|---|
| \(R_{\text{A}}\) | \(x\) |
| \(q\) (sur longueur \(x\)) | \(x/2\) |
| \(P\) (si \(x > 6\)) | \(x - 6\) |
Le moment aux extrémités d'une poutre sur appuis simples (rotule/rouleau) doit toujours être nul. \(M(0)=0\) et \(M(L)=0\). C'est un excellent moyen de vérifier vos équations !
Calcul Détaillé M(x)
1. Établissement de l'équation (Zone 1 : \(0 \le x \le 6\)) :
Le moment est généré par \(R_{\text{A}}\) (bras de levier \(x\)) et la charge répartie sur la longueur \(x\).
Le piège classique est le bras de levier de la charge répartie. Sur le tronçon de longueur \(x\), la résultante de la charge est \(q \cdot x\). Cette résultante s'applique au centre de gravité du tronçon isolé, c'est-à-dire exactement au milieu de \(x\). La distance entre ce centre et le point de coupure (où l'on calcule le moment) est donc \(x/2\).
Equation complète pour la zone 1 :
C'est une parabole concave vers le bas.
2. Calcul des valeurs aux bornes (Zone 1) :
Calculons le moment en A et sous la charge P.
Le moment augmente pour atteindre 108 kNm.
3. Établissement de l'équation (Zone 2 : \(6 \le x \le 10\)) :
Nous ajoutons le moment créé par la charge ponctuelle \(P\). Son bras de levier par rapport à la coupure \(x\) est la distance entre la charge (à 6m) et la coupure (à \(x\)), soit \((x - 6)\).
Nouvelle parabole pour la seconde partie.
4. Calcul des valeurs aux bornes (Zone 2) :
Vérifions la continuité à x=6 et la fermeture à x=10.
La continuité est parfaite et le moment retombe bien à zéro sur l'appui B.
✅ Interprétation Globale
Le moment fléchissant est toujours positif, ce qui signifie que la poutre subit une traction sur sa fibre inférieure et une compression sur sa fibre supérieure sur toute sa longueur. La valeur maximale est atteinte sous la charge ponctuelle, ce qui est typique.
Mathématiquement, le moment est maximum là où sa dérivée (l'effort tranchant) s'annule ou change de signe. Nous avons vu en Q2 que \(V(x)\) passe de positif (+3) à négatif (-17) exactement à \(x=6\) m. Il est donc mathématiquement nécessaire que le pic de moment se trouve à cet endroit.
Une erreur classique est d'oublier de changer l'équation du moment après la charge ponctuelle. Le terme \(-P(x-a)\) n'existe que si \(x > a\). Assurez-vous aussi que vos unités de longueur (m) et de force (kN) sont cohérentes pour obtenir des kNm.
🎯 Objectif
L'ingénieur ne se contente pas d'équations. Il doit visualiser le comportement de la structure pour communiquer avec les autres acteurs du projet et valider intuitivement ses résultats.
Le diagramme de l'effort tranchant nous informe sur les zones où l'âme de la poutre risque de se voiler ou de cisailler (souvent près des appuis). Le diagramme du moment fléchissant nous indique où la matière travaille le plus en traction/compression (au centre ou sous les charges concentrées) et conditionne le choix de la hauteur du profilé.
Le calcul montre que l'effort tranchant est maximal sur l'appui B (37 kN), c'est là qu'il faudra vérifier la résistance au cisaillement de l'âme. Le moment fléchissant est maximal sous la charge P (108 kNm), c'est cette section qui gouvernera le choix du profilé pour résister à la flexion (module de flexion élastique ou plastique).
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 25/10/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. Junior |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures.
- Eurocode 1 : Actions sur les structures.
- Théorie des poutres (Bernoulli-Navier).
| Portée de la poutre (L) | 10.00 m |
| Charge permanente répartie (q) | 5.00 kN/m |
| Charge d'exploitation ponctuelle (P) | 20.00 kN |
| Position de la charge P (a) | 6.00 m |
Valeurs extrêmes dimensionnantes issues de l'analyse statique.
Ing. Calculateur
Chef de Projet Structure
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