EGC

Calcul l’effort tranchant et le moment

Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant en RdM

Calcul l’effort tranchant et le moment

Contexte : Le squelette invisible des structures.

En génie civil, chaque pont, chaque plancher, chaque linteau de fenêtre est soutenu par des éléments structurels appelés poutres. Pour garantir la sécurité et la durabilité d'un ouvrage, l'ingénieur doit comprendre comment les forces se répartissent à l'intérieur de ces poutres. L'effort tranchant et le moment fléchissant sont les deux sollicitations internes les plus importantes. Leurs diagrammes permettent de visualiser les zones les plus critiques de la poutre, de dimensionner correctement ses matériaux (béton, acier) et d'éviter la rupture. Cet exercice est une introduction fondamentale à cette analyse.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du Principe Fondamental de la Statique (PFS). Nous allons "couper" virtuellement la poutre à différents endroits pour analyser les efforts internes nécessaires à maintenir l'équilibre de chaque section. C'est la base de la Résistance des Matériaux (RdM).

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le Principe Fondamental de la Statique pour calculer les réactions d'appui.
  • Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) le long d'une poutre.
  • Tracer et interpréter les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant.
  • Identifier la position et la valeur du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)).
  • Comprendre la relation différentielle entre la charge, l'effort tranchant et le moment fléchissant (\(\frac{\text{d}M(x)}{\text{d}x} = V(x)\)).

Données de l'étude

On étudie une poutre isostatique sur deux appuis simples (un appui fixe en A, un appui mobile en B) de longueur L = 8 mètres. Elle est soumise à une charge ponctuelle P et une charge uniformément répartie q.

Schéma de la Poutre et des Charges
A B P = 20 kN q = 10 kN/m L = 8 m 2 m 2.5 m 3.5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la poutre \(L\) 8 \(\text{m}\)
Charge ponctuelle \(P\) 20 \(\text{kN}\)
Position de P (depuis A) \(x_{\text{P}}\) 2 \(\text{m}\)
Charge répartie \(q\) 10 \(\text{kN/m}\)
Début de q (depuis A) \(x_{\text{q1}}\) 4.5 \(\text{m}\)
Fin de q (depuis A) \(x_{\text{q2}}\) 8 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui verticales en A (\(R_{\text{Ay}}\)) et en B (\(R_{\text{By}}\)).
  2. Écrire les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) pour chaque section de la poutre.
  3. Écrire les équations du moment fléchissant \(M(x)\) pour chaque section de la poutre.
  4. Tracer les diagrammes de \(V(x)\) et \(M(x)\), et déterminer la valeur et la position du moment fléchissant maximal.

Les bases de la Résistance des Matériaux

Avant la correction, revoyons les principes fondamentaux.

1. Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
Pour qu'un corps soit en équilibre, la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées et la somme des moments de ces forces par rapport à n'importe quel point doivent être nulles. En 2D, cela se traduit par trois équations : \[ \sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum M_z = 0 \] C'est l'outil de base pour trouver les réactions d'appui inconnues.

2. Effort Tranchant et Moment Fléchissant :
Ce sont des efforts internes qui assurent l'équilibre de chaque tronçon de la poutre.

  • L'effort tranchant \(V(x)\) en une section x est la somme de toutes les forces verticales à gauche de cette section. Il représente la tendance de la poutre à cisailler verticalement.
  • Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section x est la somme des moments de toutes les forces à gauche de cette section. Il représente la tendance de la poutre à fléchir (se courber).

3. Relations différentielles :
Les charges, l'effort tranchant et le moment fléchissant sont liés. En notant \(q(x)\) la charge répartie (orientée vers le bas) : \[ \frac{\text{d}V(x)}{\text{d}x} = -q(x) \quad \text{et} \quad \frac{\text{d}M(x)}{\text{d}x} = V(x) \] Cela implique que le moment maximal ou minimal se trouve là où l'effort tranchant \(V(x)\) s'annule.

Correction : Calcul l’effort tranchant et le moment

Question 1 : Calculer les réactions d'appui

Principe (le concept physique)

Les appuis exercent des forces verticales (réactions) sur la poutre pour contrebalancer les charges appliquées (P et q) et la maintenir en équilibre. Nous utilisons le PFS pour trouver les valeurs de ces réactions.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le PFS stipule que pour un corps immobile, la somme des forces est nulle (pas de translation) et la somme des moments est nulle (pas de rotation). En choisissant judicieusement le point de pivot pour le calcul des moments (généralement sur un appui), on simplifie les équations pour isoler une inconnue.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous tenez une planche avec un ami. Les forces que vous exercez avec vos bras sont les réactions d'appui. Si quelqu'un pose un objet lourd (charge) plus près de votre ami, il devra forcer plus que vous. Le PFS permet de quantifier exactement cette répartition d'efforts.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul statique des structures est régi par des normes comme l'Eurocode 3 pour les structures en acier ou l'Eurocode 2 pour le béton. Le PFS est le fondement mathématique de toutes ces réglementations.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On applique les équations d'équilibre statique :

\[ \sum M_{/A} = 0 \quad \text{et} \quad \sum F_{y} = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La poutre est rigide et en équilibre. Les appuis sont parfaits (A est une rotule, B un appui simple). Les charges sont appliquées statiquement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Longueur, \(L = 8 \, \text{m}\)
  • Charge ponctuelle, \(P = 20 \, \text{kN}\) à \(x_{\text{P}} = 2 \, \text{m}\)
  • Charge répartie, \(q = 10 \, \text{kN/m}\) de \(x_{\text{q1}} = 4.5 \, \text{m}\) à \(x_{\text{q2}} = 8 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver une réaction, faites la somme des moments par rapport à l'autre point d'appui. Cela élimine la réaction inconnue à ce point de l'équation, simplifiant grandement le calcul. Pour vérifier, assurez-vous que la somme des forces verticales (réactions et charges) est bien nulle.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle pour le Calcul des Réactions
RAy = ?RBy = ?P=20kNq=10kN/m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Remplacer la charge répartie q par sa force résultante \(F_{\text{q}}\). La formule est :

\[ F_{\text{q}} = q \times (x_{\text{q2}} - x_{\text{q1}}) \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} F_{\text{q}} &= 10 \, \text{kN/m} \times (8 - 4.5) \, \text{m} \\ &= 35 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Cette force s'applique au centre de la charge répartie, à une distance \(d_{\text{q}}\) de A. La formule est :

\[ d_{\text{q}} = x_{\text{q1}} + \frac{x_{\text{q2}} - x_{\text{q1}}}{2} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} d_{\text{q}} &= 4.5 + \frac{3.5}{2} \\ &= 6.25 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Somme des moments par rapport à A (sens anti-horaire positif). La formule est :

\[ \sum M_{/A} = 0 \Rightarrow R_{\text{By}} \times L - P \times x_{\text{P}} - F_{\text{q}} \times d_{\text{q}} = 0 \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} R_{\text{By}} \times 8 - (20 \times 2) - (35 \times 6.25) &= 0 \\ 8 R_{\text{By}} - 40 - 218.75 &= 0 \\ 8 R_{\text{By}} &= 258.75 \\ R_{\text{By}} &= \frac{258.75}{8} \\ R_{\text{By}} &\approx 32.34 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Somme des forces verticales. La formule est :

\[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_{\text{Ay}} + R_{\text{By}} - P - F_{\text{q}} = 0 \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} R_{\text{Ay}} + 32.34 - 20 - 35 &= 0 \\ R_{\text{Ay}} - 22.66 &= 0 \\ R_{\text{Ay}} &= 22.66 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec Réactions Calculées
22.66 kN32.34 kNP=20kNq=10kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La réaction en B (32.34 kN) est plus grande que celle en A (22.66 kN). C'est logique car la majorité des charges (la fin de P et toute la charge q) est appliquée sur la moitié droite de la poutre, plus proche de l'appui B.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans le bras de levier de la charge répartie. Il faut bien calculer la position de sa force résultante (au milieu de la zone chargée) et utiliser cette distance pour le calcul du moment, pas le début ou la fin de la charge.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours commencer par calculer les réactions d'appui avant d'analyser les efforts internes.
  • Utiliser \(\sum M = 0\) sur un appui pour trouver l'autre réaction.
  • Utiliser \(\sum F_y = 0\) pour trouver la dernière réaction ou pour vérifier le calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les structures réelles, on ajoute des coefficients de sécurité aux charges (par ex. 1.35 pour les charges permanentes, 1.5 pour les charges d'exploitation) pour s'assurer que la structure résiste même dans des conditions plus défavorables que prévu. C'est le calcul aux "États Limites Ultimes" (ELU).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'appui B est-il "mobile" ?

Un appui mobile (ou simple) permet une légère rotation et un petit déplacement horizontal. Ceci est crucial pour permettre à la poutre de se dilater ou de se contracter avec les changements de température sans créer d'efforts internes parasites (contraintes thermiques).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions d'appui sont : \(R_{\text{Ay}} \approx 22.66 \, \text{kN}\) et \(R_{\text{By}} \approx 32.34 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge P était déplacée au milieu de la poutre (x=4m), quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{\text{Ay}}\) en kN ?

Question 2 : Écrire les équations de l'effort tranchant V(x)

Principe (le concept physique)

On utilise la méthode des coupures. On se déplace le long de la poutre avec une abscisse x et on fait la somme de toutes les forces verticales situées à gauche de la coupure. L'équation change à chaque fois qu'on rencontre une nouvelle charge ou un changement de charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'effort tranchant est la résultante des contraintes de cisaillement sur une section droite de la poutre. Il représente l'effort qu'une section de la poutre exerce sur la section adjacente pour l'empêcher de "glisser" verticalement. Sa valeur est constante entre deux charges ponctuelles et varie linéairement sous une charge uniformément répartie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous coupez la poutre avec des ciseaux cosmiques. L'effort tranchant est la force que vous devez appliquer de chaque côté de la coupe pour que les deux morceaux ne bougent pas verticalement l'un par rapport à l'autre.

Normes (la référence réglementaire)

La convention de signe pour l'effort tranchant est standardisée. Un effort tranchant est considéré comme positif s'il tend à faire tourner le segment de poutre étudié dans le sens des aiguilles d'une montre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une coupure à l'abscisse x :

\[ V(x) = \sum (\text{Forces verticales à gauche de } x) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est coupée en une abscisse générique x et que le tronçon de gauche est en équilibre sous l'effet des forces extérieures et de l'effort interne V(x).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui, \(R_{\text{Ay}} = 22.66 \, \text{kN}\)
  • Charge ponctuelle, \(P = 20 \, \text{kN}\) à \(x_{\text{P}} = 2 \, \text{m}\)
  • Charge répartie, \(q = 10 \, \text{kN/m}\) à partir de \(x_{\text{q1}} = 4.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le diagramme de V(x) "saute" vers le bas à l'endroit d'une charge ponctuelle, de la valeur de cette charge. La pente du diagramme de V(x) est égale à l'opposé de la charge répartie (-q). Si q=0, la pente est nulle (V est constant).

Calcul(s) (l'application numérique)

Zone 1 : \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) (Avant la charge P)

Schéma de la coupure (Zone 1 : 0 ≤ x < 2 m)
A RAy V(x) x
\[ V(x) = R_{\text{Ay}} = 22.66 \, \text{kN} \]

Zone 2 : \(2 \le x < 4.5 \, \text{m}\) (Après P, avant q)

Schéma de la coupure (Zone 2 : 2 ≤ x < 4.5 m)
A RAy P V(x) x 2 m
\[ V(x) = R_{\text{Ay}} - P \]
\[ \begin{aligned} V(x) &= 22.66 - 20 \\ &= 2.66 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Zone 3 : \(4.5 \le x \le 8 \, \text{m}\) (Dans la zone de la charge q)

Schéma de la coupure (Zone 3 : 4.5 ≤ x ≤ 8 m)
A RAy P q V(x) x 2 m 4.5 m
\[ V(x) = R_{\text{Ay}} - P - q \cdot (x-4.5) \]

On remplace les valeurs connues :

\[ V(x) = 2.66 - 10(x-4.5) \]

On développe l'expression :

\[ \begin{aligned} V(x) &= 2.66 - 10x + 45 \\ &= -10x + 47.66 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat final est un ensemble d'équations qui sera utilisé pour tracer le diagramme complet à la question 4.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les équations montrent que V(x) est constant dans les zones sans charge répartie et diminue linéairement sous la charge répartie. Le "saut" de 20 kN à x=2m est clairement visible entre l'équation de la zone 1 (V=22.66) et celle de la zone 2 (V=2.66).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort tranchant est constant entre les charges.
  • Il varie linéairement sous une charge uniformément répartie.
  • Il subit une discontinuité (un "saut") à l'endroit d'une charge ponctuelle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en béton armé, ce sont les armatures transversales (appelées "cadres" ou "étriers") qui sont spécifiquement conçues pour résister à l'effort tranchant et empêcher la formation de fissures de cisaillement à 45°.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si V(x) est très élevé ?

Un effort tranchant élevé peut provoquer une rupture par cisaillement, où la poutre se fissure et glisse le long d'un plan incliné. C'est un mode de rupture fragile et dangereux, c'est pourquoi le dimensionnement au cisaillement est une étape critique, surtout près des appuis où V(x) est souvent maximal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les équations de l'effort tranchant sont :
Pour \(0 \le x < 2\): \(V(x) = 22.66 \, \text{kN}\)
Pour \(2 \le x < 4.5\): \(V(x) = 2.66 \, \text{kN}\)
Pour \(4.5 \le x \le 8\): \(V(x) = -10x + 47.66 \, \text{kN}\)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur de l'effort tranchant V(x) à x = 6 m ?

Question 3 : Écrire les équations du moment fléchissant M(x)

Principe (le concept physique)

De la même manière que pour V(x), on effectue des coupures et on fait la somme des moments créés par les forces à gauche de la coupure. Le moment d'une force est égal à la force multipliée par le bras de levier (la distance entre la force et la coupure).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment fléchissant est la résultante des contraintes normales (traction et compression) sur une section droite. Il représente la tendance de la structure à se courber. Une valeur élevée de M(x) signifie que la poutre est fortement fléchie à cet endroit, ce qui engendre des contraintes de traction et de compression importantes dans le matériau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de plier une règle. La résistance que vous sentez est liée au moment fléchissant interne. Là où vous pliez le plus (souvent au milieu), le moment fléchissant est maximal.

Normes (la référence réglementaire)

La convention de signe la plus courante (Eurocodes) considère un moment comme positif s'il provoque une traction dans la fibre inférieure de la poutre (la poutre "sourit"). C'est cette convention qui est utilisée ici.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une coupure à l'abscisse x :

\[ M(x) = \sum (\text{Moments des forces à gauche de } x) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les mêmes coupures et hypothèses d'équilibre que pour le calcul de V(x).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Les mêmes données que pour la question 2 sont utilisées.
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi obtenir M(x) en intégrant V(x) : \(M(x) = \int V(x) \text{d}x\). N'oubliez pas la constante d'intégration, qui est déterminée par la valeur du moment au début de la zone. Par exemple, à la fin de la zone 1 (x=2), \(M(2) = 22.66 \times 2 = 45.32\). Cette valeur doit être le point de départ pour la zone 2.

Calcul(s) (l'application numérique)

Zone 1 : \(0 \le x < 2 \, \text{m}\)

Schéma de la coupure (Zone 1 : 0 ≤ x < 2 m)
A RAy V(x) M(x) x
\[ M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x \]
\[ M(x) = 22.66x \, \text{kN.m} \]

Zone 2 : \(2 \le x < 4.5 \, \text{m}\)

Schéma de la coupure (Zone 2 : 2 ≤ x < 4.5 m)
A RAy P V(x) M(x) x 2 m
\[ M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x - P \cdot (x-2) \]

On remplace les valeurs et on développe :

\[ \begin{aligned} M(x) &= 22.66x - 20(x-2) \\ &= 22.66x - 20x + 40 \\ &= 2.66x + 40 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Zone 3 : \(4.5 \le x \le 8 \, \text{m}\)

Schéma de la coupure (Zone 3 : 4.5 ≤ x ≤ 8 m)
A RAy P q V(x) M(x) x 2 m 4.5 m
\[ M(x) = R_{\text{Ay}}x - P(x-2) - \frac{q(x-4.5)^2}{2} \]

On remplace par l'expression de la zone 2 et les valeurs numériques :

\[ M(x) = (2.66x + 40) - \frac{10(x-4.5)^2}{2} \]

On développe le carré \((x-4.5)^2 = x^2 - 9x + 20.25\) :

\[ \begin{aligned} M(x) &= 2.66x + 40 - 5(x^2 - 9x + 20.25) \\ &= 2.66x + 40 - 5x^2 + 45x - 101.25 \\ &= -5x^2 + 47.66x - 61.25 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat final est un ensemble d'équations qui sera utilisé pour tracer le diagramme complet à la question 4.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les équations montrent que M(x) est linéaire là où V(x) est constant, et parabolique là où V(x) est linéaire. C'est une illustration directe de la relation \(dM/dx = V\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente concerne le bras de levier. Pour une force F à la position \(x_F\), son moment à la coupure x est \(F \cdot (x - x_F)\). Pour une charge répartie, le moment de sa résultante est quadratique (en \(x^2\)), pas linéaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment est l'intégrale de l'effort tranchant.
  • M(x) est linéaire sous des charges ponctuelles.
  • M(x) est parabolique sous une charge uniformément répartie.
  • Le moment est nul aux appuis simples (rotules) en début et fin de poutre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres en I (profilés en acier) sont conçues pour être très efficaces contre la flexion. La majorité du matériau est concentrée dans les "semelles" (les barres horizontales), loin de l'axe neutre, là où les contraintes de traction et de compression sont maximales. L'âme (la barre verticale) sert principalement à reprendre l'effort tranchant.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre moment fléchissant et couple (torsion) ?

Le moment fléchissant fait "plier" la poutre autour d'un axe horizontal. Un couple de torsion fait "tordre" la poutre autour de son axe longitudinal. Ce sont deux sollicitations différentes qui sont traitées par des calculs distincts.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les équations du moment fléchissant sont :
Pour \(0 \le x < 2\): \(M(x) = 22.66x \, \text{kN.m}\)
Pour \(2 \le x < 4.5\): \(M(x) = 2.66x + 40 \, \text{kN.m}\)
Pour \(4.5 \le x \le 8\): \(M(x) = -5x^2 + 47.66x - 61.25 \, \text{kN.m}\)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur du moment fléchissant M(x) à x = 2 m (juste au niveau de la charge P) ?

Question 4 : Diagrammes et Moment Maximal

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant est maximal lorsque sa dérivée, l'effort tranchant \(V(x)\), est nulle. Nous cherchons donc le point où la courbe de \(V(x)\) croise l'axe des abscisses. Cet endroit représente la section la plus sollicitée en flexion, c'est donc là que la poutre est la plus susceptible de rompre par flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(dM/dx = V(x)\) est fondamentale. Elle signifie que la pente de la tangente au diagramme de moment en un point x est égale à la valeur de l'effort tranchant en ce même point. Par conséquent, lorsque V(x) = 0, la pente de M(x) est nulle, ce qui correspond à un extremum local (un maximum ou un minimum).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une randonnée en montagne. Le diagramme de M(x) est le profil de l'altitude. Le diagramme de V(x) est la pente du terrain. Le sommet de la montagne (moment maximal) est l'endroit où le terrain est plat (pente nulle, donc V(x)=0).

Normes (la référence réglementaire)

Les diagrammes V(x) et M(x) sont des livrables standards dans toute note de calcul de structure. Ils permettent une visualisation rapide des efforts et sont la base pour le dimensionnement des armatures en béton ou le choix d'un profilé métallique selon les Eurocodes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On résout l'équation \(V(x)=0\) pour trouver la position \(x_{\text{Mmax}}\), puis on calcule \(M(x_{\text{Mmax}})\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est un milieu continu et que les équations établies précédemment sont valides sur tout le domaine. On suppose aussi que le maximum global se trouve bien à un point où la dérivée est nulle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Équations de V(x) et M(x) des questions 2 et 3.
Astuces(Pour aller plus vite)

En regardant le diagramme de V(x), on peut immédiatement repérer où il coupe l'axe zéro. Cela nous indique dans quelle zone (et donc avec quelle équation) nous devons chercher la position exacte du moment maximal.

Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul des points clés pour les diagrammes

Pour tracer les diagrammes, nous calculons les valeurs de V(x) et M(x) aux points où les charges changent.

Point x = 0 \(\text{m}\) (Appui A)

\[ V(0) = 22.66 \, \text{kN} \]
\[ \begin{aligned} M(0) &= 22.66 \times 0 \\ &= 0 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Point x = 2 \(\text{m}\) (Charge P)

\[ V(2^-) = 22.66 \, \text{kN} \quad (\text{juste avant P}) \]
\[ V(2^+) = 2.66 \, \text{kN} \quad (\text{juste après P}) \]
\[ \begin{aligned} M(2) &= 22.66 \times 2 \\ &= 45.32 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Point x = 4.5 \(\text{m}\) (Début de q)

\[ V(4.5) = 2.66 \, \text{kN} \]
\[ \begin{aligned} M(4.5) &= 2.66 \times 4.5 + 40 \\ &= 51.97 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Point x = 8 \(\text{m}\) (Appui B)

\[ \begin{aligned} V(8) &= -10 \times 8 + 47.66 \\ &= -32.34 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(8) &= -5(8)^2 + 47.66(8) - 61.25 \\ &= -320 + 381.28 - 61.25 \\ &\approx 0 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Détermination du Moment Maximal
Recherche du Moment Maximal (V(x)=0)
A RAy P q V(x) = 0 M(x) = Mmax x = ?

Le changement de signe de V(x) se produit dans la zone 3. On pose donc \(V(x) = 0\) pour cette zone :

\[ \begin{aligned} -10x + 47.66 &= 0 \\ 10x &= 47.66 \\ x &= \frac{47.66}{10} \\ x &= 4.766 \, \text{m} \end{aligned} \]

On calcule le moment à cette position en utilisant l'équation de M(x) de la zone 3 :

\[ M_{\text{max}} = -5(4.766)^2 + 47.66(4.766) - 61.25 \]

On calcule les termes :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= -5(22.715) + 227.15 - 61.25 \\ &= -113.575 + 227.15 - 61.25 \\ &\approx 52.33 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de \(M_{\text{max}}\) est la plus importante pour l'ingénieur. C'est cette valeur qui sera utilisée pour dimensionner la section de la poutre (hauteur, largeur) et la quantité d'acier nécessaire pour s'assurer qu'elle ne rompra pas en flexion. La position \(x \approx 4.77 \, \text{m}\) est la section la plus critique de toute la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention, le moment maximal n'est pas toujours là où V=0. Il peut aussi se trouver à l'endroit d'une charge ponctuelle si V(x) ne s'annule jamais. Il faut toujours calculer les valeurs de M(x) aux points de discontinuité (charges, appuis) et les comparer à la valeur trouvée pour V(x)=0.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment fléchissant maximal est la valeur clé pour le dimensionnement en flexion.
  • Il se trouve à la position où l'effort tranchant V(x) s'annule ou change de signe.
  • Les diagrammes sont l'outil visuel indispensable pour comprendre le comportement global de la poutre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ingénieurs utilisent des logiciels de calcul de structure qui tracent ces diagrammes automatiquement. Cependant, il est impératif de savoir les calculer à la main sur des cas simples pour pouvoir vérifier rapidement la cohérence des résultats d'un logiciel et déceler d'éventuelles erreurs de modélisation.

FAQ (pour lever les doutes)
Le moment maximal peut-il être négatif ?

Oui. Un moment négatif signifie que ce sont les fibres supérieures qui sont tendues (la poutre est "triste"). C'est typique des poutres en porte-à-faux ou au niveau des appuis intermédiaires d'une poutre continue. Le dimensionnement se fait alors sur la valeur absolue du moment maximal, \(|M_{\text{max}}|\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} \approx 52.33 \, \text{kN.m}\) et il se situe à \(x \approx 4.77 \, \text{m}\) de l'appui A.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une poutre simplement appuyée de longueur L avec une charge q sur toute sa longueur, la formule du moment maximal est \(qL^2/8\). Pour notre poutre de 8m avec q=10kN/m, quel serait ce moment maximal théorique ?

Outil Interactif : Analyse de Poutre

Modifiez la position et l'intensité des charges pour voir leur influence en temps réel sur les réactions et les diagrammes.

Paramètres d'Entrée
20 kN
2.0 m
10 kN/m
Résultats Clés
Réaction en A (kN)
Réaction en B (kN)
Moment Maximal (kN.m)

Le Saviez-Vous ?

La forme du diagramme de moment fléchissant ressemble souvent à la forme que prendrait la poutre si elle était déformée. Une parabole dans le diagramme de moment correspond à une déformation courbe. C'est pourquoi les câbles d'un pont suspendu, qui ne travaillent qu'en traction, suivent une forme de parabole inversée pour reprendre parfaitement la charge uniforme du tablier.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la convention de signe pour le moment fléchissant ?

La convention la plus courante en Europe est de considérer un moment comme positif lorsqu'il tend les fibres inférieures de la poutre (la poutre "sourit"). Avec cette convention, le diagramme de moment est tracé du côté des fibres tendues. C'est la convention utilisée dans cet exercice.

Pourquoi le moment maximal se produit-il où l'effort tranchant est nul ?

C'est une conséquence mathématique de la relation \(dM/dx = V(x)\). En analyse, un extremum (maximum ou minimum) d'une fonction se trouve lorsque sa dérivée est nulle. Puisque l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant, le moment sera maximal ou minimal lorsque V(x) = 0.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une charge répartie est triangulaire (augmente linéairement), quelle sera la forme du diagramme de moment fléchissant ?

2. Pour une poutre de 10m sur deux appuis simples avec une seule charge de 50 kN en son milieu, quel est le moment maximal ?

Poutre Isostatique
Une poutre pour laquelle le nombre de réactions d'appui inconnues est exactement égal au nombre d'équations d'équilibre de la statique (3 en 2D). Ses réactions peuvent être déterminées uniquement avec le PFS.
Charge Répartie
Une force qui s'applique sur une certaine longueur de la poutre, comme le poids propre du béton ou la charge de neige. Son unité est la force par unité de longueur (ex: kN/m).
Charge Ponctuelle
Une force considérée comme s'appliquant en un seul point, comme la réaction d'une colonne reposant sur la poutre. Son unité est la force (ex: kN).
Calcul l’effort tranchant et le moment

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4 Commentaires
  2. Aurélien B.
    Aurélien B. sur 19 mai 2024 à 12h05

    Bonjour,
    Je suis en BUT GCCD 1ère année et j’ai du mal avec mes exercices de mécanique des structures, pour déterminer Vy ainsi que Mz à toute distance sur la poutre il nous est demandé de les déterminer en fonction de « x », je n’y arrive pas.
    On arrive en fin de semestre et je n’ai plus TD mais les partiels arrivent à grand pas, serait-il possible d’en discuter par mail ?

    Merci.
    Cordialement Aurélien B.

    Réponse
  3. عبد العاطي السعيدي
    عبد العاطي السعيدي sur 15 mars 2025 à 10h06

    Bien explication dans le calculer de genie civile

    Réponse
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