Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Poutre encastrée

Comprendre le calcul d’une poutre encastrée

Une poutre encastrée en A supporte une charge uniformément répartie (UDL) sur toute sa longueur et une charge ponctuelle à son extrémité libre B.

Pour comprendre le calcul des Réactions d’Appui et Efforts Internes, cliquez sur le lien.

Données

Longueur de la poutre, L = 6 mètres.
Charge uniformément répartie (UDL), w = 5 kN/m.
Charge ponctuelle en B, P = 10 kN.
Module d’élasticité du matériau de la poutre, E = 200 GPa.
Moment d’inertie de la section de la poutre, I = 4 x 10ˉ⁴ m⁴

Questions

1. Calcul des Réactions d’Appui en A:

Déterminer les réactions de la poutre en A (force verticale et moment).

2. Diagramme des Moments Fléchissants:

Dessiner le diagramme des moments fléchissants (M) pour la poutre. Identifier le moment maximal et son emplacement.

3. Diagramme des Forces de Cisaillement:

Établir le diagramme des forces de cisaillement (V) pour la poutre.

4. Déflexion Maximale:

Calculer la déflexion maximale de la poutre. Utiliser la formule de la déflexion pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie et une charge ponctuelle.

5. Analyse de la Sécurité:

Estimer si la poutre est en sécurité contre la rupture, en considérant un moment de résistance maximal de la section de 120 kNm.

Correction : poutre encastrée

1. Calcul des Réactions d’Appui en A

Données :

Longueur, L = 6 m
Charge uniformément répartie (UDL), w = 5 kN/m
Charge ponctuelle en B, P = 10 kN

a) Réaction verticale (\( A_y \)) :

La poutre subit deux charges descendantes :

La charge répartie totale :

\[ W = w \times L \] \[ W = 5 \times 6 \] \[ W = 30 \, \text{kN} \]

La charge ponctuelle : \( P = 10 \, \text{kN} \).

La réaction verticale en A, notée \( R_A \) ou \( A_y \), doit équilibrer la somme de ces charges :

\[ A_y = W + P \] \[ A_y = 30 + 10 \] \[ A_y = 40 \, \text{kN} \]

b) Moment d’encastrement en A (\( M_A \)) :

Les charges génèrent un moment à A qui est la somme des moments produits par la charge répartie et la charge ponctuelle.

Moment dû à la charge répartie :
La résultante de la charge répartie s’exerce à mi-longueur (à \( \frac{L}{2} \)).

\[ M_{\text{UDL}} = W \times \frac{L}{2} \] \[ M_{\text{UDL}} = 30 \times \frac{6}{2} \] \[ M_{\text{UDL}} = 30 \times 3 \] \[ M_{\text{UDL}} = 90 \, \text{kNm} \]

Moment dû à la charge ponctuelle :
La charge ponctuelle est appliquée à B, à une distance \( L \) de A :

\[ M_P = P \times L \] \[ M_P = 10 \times 6 \] \[ M_P = 60 \, \text{kNm} \]

Le moment total en A est donc :

\[ M_A = M_{\text{UDL}} + M_P \] \[ M_A = 90 + 60 \] \[ M_A = 150 \, \text{kNm} \]

Remarque : Selon la convention de signe, ce moment est opposé à la tendance fléchissante (donc souvent noté négatif dans les bilans), mais ici nous indiquons sa valeur absolue pour l’analyse.

2. Diagramme des Moments Fléchissants et Diagramme des Forces de Cisaillement

a) Diagramme des Moments Fléchissants (\( M(x) \))

Pour une poutre encastrée soumise à une UDL et à une charge ponctuelle en B, le moment à une distance \( x \) de A s’exprime par :

\[ M(x) = M_A – A_y \, x + \frac{w \, x^2}{2} \quad \text{pour } 0 \le x \le L \]

À A (\( x = 0 \)) :

\[ M(0) = M_A = 150 \, \text{kNm} \]
(en tenant compte du signe opposé dans le bilan, on pourrait écrire \( M(0) = -150 \, \text{kNm} \) si l’on adopte la convention « moment négatif en encastrement »).

À B (\( x = L = 6 \) m) :

\[ M(6) = 150 – 40 \times 6 + \frac{5 \times 6^2}{2} \] \[ M(6) = 150 – 240 + \frac{5 \times 36}{2} \] \[ M(6) = 150 – 240 + 90 \] \[ M(6) = 0 \, \text{kNm} \]

Le moment maximum est donc à l’encastrement, soit 150 kNm (en valeur absolue).

b) Diagramme des Forces de Cisaillement (\( V(x) \))

La force de cisaillement à une section située à \( x \) est obtenue par :

\[ V(x) = A_y – w \, x \quad \text{pour } 0 \le x \le L \]

À A (\( x = 0 \)) :

\[ V(0) = 40 \, \text{kN} \]

À B (\( x = L = 6 \) m) :

\[ V(6) = 40 – 5 \times 6 \] \[ V(6) = 40 – 30 \] \[ V(6) = 10 \, \text{kN} \]

À l’extrémité B, on tient compte de la chute due à la charge ponctuelle (qui n’affecte le diagramme avant la coupure de la poutre), le diagramme se termine en effet à zéro dans un bilan complet de la structure après application de la charge ponctuelle.

3. Calcul de la Déflexion Maximale

La déflexion maximale d’une poutre encastrée se produit généralement à l’extrémité libre (B).

On utilise la superposition des déflexions dues à chacune des charges :

a) Déflexion due à la charge uniformément répartie (UDL)

La formule pour la déflexion à B d’une poutre encastrée sous UDL est :

\[ \delta_{\text{UDL}} = \frac{w \, L^4}{8 \, E \, I} \]

Conversion et calcul :

\( w = 5 \) kN/m = 5000 N/m
\( L = 6 \) m
\( E = 200 \) GPa = \(200 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
\( I = 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^4 \)

Calculons :

\[ \delta_{\text{UDL}} = \frac{5000 \times 6^4}{8 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-4}} \] \[ \delta_{\text{UDL}} = \frac{6\,480\,000}{640\,000\,000} \] \[ \delta_{\text{UDL}} \approx 0,010125 \, \text{m} \quad (\approx 10,1 \, \text{mm}) \]

b) Déflexion due à la charge ponctuelle en B

La formule pour une poutre encastrée avec une charge ponctuelle appliquée en B est :

\[ \delta_P = \frac{P \, L^3}{3 \, E \, I} \]

Calculons :

\[ \delta_P = \frac{10000 \times 6^3}{3 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-4}} \] \[ \delta_P = \frac{2\,160\,000}{240\,000\,000} \] \[ \delta_P \approx 0,009 \, \text{m} \quad (\approx 9 \, \text{mm}) \]

c) Déflexion totale

Par superposition :

\[ \delta_{\text{total}} = \delta_{\text{UDL}} + \delta_P \] \[ \delta_{\text{total}} \approx 10,1 \, \text{mm} + 9 \, \text{mm} \] \[ \delta_{\text{total}} = 19,1 \, \text{mm} \]

4. Analyse de la Sécurité

On compare le moment maximal induit par les charges à la résistance de la section.

Moment maximal à l’encastrement : \( M_{\text{max}} = 150 \, \text{kNm} \)
Moment de résistance maximal de la section : \( M_{\text{résistance}} = 120 \, \text{kNm} \)

Conclusion sur la sécurité :
Le moment maximal appliqué (150 kNm) dépasse le moment de résistance de la section (120 kNm).
Cela signifie que la poutre n’est pas en sécurité contre la rupture, car elle subit un moment supérieur à ce que sa section peut supporter.

Calcul d’une poutre encastrée