Études de cas pratique

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Réactions d’Appui et Efforts Internes

Réactions d’Appui et Efforts Internes

Comprendre les Réactions d’Appui et Efforts Internes

Considérons une poutre encastrée-libre d’une longueur . La poutre est soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, ainsi qu’à une charge ponctuelle appliquée à de l’extrémité libre de la poutre.

Pour comprendre le Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment et le calcul du Déplacement de l’Extrémité Libre d’une poutre, cliquez sur les liens.

Réactions d'Appui et Efforts Internes1 (1)

Questions:

  1. Calculer les réactions d’appui à l’encastrement (à savoir, la réaction verticale (\(R_y\)), la réaction horizontale (\(R_x\)), et le moment d’encastrement (\(M\))
  2. Dessiner les diagrammes de moments fléchissants, d’efforts tranchants, et d’efforts normaux pour la poutre, en utilisant les réactions calculées.

Correction : Réactions d’Appui et Efforts Internes

Données:

  • Longueur de la poutre, \(L = 6\, \text{m}\)
  • Charge uniformément répartie, \(q = 2\, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle, \(P = 5\, \text{kN}\)
  • Position de la charge ponctuelle depuis l’extrémité libre, \(a = 2\, \text{m}\)

1. Calcul des réactions d’appui

Pour une poutre encastrée-libre, les réactions d’appui seront calculées à l’encastrement. On considère que l’extrémité libre ne fournit pas de réaction verticale, horizontale, ou de moment.

Réaction verticale \(R_y\):

La réaction verticale à l’encastrement doit équilibrer les forces verticales dues à la charge répartie et à la charge ponctuelle.

\[ R_y = qL + P \] \[
R_y = (2\, \text{kN/m} \times 6\, \text{m}) + 5\, \text{kN} \] \[
R_y = 12\, \text{kN} + 5\, \text{kN} \] \[
R_y = 17\, \text{kN} \]

Réaction horizontale \(R_x\):

Dans ce problème, aucune charge horizontale n’est appliquée, donc \(R_x = 0\).

Moment d’encastrement \(M\):

Le moment d’encastrement est causé par la charge répartie et la charge ponctuelle. Le moment dû à la charge répartie est calculé comme le moment d’une force équivalente \(qL\) appliquée au centre de la charge répartie, soit \(L/2\) depuis l’encastrement.

Le moment dû à la charge ponctuelle est \(P\) multiplié par sa distance de l’encastrement, soit \(L – a\).

\[ M = \frac{qL^2}{2} + P(L – a) \] \[ M = \frac{2\, \text{kN/m} \times (6\, \text{m})^2}{2} + 5\, \text{kN} \times (6\, \text{m} – 2\, \text{m}) \] \[ M = 36\, \text{kNm} + 20\, \text{kNm} \] \[ M = 56\, \text{kNm} \]

2. Dessin des Diagrammes

Diagramme des efforts tranchants (V):

Commence à \(+17\, \text{kN}\) à l’encastrement, diminue linéairement à cause de la charge répartie, et chute soudainement à \(+5\, \text{kN}\) à la position de la charge ponctuelle.

Diagramme des moments fléchissants (M):

Commence à \(-56\, \text{kNm}\) à l’encastrement (moment négatif car il tend à fléchir la poutre dans le sens horaire), atteint un maximum (en valeur absolue) où la pente du diagramme V est nulle, puis diminue jusqu’à zéro à l’extrémité libre.

Diagramme des efforts normaux (N):

Reste à zéro dans tout le système car il n’y a pas de charge axiale appliquée.

Réactions d’Appui et Efforts Internes

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D’autres exercices de Rdm:

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