Comportement d’un Matériau sous Charge

Comprendre le comportement d’un Matériau sous Charge

Un barreau en acier (considéré comme un matériau isotrope et homogène) de longueur initiale \(L_0\) et de diamètre \(d_0\) est soumis à une charge de traction axiale.

Pour comprendre la Traction et compression exercice corrigé, cliquez sur le lien.

Données :

Longueur initiale du barreau, \( L_0 = 2 \, \text{m} \).
Diamètre initial du barreau, \( d_0 = 50 \, \text{mm} \).
Module d’Young de l’acier, \( E = 210 \, \text{GPa} \).
Coefficient de Poisson de l’acier, \( \nu = 0.3 \).
Charge appliquée, \( F = 100 \, \text{kN} \).

Questions :

1. Déformation Axiale : Calculez l’allongement \( \Delta L \) du barreau sous la charge appliquée.

2. Contraction Latérale : Déterminez la diminution du diamètre \( \Delta d \) du barreau due à la charge.

3. Contrainte et Déformation : Calculez la contrainte \( \sigma \) et la déformation \( \epsilon \) dans le barreau.

4. Relation entre Déformations : Discutez comment le module d’Young et le coefficient de Poisson se rapportent à la déformation axiale et latérale du barreau.

Correction : comportement d’un Matériau sous Charge

1. Calcul de la Déformation Axiale (Allongement \(\Delta L\))

Sous l’action d’une force de traction, le barreau s’allonge. L’allongement \(\Delta L\) est déterminé par la loi de Hooke appliquée en traction, qui relie la force appliquée, la géométrie du barreau et le module d’Young.

Formule :

\[ \Delta L = \frac{F \times L_0}{A \times E} \]

où :

\(F\) est la force appliquée.
\(L_0\) est la longueur initiale.
\(A\) est la section transversale du barreau.
\(E\) est le module d’Young.

Données :

\(L_0 = 2\,\text{m}\)
Diamètre initial \(d_0 = 50\,\text{mm} = 0,05\,\text{m}\)
\(E = 210\,\text{GPa} = 210 \times 10^9\,\text{Pa}\)
\(F = 100\,\text{kN} = 100 \times 10^3\,\text{N}\)

La section transversale pour un cercle est donnée par :

\[ A = \frac{\pi d_0^2}{4} \]

Substitution :

\[ A = \frac{\pi \times (0,05)^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0,0025}{4} \] \[ A \approx \frac{0,007854}{4} \] \[ A \approx 0,0019635\,\text{m}^2 \]

Calcul :

Remplaçons dans la formule :

\[ \Delta L = \frac{100 \times 10^3 \times 2}{0,0019635 \times 210 \times 10^9} \] \[ \Delta L = \frac{200\,000}{412\,335\,000} \] \[ \Delta L \approx 0,000484\,\text{m} \quad \text{soit environ} \quad 0,484\,\text{mm} \]

2. Calcul de la Contraction Latérale (Variation du diamètre \(\Delta d\))

Lorsqu’un matériau est soumis à une traction, il s’allonge dans la direction de la force et se contracte perpendiculairement (effet de Poisson). La déformation latérale (transverse) est proportionnelle à la déformation axiale.

Formule :

La déformation axiale est :

\[ \varepsilon_{\text{axiale}} = \frac{\Delta L}{L_0} \]

La déformation latérale (transverse) est :

\[ \varepsilon_{\text{transverse}} = -\nu \times \varepsilon_{\text{axiale}} \]

La variation du diamètre est alors :

\[ \Delta d = \varepsilon_{\text{transverse}} \times d_0 \]

Données :

\(\nu = 0,3\)
\(\Delta L \approx 0,000484\,\text{m}\)
\(L_0 = 2\,\text{m}\)
\(d_0 = 0,05\,\text{m}\)

Calcul :

1. Calcul de la déformation axiale :

\[ \varepsilon_{\text{axiale}} = \frac{0,000484}{2} \approx 0,000242 \]

2. Calcul de la déformation latérale :

\[ \varepsilon_{\text{transverse}} = -0,3 \times 0,000242 \] \[ \varepsilon_{\text{transverse}} \approx -0,0000726 \]

3. Calcul de la variation du diamètre :

\[ \Delta d = -0,0000726 \times 0,05 \] \[ \Delta d \approx -0,00000363\,\text{m} \]

En mm, cela donne :

\[ \Delta d \approx -0,00363\,\text{mm} \]

Le signe négatif indique une diminution du diamètre.

3. Calcul de la Contrainte \(\sigma\) et de la Déformation \(\varepsilon\) dans le Barreau}

La contrainte est la force appliquée par unité de surface, et la déformation (ou allongement relatif) est le rapport de l’allongement à la longueur initiale.

Formules :

Contrainte :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Déformation axiale :

\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]

Données :

\(F = 100 \times 10^3\,\text{N}\)
\(A \approx 0,0019635\,\text{m}^2\)
\(\Delta L \approx 0,000484\,\text{m}\)
\(L_0 = 2\,\text{m}\)

Calcul :

1. Calcul de la contrainte :

\[ \sigma = \frac{100\,000}{0,0019635} \] \[ \sigma \approx 50\,929\,\text{Pa} \times 10^3 \quad \text{soit environ} \quad 50,93\,\text{MPa} \]

2. Calcul de la déformation :

\[ \varepsilon = \frac{0,000484}{2} \approx 0,000242 \]

Vérification par la loi de Hooke :
On a aussi \( E = \frac{\sigma}{\varepsilon} \). En substituant :

\[ \frac{50,93 \times 10^6}{0,000242} \approx 210 \times 10^9\,\text{Pa} \]

ce qui est conforme aux données.

4. Relation entre Déformations : Module d’Young et Coefficient de Poisson

Module d’Young \(E\) :
Ce module exprime la raideur du matériau. Plus \(E\) est élevé, moins le matériau se déforme pour une contrainte donnée. La relation \(E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\) relie la contrainte appliquée à la déformation axiale.
Coefficient de Poisson \(\nu\) :
Ce coefficient quantifie la relation entre la déformation latérale et la déformation axiale. L’expression :

\[ \varepsilon_{\text{transverse}} = -\nu \times \varepsilon_{\text{axiale}} \]

montre que pour une déformation axiale donnée, le matériau subit une contraction proportionnelle dans les directions perpendiculaires. Un \( \nu \) plus grand indique une contraction latérale plus marquée pour la même allongement axial.

Discussion :

Lorsque le matériau est soumis à une force de traction, l’allongement axial \(\Delta L\) se calcule en fonction de \(E\) (la rigidité) et de l’aire de la section. Parallèlement, la contraction latérale est déterminée par le coefficient de Poisson \(\nu\). Ainsi, \(E\) et \(\nu\) sont intimement liés aux réponses du matériau face à une charge :

\(E\) permet d’estimer la déformation axiale pour une contrainte donnée.
\(\nu\) permet d’évaluer comment cette déformation axiale se traduit par une variation de dimensions perpendiculaires (ici, le diamètre).

Comportement d’un Matériau sous Charge

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