Études de cas pratique

EGC

Calcul du Coefficient de Poisson

Calcul du Coefficient de Poisson

Calcul du Coefficient de Poisson

Comprendre le Coefficient de Poisson

Lorsqu'un matériau est soumis à une contrainte de traction ou de compression dans une direction (axiale), il a tendance à se déformer non seulement dans cette direction mais aussi dans les directions transversales (perpendiculaires). Le coefficient de Poisson, noté \(\nu\) (nu), est une mesure de cet effet. Il est défini comme le rapport, changé de signe, de la déformation transversale (ou latérale) à la déformation axiale (ou longitudinale). C'est une propriété intrinsèque du matériau, adimensionnelle.

Données de l'étude

Une éprouvette cylindrique en acier a un diamètre initial \(D_0 = 20 \, \text{mm}\) et une longueur initiale entre repères \(L_0 = 100 \, \text{mm}\). Soumise à un essai de traction, on mesure un allongement \(\Delta L = 0.12 \, \text{mm}\) et une réduction de diamètre \(\Delta D = -0.0072 \, \text{mm}\).

Objectif : Déterminer le coefficient de Poisson de cet acier.

Schéma : Déformation d'une Éprouvette en Traction
Initial D0 L0 Déformé Df Lf F F ΔL ΔD/2

Éprouvette cylindrique avant et après déformation sous traction (dimensions SVG illustratives pour ΔL et ΔD).

Questions à traiter

  1. Calculer la déformation axiale (ou longitudinale) \(\epsilon_{\text{axial}}\).
  2. Calculer la déformation transversale (ou latérale) \(\epsilon_{\text{transverse}}\).
  3. Déterminer le coefficient de Poisson \(\nu\) de l'acier testé.
  4. Si le module d'Young de cet acier est \(E = 210 \, \text{GPa}\), quelle serait la contrainte axiale \(\sigma_{\text{axial}}\) appliquée ?

Correction : Calcul du Coefficient de Poisson

Question 1 : Déformation Axiale (\(\epsilon_{\text{axial}}\))

Principe :

La déformation axiale (ou longitudinale) est le rapport de la variation de longueur (\(\Delta L\)) à la longueur initiale (\(L_0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon_{\text{axial}} = \frac{\Delta L}{L_0}\]
Données spécifiques :
  • Allongement (\(\Delta L\)) : \(0.12 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{axial}} &= \frac{0.12 \, \text{mm}}{100 \, \text{mm}} \\ &= 0.0012 \end{aligned} \]

La déformation est adimensionnelle, mais on peut aussi l'exprimer en mm/mm ou en pourcentage (0.12%).

Résultat Question 1 : La déformation axiale est \(\epsilon_{\text{axial}} = 0.0012\).

Question 2 : Déformation Transversale (\(\epsilon_{\text{transverse}}\))

Principe :

La déformation transversale (ou latérale) est le rapport de la variation de diamètre (\(\Delta D\)) au diamètre initial (\(D_0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon_{\text{transverse}} = \frac{\Delta D}{D_0}\]
Données spécifiques :
  • Réduction de diamètre (\(\Delta D\)) : \(-0.0072 \, \text{mm}\) (négatif car c'est une réduction)
  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{transverse}} &= \frac{-0.0072 \, \text{mm}}{20 \, \text{mm}} \\ &= -0.00036 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La déformation transversale est \(\epsilon_{\text{transverse}} = -0.00036\).

Question 3 : Coefficient de Poisson (\(\nu\))

Principe :

Le coefficient de Poisson (\(\nu\)) est défini comme le rapport, changé de signe, de la déformation transversale à la déformation axiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\nu = - \frac{\epsilon_{\text{transverse}}}{\epsilon_{\text{axial}}}\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon_{\text{transverse}} = -0.00036\)
  • \(\epsilon_{\text{axial}} = 0.0012\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \nu &= - \frac{-0.00036}{0.0012} \\ &= \frac{0.00036}{0.0012} \\ &= 0.3 \end{aligned} \]

Le coefficient de Poisson est une valeur positive pour la plupart des matériaux courants.

Résultat Question 3 : Le coefficient de Poisson de l'acier testé est \(\nu = 0.3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un matériau se contracte beaucoup latéralement lorsqu'il est étiré axialement, son coefficient de Poisson sera :

Question 4 : Contrainte Axiale (\(\sigma_{\text{axial}}\))

Principe :

La contrainte axiale (\(\sigma_{\text{axial}}\)) peut être calculée en utilisant la loi de Hooke si le module d'Young (\(E\)) et la déformation axiale (\(\epsilon_{\text{axial}}\)) sont connus, en supposant un comportement élastique linéaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{axial}} = E \cdot \epsilon_{\text{axial}}\]
Données spécifiques :
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • Déformation axiale (\(\epsilon_{\text{axial}}\)) : \(0.0012\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{axial}} &= 210000 \, \text{N/mm}^2 \cdot 0.0012 \\ &= 252 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 252 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La contrainte axiale appliquée est \(\sigma_{\text{axial}} = 252 \, \text{MPa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Le coefficient de Poisson est défini comme :

6. Pour la plupart des métaux courants, la valeur typique du coefficient de Poisson se situe entre :

7. Si un matériau a un coefficient de Poisson de 0.5, cela signifie généralement qu'il est :

Glossaire

Coefficient de Poisson (\(\nu\))
Rapport, changé de signe, de la déformation transversale à la déformation axiale. Il caractérise la tendance d'un matériau à se contracter (ou se dilater) dans les directions perpendiculaires à la sollicitation.
Déformation Axiale (ou Longitudinale, \(\epsilon_{\text{axial}}\))
Variation de longueur par unité de longueur initiale dans la direction de la force appliquée.
Déformation Transversale (ou Latérale, \(\epsilon_{\text{transverse}}\))
Variation de dimension (ex: diamètre, largeur) par unité de dimension initiale dans une direction perpendiculaire à la force appliquée.
Module d'Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport de la contrainte à la déformation dans le domaine élastique linéaire (\(\sigma = E \epsilon\)).
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface agissant sur une section d'un matériau (\(\sigma = F/A\)).
Matériau Auxétique
Matériau qui possède un coefficient de Poisson négatif. Lorsqu'il est étiré dans une direction, il s'épaissit dans les directions perpendiculaires.
Calcul du Coefficient de Poisson - Exercice d'Application

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