Calcul de l’effort tranchant dans une poutre
Comprendre le Calcul de l’effort tranchant dans une poutre
Vous êtes un ingénieur en charge de la conception d’un pont destiné à un trafic léger dans une zone urbaine.
Vous devez vérifier la capacité d’une poutre du pont à supporter les charges appliquées sans subir de déformations critiques.
L’effort tranchant est un paramètre clé pour assurer la sécurité et la stabilité de la structure.
Pour comprendre le Calcul du Moment Fléchissant Maximal, cliquez sur le lien.
Données:
- Type de poutre: Poutre simplement appuyée.
- Longueur de la poutre (L): 8 mètres.
- Charge uniformément répartie (q): 3 kN/m.
- Charges ponctuelles:
- Charge P1: 5 kN située à 3 m du support A.
- Charge P2: 7 kN située à 6 m du support A.
Questions:
1. Calcul des réactions d’appui:
- Utilisez les conditions d’équilibre pour déterminer les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\).
2. Diagramme de l’effort tranchant (\(V\)):
- Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre en indiquant les points clés et calculez l’effort tranchant juste à gauche et à droite de chaque charge ponctuelle et aux appuis.
3. Points de vérification:
- Identifiez les sections où l’effort tranchant est maximal et minimal. Assurez-vous que l’effort tranchant à chaque point critique ne dépasse pas la capacité admissible de la poutre.
Correction : Calcul de l’effort tranchant dans une poutre
1. Calcul des Réactions d’Appui
Équilibre des Forces Verticales:
\[\Sigma F_y = 0 \] \[ \Rightarrow R_A + R_B = q \times L + P_1 + P_2\]
Substituons les valeurs données :
\[ R_A + R_B = 3 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} + 5 \, \text{kN} + 7 \, \text{kN} \] \[ R_A + R_B = 24 \, \text{kN} + 12 \, \text{kN} \] \[ R_A + R_B = 36 \, \text{kN} \]
Équilibre des Moments autour de A:
\[ \Sigma M_A = 0 \] \[ \Rightarrow R_B \times L = q \times \frac{L}{2} \times L + P_1 \times d_{P_1} + P_2 \times d_{P_2} \]
Substituons les valeurs données :
\[ R_B \times 8 \, \text{m} = 3 \, \text{kN/m} \times 4 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} + 5 \, \text{kN} \times 3 \, \text{m} + 7 \, \text{kN} \times 6 \, \text{m} \] \[ R_B \times 8 = 96 + 15 + 42 = 153 \, \text{kNm} \] \[ R_B = \frac{153 \, \text{kNm}}{8 \, \text{m}} \] \[ R_B = 19.125 \, \text{kN} \]
En utilisant l’équilibre des forces verticales, on trouve \(R_A\) :
\[ R_A = 36 \, \text{kN} – R_B \] \[ R_A = 36 \, \text{kN} – 19.125 \, \text{kN} \] \[ R_A = 16.875 \, \text{kN} \]
2. Diagramme de l’Effort Tranchant (V)
Calcul de l’Effort Tranchant aux Points Clés :
- À l’appui A \((x = 0)\):
\[ V(0) = R_A = 16.875 \, \text{kN} \]
- Juste avant P1 \((x = 3^- \, \text{m})\):
\[ V(3^-) = 16.875 \, \text{kN} – 3 \times 3 \] \[ V(3^-) = 16.875 \, \text{kN} – 9 \] \[ V(3^-) = 7.875 \, \text{kN} \]
- Juste après P1 \((x = 3^+ \, \text{m})\):
\[ V(3^+) = 7.875 \, \text{kN} – 5 \] \[ V(3^+) = 2.875 \, \text{kN} \]
- Juste avant P2 \((x = 6^- \, \text{m})\):
\[ V(6^-) = 2.875 \, \text{kN} – 3 \times 3 \] \[ V(6^-) = 2.875 \, \text{kN} – 9 \] \[ V(6^-) = -6.125 \, \text{kN} \]
- Juste après P2 \((x = 6^+ \, \text{m})\):
\[ V(6^+) = -6.125 \, \text{kN} – 7 \] \[ V(6^+) = -13.125 \, \text{kN} \]
- À l’appui B \((x = 8 \, \text{m})\):
\[ V(8) = -R_B = -19.125 \, \text{kN} \]
3. Tracé du Diagramme de l’Effort Tranchant
Le diagramme commence à \(+16.875 \, \text{kN}\) à l’appui A, descend à \(+2.875 \, \text{kN}\) juste après P1, chute à \(-13.125 \, \text{kN}\) juste après P2, et finit à \(-19.125 \, \text{kN}\) à l’appui B.
Les points où l’effort tranchant change brusquement correspondent aux emplacements des charges ponctuelles.
Calcul de l’effort tranchant dans une poutre
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