Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

Calcul de l’Effort Tranchant dans une Poutre

Calcul de l’Effort Tranchant dans une Poutre

Comprendre le Calcul de l’Effort Tranchant

L'effort tranchant (\(V\)) en un point d'une poutre représente la somme algébrique des forces transversales (perpendiculaires à l'axe de la poutre) agissant sur l'un des côtés de la section considérée. Il est crucial pour le dimensionnement des poutres, car il peut entraîner des contraintes de cisaillement importantes. Le diagramme d'effort tranchant (DET) est une représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre, essentielle pour identifier les zones critiques.

Données de l'étude

On étudie une poutre simplement appuyée à ses deux extrémités A (appui simple) et B (appui à rouleau). La poutre a une longueur totale de \(L = 5 \, \text{m}\).

Chargement :

  • Une charge ponctuelle \(P_1 = 10 \, \text{kN}\) est appliquée à \(x_1 = 1 \, \text{m}\) de l'appui A.
  • Une charge uniformément répartie (UDL) \(q = 5 \, \text{kN/m}\) s'étend de \(x_2 = 3 \, \text{m}\) à \(x_3 = 5 \, \text{m}\) (extrémité B de la poutre).
Schéma : Poutre avec Charges Ponctuelle et Répartie
A B P1=10kN q=5kN/m R_A R_B L = 5 m 1m 3m 2m Axe x (m)

Poutre sur appuis simples avec charge ponctuelle P1 et charge répartie q.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Établir les expressions de l'effort tranchant \(V(x)\) pour les différentes sections de la poutre.
  3. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET) pour la poutre.
  4. Identifier la valeur absolue maximale de l'effort tranchant (\(|V|_{max}\)).

Correction : Calcul de l’Effort Tranchant

Question 1 : Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

On utilise les équations de l'équilibre statique. La charge répartie \(q\) sur une longueur de \(2 \, \text{m}\) peut être remplacée par une force équivalente \(Q = q \times 2\text{m} = 5 \text{kN/m} \times 2\text{m} = 10 \, \text{kN}\), appliquée au milieu de la charge répartie, c'est-à-dire à \(x = 3\text{m} + 1\text{m} = 4 \, \text{m}\) de A.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P_1 - Q = 0\] \[\sum M_A = 0 \Rightarrow -P_1 \cdot x_1 - Q \cdot x_Q + R_B \cdot L = 0\]

Avec \(x_1 = 1 \, \text{m}\) et \(x_Q = 4 \, \text{m}\) (position de la force équivalente Q par rapport à A).

Données spécifiques :
  • \(P_1 = 10 \, \text{kN}\) à \(x_1 = 1 \, \text{m}\)
  • \(q = 5 \, \text{kN/m}\) de \(x=3 \, \text{m}\) à \(x=5 \, \text{m}\) \(\Rightarrow Q = 5 \times (5-3) = 10 \, \text{kN}\) appliquée à \(x_Q = 3 + (5-3)/2 = 4 \, \text{m}\)
  • \(L = 5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sum M_A = 0 &\Rightarrow -10 \cdot 1 - 10 \cdot 4 + R_B \cdot 5 = 0 \\ &\Rightarrow -10 - 40 + 5 R_B = 0 \\ &\Rightarrow 5 R_B = 50 \\ &\Rightarrow R_B = \frac{50}{5} = 10 \, \text{kN} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow R_A + R_B - P_1 - Q = 0 \\ &\Rightarrow R_A + 10 - 10 - 10 = 0 \\ &\Rightarrow R_A - 10 = 0 \\ &\Rightarrow R_A = 10 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 10 \, \text{kN}\) et \(R_B = 10 \, \text{kN}\).

Question 2 : Expressions de l'Effort Tranchant \(V(x)\)

Principe :

On effectue des coupes dans chaque section de la poutre où le chargement change et on exprime l'effort tranchant \(V(x)\) comme la somme des forces verticales à gauche de la coupe (convention : forces vers le haut positives, vers le bas négatives).

Calcul :

Section 1 : \(0 \leq x < 1 \, \text{m}\) (avant \(P_1\))

\[V_1(x) = R_A = 10 \, \text{kN}\]

Section 2 : \(1 \leq x < 3 \, \text{m}\) (après \(P_1\), avant UDL \(q\))

\[V_2(x) = R_A - P_1 = 10 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} = 0 \, \text{kN}\]

Section 3 : \(3 \leq x \leq 5 \, \text{m}\) (dans la zone de l'UDL \(q\))

La portion de la charge répartie à gauche de la coupe à une abscisse \(x\) est \(q \cdot (x-3)\).

\[ \begin{aligned} V_3(x) &= R_A - P_1 - q \cdot (x-3) \\ &= 10 - 10 - 5(x-3) \\ &= -5(x-3) \\ &= -5x + 15 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérifions aux extrémités de cette section :

  • À \(x=3 \, \text{m}\) : \(V_3(3) = -5(3) + 15 = -15 + 15 = 0 \, \text{kN}\) (juste à droite de \(x=1\text{m}\), avant que \(q\) n'agisse effectivement).
  • À \(x=5 \, \text{m}\) : \(V_3(5) = -5(5) + 15 = -25 + 15 = -10 \, \text{kN}\) (ce qui correspond à \(-R_B\), donc correct juste avant l'appui B).
Résultat Question 2 : Les expressions de l'effort tranchant sont :
  • \(0 \leq x < 1 \, \text{m} : V(x) = 10 \, \text{kN}\)
  • \(1 \leq x < 3 \, \text{m} : V(x) = 0 \, \text{kN}\)
  • \(3 \leq x \leq 5 \, \text{m} : V(x) = -5x + 15 \, \text{kN}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Sous une charge uniformément répartie, la pente du diagramme d'effort tranchant est :

Question 3 : Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)

Principe :

Le DET est tracé en utilisant les expressions de \(V(x)\) obtenues. L'effort tranchant est constant entre les charges ponctuelles et varie linéairement sous une charge uniformément répartie. Il y a des sauts au niveau des charges ponctuelles et des réactions d'appui.

Tracé :
  • De \(x=0\) à \(x=1^-\) m : \(V(x) = +10 \, \text{kN}\).
  • À \(x=1\) m : Saut de \(-P_1 = -10 \, \text{kN}\). Donc \(V(1^+) = 10 - 10 = 0 \, \text{kN}\).
  • De \(x=1^+\) à \(x=3^-\) m : \(V(x) = 0 \, \text{kN}\).
  • De \(x=3\) m à \(x=5\) m : \(V(x) = -5x + 15\).
    • À \(x=3\) m : \(V(3) = -5(3)+15 = 0 \, \text{kN}\).
    • À \(x=5\) m : \(V(5) = -5(5)+15 = -10 \, \text{kN}\).
  • À \(x=5\) m (appui B) : La réaction \(R_B = +10 \, \text{kN}\) ramène l'effort tranchant à \( -10 + 10 = 0 \, \text{kN}\).
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
x (m) V (kN) 0 -5 -10 +5 +10 1 3 5 +10 0 V(x) -10
Résultat Question 3 : Le diagramme de l'effort tranchant est tracé ci-dessus.

Question 4 : Valeur Absolue Maximale de l'Effort Tranchant (\(|V|_{max}\))

Principe :

La valeur absolue maximale de l'effort tranchant est identifiée à partir du DET ou des expressions de \(V(x)\).

Analyse :
  • Entre \(x=0\) et \(x=1\) m : \(V(x) = 10 \, \text{kN}\).
  • Entre \(x=1\) et \(x=3\) m : \(V(x) = 0 \, \text{kN}\).
  • Entre \(x=3\) et \(x=5\) m : \(V(x)\) varie de \(0 \, \text{kN}\) à \(-10 \, \text{kN}\).

Les valeurs extrêmes sont \(+10 \, \text{kN}\) et \(-10 \, \text{kN}\).

Calcul :
\[|V|_{max} = \max(|10 \, \text{kN}|, |0 \, \text{kN}|, |-10 \, \text{kN}|) = 10 \, \text{kN}\]
Résultat Question 4 : La valeur absolue maximale de l'effort tranchant est \(|V|_{max} = 10 \, \text{kN}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. L'effort tranchant dans une poutre est généralement associé à :

6. Sur un diagramme d'effort tranchant, une charge ponctuelle vers le bas provoque :

7. Si le diagramme d'effort tranchant est constant et non nul sur une section de poutre, cela signifie que sur cette section :

Glossaire

Effort Tranchant (\(V\))
Somme algébrique des forces transversales agissant sur une section d'une poutre. Il mesure la tendance au cisaillement de la section.
Diagramme d'Effort Tranchant (DET)
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de l'axe longitudinal d'une poutre.
Charge Ponctuelle (\(P\))
Force concentrée appliquée en un point spécifique d'une structure.
Charge Uniformément Répartie (UDL - q)
Charge d'intensité constante appliquée sur une certaine longueur d'une poutre (exprimée en force par unité de longueur, comme kN/m).
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne parallèle à la surface d'une section, causée par l'effort tranchant.
Poutre Simplement Appuyée
Poutre reposant sur deux appuis simples (un articulé, un à rouleau) qui permettent la rotation mais empêchent la translation verticale (et un seul la translation horizontale).
Calcul de l’Effort Tranchant - Exercice d'Application

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