Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

Comprendre le Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

Vous êtes un ingénieur en charge de la conception d’un pont destiné à un trafic léger dans une zone urbaine. Vous devez vérifier la capacité d’une poutre du pont à supporter les charges appliquées sans subir de déformations critiques. L’effort tranchant est un paramètre clé pour assurer la sécurité et la stabilité de la structure.

Pour comprendre le Calcul du Moment Fléchissant Maximal, cliquez sur le lien.

Données:

Type de poutre: Poutre simplement appuyée.
Longueur de la poutre (L): 8 mètres.
Charge uniformément répartie (q): 3 kN/m.
Charges ponctuelles:
- Charge P1: 5 kN située à 3 m du support A.
- Charge P2: 7 kN située à 6 m du support A.

Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

Questions:

1. Calcul des réactions d’appui:

Utilisez les conditions d’équilibre pour déterminer les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\).

2. Diagramme de l’effort tranchant (\(V\)):

Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre en indiquant les points clés et calculez l’effort tranchant juste à gauche et à droite de chaque charge ponctuelle et aux appuis.

3. Points de vérification:

Identifiez les sections où l’effort tranchant est maximal et minimal. Assurez-vous que l’effort tranchant à chaque point critique ne dépasse pas la capacité admissible de la poutre.

Correction : Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

1. Calcul des réactions d’appui

a) Équation de la somme des forces verticales:

La somme des charges appliquées sur la poutre est la charge répartie plus les charges ponctuelles.

\[ R_A + R_B = q \times L + P_1 + P_2 \] \[ R_A + R_B = 3 \times 8 + 5 + 7 \] \[ R_A + R_B = 24 + 12 \] \[ R_A + R_B = 36\ \text{kN} \]

b) Équation du moment par rapport à A:

En considérant le moment pris autour du support A (pour éliminer \(R_A\)), on a :

\[ R_B \times L = q \times L \times \left(\frac{L}{2}\right) + P_1 \times 3 + P_2 \times 6 \]

En substituant les valeurs :

\[ R_B \times 8 = 3 \times 8 \times \left(\frac{8}{2}\right) + 5 \times 3 + 7 \times 6 \]

La charge répartie a pour résultat un moment équivalent à la force totale \(q \times L\) agissant en son centre de gravité, situé à \(\frac{L}{2}\).

Calcul du moment dû à la charge répartie:

\[ 3 \times 8 \times 4 = 96\ \text{kN·m} \]

Moment de \(P_1\):

\[ 5 \times 3 = 15\ \text{kN·m} \]

Moment de \(P_2\):

\[ 7 \times 6 = 42\ \text{kN·m} \]

La somme des moments est:

\[ 96 + 15 + 42 = 153\ \text{kN·m} \]

D’où:

\[ R_B = \frac{153}{8} \approx 19,125\ \text{kN} \]

c) Détermination de \(R_A\):

\[ R_A = 36 – R_B \] \[ R_A = 36 – 19,125 \] \[ R_A \approx 16,875\ \text{kN} \]

2. Diagramme de l’effort tranchant (\(V\))

Pour tracer le diagramme, nous allons déterminer \(V(x)\) en partant de l’appui A (\(x = 0\)) vers B (\(x = 8\) m), en tenant compte de la charge répartie et des charges ponctuelles.

Région 1 : de A à 3 m (avant \(P_1\))

Expression de l’effort tranchant:

\[ V(x) = R_A – q \cdot x \quad \text{pour } 0 \le x < 3 \text{ m} \]

À \(x = 0\):

\[ V(0) = R_A = 16,875\ \text{kN} \]

Juste à gauche de \(x = 3\) m:

\[ V(3^-) = 16,875 – 3 \times 3 \] \[ V(3^-) = 16,875 – 9 \] \[ V(3^-) = 7,875\ \text{kN} \]

Région 2 : de 3 m à 6 m (après \(P_1\) et avant \(P_2\))

Au point \(x = 3\) m, une charge ponctuelle de 5 kN agit.

Effort tranchant juste à droite de \(P_1\):

\[ V(3^+) = V(3^-) – P_1 \] \[ V(3^+) = 7,875 – 5 \] \[ V(3^+) = 2,875\ \text{kN} \]

Pour \(3 < x < 6\) m, l’effort diminue à cause de la charge répartie:

\[ V(x) = 2,875 – q \cdot (x – 3) \]

À \(x = 6\) m, juste avant \(P_2\):

\[ V(6^-) = 2,875 – 3 \times (6 – 3) \] \[ V(6^-) = 2,875 – 9 \] \[ V(6^-) = -6,125\ \text{kN} \]

Région 3 : de 6 m à 8 m (après \(P_2\))

Au point \(x = 6\) m, la charge ponctuelle de 7 kN s’exerce:

\[ V(6^+) = V(6^-) – P_2 \] \[ V(6^+) = -6,125 – 7 \] \[ V(6^+) = -13,125\ \text{kN} \]

Pour \(6 < x \le 8\) m, l’effort tranchant continue de décroître avec la charge répartie:

\[ V(x) = -13,125 – q \cdot (x – 6) \]

À \(x = 8\) m (appui B):

\[ V(8) = -13,125 – 3 \times (8 – 6) \] \[ V(8) = -13,125 – 6 \] \[ V(8) = -19,125\ \text{kN} \]

Cette valeur négative confirme bien le résultat obtenu pour \(R_B\) (puisque \(R_B \approx 19,125\ \text{kN}\)) et la convention de signe choisie (les efforts tranchants négatifs indiquent un changement de sens).

3. Points de vérification

a) Identification des points critiques:

Maximum de \(V\) (positif):

Le point le plus élevé est à l’appui A, où \(V(0) = 16,875\ \text{kN}\).

Changement de signe et minimum de \(V\) (négatif):

Juste à gauche de \(P_1\), \(V(3^-)=7,875\ \text{kN}\) (valeur positive) puis chute à \(V(3^+)=2,875\ \text{kN}\).
Le diagramme décroît ensuite jusqu’à atteindre \(V(6^-)\approx -6,125\ \text{kN}\).
Le minimum est atteint juste après \(P_2\), avec \(V(6^+)= -13,125\ \text{kN}\), qui se prolonge jusqu’à l’appui B.

b) Vérification de la capacité admissible:

Critère de sécurité :
Pour chaque section critique (au niveau de A, juste autour de P1 et P2, et à B), il faut comparer l’effort tranchant calculé en valeur absolue avec la capacité admissible de la poutre (donnée par le dimensionnement ou le cahier des charges de la structure).

À A: \(\left|16,875\right|\) kN.
Entre \(P_1\) et \(P_2\): l’effort varie entre \(7,875\) kN et \(2,875\) kN.
Après \(P_2\): l’effort atteint \(\left|13,125\right|\) kN.

Si la capacité admissible (non précisée ici) est supérieure à la valeur maximale absolue constatée, la poutre est jugée sécuritaire pour les charges appliquées.

Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

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