Calcul de la contrainte de flexion

Comprendre le Calcul de la contrainte de flexion

Un ingénieur en génie civil doit concevoir une poutre en acier pour soutenir un plancher dans un bâtiment commercial. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie provenant du poids du plancher, des meubles, et de l’occupation prévue. L’objectif est de déterminer si la poutre choisie peut résister à la charge sans dépasser la contrainte de flexion admissible pour l’acier utilisé.

Pour comprendre le Calcul du moment de résistance à la flexion, cliquez sur le lien.

Données:

Longueur de la poutre, L: 6 mètres
Charge uniformément répartie, w: 5 kN/m (ceci inclut le poids propre de la poutre)
Contrainte admissible pour l’acier, \(\sigma_{\text{adm}}\): 250 MPa
Moment d’inertie de la section transversale de la poutre, \(I\): \(8.1 \times 10^{-6} \, m^4\)
Distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre, c: 150 mm

Question:

Calculer la contrainte de flexion maximale dans la poutre et vérifier si elle dépasse la contrainte admissible pour l’acier.

Correction : Calcul de la contrainte de flexion

1. Calcul du moment maximal de flexion

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximum se produit en son centre. La formule utilisée est :

\[ M_{\text{max}} = \frac{w \times L^2}{8} \]

où :

\(\displaystyle w\) est la charge uniformément répartie (en kN/m),
\(\displaystyle L\) est la longueur de la poutre (en m).

Données:

Longueur de la poutre : \(\displaystyle L = 6\) m
Charge uniformément répartie : \(\displaystyle w = 5\) kN/m

Calcul:

Substitution dans la formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times (6)^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{180}{8} = 22,5 \text{ kN·m} \]

Conversion en N·m (pour rester cohérent avec les unités SI dans la suite) :

\[ 22,5 \text{ kN·m} = 22,5 \times 10^3 \text{ N·m} = 22\,500 \text{ N·m} \]

2. Calcul de la contrainte de flexion maximale

La contrainte de flexion \(\sigma\) dans une poutre se calcule à l’aide de la formule suivante :

\[ \sigma = \frac{M \times c}{I} \]

où :

\(\displaystyle M\) est le moment fléchissant (en N·m),
\(\displaystyle c\) est la distance entre l’axe neutre et la fibre la plus éloignée (en m),
\(\displaystyle I\) est le moment d’inertie de la section transversale (en m\(^4\)).

Données:

Moment fléchissant maximum : \(\displaystyle M = 22\,500\) N·m
Distance de la fibre la plus éloignée : \(\displaystyle c = 150\) mm
(Attention : \(150\) mm = \(0,15\) m)
Moment d’inertie : \(\displaystyle I = 8,1 \times 10^{-6}\) m\(^4\)

Calcul:

Substitution dans la formule :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{22\,500 \times 0,15}{8,1 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{3\,375}{8,1 \times 10^{-6}} \text{ N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{max}} \approx 416\,666\,667 \text{ Pa} \]

Conversion en MPa (1 MPa = \(10^6\) Pa) :

\[ \sigma_{\text{max}} \approx \frac{416\,666\,667}{10^6} \approx 416,67 \text{ MPa} \]

3. Vérification par rapport à la contrainte admissible

Contrainte de flexion admissible pour l’acier : \(\displaystyle \sigma_{\text{adm}} = 250\) MPa

Comparaison et conclusion

Contrainte calculée : \(\displaystyle \sigma_{\text{max}} \approx 416,67\) MPa
Contrainte admissible : \(\displaystyle \sigma_{\text{adm}} = 250\) MPa

Puisque :

\[ 416,67 \text{ MPa} > 250 \text{ MPa} \]

Conclusion : : La contrainte de flexion maximale calculée dépasse la contrainte admissible pour l’acier. La poutre choisie ne peut donc pas supporter la charge prévue sans risque de rupture ou de déformation excessive. Il sera nécessaire de revoir le dimensionnement de la poutre (par exemple, augmenter le moment d’inertie \(I\) ou choisir un matériau avec une contrainte admissible plus élevée).

Calcul de la contrainte de flexion

D’autres exercices de Rdm: