Calcul des dimensions d’une poutre

Comprendre le Calcul des dimensions d’une poutre

Vous êtes ingénieur en génie civil chargé de concevoir une section de poutre pour un nouveau pont. La poutre doit être capable de supporter des charges combinées résultant du trafic routier, des conditions environnementales et de son propre poids. L’objectif est de déterminer la taille et le type de poutre en acier nécessaire pour garantir la sécurité et l’efficacité structurelle.

Pour comprendre le Calcul de la Section d’Armature d’une poutre, cliquez sur le lien.

Données:

Type d’acier utilisé : Acier A36
Limite élastique de l’acier : 250 MPa
Charge maximale attendue (F) : 50 000 N (comprend le poids du pont et la charge de trafic)
Longueur de la poutre (L) : 20 mètres
Coefficient de sécurité (n) : 1.5

Questions:

1. Calcul du moment fléchissant maximal (M).

2. Détermination de la section transversale de la poutre nécessaire.

3. Vérification finale :

Vérifiez si les dimensions sélectionnées sont pratiques et conformes aux normes de l’industrie du génie civil.

Correction : Calcul des dimensions d’une poutre

1. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M\))

Pour une poutre simplement supportée avec une charge concentrée placée en son centre (scénario le plus défavorable en termes de moment fléchissant), le moment fléchissant maximal s’obtient par la formule suivante :

\[ M_{\text{max}} = \frac{F \times L}{4} \]

Application numérique

Données :

\(F = 50\,000\,\text{N}\)
\(L = 20\,\text{m}\)

Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{50\,000\,\text{N} \times 20\,\text{m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{1\,000\,000\,\text{N·m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = 250\,000\,\text{N·m} \]

Résultat

Le moment fléchissant maximal est donc :

\[ M_{\text{max}} = 250\,000\,\text{N·m} \quad \text{(ou 250 kN·m)} \]

2. Détermination de la section transversale de la poutre nécessaire

Principe de conception en flexion

En flexion, la contrainte maximale dans la section de la poutre se calcule par :

\[ \sigma = \frac{M}{W} \]

où W est le module de section de la poutre. Pour éviter la rupture, la contrainte calculée doit être inférieure à la contrainte admissible du matériau. En intégrant un coefficient de sécurité, on impose :

\[ \sigma \leq \sigma_{\text{adm}} \quad \text{où} \quad \sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_y}{n} \]

Calcul de la contrainte admissible

Données :

\(\sigma_y = 250\,\text{MPa}\)
\(n = 1.5\)

Calcul :

\[ \sigma_{\text{adm}} = \frac{250\,\text{MPa}}{1.5} \approx 166.67\,\text{MPa} \]

Note : 1 MPa = 1 N/mm²

Calcul du module de section requis

La condition de sécurité est :

\[ \frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{req}}} \leq \sigma_{\text{adm}} \quad \Longrightarrow \quad W_{\text{req}} \geq \frac{M_{\text{max}}}{\sigma_{\text{adm}}} \]

Avant de substituer, il est nécessaire de convertir le moment en N·mm.

Conversion :

\[ M_{\text{max}} = 250\,000\,\text{N·m} \] \[ M_{\text{max}} = 250\,000 \times 1\,000 \] \[ M_{\text{max}} = 250\,000\,000\,\text{N·mm} \]

Calcul de \(W_{\text{req}}\) :

\[ W_{\text{req}} = \frac{250\,000\,000\,\text{N·mm}}{166.67\,\text{N/mm}^2} \] \[ W_{\text{req}} \approx 1\,500\,000\,\text{mm}^3 \]

Choix d’une section rectangulaire

Pour simplifier, nous choisissons une section rectangulaire dont le module de section est donné par :

\[ W = \frac{b \times h^2}{6} \]

où

b est la largeur
h est la hauteur de la section.

On souhaite que :

\[ \frac{b \times h^2}{6} \geq 1\,500\,000\,\text{mm}^3 \]

Une approche courante consiste à adopter un rapport hauteur/largeur (h/b) d’environ 3 pour assurer une bonne résistance en flexion. Posons alors :

\[ h = 3b \]

Substitution et calcul

Substituons dans la formule de \(W\) :

\[ W = \frac{b \times (3b)^2}{6} \] \[ W = \frac{b \times 9b^2}{6} \] \[ W = \frac{9b^3}{6} \] \[ W = 1.5b^3 \]

Pour satisfaire la condition de module de section :

\[ 1.5b^3 = 1\,500\,000\,\text{mm}^3 \]

Calculons \(b\) :

\[ b^3 = \frac{1\,500\,000}{1.5} = 1\,000\,000\,\text{mm}^3 \] \[\Longrightarrow \quad b = \sqrt[3]{1\,000\,000} = 100\,\text{mm} \]

Puis, la hauteur \(h\) est :

\[ h = 3b = 3 \times 100\,\text{mm} = 300\,\text{mm} \]

Vérification

Calculons à nouveau \(W\) :

\[ W = \frac{100\,\text{mm} \times (300\,\text{mm})^2}{6} \] \[ W = \frac{100 \times 90\,000}{6} \] \[ W = \frac{9\,000\,000}{6} \] \[ W = 1\,500\,000\,\text{mm}^3 \]

Ce qui est exactement le module de section requis.

Résultat

La section rectangulaire proposée est

\[ b = 100\,\text{mm} \quad \text{et} \quad h = 300\,\text{mm} \]

3. Vérification finale

Points de contrôle

1. Conformité aux critères de résistance :

Le module de section calculé garantit que, sous le moment fléchissant maximal, la contrainte de flexion ne dépasse pas la valeur admissible (166,67 MPa).
Le coefficient de sécurité de 1,5 est bien intégré dans la détermination de \(\sigma_{\text{adm}}\)

2. Praticabilité et normes de l’industrie :

Une section rectangulaire de 100 mm × 300 mm est une solution théorique qui répond aux exigences de résistance en flexion.
En pratique, dans la conception de poutres en pont, on utilise souvent des sections en I (IPE, HEA, HEB, etc.) qui offrent une grande rigidité pour un poids réduit. Le choix d’une section rectangulaire sert ici d’illustration simplifiée.
Il faudra également vérifier d’autres critères (déflexion, stabilité latérale, flambement) pour confirmer l’adéquation du profil sélectionné selon les normes du génie civil.

3. Disponibilité et mise en œuvre :

Les dimensions obtenues se rapprochent de celles de sections standard ou peuvent être réalisées par assemblage de plaques d’acier.
Un ingénieur concepteur comparera ces résultats avec des sections normalisées disponibles sur le marché et prendra en compte les exigences de fabrication et d’assemblage.

Conclusion

Les dimensions calculées (section rectangulaire de 100 mm de largeur et 300 mm de hauteur) satisfont, d’un point de vue théorique, aux conditions de sécurité et de résistance en flexion pour supporter un moment fléchissant maximal de 250 kN·m sous un coefficient de sécurité de 1,5. Ces résultats sont cohérents avec les normes de l’industrie, tout en rappelant qu’une étude complète de conception intégrera également d’autres vérifications (déflexion, flambement, etc.) et comparera avec des profils standard (souvent des sections en I) pour une mise en œuvre pratique.

Calcul des dimensions d’une poutre

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