Études de cas pratique

EGC

Déformation de Différentes Sections Transversales

Déformation de Différentes Sections Transversales

Déformation de Différentes Sections Transversales

Comprendre l'Influence de la Section sur la Déformation Axiale

La déformation axiale d'un élément soumis à une charge axiale dépend non seulement de la force, de la longueur et du matériau (module de Young), mais aussi de l'aire de sa section transversale. Pour une même force, une même longueur et un même matériau, une section transversale plus petite subira une contrainte plus élevée et donc une déformation plus importante. Cet exercice vise à comparer la déformation de trois barres de même longueur et matériau, soumises à la même force de traction, mais possédant des sections transversales différentes : une circulaire, une carrée et une rectangulaire.

Données de l'étude

Trois barres en acier, chacune de longueur \(L_0 = 1.0 \, \text{m}\), sont soumises à une force de traction axiale \(F = 50 \, \text{kN}\).

Caractéristiques communes :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Force de traction (\(F\)) : \(50 \, \text{kN}\)
  • Matériau : Acier, Module de Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)

Dimensions des sections transversales :

  • Barre 1 (Circulaire) : Diamètre \(d = 20 \, \text{mm}\)
  • Barre 2 (Carrée) : Côté \(a = 20 \, \text{mm}\)
  • Barre 3 (Rectangulaire) : Base \(b = 30 \, \text{mm}\), Hauteur \(h = 15 \, \text{mm}\)
Schéma : Barres avec Différentes Sections Transversales
F L0 = 1m

Barre soumise à traction F

d=20mm

Barre 1 (Circulaire)

a=20mm

Barre 2 (Carrée)

b=30mm h=15mm

Barre 3 (Rectangulaire)

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) pour chacune des trois barres.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans chacune des trois barres.
  3. Calculer la déformation axiale relative (\(\epsilon\)) pour chacune des trois barres.
  4. Calculer l'allongement total (\(\delta\)) pour chacune des trois barres.
  5. Comparer les allongements et discuter de l'influence de l'aire de la section transversale sur la déformation.

Correction : Déformation de Différentes Sections

Question 1 : Calcul des Aires des Sections Transversales (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi d^2 / 4\). L'aire d'une section carrée est \(A = a^2\). L'aire d'une section rectangulaire est \(A = b \cdot h\).

Calculs (en mm\(^2\)) :

Barre 1 (Circulaire) : \(d = 20 \, \text{mm}\)

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 400}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Barre 2 (Carrée) : \(a = 20 \, \text{mm}\)

\[ \begin{aligned} A_2 &= (20 \, \text{mm})^2 \\ &= 400 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Barre 3 (Rectangulaire) : \(b = 30 \, \text{mm}\), \(h = 15 \, \text{mm}\)

\[ \begin{aligned} A_3 &= (30 \, \text{mm}) \cdot (15 \, \text{mm}) \\ &= 450 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Aire Barre 1 (Circulaire) : \(A_1 \approx 314.16 \, \text{mm}^2\)
  • Aire Barre 2 (Carrée) : \(A_2 = 400 \, \text{mm}^2\)
  • Aire Barre 3 (Rectangulaire) : \(A_3 = 450 \, \text{mm}^2\)

Question 2 : Calcul des Contraintes Normales (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale est la force axiale divisée par l'aire de la section transversale (\(\sigma = F/A\)).

Données communes :
  • Force (\(F\)) : \(50 \, \text{kN} = 50000 \, \text{N}\)
Calculs (en MPa = N/mm\(^2\)) :

Barre 1 (Circulaire) : \(A_1 \approx 314.16 \, \text{mm}^2\)

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= \frac{50000 \, \text{N}}{314.16 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 159.15 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Barre 2 (Carrée) : \(A_2 = 400 \, \text{mm}^2\)

\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= \frac{50000 \, \text{N}}{400 \, \text{mm}^2} \\ &= 125 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Barre 3 (Rectangulaire) : \(A_3 = 450 \, \text{mm}^2\)

\[ \begin{aligned} \sigma_3 &= \frac{50000 \, \text{N}}{450 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 111.11 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Contrainte Barre 1 : \(\sigma_1 \approx 159.15 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte Barre 2 : \(\sigma_2 = 125 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte Barre 3 : \(\sigma_3 \approx 111.11 \, \text{MPa}\)

Question 3 : Calcul des Déformations Axiales Relatives (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale relative est donnée par la loi de Hooke : \(\epsilon = \sigma / E\).

Données communes :
  • Module de Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calculs (sans dimension) :

Barre 1 (Circulaire) : \(\sigma_1 \approx 159.15 \, \text{MPa}\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_1 &= \frac{159.15 \, \text{MPa}}{210 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.0007578 \end{aligned} \]

Barre 2 (Carrée) : \(\sigma_2 = 125 \, \text{MPa}\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_2 &= \frac{125 \, \text{MPa}}{210 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.0005952 \end{aligned} \]

Barre 3 (Rectangulaire) : \(\sigma_3 \approx 111.11 \, \text{MPa}\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_3 &= \frac{111.11 \, \text{MPa}}{210 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.0005291 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Déformation Barre 1 : \(\epsilon_1 \approx 0.000758\)
  • Déformation Barre 2 : \(\epsilon_2 \approx 0.000595\)
  • Déformation Barre 3 : \(\epsilon_3 \approx 0.000529\)

Question 4 : Calcul des Allongements Totals (\(\delta\))

Principe :

L'allongement total est \(\delta = \epsilon \cdot L_0\). Alternativement, \(\delta = \frac{FL_0}{AE}\).

Données communes :
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(1.0 \, \text{m} = 1000 \, \text{mm}\)
Calculs (en mm) :

Barre 1 (Circulaire) : \(\epsilon_1 \approx 0.0007578\)

\[ \begin{aligned} \delta_1 &= 0.0007578 \cdot 1000 \, \text{mm} \\ &\approx 0.758 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Barre 2 (Carrée) : \(\epsilon_2 \approx 0.0005952\)

\[ \begin{aligned} \delta_2 &= 0.0005952 \cdot 1000 \, \text{mm} \\ &\approx 0.595 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Barre 3 (Rectangulaire) : \(\epsilon_3 \approx 0.0005291\)

\[ \begin{aligned} \delta_3 &= 0.0005291 \cdot 1000 \, \text{mm} \\ &\approx 0.529 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • Allongement Barre 1 : \(\delta_1 \approx 0.758 \, \text{mm}\)
  • Allongement Barre 2 : \(\delta_2 \approx 0.595 \, \text{mm}\)
  • Allongement Barre 3 : \(\delta_3 \approx 0.529 \, \text{mm}\)

Question 5 : Comparaison et Discussion

Comparaison :

En comparant les allongements :

\(\delta_1 \approx 0.758 \, \text{mm}\) (pour \(A_1 \approx 314.16 \, \text{mm}^2\))

\(\delta_2 \approx 0.595 \, \text{mm}\) (pour \(A_2 = 400 \, \text{mm}^2\))

\(\delta_3 \approx 0.529 \, \text{mm}\) (pour \(A_3 = 450 \, \text{mm}^2\))

On observe que \(\delta_1 > \delta_2 > \delta_3\).

Discussion :

L'allongement \(\delta = \frac{FL_0}{AE}\) est inversement proportionnel à l'aire de la section transversale \(A\), lorsque \(F, L_0,\) et \(E\) sont constants. Par conséquent, la barre avec la plus petite aire de section (Barre 1, circulaire) subit la plus grande contrainte et le plus grand allongement. La barre avec la plus grande aire de section (Barre 3, rectangulaire) subit la plus faible contrainte et le plus faible allongement.

Cela démontre que pour une même charge axiale, une section plus grande offre une meilleure résistance à la déformation (elle est plus "rigide" axialement pour une même longueur et un même matériau).

Résultat Question 5 : La barre circulaire (Barre 1) s'allonge le plus, suivie de la barre carrée (Barre 2), puis de la barre rectangulaire (Barre 3). Cela est dû au fait que l'allongement est inversement proportionnel à l'aire de la section, et \(A_1 < A_2 < A_3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si deux barres de même matériau, même longueur et même force axiale ont des aires \(A_X\) et \(A_Y\) avec \(A_X = 2 A_Y\), alors l'allongement \(\delta_X\) par rapport à \(\delta_Y\) sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour une force axiale donnée, si l'aire de la section d'une barre diminue, sa déformation axiale :

2. Laquelle de ces sections, ayant toutes la même aire, serait la plus rigide en torsion (résisterait le mieux à la torsion) ? (Question conceptuelle hors cadre de l'exercice mais liée aux sections)

Glossaire

Déformation Axiale (\(\delta\))
Changement de longueur total d'un élément soumis à une charge axiale. Unité : mm, m.
Déformation Axiale Relative (\(\epsilon\))
Rapport entre la déformation axiale et la longueur initiale de l'élément (\(\epsilon = \delta / L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force axiale par unité d'aire de section transversale (\(\sigma = F/A\)). Unité : Pascals (Pa) ou multiples (MPa).
Module de Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau, reliant la contrainte à la déformation dans le domaine élastique (\(E = \sigma / \epsilon\)). Unité : Pascals (Pa) ou multiples (GPa).
Aire de la Section Transversale (\(A\))
Surface de la coupe d'un élément perpendiculaire à son axe longitudinal. Son influence est inversement proportionnelle à la déformation pour une charge donnée.
Déformation de Différentes Sections Transversales - Exercice d'Application

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