Charge Critique de Flambement
Comprendre la Charge Critique de Flambement
Dans une entreprise de construction, un ingénieur doit concevoir une colonne verticale légère qui supportera une charge axiale. La colonne est en acier avec un module d’élasticité E de 200 GPa. La colonne a une longueur L de 3 mètres et un moment d’inertie \(I\) de 4000 cm\(^4\). La colonne est fixée à la base et libre en haut (cas de flambement d’Euler pour une colonne encastrée-libre).
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Données
- Longueur de la colonne, \(L = 3\) mètres
- Module d’élasticité de l’acier, \(E = 200\) GPa
- Moment d’inertie, \(I = 4000\) cm\(^4\)
Question:
Déterminer la charge critique de flambement de la colonne.
Correction : Charge Critique de Flambement
1. Rappel des Données et Conversion d’Unités
- Longueur de la colonne :
\( L = 3 \, \text{m} \) - Module d’élasticité :
\( E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 \) - Moment d’inertie :
\( I = 4000 \, \text{cm}^4 \)
Pour utiliser des unités cohérentes (métriques), nous convertissons \( I \) en m\(^4\) :
\[ 1 \, \text{cm}^4 = (0.01 \, \text{m})^4 = 10^{-8} \, \text{m}^4 \]
\[ \Longrightarrow \quad I = 4000 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \] \[ I = 4 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]
- Condition aux limites :
La colonne est encastrée à la base et libre en haut. Pour ce cas, le coefficient de longueur effective est \( K = 2 \) (c’est-à-dire que la longueur effective est \( L_{eff} = 2L \)).
2. Formule de la Charge Critique de Flambement (Formule d’Euler)
La formule générale pour la charge critique de flambement est donnée par :
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{\left( K L \right)^2} \]
Pour une colonne encastrée-libre, \( K = 2 \), donc :
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(2L)^2} \]
3. Substitution des Valeurs
a) Calcul du Dénominateur
\[ (2L)^2 = (2 \times 3 \, \text{m})^2 = (6 \, \text{m})^2 = 36 \, \text{m}^2 \]
b) Calcul du Numérateur:
Calculons d’abord \( E \times I \) :
\[ E \times I = (200 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \times (4 \times 10^{-5} \, \text{m}^4) \]
Effectuons la multiplication des coefficients et des puissances de 10 :
\[ 200 \times 4 = 800 \quad \text{et} \quad 10^9 \times 10^{-5} = 10^{9-5} = 10^4 \]
Donc,
\[ E \times I = 800 \times 10^4 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 = 8 \times 10^6 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]
En incluant le facteur \(\pi^2\), le numérateur devient :
\[ \pi^2 \times (E \times I) = \pi^2 \times 8 \times 10^6 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]
On connaît que \(\pi^2 \approx 9.8696\). Ainsi,
\[ \pi^2 \times 8 \times 10^6 \approx 9.8696 \times 8 \times 10^6 \] \[ \approx 7.89568 \times 10^7 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]
4. Calcul Final de la Charge Critique
En substituant le numérateur et le dénominateur dans la formule :
\[ P_{cr} = \frac{7.89568 \times 10^7 \, \text{N}\cdot\text{m}^2}{36 \, \text{m}^2} \] \[ P_{cr} \approx 2.19324 \times 10^6 \, \text{N} \]
Conclusion
La charge critique de flambement de la colonne est donc :
\[ P_{cr} \approx 2.19 \times 10^6 \, \text{N} \quad \text{(ou environ 2.19 MN)} \]
Cette valeur représente la charge axiale maximale que la colonne peut supporter avant de subir un flambement selon le critère d’Euler.
Charge Critique de Flambement
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