Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Comprendre la Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Vous êtes ingénieur civil et vous devez analyser la résistance d’une barre en acier (matériau ductile) et d’une barre en céramique (matériau fragile) sous une charge axiale. Les deux barres sont utilisées dans une construction et doivent supporter des charges sans subir de défaillance. Votre tâche est de déterminer la charge maximale que chaque barre peut supporter et de comparer leur comportement sous charge.

Comprendre la Déformation Axiale Due à la Température, cliquez sur le lien.

Données fournies :

Barre en acier (ductile) :
- Diamètre = 10 mm
- Longueur = 1 mètre
- Module de Young = 210 GPa
- Limite d’élasticité = 250 MPa
- Limite de rupture = 450 MPa
Barre en céramique (fragile) :
- Diamètre = 10 mm
- Longueur = 1 mètre
- Module de Young = 380 GPa
- Limite de rupture = 150 MPa

Questions :

1. Calcul de la surface de la section transversale pour chaque matériau.

2. Détermination de la charge maximale supportable en utilisant les propriétés mécaniques fournies, notamment la contrainte maximale avant la rupture.

3. Analyse de la déformation de chaque barre sous la charge maximale.

4. Discussion sur le comportement de chaque matériau sous charge et explication de pourquoi un matériau peut être préférable à l’autre dans certaines applications.

Correction : Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Conversions :

Barre en acier (ductile) :

Module de Young : \( E = 210\,\text{GPa} = 210 \times 10^9\,\text{Pa} \)
Limite d’élasticité : \( \sigma_{y} = 250\,\text{MPa} = 250 \times 10^6\,\text{Pa} \)
Limite de rupture : \( \sigma_{u} = 450\,\text{MPa} = 450 \times 10^6\,\text{Pa} \)

Barre en céramique (fragile) :

Module de Young : \( E = 380\,\text{GPa} = 380 \times 10^9\,\text{Pa} \)
Limite de rupture : \( \sigma_{u} = 150\,\text{MPa} = 150 \times 10^6\,\text{Pa} \)

Remarque sur les unités :
Pour le diamètre donné en millimètres, nous avons :

\[ d = 10\,\text{mm} = 0.01\,\text{m} \]

1. Calcul de la Surface de la Section Transversale

Formule :

La surface de la section circulaire est donnée par :

\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]

Substitution des données et calcul :

\[ A = \frac{\pi \times (0.01\,\text{m})^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0.0001\,\text{m}^2}{4} \] \[ A \approx 0.000025 \times 3.1416 \] \[ A \approx 7.854 \times 10^{-5}\,\text{m}^2 \]

Résultat :
La surface de la section transversale est \( A \approx 7.85 \times 10^{-5}\,\text{m}^2 \).

2. Détermination de la Charge Maximale Supportable

La charge maximale \( P_{\text{max}} \) qu’une barre peut supporter est déterminée par :

\[ P_{\text{max}} = \sigma_{\text{max}} \times A \]

a) Pour la barre en acier

Choix de la contrainte maximale :
Pour un matériau ductile, deux contraintes importantes sont indiquées :

La limite d’élasticité (\( \sigma_{y} = 250\,\text{MPa} \)) et la limite de rupture (\( \sigma_{u} = 450\,\text{MPa} \)).

Ici, nous utilisons la contrainte maximale avant la rupture, c’est-à-dire \( \sigma_{u} \).

Substitution pour l’acier et calcul :

\[ P_{\text{max, acier}} = 450 \times 10^6\,\text{Pa} \times 7.85 \times 10^{-5}\,\text{m}^2 \] \[ P_{\text{max, acier}} = 450\,000\,000 \times 7.85 \times 10^{-5} \] \[ P_{\text{max, acier}} \approx 35342.5\,\text{N} \]

Résultat pour l’acier :
La charge maximale supportable est \( P_{\text{max, acier}} \approx 35\,343\,\text{N} \).

b) Pour la barre en céramique

Substitution pour la céramique et calcul :

\[ P_{\text{max, céramique}} = 150 \times 10^6\,\text{Pa} \times 7.85 \times 10^{-5}\,\text{m}^2 \] \[ P_{\text{max, céramique}} = 150\,000\,000 \times 7.85 \times 10^{-5} \] \[ P_{\text{max, céramique}} \approx 11775\,\text{N} \]

Résultat pour la céramique :
La charge maximale supportable est \( P_{\text{max, céramique}} \approx 11\,775\,\text{N} \).

3. Analyse de la Déformation Axiale sous la Charge Maximale

La déformation axiale (allongement) \(\delta\) sous une charge \( P \) est donnée par la loi de Hooke :

\[ \delta = \frac{P \times L}{A \times E} \]

a) Pour la barre en acier

Données :

\( P = 35\,343\,\text{N} \)
\( L = 1\,\text{m} \)
\( A = 7.85 \times 10^{-5}\,\text{m}^2 \)
\( E = 210 \times 10^9\,\text{Pa} \)

Substitution :

\[ \delta_{\text{acier}} = \frac{35343 \times 1}{7.85 \times 10^{-5} \times 210 \times 10^9} \] \[ \delta_{\text{acier}} = \frac{35343}{1.6485 \times 10^7} \] \[ \delta_{\text{acier}} \approx 0.002144\,\text{m} \] \[ \delta_{\text{acier}} \approx 2.14\,\text{mm} \]

b) Pour la barre en céramique

Données :

\( P = 11\,775\,\text{N} \)
\( L = 1\,\text{m} \)
\( A = 7.85 \times 10^{-5}\,\text{m}^2 \)
\( E = 380 \times 10^9\,\text{Pa} \)

Substitution :

\[ \delta_{\text{céramique}} = \frac{11775 \times 1}{7.85 \times 10^{-5} \times 380 \times 10^9} \] \[ \delta_{\text{céramique}} = \frac{11775}{2.983 \times 10^7} \] \[ \delta_{\text{céramique}} \approx 0.0003948\,\text{m} \] \[ \delta_{\text{céramique}} \approx 0.395\,\text{mm} \]

Résultats de la déformation :

Pour l’acier, \(\delta_{\text{acier}} \approx 2.14\,\text{mm}\)
Pour la céramique, \(\delta_{\text{céramique}} \approx 0.395\,\text{mm}\)

4. Discussion sur le Comportement des Matériaux

1. Capacité Portante :

La barre en acier supporte une charge maximale de \(\approx 35\,343\,\text{N}\) tandis que la barre en céramique supporte \(\approx 11\,775\,\text{N}\).
Ceci montre que, bien que l’acier et la céramique aient le même diamètre, l’acier (avec une limite de rupture plus élevée) peut supporter une charge bien plus importante que la céramique.

2. Déformation Sous Charge :

Sous la charge maximale, la barre en acier subit une déformation de \(\approx 2.14\,\text{mm}\) alors que la céramique se déforme d’environ \(\approx 0.395\,\text{mm}\).
Cette différence s’explique par le module de Young plus élevé de la céramique (\(380\,\text{GPa}\) contre \(210\,\text{GPa}\) pour l’acier), rendant la céramique plus rigide.

3. Comportement Ductile vs Fragile :

Acier (ductile) :

Le comportement ductile permet à l’acier de se déformer de manière plus importante avant la rupture.
En ingénierie, on utilisera souvent la limite d’élasticité pour concevoir des structures afin d’éviter des déformations permanentes. Ici, si l’on voulait éviter toute plasticité, la charge de service serait basée sur \( \sigma_{y} = 250\,\text{MPa} \) (ce qui donnerait \( P_{\text{yield}} \approx 19\,635\,\text{N} \)), mais pour connaître la charge maximale jusqu’à la rupture, nous avons utilisé \( \sigma_{u} \).

Céramique (fragile) :

La céramique est un matériau fragile, c’est-à-dire qu’elle ne présente pas de déformation plastique significative avant la rupture.
Sa faible capacité de déformation (seulement \(\approx 0.395\,\text{mm}\) sous charge maximale) implique que la céramique se cassera brutalement dès que la contrainte maximale de \(150\,\text{MPa}\) est atteinte.

4. Applications Pratiques :

Utilisation de l’acier :
- Dans des applications où une certaine ductilité est souhaitable pour absorber des charges et des déformations (par exemple, dans des structures nécessitant une certaine tolérance aux déformations sans rupture catastrophique), l’acier est préférable.
Utilisation de la céramique :
- Dans des applications où la rigidité est primordiale et où les charges restent bien en dessous du seuil de rupture, la céramique peut être utilisée. Toutefois, le risque de rupture brutale en cas de surcharge la rend moins adaptée à des situations où des charges imprévues pourraient apparaître.

Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

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