Torsion dans une Poutre en T

Comprendre la Torsion dans une Poutre en T

Vous êtes un ingénieur en structure chargé de concevoir un élément de support en forme de T pour une installation industrielle. Cette poutre en T sera soumise à un moment de torsion dû aux équipements qu’elle supportera. Votre tâche est de calculer la contrainte de cisaillement maximale dans la poutre et de vérifier si elle est dans les limites admissibles pour le matériau choisi.

Pour comprendre le Calcul de la torsion d’un poteau, cliquez sur le lien.

Données

Dimensions de la section en T:
- Hauteur totale (h): 200 mm
- Largeur de la bride (b): 150 mm
- Épaisseur de la bride \((t_f)\): 10 mm
- Épaisseur de l’âme \((t_w)\): 12 mm
Matériau: Acier avec une contrainte de cisaillement admissible de 120 MPa
Moment de torsion appliqué (T): 3000 Nm

Hypothèses

Le matériau est homogène et isotrope.
La torsion est pure, sans force axiale ni flexion.

Questions:

1. Calcul du Module de Résistance en Torsion (J) de la section en T:

Utilisez la formule pour les sections non circulaires pour calculer J.

2. Calcul de la Contrainte de Cisaillement Maximale \((τ_max)\):

Utilisez la formule de la contrainte de cisaillement en torsion: τ = T*r/J, où r est le rayon maximal de la section.

3. Vérification de la Sécurité:

Comparez la contrainte de cisaillement maximale avec la contrainte admissible.

Correction : Torsion dans une Poutre en T

1. Calcul du Torsion Constant (Module de Résistance en Torsion, \(J\))

Pour une section non circulaire ouverte telle qu’une poutre en T, on peut approximer le torsion constant en considérant la contribution de la bride et celle de l’âme (web). Une méthode d’approche consiste à sommer les contributions de chacune des parties.

Formule utilisée :

\[ J = J_{\text{bride}} + J_{\text{âme}} \quad \text{avec} \quad J_{\text{rectangle}} = \frac{b \cdot t^3}{3} \]

Ici,

Pour la bride (partie horizontale) de largeur \(b\) et épaisseur \(t_f\) :

\[ J_{\text{bride}} = \frac{b \cdot t_f^3}{3} \]

Pour l’âme (partie verticale) de hauteur \(h – t_f\) et épaisseur \(t_w\) :

\[ J_{\text{âme}} = \frac{t_w \cdot (h-t_f)^3}{3} \]

Données

Hauteur totale : \(h = 200 \, \text{mm}\)
Largeur de la bride : \(b = 150 \, \text{mm}\)
Épaisseur de la bride : \(t_f = 10 \, \text{mm}\)
Épaisseur de l’âme : \(t_w = 12 \, \text{mm}\)
Hauteur de l’âme : \(h – t_f = 200 – 10 = 190 \, \text{mm}\)

Calculs

1. Pour la bride :

\[ J_{\text{bride}} = \frac{150 \times (10)^3}{3} \] \[ J_{\text{bride}} = \frac{150 \times 1000}{3} \] \[ J_{\text{bride}} = \frac{150\,000}{3} \] \[ J_{\text{bride}} = 50\,000 \, \text{mm}^4 \]

2. Pour l’âme :

\[ J_{\text{âme}} = \frac{12 \times (190)^3}{3} \] \[ J_{\text{âme}} = \frac{12 \times 6\,859\,000}{3} \] \[ J_{\text{âme}} = \frac{82\,308\,000}{3} \] \[ J_{\text{âme}} \approx 27\,436\,000 \, \text{mm}^4 \]

3. Module de résistance en torsion total :

\[ J = 50\,000 + 27\,436\,000 \] \[ J = 27\,486\,000 \, \text{mm}^4 \]

Conversion en mètres\(^4\) (1 mm\(^4\) = \(10^{-12}\) m\(^4\)) :

\[ J = 27\,486\,000 \times 10^{-12} \] \[ J = 2.7486 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]

2. Détermination du Rayon Maximum (\(r\))

La contrainte de cisaillement en torsion se calcule avec la formule

\[ \tau = \frac{T \cdot r}{J} \]

où \(r\) représente la distance maximale entre le centre de torsion (le centroïde de la section) et le point extrême de la section.

Pour déterminer \(r\), nous calculons d’abord la position du centroïde de la section en T (considérée comme la somme de la bride et de l’âme).

Calcul du Centroïde de la Section

On considère deux parties :

La bride (rectangle de largeur \(b\) et épaisseur \(t_f\))
L’âme (rectangle de largeur \(t_w\) et hauteur \(h – t_f\))

a) Calcul des aires :

Aire de la bride :

\[ A_{\text{bride}} = b \cdot t_f \] \[ A_{\text{bride}} = 150 \times 10 \] \[ A_{\text{bride}} = 1500 \, \text{mm}^2 \]

Aire de l’âme :

\[ A_{\text{âme}} = t_w \cdot (h-t_f) \] \[ A_{\text{âme}} = 12 \times 190 \] \[ A_{\text{âme}} = 2280 \, \text{mm}^2 \]

Aire totale :

\[ A_{\text{totale}} = 1500 + 2280 \] \[ A_{\text{totale}} = 3780 \, \text{mm}^2 \]

b) Position verticale (axe \(y\)) du centroïde :

On prend \(y=0\) à la base de l’âme.

Pour la bride, la position \(y_{\text{bride}}\) correspond au centre de la bride. Comme la bride se situe en haut, elle s’étend de \(y = 190\) à \(y = 200\), d’où :

\[ y_{\text{bride}} = 190 + \frac{10}{2} \] \[ y_{\text{bride}} = 190 + 5 \] \[ y_{\text{bride}} = 195 \, \text{mm} \]

Pour l’âme, le centre se situe à mi-hauteur de 190 mm :

\[ y_{\text{âme}} = \frac{190}{2} = 95 \, \text{mm} \]

Le centroïde \(y_{\text{bar}}\) se calcule par :

\[ y_{\text{bar}} = \frac{A_{\text{bride}} \cdot y_{\text{bride}} + A_{\text{âme}} \cdot y_{\text{âme}}}{A_{\text{totale}}} \] \[ y_{\text{bar}} = \frac{1500 \times 195 + 2280 \times 95}{3780} \] \[ y_{\text{bar}} = \frac{509\,100}{3780} \] \[ y_{\text{bar}} \approx 134.6 \, \text{mm} \]

c) Détermination de \(r\) :

Les points extrêmes de la section sont :

En hauteur :

Le bord supérieur à \(y = 200\) mm, distance verticale : \(200 – 134.6 = 65.4 \, \text{mm}\)
Le bord inférieur à \(y = 0\) mm, distance verticale : \(134.6 \, \text{mm}\)

En largeur :

La bride s’étend horizontalement sur \(150\) mm, soit de \(x = 0\) à \(x = 150\) mm. Le centroïde étant au centre horizontal \(x = 75\) mm, la demi-largeur de la bride est \(75\) mm.
Pour l’âme, la demi-largeur est \(\frac{t_w}{2} = 6 \, \text{mm}\).

L’extrémité la plus éloignée du centroïde est le coin inférieur de l’âme (dans la partie basse), où la différence verticale est maximale.

Horizontalement : l’extrémité se trouve à \(x = 75 \pm 6\) mm, soit un décalage de \(6 \, \text{mm}\) par rapport à \(x = 75\) mm.
Verticalement : la distance entre \(y = 0\) et \(y_{\text{bar}} = 134.6\) mm est \(134.6 \, \text{mm}\).

Le rayon maximal \(r\) s’obtient par le théorème de Pythagore :

\[ r = \sqrt{(6)^2 + (134.6)^2} \] \[ r \approx \sqrt{36 + 18\,125} \] \[ r \approx \sqrt{18\,161} \] \[ r \approx 134.8 \, \text{mm} \]

Conversion en mètres :

\[ r = 134.8 \, \text{mm} = 0.1348 \, \text{m} \]

3. Calcul de la Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{\text{max}}\))

La contrainte de cisaillement due à la torsion est donnée par :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot r}{J} \]

où :

\(T\) est le moment de torsion appliqué,
\(r\) est la distance maximale du centroïde,
\(J\) est le torsion constant (module de résistance en torsion).

Données

Moment de torsion appliqué : \(T = 3000 \, \text{Nm}\)
\(r = 0.1348 \, \text{m}\)
\(J = 2.7486 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)

Calcul

Substituons les valeurs dans la formule :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{3000 \times 0.1348}{2.7486 \times 10^{-5}} \] \[ \tau_{\text{max}} = \frac{404.4}{2.7486 \times 10^{-5}} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 14\,700\,000 \, \text{N/m}^2 \]

Ce qui donne :

\[ \tau_{\text{max}} \approx 14.7 \, \text{MPa} \]

4. Vérification de la Sécurité

Données

Contrainte de cisaillement admissible du matériau (Acier) : \(\tau_{\text{adm}} = 120 \, \text{MPa}\)
Contrainte calculée : \(\tau_{\text{max}} \approx 14.7 \, \text{MPa}\)

Conclusion

Puisque :

\[ \tau_{\text{max}} = 14.7 \, \text{MPa} < 120 \, \text{MPa}, \]

la contrainte de cisaillement dans la poutre est bien inférieure à la limite admissible.
La conception est donc sécuritaire pour le matériau choisi.

Torsion dans une Poutre en T

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