Déterminer les pertes de charge et pressions

Comprendre les Pertes de Charge et Pressions

Lorsqu'un fluide (comme l'eau) s'écoule dans une canalisation, il subit une perte d'énergie due aux frottements contre les parois de la conduite (pertes de charge linéaires) et aux obstacles ou changements de direction (pertes de charge singulières : coudes, vannes, élargissements, etc.). Ces pertes d'énergie se traduisent par une diminution de la pression du fluide le long de l'écoulement. Le calcul précis des pertes de charge est fondamental en hydraulique pour dimensionner correctement les pompes, s'assurer que le débit souhaité est atteint aux points d'utilisation, et pour concevoir des réseaux efficaces et économiques.

Données de l'étude

On étudie un tronçon de canalisation transportant de l'eau d'un point A à un point B.

Caractéristiques de la canalisation et du fluide :

Longueur de la canalisation (\(L\)) : \(150 \, \text{m}\)
Diamètre intérieur de la canalisation (\(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Matériau de la canalisation : Fonte, avec une rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.25 \, \text{mm}\)
Débit d'eau (\(Q\)) : \(15 \, \text{L/s}\)
Fluide : Eau à \(10 \, ^\circ\text{C}\)
- Masse volumique (\(\rho\)) : \(999.7 \, \text{kg/m}^3\)
- Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.307 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Pertes de charge singulières :
- Un coude à 90° standard (\(K_{\text{coude}} = 0.9\))
- Une vanne partiellement ouverte (\(K_{\text{vanne}} = 2.0\))
Altitude du point A (\(Z_A\)) : \(10.0 \, \text{m}\)
Altitude du point B (\(Z_B\)) : \(8.0 \, \text{m}\)
Pression au point A (\(P_A\)) : \(2.5 \, \text{bars}\) (pression relative)
Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

On utilisera la formule de Colebrook-White (ou une approximation comme Swamee-Jain) pour le facteur de frottement.

Schéma : Système de Canalisation

Illustration d'un système de canalisation avec des points de mesure, un coude et une vanne, indiquant les pertes de charge.

Questions à traiter

Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\)) dans la canalisation.
Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
Calculer le facteur de frottement (\(f\)) en utilisant la formule de Swamee-Jain : \(f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2}\).
Calculer les pertes de charge linéaires (\(h_{f,\text{lin}}\)).
Calculer les pertes de charge singulières totales (\(h_{f,\text{sing}}\)).
Calculer la perte de charge totale (\(H_f\)) entre les points A et B.
En utilisant l'équation de Bernoulli généralisée, calculer la pression relative au point B (\(P_B\)) en bars.

Correction : Calcul des Pertes de Charge et Pressions

Question 1 : Vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\))

Principe :

La vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\)) dans une canalisation est obtenue en divisant le débit volumique (\(Q\)) par l'aire de la section transversale de la canalisation (\(A_c\)). Pour une canalisation circulaire, l'aire est \(\pi D^2 / 4\). Il faut s'assurer que les unités sont cohérentes (par exemple, \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\) et \(D\) en \(\text{m}\) pour obtenir \(v\) en \(\text{m/s}\)).

Formule(s) utilisée(s) :

A_c = \frac{\pi D^2}{4}

v = \frac{Q}{A_c}

Données spécifiques :

Débit d'eau (\(Q\)) : \(15 \, \text{L/s} = 15 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s} = 0.015 \, \text{m}^3/\text{s}\)
Diamètre intérieur (\(D\)) : \(100 \, \text{mm} = 0.10 \, \text{m}\)

Calcul :

Aire de la section :

\begin{aligned} A_c &= \frac{\pi \times (0.10 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{3.14159 \times 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Vitesse moyenne :

\begin{aligned} v &= \frac{0.015 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.007854 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.9099 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La vitesse moyenne de l'écoulement est \(v \approx 1.91 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent). Il est calculé en utilisant la vitesse du fluide (\(v\)), le diamètre de la canalisation (\(D\)), et la viscosité cinématique du fluide (\(\nu\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Re = \frac{v \cdot D}{\nu}

Données spécifiques :

Vitesse (\(v\)) : \(\approx 1.9099 \, \text{m/s}\)
Diamètre (\(D\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.307 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)

Calcul :

\begin{aligned} Re &= \frac{1.9099 \, \text{m/s} \times 0.10 \, \text{m}}{1.307 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.19099 \, \text{m}^2/\text{s}}{1.307 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &\approx 146128.5 \\ &\approx 1.46 \times 10^5 \end{aligned}

Un \(Re > 4000\) indique généralement un écoulement turbulent.

Résultat Question 2 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 1.46 \times 10^5\). L'écoulement est turbulent.

Question 3 : Facteur de frottement (\(f\))

Principe :

Le facteur de frottement (\(f\)) (ou coefficient de perte de charge linéaire) quantifie la résistance due au frottement du fluide contre les parois de la conduite. Pour un écoulement turbulent, il dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\)). La formule de Swamee-Jain est une approximation explicite de la formule implicite de Colebrook-White, souvent utilisée.

Formule(s) utilisée(s) (Swamee-Jain) :

f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2}

Données spécifiques :

Rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.25 \, \text{mm} = 0.00025 \, \text{m}\)
Diamètre (\(D\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
Nombre de Reynolds (\(Re\)) : \(\approx 146128.5\)

Calcul :

Rugosité relative :

\frac{\epsilon}{D} = \frac{0.00025 \, \text{m}}{0.10 \, \text{m}} = 0.0025

Terme \(Re^{0.9}\) :

Re^{0.9} = (146128.5)^{0.9} \approx 48150.8

Calcul de \(f\) :

\begin{aligned} f &= \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\frac{0.0025}{3.7} + \frac{5.74}{48150.8}\right)\right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(0.00067567 + 0.00011921\right)\right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[\log_{10}(0.00079488)\right]^2} \\ &= \frac{0.25}{(-3.100)^2} \\ &= \frac{0.25}{9.61} \\ &\approx 0.0260 \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le facteur de frottement est \(f \approx 0.026\).

Question 4 : Pertes de charge linéaires (\(h_{f,\text{lin}}\))

Principe :

Les pertes de charge linéaires sont les pertes d'énergie dues au frottement du fluide sur la longueur de la canalisation. Elles sont calculées à l'aide de la formule de Darcy-Weisbach, qui utilise le facteur de frottement (\(f\)), la longueur de la conduite (\(L\)), son diamètre (\(D\)), la vitesse de l'écoulement (\(v\)), et l'accélération due à la gravité (\(g\)).

Formule(s) utilisée(s) (Darcy-Weisbach) :

h_{f,\text{lin}} = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}

Données spécifiques :

Facteur de frottement (\(f\)) : \(\approx 0.0260\)
Longueur de la canalisation (\(L\)) : \(150 \, \text{m}\)
Diamètre (\(D\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
Vitesse (\(v\)) : \(\approx 1.9099 \, \text{m/s}\)
Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} h_{f,\text{lin}} &= 0.0260 \times \frac{150 \, \text{m}}{0.10 \, \text{m}} \times \frac{(1.9099 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.0260 \times 1500 \times \frac{3.6477 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &= 39 \times 0.1859 \, \text{m} \\ &\approx 7.25 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Les pertes de charge linéaires sont \(h_{f,\text{lin}} \approx 7.25 \, \text{m}\).

Question 5 : Pertes de charge singulières totales (\(h_{f,\text{sing}}\))

Principe :

Les pertes de charge singulières se produisent aux accidents de parcours (coudes, vannes, changements de section, etc.) qui perturbent l'écoulement. Chaque singularité est caractérisée par un coefficient de perte de charge (\(K\)). La perte de charge pour une singularité est \(K \frac{v^2}{2g}\). Les pertes de charge singulières totales sont la somme des pertes de chaque singularité.

Formule(s) utilisée(s) :

h_{f,\text{sing}} = \sum \left( K \frac{v^2}{2g} \right) = \left( K_{\text{coude}} + K_{\text{vanne}} \right) \frac{v^2}{2g}

Données spécifiques :

\(K_{\text{coude}} = 0.9\)
\(K_{\text{vanne}} = 2.0\)
Vitesse (\(v\)) : \(\approx 1.9099 \, \text{m/s}\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

Terme \(\frac{v^2}{2g} \approx 0.1859 \, \text{m}\) (calculé précédemment).

\begin{aligned} h_{f,\text{sing}} &= (0.9 + 2.0) \times 0.1859 \, \text{m} \\ &= 2.9 \times 0.1859 \, \text{m} \\ &\approx 0.5391 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 5 : Les pertes de charge singulières totales sont \(h_{f,\text{sing}} \approx 0.54 \, \text{m}\).

Question 6 : Perte de charge totale (\(H_f\))

Principe :

La perte de charge totale (\(H_f\)) dans un tronçon de canalisation est la somme des pertes de charge linéaires et des pertes de charge singulières.

Formule(s) utilisée(s) :

H_f = h_{f,\text{lin}} + h_{f,\text{sing}}

Données spécifiques :

\(h_{f,\text{lin}} \approx 7.25 \, \text{m}\)
\(h_{f,\text{sing}} \approx 0.5391 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} H_f &= 7.25 \, \text{m} + 0.5391 \, \text{m} \\ &\approx 7.7891 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 6 : La perte de charge totale entre A et B est \(H_f \approx 7.79 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Les pertes de charge linéaires sont principalement dues :

Aux changements de direction.
Au frottement du fluide contre les parois de la conduite.
À la pression du fluide.
À la température du fluide.

Question 7 : Pression relative au point B (\(P_B\))

Principe :

L'équation de Bernoulli généralisée exprime la conservation de l'énergie pour un fluide réel en mouvement entre deux points d'une ligne de courant. Elle relie la pression, la vitesse et l'altitude aux deux points, en tenant compte des pertes de charge totales (\(H_f\)) entre ces points. Si une pompe ajoutait de l'énergie, on ajouterait un terme \(H_p\) (hauteur manométrique de la pompe). Ici, il n'y a pas de pompe entre A et B.

Formule(s) utilisée(s) (Équation de Bernoulli généralisée) :

\frac{P_A}{\rho g} + \frac{v_A^2}{2g} + Z_A = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{v_B^2}{2g} + Z_B + H_f

Comme le diamètre de la conduite est constant, \(v_A = v_B = v\). La formule se simplifie :

\frac{P_A}{\rho g} + Z_A = \frac{P_B}{\rho g} + Z_B + H_f

On cherche \(P_B\), donc :

P_B = P_A + \rho g ((Z_A - Z_B) - H_f)

Données spécifiques :

\(P_A = 2.5 \, \text{bars} = 2.5 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (ou \(\text{N/m}^2\))
\(\rho = 999.7 \, \text{kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(Z_A = 10.0 \, \text{m}\)
\(Z_B = 8.0 \, \text{m}\)
\(H_f \approx 7.7891 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} P_B &= 2.5 \times 10^5 \, \text{Pa} + (999.7 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times ((10.0 \, \text{m} - 8.0 \, \text{m}) - 7.7891 \, \text{m})) \\ &= 2.5 \times 10^5 \, \text{Pa} + (9807.057 \, \text{N/m}^3 \times (2.0 \, \text{m} - 7.7891 \, \text{m})) \\ &= 2.5 \times 10^5 \, \text{Pa} + (9807.057 \, \text{N/m}^3 \times (-5.7891 \, \text{m})) \\ &= 2.5 \times 10^5 \, \text{Pa} - 56793.6 \, \text{Pa} \\ &= 193206.4 \, \text{Pa} \end{aligned}

Conversion en bars : \(P_B \approx \frac{193206.4}{10^5} \approx 1.93 \, \text{bars}\)

Résultat Question 7 : La pression relative au point B est \(P_B \approx 1.93 \, \text{bars}\).

Glossaire

Perte de Charge (\(H_f\)): Perte d'énergie mécanique (exprimée en hauteur de fluide, généralement en mètres) subie par un fluide en écoulement due aux frottements et aux singularités.
Pertes de Charge Linéaires (\(h_{f,\text{lin}}\)): Pertes de charge dues au frottement du fluide contre les parois internes de la conduite sur sa longueur.
Pertes de Charge Singulières (\(h_{f,\text{sing}}\)): Pertes de charge localisées dues aux accidents de parcours (coudes, vannes, tés, réductions, élargissements, etc.) qui perturbent l'écoulement.
Nombre de Reynolds (\(Re\)): Nombre sans dimension qui caractérise le type d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire, turbulent). Il représente le rapport des forces d'inertie sur les forces de viscosité.
Facteur de Frottement (\(f\)): Coefficient sans dimension qui intervient dans le calcul des pertes de charge linéaires (formule de Darcy-Weisbach). Il dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite.
Rugosité Absolue (\(\epsilon\)): Hauteur moyenne des aspérités de la surface interne d'une conduite. Unité : mètres (m) ou millimètres (mm).
Viscosité Cinématique (\(\nu\)): Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du fluide. Unité : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Équation de Bernoulli Généralisée: Équation fondamentale en mécanique des fluides qui exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant pour un fluide réel, en incluant les pertes de charge et l'énergie ajoutée par une pompe.
Pression Relative: Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique locale. La pression absolue est la pression relative plus la pression atmosphérique.

Déterminer les pertes de charge et pressions

Données de l'étude

Schéma : Système de Canalisation

Questions à traiter

Correction : Calcul des Pertes de Charge et Pressions

Question 1 : Vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Facteur de frottement (\(f\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Swamee-Jain) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Pertes de charge linéaires (\(h_{f,\text{lin}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Darcy-Weisbach) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Pertes de charge singulières totales (\(h_{f,\text{sing}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Perte de charge totale (\(H_f\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Pression relative au point B (\(P_B\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Équation de Bernoulli généralisée) :

Données spécifiques :

Calcul :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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