Déterminer les pertes de charge et pressions
Comprendre comment déterminer les pertes de charge et de la pression
Dans un réseau d’irrigation, une pompe soulève l’eau d’une rivière et la transporte via un tuyau vers un réservoir situé sur une colline. On souhaite déterminer les pertes de charge dans le système ainsi que la pression à la sortie de la pompe pour assurer un débit désiré.
Données :
- Tuyau en acier galvanisé de longueur L = 200 m.
- Diamètre intérieur du tuyau D = 0.15 m.
- Vitesse de l’eau dans le tuyau v = 1.5 m/s.
- Hauteur géométrique (différence de hauteur entre la rivière et le réservoir) h = 30 m.
- Coefficient de rugosité de l’acier galvanisé \(\varepsilon = 0.00015\) m.
- Densité de l’eau \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\).
- Accélération due à la gravité \(g = 9.81\) m/s\(^2\).
- Viscosité cinématique de l’eau \(\nu = 1.0 \times 10^{-6}\) m\(^2\)/s.

Questions :
1. Détermination du régime d’écoulement
- Calculez le nombre de Reynolds \(Re\) de l’écoulement.
- Déterminez le régime d’écoulement : laminaire, transitionnel ou turbulent.
2. Pertes de charge continues
- Si l’écoulement est turbulent, utilisez la formule de Colebrook pour estimer le coefficient de friction \(f\) (vous pourriez avoir besoin d’itérations ou d’une approximation pour résoudre l’équation).
- Calculez les pertes de charge continues \(h_f\) dans le tuyau.
3. Pertes de charge singulières (pertes locales) :
- Supposons que le tuyau ait 3 coudes réguliers à 90° et une vanne entièrement ouverte. En utilisant des coefficients de perte typiques (par exemple, K = 0.9 pour un coude et K = 0.15 pour une vanne), estimez les pertes de charge singulières \(h_s\) pour ces éléments.
4. Pression à la sortie de la pompe :
- En considérant seulement la hauteur géométrique et les pertes de charge, calculez la hauteur manométrique totale H que la pompe doit fournir.
- Convertissez cette hauteur en pression P en Pa.
- Si la pression atmosphérique est \(P_{atm} = 101325\) Pa, quelle est la pression absolue à la sortie de la pompe?
Correction : Déterminer les pertes de charge et pression
1. Détermination du régime d’écoulement
Données:
- Vitesse de l’eau : \( v = 1.5\,\text{m/s} \)
- Diamètre intérieur du tuyau : \( D = 0.15\,\text{m} \)
- Viscosité cinématique de l’eau : \( \nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s} \)
Formule:
Le nombre de Reynolds se calcule par :
\[ Re = \frac{v \, D}{\nu} \]
Calcul:
\[ Re = \frac{1.5 \times 0.15}{1.0 \times 10^{-6}} \] \[ Re = \frac{0.225}{1.0 \times 10^{-6}} \] \[ Re = 225\,000 \]
Interprétation
- Pour Re ≤ 2300 : écoulement laminaire.
- Pour 2300 ≤ Re ≤ 4000 : zone de transition.
- Pour Re ≥ 4000 : écoulement turbulent.
Ici, \( Re = 225\,000 \gg 4000 \), donc l’écoulement est turbulent.
2. Calcul des pertes de charge continues
Données:
- Longueur du tuyau : \( L = 200\,\text{m} \)
- Diamètre intérieur : \( D = 0.15\,\text{m} \)
- Vitesse de l’eau : \( v = 1.5\,\text{m/s} \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81\,\text{m/s}^2 \)
- Coefficient de rugosité (acier galvanisé) : \( \epsilon = 0.00015\,\text{m} \)
- Nombre de Reynolds : \( Re = 225\,000 \)
Estimation du coefficient de friction \( f \) (équation de Colebrook)
La formule de Colebrook est :
\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon}{3.7D} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}} \right) \]
Cette équation implicite se résout par itération. Pour contourner cela, on utilise une approximation pratique telle que la formule de Swamee-Jain :
\[ f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\frac{\epsilon}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2} \]
Calcul des termes:
1. Premier terme :
\[ \frac{\epsilon}{3.7D} = \frac{0.00015}{3.7 \times 0.15} = \frac{0.00015}{0.555} \approx 0.00027 \]
2. Second terme :
\[ Re^{0.9} \approx 225\,000^{0.9} \approx 65\,600 \quad (\text{approximation}) \]
\[ \frac{5.74}{Re^{0.9}} = \frac{5.74}{65\,600} \approx 0.0000875 \]
3. Somme à l’intérieur du logarithme :
\[ 0.00027 + 0.0000875 \approx 0.0003575 \]
4. Logarithme décimal :
\[ \log_{10}(0.0003575) \approx -3.447 \]
Calcul de \( f \):
\[ f = \frac{0.25}{(-3.447)^2} = \frac{0.25}{11.88} \approx 0.021 \]
Calcul des pertes de charge continues \( h_f \)
La formule (équation de Darcy-Weisbach) est :
\[ h_f = f \, \frac{L}{D} \, \frac{v^2}{2g} \]
Substitution des valeurs :
1. Calcul de \( \frac{L}{D} \) :
\[ \frac{L}{D} = \frac{200}{0.15} \approx 1333.33 \]
2. Calcul de \( \frac{v^2}{2g} \) :
\[ \frac{v^2}{2g} = \frac{(1.5)^2}{2 \times 9.81} = \frac{2.25}{19.62} \approx 0.1147\,\text{m} \]
Calcul final :
\[ h_f = 0.021 \times 1333.33 \times 0.1147 \] \[ h_f \approx 3.21\,\text{m} \]
3. Calcul des pertes de charge singulières (locales)
Données:
- Nombre de coudes à 90° : 3 coudes réguliers à \(90^\circ\) avec un coefficient typique \( K_{\text{coudes}} = 0.9 \) chacun.
- Une vanne entièrement ouverte : 1 vanne entièrement ouverte avec \( K_{\text{vanne}} = 0.15 \).
Calcul du coefficient total des pertes locales:
\[ K_{\text{total}} = 3 \times 0.9 + 0.15 \] \[ K_{\text{total}} = 2.7 + 0.15 \] \[ K_{\text{total}} = 2.85 \]
Formule pour les pertes locales:
\[ h_s = K_{\text{total}} \, \frac{v^2}{2g} \]
Calcul:
\[ h_s = 2.85 \times 0.1147 \] \[ h_s \approx 0.327\,\text{m} \quad (\text{soit environ } 0.33\,\text{m}) \]
4. Calcul de la pression à la sortie de la pompe
La pompe doit compenser :
- La hauteur géométrique : \( h = 30\,\text{m} \)
- Les pertes de charge continues : \( h_f \approx 3.21\,\text{m} \)
- Les pertes de charge singulières : \( h_s \approx 0.33\,\text{m} \)
Hauteur manométrique totale \( H \)
\[ H = h + h_f + h_s \] \[ H = 30 + 3.21 + 0.33 \] \[ H \approx 33.54\,\text{m} \]
Conversion de la hauteur en pression
La relation entre la hauteur et la pression est donnée par :
\[ P = \rho \, g \, H \]
avec :
- \( \rho = 1000\,\text{kg/m}^3 \)
- \( g = 9.81\,\text{m/s}^2 \)
- \( H \approx 33.54\,\text{m} \)
Calcul :
\[ P = 1000 \times 9.81 \times 33.54 \] \[ P \approx 329\,189\,\text{Pa} \]
soit environ 329 kPa (pression relative ou « manométrique »).
Pression absolue à la sortie de la pompe
En ajoutant la pression atmosphérique \( P_{atm} = 101\,325\,\text{Pa} \), la pression absolue devient :
\[ P_{\text{abs}} = P_{atm} + P \] \[ P_{\text{abs}} = 101\,325 + 329\,189 \] \[ P_{\text{abs}} \approx 430\,514\,\text{Pa} \]
soit environ 430.5 kPa.
Déterminer les pertes de charge et pressions
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