Calcul de la poussée des terres sur un mur
Comprendre le Calcul de la poussée des terres sur un mur
Dans un projet de construction urbaine, un mur de soutènement est nécessaire pour supporter les terres d’un terrain en pente, permettant ainsi de créer un espace plat pour un parking. Le mur est situé dans une région à climat tempéré où le sol est principalement argileux. Le projet nécessite de calculer la poussée des terres exercée sur le mur pour assurer sa stabilité et sa conception appropriée.
Pour comprendre la Pressions de Terre au Repos et en Mouvement, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Hauteur du mur de soutènement (H) : 5 mètres
- Angle de frottement interne du sol (φ) : 30°
- Cohésion du sol (C) : 10 kPa
- Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Angle d’inclinaison du terrain par rapport à l’horizontale (β) : 10°
- Coefficient de sécurité contre le glissement (FS) : 1.5
Question:
Calculer la poussée active des terres (Pₐ) exercée sur le mur, en utilisant la théorie de Rankine, sans prise en compte de l’eau souterraine.
Correction : Calcul de la poussée des terres sur un mur
Étape 1 : Détermination du coefficient de poussée active \(K_a\)
1.1. Pour un sol sans remblai incliné (cas de Rankine classique) :
Pour un sol sans cohésion, la poussée active est caractérisée par le coefficient :
\[ K_{a0} = \tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right) \]
Avec \(\varphi = 30^\circ\) :
- Calcul de l’angle :
\[ 45^\circ – \frac{30^\circ}{2} = 45^\circ – 15^\circ = 30^\circ \]
On a alors :
\(K_{a0} = \tan^2(30^\circ) \quad \text{et comme} \quad \tan(30^\circ) \approx 0.577\),
\[ K_{a0} \approx (0.577)^2 \approx 0.333. \]
1.2. Correction pour un remblai incliné (\(\beta = 10^\circ\)) :
Lorsque le sol est remblayé avec une inclinaison \(\beta\) (par rapport à l’horizontale), le coefficient de poussée active se modifie. Une expression couramment utilisée est :
\[ K_a = \frac{\cos^2\beta}{\cos^2(\beta – \varphi)} \; \tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right) \]
Calculons chaque terme :
- \(\cos^2\beta\)
Avec \(\beta = 10^\circ\) : \(\cos(10^\circ) \approx 0.9848 \Rightarrow \cos^2(10^\circ) \approx 0.97\). - \(\cos^2(\beta – \varphi)\)
\(\beta – \varphi = 10^\circ – 30^\circ = -20^\circ\).
Comme \(\cos(-20^\circ) = \cos(20^\circ)\) et \(\cos(20^\circ) \approx 0.9397\), on a : \(\cos^2(20^\circ) \approx (0.9397)^2 \approx 0.883\). - \(\tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right)\)
Nous avons déjà calculé que pour \(\varphi = 30^\circ\) : \(\tan^2(30^\circ) \approx 0.333\).
Ainsi,
\[ K_a = \frac{0.97}{0.883} \times 0.333 \] \[ K_a \approx 1.098 \times 0.333 \] \[ K_a \approx 0.366. \]
On retiendra donc :
\[ K_a \approx 0.366. \]
Remarque : L’effet de l’inclinaison de 10° conduit à une légère augmentation du coefficient par rapport au cas horizontal (0.333).
Étape 2 : Formulation de la poussée active \(P_a\) pour un sol cohésif
Pour un sol possédant une cohésion \(C\), la formule simplifiée de la poussée active, d’après la théorie de Rankine, est :
\[ P_a = \frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_a – C \, H \, \sqrt{K_a}. \]
- \(\frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_a\)
Représente la contribution de la masse volumique du sol, intégrée sur la hauteur du mur (cas linéaire pour un sol sans cohésion). - \(C \, H \, \sqrt{K_a}\)
Correspond à la réduction de la poussée active induite par la cohésion du sol. La présence de cohésion tend à « lier » le sol, diminuant ainsi la poussée sur le mur.
Étape 3 : Calcul numérique de \(P_a\)
Rappel des valeurs et calculs préliminaires :
- \(H = 5\) m
- \(\gamma = 18\) kN/m\(^3\)
- \(C = 10\) kPa
- \(K_a \approx 0.366\)
- \(\sqrt{K_a} \approx \sqrt{0.366} \approx 0.605\)
Calcul du premier terme :
\[ \frac{1}{2} \, \gamma \, H^2 \, K_a = \frac{1}{2} \times 18 \times 5^2 \times 0.366. \]
- \(5^2 = 25\)
- \(\frac{1}{2} \times 18 = 9\)
- \(9 \times 25 = 225\)
- Ainsi, \(225 \times 0.366 \approx 82.35\) kN/m
Calcul du second terme :
\[ C \, H \, \sqrt{K_a} = 10 \times 5 \times 0.605 \] \[ = 50 \times 0.605 \approx 30.25\ \text{kN/m}. \]
Poussée active nette :
\[ P_a = 82.35 \; \text{kN/m} – 30.25 \; \text{kN/m} \] \[ P_a \approx 52.10 \; \text{kN/m}. \]
Conclusion
La poussée active des terres exercée sur le mur, calculée selon la théorie de Rankine pour un sol argileux cohésif avec une inclinaison du remblai de \(10^\circ\), est d’environ :
\[ P_a \approx 52.1\ \text{kN/m} \]
Note : Le coefficient de sécurité \(FS = 1.5\) est utilisé en conception pour vérifier la stabilité (contre le glissement, le renversement, etc.) du mur. Ici, \(P_a\) représente la force active à laquelle le mur est soumis; celle-ci sera comparée aux capacités résistantes du mur en appliquant le facteur de sécurité dans une analyse globale.
Calcul de la poussée des terres sur un mur
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