Calcul des déformations dans une poutre
Comprendre sur le calcul des déformations dans une poutre
vous allez calculer les déformations dans une poutre en utilisant la théorie de la flexion des poutres. On considère une poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, soumise à une charge uniformément répartie.
Pour comprendre le Calcul de l’Énergie de Déformation, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur de la poutre, L: 6 m
- Charge uniformément répartie, q: 5 kN/m
- Module d’élasticité du matériau de la poutre, E: 200 GPa
- Moment d’inertie de la section de la poutre par rapport à l’axe neutre, I: \(4 \times 10^{-6}\) m\(^4\)

Questions:
1. Calcul du Moment Fléchissant (M) en tout point de la poutre:
- Utilisez la formule du moment fléchissant pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie : \(M(x) = \frac{q}{2} x^2 – \frac{qL}{6}(3x – L)\), où \(x\) est la distance depuis l’extrémité encastrée.
- Calculez le moment fléchissant à 2 m, 4 m, et à l’extrémité libre de la poutre.
2. Calcul de la Flèche (déformation verticale) en tout point de la poutre:
- La flèche \(y(x)\) peut être calculée par la formule : \(y(x) = \frac{q}{24EI}x^2(6L^2 – 4Lx + x^2)\)
- Calculez la flèche à 2 m, 4 m, et à l’extrémité libre de la poutre.
3. Discussion sur les Résultats:
- Interprétez les résultats obtenus pour le moment fléchissant et la flèche en différents points de la poutre.
- Quelle est la position sur la poutre où le moment fléchissant est maximal? Et où la flèche est-elle maximale?
- Comment les propriétés du matériau (module d’élasticité) et les dimensions de la section (moment d’inertie) influencent-elles les déformations?
Correction : Calcul des déformations dans une poutre
1. Calcul du moment fléchissant \(M(x)\)
Le moment fléchissant \(M(x)\) est donné par
\[ M(x)=\frac{q}{2}\,x^2-\frac{qL}{6}\,(3x-L) \]
avec \(x\) la distance depuis l’extrémité encastrée (\(x=0\)).
Substitution des données:
Nous avons \(q=5\,\mathrm{kN/m}\) et \(L=6\,\mathrm{m}\). Nous substituons ces valeurs dans la formule.
Calcul pour \(x=2\,\mathrm{m}\), \(x=4\,\mathrm{m}\) et \(x=L=6\,\mathrm{m}\)
À \(x=2\,\mathrm{m}\) :
\[ \begin{array}{rcl}
M(2) &=& \displaystyle \frac{5}{2}\,(2)^2-\frac{5 \times 6}{6}\Bigl[3(2)-6\Bigr] \\
&=& \displaystyle \frac{5}{2}\times 4 – 5\Bigl(6-6\Bigr) \\
&=& \displaystyle 10 – 5\times 0 \\
&=& \displaystyle 10 \quad \mathrm{kN\cdot m}\,.
\end{array} \]
À \(x=4\,\mathrm{m}\) :
\[ \begin{array}{rcl}
M(4) &=& \displaystyle \frac{5}{2}\,(4)^2-\frac{5 \times 6}{6}\Bigl[3(4)-6\Bigr] \\
&=& \displaystyle \frac{5}{2}\times 16 – 5\Bigl(12-6\Bigr) \\
&=& \displaystyle 40 – 5\times 6 \\
&=& \displaystyle 40 – 30 \\
&=& \displaystyle 10 \quad \mathrm{kN\cdot m}\,.
\end{array} \]
À \(x=L=6\,\mathrm{m}\) (extrémité libre) :
\[ \begin{array}{rcl}
M(6) &=& \displaystyle \frac{5}{2}\,(6)^2-\frac{5 \times 6}{6}\Bigl[3(6)-6\Bigr] \\
&=& \displaystyle \frac{5}{2}\times 36 – 5\Bigl(18-6\Bigr) \\
&=& \displaystyle 90 – 5\times 12 \\
&=& \displaystyle 90 – 60 \\
&=& \displaystyle 30 \quad \mathrm{kN\cdot m}\,.
\end{array} \]
Bilan Moment Fléchissant :
- \(M(2)=10\,\mathrm{kN\cdot m}\)
- \(M(4)=10\,\mathrm{kN\cdot m}\)
- \(M(6)=30\,\mathrm{kN\cdot m}\)
On remarque également que, pour \(x=0\) (extrémité encastrée) :
\[ M(0) = \frac{5}{2}\,(0)^2-\frac{5 \times 6}{6}\Bigl[0-6\Bigr] \] \[ M(0) = 0 – 5(-6) \] \[ M(0) = 30\,\mathrm{kN\cdot m}\,. \]
Ainsi, le moment fléchissant atteint une valeur maximale de \(30\,\mathrm{kN\cdot m}\) aux deux extrémités (\(x=0\) et \(x=6\)), tandis qu’il vaut \(10\,\mathrm{kN\cdot m}\) aux points intermédiaires.
2. Calcul de la flèche \(y(x)\)
La flèche \(y(x)\) s’exprime par :
\[ y(x)=\frac{q}{24EI}\,x^2\Bigl(6L^2-4Lx+x^2\Bigr) \]
Cette formule résulte de l’intégration de l’équation de la courbure (\(EI\,y »(x)=-M(x)\)) et de l’application des conditions aux limites imposées par l’encastrement (déplacement et rotation nuls en \(x=0\)).
Substitution des données:
Nous utilisons :
- \(q=5\,\mathrm{kN/m}\) (à convertir en N/m : \(5000\,\mathrm{N/m}\))
- \(E=200 \times 10^9\,\mathrm{Pa}\)
- \(I=4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m^4}\)
- \(L=6\,\mathrm{m}\)
Calculons le dénominateur commun :
\[ 24EI = 24 \times \bigl(200 \times 10^9\,\mathrm{Pa}\bigr) \times \bigl(4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m^4}\bigr). \]
Étapes de calcul :
- \(E \times I = 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} = 800 \times 10^3 = 800\,000\,\mathrm{N\cdot m^2}\).
- \(24 \times 800\,000 = 19\,200\,000\,\mathrm{N\cdot m^2}\).
Ainsi, on a :
\[ y(x)=\frac{q\,x^2\Bigl(6L^2-4Lx+x^2\Bigr)}{19\,200\,000}\,. \]
Calcul pour \(x=2\,\mathrm{m}\), \(x=4\,\mathrm{m}\) et \(x=L=6\,\mathrm{m}\)
À \(x=2\,\mathrm{m}\) :
1. Calcul de \(x^2\) :
\[ (2)^2 = 4 \]
2. Calcul de l’expression \(\Bigl(6L^2-4Lx+x^2\Bigr)\) avec \(L=6\) et \(x=2\) :
\[ 6L^2 = 6 \times 36 = 216,\quad 4Lx = 4 \times 6 \times 2 = 48,\quad x^2 = 4. \]
Ainsi,
\[ 216 – 48 + 4 = 172. \]
3. Le numérateur est :
\[ 5 \times 4 \times 172 = 5 \times 688 = 3440. \]
4. La flèche est alors :
\[ y(2)=\frac{3440}{19\,200\,000}\,\mathrm{m} \approx 0,0001792\,\mathrm{m}, \]
soit environ 0,18 mm.
À \(x=4\,\mathrm{m}\) :
1. Calcul de \(x^2\) :
\[ (4)^2 = 16 \]
2. Calcul de l’expression \(\Bigl(6L^2-4Lx+x^2\Bigr)\) avec \(L=6\) et \(x=4\) :
\[ 6L^2 = 216,\quad 4Lx = 4 \times 6 \times 4 = 96,\quad x^2 = 16. \]
Ainsi,
\[ 216 – 96 + 16 = 136. \]
3. Le numérateur est :
\[ 5 \times 16 \times 136 = 5 \times 2176 = 10880. \]
4. La flèche devient :
\[ y(4)=\frac{10880}{19\,200\,000}\,\mathrm{m} \approx 0,0005667\,\mathrm{m}, \]
soit environ 0,57 mm.
À \(x=L=6\,\mathrm{m}\) (extrémité libre) :
1. Calcul de \(x^2\) :
\[ (6)^2 = 36 \]
2. Calcul de l’expression \(\Bigl(6L^2-4Lx+x^2\Bigr)\) avec \(L=6\) et \(x=6\) :
\[ 6L^2 = 216,\quad 4Lx = 4 \times 6 \times 6 = 144,\quad x^2 = 36. \]
Ainsi,
\[ 216 – 144 + 36 = 108. \]
3. Le numérateur est :
\[ 5 \times 36 \times 108 = 5 \times 3888 = 19440. \]
4. La flèche devient :
\[ y(6)=\frac{19440}{19\,200\,000}\,\mathrm{m} \approx 0,0010125\,\mathrm{m}, \]
soit environ 1,01 mm.
Bilan de la flèche :
- \(y(2) \approx 0,18\,\mathrm{mm}\)
- \(y(4) \approx 0,57\,\mathrm{mm}\)
- \(y(6) \approx 1,01\,\mathrm{mm}\)
3. Discussion sur les Résultats
1. Distribution du moment fléchissant :
- D’après la formule, nous trouvons \(M(0)=30\,\mathrm{kN\cdot m}\) (à l’extrémité encastrée) et \(M(6)=30\,\mathrm{kN\cdot m}\) (à l’extrémité libre), tandis que pour des points intermédiaires (par exemple \(x=2\) ou \(x=4\,\mathrm{m}\)), \(M(x)=10\,\mathrm{kN\cdot m}\).
- Ainsi, le moment fléchissant est maximal aux extrémités et plus faible au centre.
2. Distribution de la flèche :
- La flèche est nulle à l’encastrement (condition imposée par la rigidité de l’encastrement) et augmente progressivement le long de la poutre pour atteindre sa valeur maximale à l’extrémité libre, soit environ 1,01 mm.
- Ce comportement est conforme à la théorie de la flexion, qui prévoit que la déformation (flèche) est la plus importante là où la résistance de la poutre à la flexion est la plus faible (ici, à l’extrémité libre).
3. Influence des propriétés du matériau et de la section :
- Le module d’élasticité \(E\) détermine la rigidité du matériau : un \(E\) plus grand réduit la déformation.
- Le moment d’inertie \(I\) reflète la capacité de la section à résister à la flexion : un \(I\) plus grand diminue la flèche.
- Dans l’expression de \(y(x)\), la flèche est inversement proportionnelle à \(EI\).
4. Position des valeurs maximales :
- Le moment fléchissant maximal (\(30\,\mathrm{kN\cdot m}\)) se trouve aux extrémités (\(x=0\) et \(x=6\)).
- La flèche est minimale (nulle) à l’encastrement et maximale à l’extrémité libre.
Calcul des déformations dans une poutre
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