Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
Comprendre le Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
Une entreprise de construction doit installer une poutre en acier pour soutenir une partie du toit d’un petit entrepôt. La poutre, de forme rectangulaire, est positionnée horizontalement. Vous êtes chargé de calculer le moment quadratique de la section de la poutre pour vérifier sa résistance à la flexion sous le poids du toit.
Pour comprendre le Calcul des moments d’inertie, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Dimensions de la poutre: Largeur \( b = 300 \, \text{mm} \) et hauteur \( h = 500 \, \text{mm} \).
- Matériau: Acier (le matériau est homogène et isotrope).
Questions:
1. Calculer le moment quadratique \( I_y \) de la poutre par rapport à l’axe y (axe passant par la base et parallèle à la largeur).
2. Calculer le moment quadratique \( I_x \) de la poutre par rapport à l’axe x (axe passant par la base et parallèle à la hauteur).
Questions supplémentaires:
a. Comment l’orientation de la poutre affecte-t-elle les valeurs des moments quadratiques \(I_y\) et \(I_x\) ?
b. Quel serait l’effet d’une augmentation de la hauteur de la poutre sur son moment quadratique autour de l’axe y ?
Correction : Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
1. Calcul du moment quadratique \(I_y\) (axe \(y\) – horizontal)
L’axe \(y\) est situé le long de la base de la poutre et est parallèle à la largeur \(b\). Pour un rectangle, le moment quadratique par rapport à un axe horizontal passant par la base tient compte de la répartition de l’aire suivant la hauteur \(h\).
Formule utilisée
Le moment quadratique d’un rectangle par rapport à un axe horizontal situé sur son bord (la base) est donné par :
\[ I_y = \frac{b\,h^3}{3} \]
Substitution des données
- \(b = 300\,\text{mm}\)
- \(h = 500\,\text{mm}\)
Calcul
1. Calcul de \(h^3\) :
\[ h^3 = 500^3 \] \[ h^3 = 500 \times 500 \times 500 \] \[ h^3 = 125\,000\,000\,\text{mm}^3 \]
2. Application de la formule :
\[ I_y = \frac{300 \times 125\,000\,000}{3} \]
3. Simplification :
\[ = 300 \times 125\,000\,000 \] \[ = 37\,500\,000\,000\,\text{mm}^4 \]
\[ I_y = \frac{37\,500\,000\,000}{3} \] \[ I_y = 12\,500\,000\,000\,\text{mm}^4 \]
Résultat
\[ I_y = 1,25 \times 10^{10}\,\text{mm}^4 \]
2. Calcul du moment quadratique \(I_x\) (axe \(x\) – vertical)
L’axe \(x\) est également situé le long de la base mais est orienté verticalement, c’est-à-dire parallèle à la hauteur \(h\). Ici, c’est la distribution de l’aire suivant la largeur \(b\) qui est prise en compte.
Formule utilisée
Le moment quadratique d’un rectangle par rapport à un axe vertical situé sur le bord (la base) est :
\[ I_x = \frac{h\,b^3}{3} \]
Substitution des données
- \(h = 500\,\text{mm}\)
- \(b = 300\,\text{mm}\)
Calcul
1. Calcul de \(b^3\) :
\[ b^3 = 300^3 \] \[ b^3 = 300 \times 300 \times 300 \] \[ b^3 = 27\,000\,000\,\text{mm}^3 \]
2. Application de la formule :
\[ I_x = \frac{500 \times 27\,000\,000}{3} \]
3. Simplification :
\[ = 500 \times 27\,000\,000 \] \[ = 13\,500\,000\,000\,\text{mm}^4 \]
\[ I_x = \frac{13\,500\,000\,000}{3} \] \[ I_x = 4\,500\,000\,000\,\text{mm}^4 \]
Résultat
\[ I_x = 4,5 \times 10^{9}\,\text{mm}^4 \]
Réponses aux questions supplémentaires
a) Influence de l’orientation de la poutre sur \(I_y\) et \(I_x\)
L’orientation de la poutre détermine la position des axes de référence par rapport à la distribution de l’aire de la section transversale.
- Si la poutre est posée dans l’orientation indiquée :
- L’axe horizontal (\(y\)) à la base donnera un moment quadratique \(I_y\) important car la majorité de l’aire est éloignée de cet axe dans la direction verticale (hauteur \(h\)).
- L’axe vertical (\(x\)) à la base donnera un moment quadratique \(I_x\) moindre car la largeur \(b\) (dans la direction horizontale) est plus petite que la hauteur.
Conclusion :
Changer l’orientation (par exemple, en faisant tourner la poutre) modifiera la distance moyenne de l’aire par rapport aux axes considérés, et donc les valeurs de \(I_y\) et \(I_x\). En général, la résistance à la flexion est optimale dans la direction pour laquelle le moment quadratique est le plus élevé.
b) Effet d’une augmentation de la hauteur \(h\) sur \(I_y\)
Analyse :
La formule pour \(I_y\) est :
\[ I_y = \frac{b\,h^3}{3} \]
On voit que \(I_y\) est proportionnel au cube de la hauteur \(h\).
Conclusion :
- Une augmentation de \(h\) aura un effet très marqué sur \(I_y\).
Même une légère augmentation de la hauteur se traduira par une augmentation significative du moment quadratique \(I_y\), et donc par une amélioration notable de la résistance de la poutre à la flexion dans la direction considérée.
Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
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