Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
Comprendre le Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
Une entreprise de construction doit installer une poutre en acier pour soutenir une partie du toit d’un petit entrepôt. La poutre, de forme rectangulaire, est positionnée horizontalement.
Vous êtes chargé de calculer le moment quadratique de la section de la poutre pour vérifier sa résistance à la flexion sous le poids du toit.
Pour comprendre le Calcul des moments d’inertie, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Dimensions de la poutre: Largeur \( b = 300 \, \text{mm} \) et hauteur \( h = 500 \, \text{mm} \).
- Matériau: Acier (le matériau est homogène et isotrope).
Questions:
1. Calculer le moment quadratique \( I_y \) de la poutre par rapport à l’axe y (axe passant par la base et parallèle à la largeur).
2. Calculer le moment quadratique \( I_x \) de la poutre par rapport à l’axe x (axe passant par la base et parallèle à la hauteur).
Questions supplémentaires:
1. Comment l’orientation de la poutre affecte-t-elle les valeurs des moments quadratiques \(I_y\) et \(I_x\) ?
2. Quel serait l’effet d’une augmentation de la hauteur de la poutre sur son moment quadratique autour de l’axe y ?
Correction : Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
1. Calcul du moment quadratique \(I_y\) par rapport à l’axe y:
Formule utilisée:
\[ I_y = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
où \(b\) est la largeur de la poutre et \(h\) est sa hauteur.
Substitution des valeurs:
- \(b = 300 \text{ mm}\)
- \(h = 500 \text{ mm}\)
Calcul:
\[ I_y = \frac{300 \text{ mm} \times (500 \text{ mm})^3}{12} \] \[ I_y = \frac{300 \times 125000000 \text{ mm}^4}{12} \] \[ I_y = 3125000000 \text{ mm}^4 \]
Le moment quadratique \(I_y\) est donc de \(3125000000 \text{ mm}^4\).
2. Calcul du moment quadratique \(I_x\) par rapport à l’axe x:
Formule utilisée:
\[ I_x = \frac{h \cdot b^3}{12} \]
où \(h\) est la hauteur de la poutre et \(b\) est sa largeur.
Substitution des valeurs:
- \(h = 500 \text{ mm}\)
- \(b = 300 \text{ mm}\)
Calcul:
\[ I_x = \frac{500 \text{ mm} \times (300 \text{ mm})^3}{12} \] \[ I_x = \frac{500 \times 27000000 \text{ mm}^4}{12} \] \[ I_x = 1125000000 \text{ mm}^4 \]
Le moment quadratique \(I_x\) est donc de \(1125000000 \text{ mm}^4\).
Réponses aux questions supplémentaires:
1. Comment l’orientation de la poutre affecte-t-elle les valeurs des moments quadratiques \(I_y\) et \(I_x\) ?
L’orientation de la poutre a un impact significatif sur les valeurs de \(I_y\) et \(I_x\). Puisque \(I_y\) est calculé avec la hauteur au cube, et \(I_x\) avec la largeur au cube, augmenter la hauteur ou la largeur affectera plus significativement le moment quadratique de cet axe.
Par exemple, augmenter la hauteur augmentera considérablement \(I_y\), rendant la poutre plus résistante à la flexion autour de l’axe y.
2. Quel serait l’effet d’une augmentation de la hauteur de la poutre sur son moment quadratique autour de l’axe y ?
Augmenter la hauteur \(h\) de la poutre augmentera le moment quadratique \(I_y\) de manière cubique, améliorant ainsi considérablement la résistance de la poutre à la flexion autour de cet axe.
Cela est dû à la relation cubique entre la hauteur et \(I_y\), indiquant que même une petite augmentation de la hauteur entraîne une grande augmentation du moment quadratique.
Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
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