Caractéristiques Géométriques de Sections
Comprendre le calcul des Caractéristiques Géométriques de Sections
Dans le cadre de la conception d’une poutre pour un pont piétonnier, il est nécessaire de déterminer les caractéristiques géométriques de la section transversale de la poutre. La poutre doit supporter à la fois son propre poids et celui des piétons, tout en respectant les normes de sécurité et d’élasticité des matériaux utilisés.
Pour comprendre le Calcul de la position de l’axe neutre, cliquez sur le lien.
Données:
- Section transversale de la poutre: Rectangulaire
- Largeur (b): 300 mm
- Hauteur (h): 600 mm
- Matériau: Acier (E = 210 GPa, densité = 7850 kg/m³)
- Longueur de la poutre (L): 10 m
- Charge uniformément répartie (q): 5000 N/m (incluant le poids de la structure)

Questions:
1. Calculer l’aire (A) de la section transversale.
2. Déterminer le moment d’inertie (I) de la section par rapport à l’axe neutre horizontal passant par le centre de gravité.
3. Calculer le rayon de giration (r) de la section.
4. Évaluer la contrainte maximale dans la poutre sous l’effet de la charge maximale, en utilisant la formule de la flexion.
Correction : Caractéristiques Géométriques de Sections
1. Calcul de l’aire (A)
L’aire de la section transversale est fondamentale pour les calculs de résistance des matériaux, car elle influence directement des propriétés comme le moment d’inertie et la contrainte.
Formule:
\[ A = b \times h \]
Données:
- Largeur \(b = 300 \text{ mm} = 0.3 \text{ m}\)
- Hauteur \(h = 600 \text{ mm} = 0.6 \text{ m}\)
Calcul:
\[ A = 0.3 \, \text{m} \times 0.6 \, \text{m} \] \[ A = 0.18 \, \text{m}^2 \]
L’aire de la section transversale est de \(0.18 \, \text{m}^2\).
2. Moment d’inertie (I)
Le moment d’inertie mesure la résistance de la section à la flexion autour d’un axe, essentiel pour déterminer la déflexion et la contrainte sous charge.
Formule:
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
Données:
- Largeur \(b = 0.3 \text{ m}\)
- Hauteur \(h = 0.6 \text{ m}\)
Calcul:
\[ I = \frac{0.3 \times (0.6)^3}{12} \] \[ I = \frac{0.3 \times 0.216}{12} \] \[ I = 0.0054 \, \text{m}^4 \]
Le moment d’inertie par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité est de \(0.0054 \, \text{m}^4\).
3. Rayon de giration (r)
Le rayon de giration est un indicateur de la distribution de la masse de la section autour de l’axe central, influençant la stabilité de la poutre sous charges.
Formule:
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]
Calcul:
\[ r = \sqrt{\frac{0.0054}{0.18}} \] \[ r = \sqrt{0.03} \] \[ r \approx 0.1732 \, \text{m} \]
Le rayon de giration est de \(0.1732 \, \text{m}\).
4. Contrainte maximale \((\sigma_{\text{max}})\)
Calculer la contrainte maximale permet de vérifier si la poutre est apte à supporter les charges sans subir une déformation plastique ou une rupture.
Formule pour le moment fléchissant maximal (M):
\[ M = \frac{q \times L^2}{8} \]
Données:
- Charge uniformément répartie \(q = 5000 \text{ N/m}\)
- Longueur de la poutre \(L = 10 \text{ m}\)
Calcul du moment fléchissant:
\[ M = \frac{5000 \times (10)^2}{8} \] \[ M = \frac{5000 \times 100}{8} \] \[ M = 62,500 \, \text{N} \cdot \text{m} \]
Formule pour la contrainte maximale:
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M \times y_{\text{max}}}{I} \]
Calcul de la contrainte:
- \(y_{\text{max}} = \frac{h}{2} = 0.3 \, \text{m}\)
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{62,500 \times 0.3}{0.0054} \] \[ \sigma_{\text{max}} = 3,472,222 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{max}} = 3.472 \, \text{MPa} \]
La contrainte maximale dans la poutre est de \(3.472 \, \text{MPa}\).
Caractéristiques Géométriques de Sections
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