Caractéristiques Géométriques de Sections
Comprendre le calcul des Caractéristiques Géométriques de Sections
Dans le cadre de la conception d’une poutre pour un pont piétonnier, il est nécessaire de déterminer les caractéristiques géométriques de la section transversale de la poutre.
La poutre doit supporter à la fois son propre poids et celui des piétons, tout en respectant les normes de sécurité et d’élasticité des matériaux utilisés.
Pour comprendre le Calcul de la position de l’axe neutre, cliquez sur le lien.
Données:
- Section transversale de la poutre: Rectangulaire
- Largeur (b): 300 mm
- Hauteur (h): 600 mm
- Matériau: Acier (E = 210 GPa, densité = 7850 kg/m³)
- Longueur de la poutre (L): 10 m
- Charge uniformément répartie (q): 5000 N/m (incluant le poids de la structure)
Questions:
1. Calculer l’aire (A) de la section transversale.
2. Déterminer le moment d’inertie (I) de la section par rapport à l’axe neutre horizontal passant par le centre de gravité.
3. Calculer le rayon de giration (r) de la section.
4. Évaluer la contrainte maximale dans la poutre sous l’effet de la charge maximale, en utilisant la formule de la flexion.
Correction : Caractéristiques Géométriques de Sections
1. Calcul de l’aire (A)
Données:
- Largeur \( b = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m} \).
- Hauteur \( h = 600 \, \text{mm} = 0.6 \, \text{m} \).
Formule:
\[ A = b \times h \]
Substitution et Calcul:
\[ A = 0.3 \, \text{m} \times 0.6 \, \text{m} \] \[ A = 0.18 \, \text{m}^2 \]
L’aire de la section transversale est de \( 0.18 \, \text{m}^2 \).
2. Moment d’inertie (I)
Formule:
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
Substitution et Calcul:
\[ I = \frac{0.3 \, \text{m} \times (0.6 \, \text{m})^3}{12} \] \[ I = 0.0054 \, \text{m}^4 \]
Le moment d’inertie par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité est de \( 0.0054 \, \text{m}^4 \).
3. Rayon de giration (r)
Formule:
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]
Substitution et Calcul:
\[ r = \sqrt{\frac{0.0054 \, \text{m}^4}{0.18 \, \text{m}^2}} \] \[ r = 0.1732 \, \text{m} \]
Le rayon de giration est de \( 0.1732 \, \text{m} \).
4. Contrainte maximale (\(\sigma_{\text{max}}\))
Données:
- Charge uniformément répartie \( q = 5000 \, \text{N/m} \)
- Longueur de la poutre \( L = 10 \, \text{m} \)
– Formule pour le moment fléchissant maximal (M):
\[ M = \frac{q \times L^2}{8} \]
Substitution et Calcul du moment fléchissant:
\[ M = \frac{5000 \, \text{N/m} \times (10 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M = 62,500 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
– Formule pour la contrainte maximale:
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M \times y_{\text{max}}}{I} \]
Substitution et Calcul de la contrainte:
\[ y_{\text{max}} = \frac{h}{2} = 0.3 \, \text{m} \]
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{62,500 \, \text{N}\cdot\text{m} \times 0.3 \, \text{m}}{0.0054 \, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{max}} = 3,472,222 \, \text{N/m}^2 \]
La contrainte maximale dans la poutre est de \( 3,472,222 \, \text{N/m}^2 \) ou \( 3.47 \, \text{MPa} \).
Caractéristiques Géométriques de Sections
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