Caractéristiques Géométriques de Sections

Dans le cadre de la conception d’une poutre pour un pont piétonnier, il est nécessaire de déterminer les caractéristiques géométriques de la section transversale de la poutre. La poutre doit supporter à la fois son propre poids et celui des piétons, tout en respectant les normes de sécurité et d’élasticité des matériaux utilisés.

Données

Section transversale de la poutre : Rectangulaire
Largeur (\(b\)) : 300 \(\text{mm}\)
Hauteur (\(h\)) : 600 \(\text{mm}\)
Matériau : Acier
- Module d'Young (\(E\)) : 210 \(\text{GPa} = 210000 \, \text{MPa}\)
- Densité (\(\rho\)) : 7850 \(\text{kg/m}^3\) (non utilisé dans cet exercice)
Longueur de la poutre (\(L\)) : 10 \(\text{m}\)
Charge uniformément répartie (\(q\)) : 5000 \(\text{N/m}\) (incluant poids propre)

Schéma : Section Transversale

Questions

Calculer l’aire (\(A\)) de la section transversale.
Déterminer le moment d’inertie (\(I\)) de la section par rapport à l’axe neutre horizontal passant par le centre de gravité.
Calculer le rayon de giration (\(r\)) de la section par rapport à cet axe.
Évaluer la contrainte maximale de flexion (\(\sigma_{max}\)) dans la poutre sous l’effet de la charge uniformément répartie.

Correction : Caractéristiques Géométriques de Sections

Étape 1 : Calcul de l’Aire (\(A\))

Objectif :

Calculer la surface de la section transversale rectangulaire.

Formule :

A = b \times h

Données :

Largeur \(b = 300 \, \text{mm}\)
Hauteur \(h = 600 \, \text{mm}\)

Calcul de l'Aire :

A = 300 \, \text{mm} \times 600 \, \text{mm} = 180000 \, \text{mm}^2

Résultat Étape 1 :

L’aire de la section transversale est \(A = 180000 \, \text{mm}^2\) (ou \(1800 \, \text{cm}^2\)).

Étape 2 : Calcul du Moment d’Inertie (\(I\))

Objectif :

Calculer le moment d'inertie quadratique de la section par rapport à son axe neutre horizontal (passant par le centre de gravité). Cette valeur représente la résistance de la section à la flexion autour de cet axe.

Formule (Rectangle par rapport à l'axe passant par son centre) :

I = \frac{b h^3}{12}

Données :

Largeur \(b = 300 \, \text{mm}\)
Hauteur \(h = 600 \, \text{mm}\)

Calcul du Moment d'Inertie :

I = \frac{(300 \, \text{mm}) \times (600 \, \text{mm})^3}{12} \] \[ I = \frac{300 \times (216 \times 10^6)}{12} \, \text{mm}^4 \] \[ I = \frac{64800 \times 10^6}{12} \, \text{mm}^4 \] \[ I = 5400 \times 10^6 \, \text{mm}^4

Résultat Étape 2 :

Le moment d’inertie de la section est \(I = 5.4 \times 10^9 \, \text{mm}^4\) (ou \(540000 \, \text{cm}^4\)).

Étape 3 : Calcul du Rayon de Giration (\(r\))

Objectif :

Calculer le rayon de giration par rapport à l'axe neutre horizontal. C'est une mesure de la distribution de l'aire de la section autour de cet axe. Il est utilisé notamment dans les calculs de flambement.

Formule :

r = \sqrt{\frac{I}{A}}

Données :

Moment d'inertie \(I = 5.4 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)
Aire \(A = 180000 \, \text{mm}^2\)

Calcul du Rayon de Giration :

r = \sqrt{\frac{5.4 \times 10^9 \, \text{mm}^4}{180000 \, \text{mm}^2}} \] \[ r = \sqrt{30000} \, \text{mm} \] \[ r \approx 173.2 \, \text{mm}

Résultat Étape 3 :

Le rayon de giration par rapport à l'axe neutre horizontal est \(r \approx 173.2 \, \text{mm}\).

Étape 4 : Calcul de la Contrainte Maximale de Flexion (\(\sigma_{max}\))

Objectif :

Évaluer la contrainte normale maximale due à la flexion dans la poutre, causée par la charge appliquée. Cette contrainte maximale se produit aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre (en haut et en bas de la section).

Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{max}\)) :

On suppose que la poutre est simplement appuyée à ses extrémités. Le moment maximal se produit au milieu de la portée.

M_{max} = \frac{q L^2}{8}

Charge \(q = 5000 \, \text{N/m} = 5 \, \text{N/mm}\)
Longueur \(L = 10 \, \text{m} = 10000 \, \text{mm}\)

M_{max} = \frac{(5 \, \text{N/mm}) \times (10000 \, \text{mm})^2}{8} \] \[ M_{max} = \frac{5 \times 100 \times 10^6}{8} \, \text{N} \cdot \text{mm} \] \[ M_{max} = 62.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}

Formule de la Contrainte de Flexion :

La contrainte normale (\(\sigma\)) due à la flexion est proportionnelle à la distance (\(y\)) par rapport à l'axe neutre et inversement proportionnelle au moment d'inertie (\(I\)). La contrainte maximale se produit à \(y_{max} = h/2\).

\sigma_{max} = \frac{M_{max} \times y_{max}}{I} \quad \text{avec} \quad y_{max} = \frac{h}{2}

Données :

\(M_{max} = 62.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
\(h = 600 \, \text{mm} \implies y_{max} = 300 \, \text{mm}\)
\(I = 5.4 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)

Calcul de la Contrainte Maximale :

\sigma_{max} = \frac{(62.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \times (300 \, \text{mm})}{5.4 \times 10^9 \, \text{mm}^4} \] \[ \sigma_{max} = \frac{18750 \times 10^6}{5.4 \times 10^9} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \] \[ \sigma_{max} \approx 3.47 \, \text{N/mm}^2 = 3.47 \, \text{MPa}

Résultat Étape 4 :

La contrainte maximale de flexion dans la poutre est \(\sigma_{max} \approx 3.47 \, \text{MPa}\).

Note : Cette contrainte est très faible par rapport à la limite élastique de l'acier (500 MPa), ce qui est attendu pour une poutre en acier de ces dimensions sous cette charge. D'autres vérifications (déformation, flambement) seraient nécessaires dans une conception réelle.