Calcul d'une poutre de redressement

Contexte : Gestion d'une semelle excentrée en limite de propriété.

Lors de la construction d'un bâtiment en limite de propriété, il est fréquent de ne pas pouvoir centrer la fondation sous le poteau de rive (P1). Cette excentricité crée un moment de renversement qui peut déstabiliser la semelle. Pour équilibrer ce système, on utilise une Poutre de RedressementPoutre rigide reliant une semelle excentrée à une semelle centrale pour équilibrer les moments. Aussi appelée Longrine de redressement. (ou longrine) qui relie la semelle excentrée (S1) à une semelle centrale voisine (S2).

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre l'interaction sol-structure et le transfert des moments dans les fondations superficielles. C'est un cas très classique en bureau d'études.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe d'équilibre statique d'une poutre de redressement.
Calculer la réaction du sol sous la semelle excentrée corrigée.
Déterminer le moment fléchissant maximal dans la longrine.
Estimer les aciers de flexion nécessaires.
Vérifier la contrainte admissible au sol.
Vérifier l'effort tranchant pour les cadres.

Données de l'étude

On considère un poteau de rive P1 (excentré) et un poteau intérieur P2. Ils sont reliés par une poutre de redressement rigide.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Charges permanentes + Exploitation (ELS)	Non traité ici (Calcul à l'ELU)
Contrainte SolCapacité portante admissible du sol de fondation (ELS).	0.25 MPa (2.5 bars)
Dimensions Poteaux	30 x 30 cm

Schéma Mécanique du Système

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Ultime Poteau 1 (Rive)	\(N_{\text{u1}}\)	600	\(\text{kN}\)
Charge Ultime Poteau 2 (Intérieur)	\(N_{\text{u2}}\)	950	\(\text{kN}\)
Excentricité (Axe Poteau - Axe Semelle)	\(e\)	0.40	\(\text{m}\)
Entraxe des Poteaux	\(L\)	5.00	\(\text{m}\)
Hauteur de la longrine	\(h\)	0.60	\(\text{m}\)
Position des aciers (Enrobage + \(\phi/2\))	\(d'\)	0.06	\(\text{m}\)
Limite élastique Acier (FeE500)	\(f_{yk}\)	500	\(\text{MPa}\)

Questions à traiter

Calculer la réaction du sol \(R_1\) sous la semelle excentrée S1 en considérant l'effet de redressement.
Déduire le Moment de redressement \(M_{\text{red}}\) maximal dans la longrine.
Calculer la section d'aciers longitudinaux théorique \(A_{\text{s}}\) (méthode simplifiée).
Calculer la surface minimale de la semelle S1 pour respecter la contrainte admissible du sol.
Déterminer l'effort tranchant maximal \(V_{Ed}\) à reprendre par les cadres.

Les bases théoriques

Le rôle de la poutre de redressement est de transformer le système instable de la semelle excentrée en un système stable en s'appuyant sur la semelle voisine. Cela génère une réaction du sol majorée sous S1 et allégée sous S2.

Équilibre Statique (Somme des Moments = 0)
Pour trouver la réaction \(R_1\) sous la semelle 1, on écrit l'équilibre des moments par rapport au centre de la semelle 2 (ou du poteau 2).

Formule de la Réaction R1

R_1 = N_{\text{u1}} \times \left( 1 + \frac{e}{L'} \right)

Où :

\(L'\) est la distance entre les axes des deux semelles (souvent proche de \(L\)).
Cette majoration vient contrebalancer le moment de renversement \(N_{\text{u1}} \cdot e\).

Moment Fléchissant
La poutre de redressement travaille principalement en flexion. Le moment est maximal au niveau du poteau de rive ou juste après.

Moment Max (Simplifié)

M_{\text{max}} \approx N_{\text{u1}} \cdot e

C'est une approximation sécuritaire considérant que la poutre reprend tout le moment d'excentrement.

Ferraillage (Flexion Simple)
Le calcul des aciers se fait à l'ELU (État Limite Ultime).

Section d'Acier

A_{\text{s}} = \frac{M_{\text{max}}}{z \cdot f_{\text{yd}}}

Où \(z\) est le bras de levier interne (approx \(0.9d\)) et \(f_{\text{yd}}\) la résistance de calcul de l'acier.

Correction : Calcul d'une Poutre de Redressement

Question 1 : Calcul de la Réaction R1

Principe

Le problème fondamental réside dans le désalignement entre le centre de gravité de la charge appliquée par le poteau P1 et le centre géométrique de la semelle S1 qui lui sert d'appui. Ce décalage \(e\) génère un couple de renversement qui tend à faire pivoter la semelle. Pour stabiliser ce système, la poutre de redressement agit comme un levier : elle s'appuie sur la semelle voisine S2 pour "retenir" le poteau P1. Mécaniquement, pour équilibrer ce moment de renversement, le sol sous S1 doit développer une réaction verticale \(R_1\) supérieure à la charge descendante \(N_{\text{u1}}\). C'est analogue à une balançoire ou un levier : pour soulever ou équilibrer une charge avec un bras de levier court, il faut exercer une force plus importante à l'appui.

Mini-Cours

Pour déterminer \(R_1\), on isole le système {Poutre + Semelles} et on applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS). L'équation la plus directe est la somme des moments nulle par rapport au point de rotation, ici l'axe de la semelle S2 (ou poteau P2).

Équation d'équilibre des moments / P2

\sum M_{/P2} = 0 \Rightarrow R_1 \cdot L - N_{\text{u1}} \cdot (L + e) = 0

En simplifiant cette équation, on retrouve la formule de majoration dynamique utilisée par les ingénieurs structure : \(R_1 = N_{\text{u1}} \frac{L+e}{L} = N_{\text{u1}} (1 + \frac{e}{L})\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que \(R_1 > N_{\text{u1}}\). Cette différence de force (\(R_1 - N_{\text{u1}}\)) ne disparaît pas : elle est "transférée" comme un soulèvement sur la semelle S2 (par principe d'action/réaction). La semelle S2 est donc délestée (\(R_2 < N_{\text{u2}}\)), ce qui est généralement favorable pour le sol sous S2, mais la poutre doit être assez rigide pour opérer ce transfert sans trop se déformer.

Normes

Les calculs de fondations superficielles sont régis par le DTU 13.1 en France et l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) en Europe. Ces normes imposent de vérifier que la contrainte au sol sous la charge majorée \(R_1\) reste inférieure à la contrainte admissible du sol à l'ELS et à l'ELU (vérification du poinçonnement et du tassement).

Formule(s)

Équilibre des moments

Réaction majorée (Formule Ingénieur)

R_1 = N_{\text{u1}} \times \left( 1 + \frac{e}{L} \right)

Cette formule montre clairement que le coefficient de majoration dépend uniquement du rapport géométrique \(e/L\).

Hypothèses

Pour ce calcul préliminaire, nous négligeons le poids propre de la poutre de redressement et celui de la semelle, considérant qu'ils sont faibles (environ 5 à 10%) par rapport aux charges lourdes amenées par les poteaux en béton armé.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge P1	\(N_{\text{u1}}\)	600	\(\text{kN}\)
Excentricité	\(e\)	0.40	\(\text{m}\)
Entraxe	\(L\)	5.00	\(\text{m}\)

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur mentalement : calculez le rapport \(e/L\). Ici \(0.4/5 = 0.08\), soit 8%. Cela signifie que la réaction du sol sera majorée d'exactement 8% par rapport à la descente de charge. \(600 + 8\% \approx 648\).

Modèle "Levier"

Calcul(s)

Calcul intermédiaire : Rapport d'excentricité

Tout d'abord, évaluons le rapport entre l'excentricité et l'entraxe, qui détermine l'intensité du déséquilibre :

\begin{aligned} \frac{e}{L} &= \frac{0.40}{5.00} \\ &= 0.08 \end{aligned}

Ce ratio de 0.08 signifie que l'effet de levier va majorer la charge verticale de 8%.

Calcul Principal

Application numérique

Nous pouvons maintenant appliquer cette majoration à la charge ultime du poteau \(N_{\text{u1}}\) pour obtenir la réaction du sol :

Calcul de R1

\begin{aligned} R_1 &= 600 \times \left( 1 + 0.08 \right) \\ &= 600 \times 1.08 \\ &= 648 \text{ kN} \end{aligned}

Le sol doit donc mobiliser une force de 648 kN pour maintenir la semelle à l'équilibre, soit 48 kN de plus que la simple descente de charge.

Schéma (Résultat)

Réflexions

Cette majoration de 48 kN n'est pas négligeable. Elle doit être impérativement prise en compte pour calculer la surface de la semelle S1 (\(S_{\text{semelle}} \ge R_1 / \sigma_{\text{sol}}\)). Si on oublie cet effet de levier, la contrainte réelle sur le sol sera 8% plus élevée que prévu, réduisant la marge de sécurité vis-à-vis du poinçonnement.

Points de vigilance

Attention ! Une erreur classique est de dimensionner la semelle S1 uniquement avec la charge du poteau (600 kN). Elle serait alors sous-dimensionnée, augmentant le risque de tassements différentiels préjudiciables à la structure.

Points à Retenir

L'excentricité crée systématiquement une surcharge sur la fondation de rive et un délestage équivalent sur la fondation centrale qui sert de contrepoids.

Le saviez-vous ?

Sans longrine de redressement, la semelle S1 devrait être beaucoup plus large pour éviter le basculement, ou bien le poteau de rive subirait une flexion composée très importante qu'il faudrait ferrailler en conséquence.

FAQ

Pourquoi négliger le poids de la poutre ?

Le poids propre d'une poutre en béton (25 kN/m³) représente souvent une faible fraction des charges très lourdes (plusieurs centaines de kN) amenées par les étages supérieurs. L'inclure complexifie le calcul sans changer radicalement l'ordre de grandeur du ferraillage initial.

R1 = 648 kN

A vous de jouer
Si l'excentricité passe à 0.50 m, combien vaudrait R1 ? (Charge = 600 kN, L = 5.00 m).

📝 Mémo
R > N en cas d'excentricité.

Question 2 : Moment de Redressement (M_red)

Principe

La poutre subit une flexion importante car elle doit "tenir" le poteau excentré. Contrairement à une poutre de plancher classique qui fléchit sous son propre poids (faisant un "ventre mou" vers le bas), la longrine de redressement fonctionne comme une console inversée. Elle est "poussée" vers le haut par la réaction du sol \(R_1\) qui est plus intense que la charge du poteau \(N_{\text{u1}}\). Le moment est nul du côté de l'appui intérieur P2 (si on considère une articulation) et augmente linéairement pour atteindre son maximum au niveau de l'encastrement fictif sur le poteau de rive P1.

Mini-Cours

Le moment fléchissant varie de façon quasi-linéaire le long de la poutre. L'effort tranchant \(V\) est constant entre les deux appuis (dans ce modèle simplifié). La valeur du moment maximal \(M_{\text{u}}\) correspond physiquement au couple qu'il faut mobiliser pour empêcher la rotation de la semelle de rive.

Remarque Pédagogique

Le signe du moment est primordial : ici, le moment est négatif sur toute la longueur. Cela signifie que la fibre supérieure de la poutre est tendue, tandis que la fibre inférieure est comprimée. C'est l'inverse d'une poutre sur deux appuis classique. C'est pourquoi on parle de ferraillage en "chapeaux" ou en nappe supérieure.

Normes

Selon l'Eurocode 2, le calcul des sollicitations doit être effectué à l'État Limite Ultime (ELU) pour dimensionner la résistance de la structure (béton et aciers). Les coefficients de sécurité sur les charges (1.35G + 1.5Q) sont déjà inclus dans la valeur donnée \(N_{\text{u1}}\).

Formule(s)

Moment Max (au nu du poteau ou à l'axe)

M_{\text{u}} = N_{\text{u1}} \cdot e

Cette formule provient directement de la définition du moment d'une force : \(M = F \times d\). Ici, la force est la charge du poteau \(N_{\text{u1}}\) et le bras de levier est l'excentricité \(e\). On peut aussi le retrouver en calculant le moment généré par la réaction du sol par rapport au centre du poteau : \(M = R_1 \times 0 - N_{\text{u1}} \times e = - N_{\text{u1}} \cdot e\) (si on se place au niveau du poteau).

Hypothèses

Nous considérons la liaison Poutre/Semelle 2 comme une articulation parfaite (moment nul à cet endroit) pour maximiser le moment sur l'appui de rive, ce qui est une approche conservatrice.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge P1	\(N_{\text{u1}}\)	600	\(\text{kN}\)
Excentricité	\(e\)	0.40	\(\text{m}\)

Astuces

Pour convertir rapidement des kN.m en MN.m (unité souvent utilisée dans les abaques de ferraillage pour éviter les très grands nombres), il suffit de diviser par 1000.

Diagramme Mécanique

Calcul(s)

Conversion des unités

Pour faciliter les calculs ultérieurs de ferraillage (souvent en MN.m), convertissons d'abord la charge :

600 \text{ kN} = 0.6 \text{ MN}

Cette valeur sera utilisée directement dans la formule du moment.

Calcul Principal

Le moment de redressement maximal se calcule en multipliant cette force par le bras de levier de l'excentricité :

\begin{aligned} M_{\text{u}} &= 0.6 \text{ MN} \times 0.40 \text{ m} \\ &= 0.24 \text{ MN.m} \\ &= 240 \text{ kN.m} \end{aligned}

On obtient un moment de 0.24 MN.m (ou 240 kN.m). C'est ce couple qui tend à soulever la poutre entre les appuis et qui doit être repris par les aciers.

Schéma (Valeur Finale)

Réflexions

Un moment de 240 kN.m est conséquent pour une poutre de bâtiment courant. Il nécessitera une section de béton adéquate (hauteur de poutre) et une section d'acier importante pour assurer la résistance sans fissuration excessive.

Points de vigilance

Ne confondez pas ce schéma avec celui d'une poutre sur deux appuis chargée uniformément (diagramme parabolique). Ici le diagramme est triangulaire, et les aciers de traction doivent impérativement être placés en HAUT.

Points à Retenir

Le moment varie linéairement le long de la poutre.
La valeur maximale du moment dépend directement de l'excentricité \(e\). Plus on éloigne la semelle, plus le moment explose.

Le saviez-vous ?

La rigidité de la longrine est essentielle. Si la longrine est trop souple, elle se déformera excessivement, ne transmettra pas correctement le moment de redressement, et la semelle excentrée risquera tout de même de pivoter.

FAQ

Peut-on réduire ce moment de flexion ?

Oui, principalement en réduisant l'excentricité \(e\) (en rapprochant le bord de la semelle du poteau autant que possible) ou en augmentant le poids propre de la fondation (bien que cela soit peu efficace mécaniquement).

Mu = 240 kN.m

A vous de jouer
Si la charge passe à 800 kN avec la même excentricité (0.4m), quel est le moment Mu ?

📝 Mémo
Moment = Force x Bras de levier. Aciers en haut.

Question 3 : Calcul des Aciers (As)

Principe

L'étape finale consiste à dimensionner la section d'acier \(A_{\text{s}}\) capable d'équilibrer le moment de flexion \(M_{\text{u}}\). Le béton résiste très bien à la compression mais a une résistance quasi-nulle en traction. Les aciers (armatures passives) sont donc positionnés dans la zone tendue (ici, la face supérieure) pour reprendre intégralement l'effort de traction généré par le moment. On cherche l'équilibre de la section à l'État Limite Ultime.

Mini-Cours

On utilise généralement la méthode du bras de levier. Le moment interne résistant est formé par un couple de forces : la compression du béton et la traction de l'acier, séparés par une distance \(z\) (bras de levier). En méthode simplifiée (valable pour des sections rectangulaires courantes sans aciers comprimés), on estime ce bras de levier \(z\) à environ 0.9 fois la hauteur utile \(d\) (distance de la fibre la plus comprimée au centre de gravité des aciers tendus).

Remarque Pédagogique

La résistance de l'acier utilisée dans le calcul n'est pas sa résistance caractéristique \(f_{\text{yk}}\) (500 MPa), mais sa résistance de calcul \(f_{\text{yd}}\) qui inclut un coefficient de sécurité partiel \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\). C'est une marge de sécurité obligatoire.

Normes

Selon l'Eurocode 2, pour des armatures de classe B ou C (haute ductilité) : \(f_{\text{yd}} = f_{\text{yk}} / \gamma_{\text{s}} = 500 / 1.15 = 435\) MPa (arrondi usuel).

Formule(s)

Section d'acier théorique

A_{\text{s}} = \frac{M_{\text{u}}}{z \cdot f_{\text{yd}}}

Cette formule exprime simplement que le moment \(M_{\text{u}}\) doit être équilibré par la force de traction dans l'acier (\(F_{\text{s}} = A_{\text{s}} \times f_{\text{yd}}\)) multipliée par le bras de levier \(z\).

Hypothèses

Hauteur totale de la poutre \(h\) = 60 cm (0.60 m)
Enrobage et diamètre des barres estimés à environ 6 cm, donc hauteur utile \(d \approx 0.9h\) = 0.54 m
Acier type FeE500 (Limite élastique 500 MPa)

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Moment Ultime	\(M_{\text{u}}\)	0.24	\(\text{MN.m}\)
Résistance Calcul Acier	\(f_{\text{yd}}\)	435	\(\text{MPa}\)

Astuces

L'approximation \(z \approx 0.9d\) est très pratique pour un pré-dimensionnement rapide sur chantier ou en réunion, avant de lancer un calcul logiciel précis.

Géométrie de la Section

Calcul(s)

1. Calcul de la résistance de l'acier fyd

La résistance de calcul de l'acier (\(f_{\text{yd}}\)) s'obtient en divisant sa limite élastique caractéristique (\(f_{\text{yk}}\)) par le coefficient de sécurité partiel de l'acier (\(\gamma_{\text{s}}\)) :

\begin{aligned} f_{\text{yd}} &= \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}} \\ &= \frac{500 \text{ MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \text{ MPa} \end{aligned}

C'est la contrainte maximale que l'on accepte dans l'acier à l'état limite ultime. On retient souvent 435 MPa pour simplifier.

2. Estimation du Bras de levier z

Le bras de levier du couple interne (\(z\)) est estimé proportionnellement à la hauteur utile de la poutre (\(d\)). Pour une section rectangulaire courante :

\begin{aligned} z &\approx 0.9 \times d \\ &= 0.9 \times 0.54 \text{ m} \\ &= 0.486 \text{ m} \end{aligned}

Cela représente la distance verticale entre la résultante de compression dans le béton et la résultante de traction dans les aciers.

3. Calcul Principal de la Section As

Nous appliquons enfin la formule fondamentale du dimensionnement en flexion simple. On divise le moment sollicitant par le couple résistant (bras de levier \(\times\) résistance acier). Attention aux unités : \(1 \text{ MN.m} = 1000 \text{ kN.m}\) et \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ MN/m}^2\). Le résultat sera en \(m^2\).

\begin{aligned} A_{\text{s}} &= \frac{0.24 \text{ MN.m}}{0.486 \text{ m} \times 434.78 \text{ MN/m}^2} \\ &= \frac{0.24}{211.3} \\ &\approx 0.001135 \text{ m}^2 \end{aligned}

Le résultat brut est obtenu en mètres carrés (\(m^2\)), une unité peu pratique pour le chantier.

4. Conversion en cm²

Convertissons ce résultat en centimètres carrés (\(cm^2\)), l'unité usuelle pour les tableaux de ferraillage :

\begin{aligned} 0.001135 \text{ m}^2 &= 0.001135 \times 10^4 \text{ cm}^2 \\ &= 11.35 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Il faut donc prévoir au minimum 11.35 cm² d'acier.

Schéma (Ferraillage de Principe)

Réflexions

Pour couvrir 11.35 cm², un choix possible et courant serait de disposer 4 barres de diamètre 20 mm (HA20), ce qui offre une section totale de \(4 \times 3.14 = 12.56 \text{ cm}^2\), supérieure au besoin théorique.

Points de vigilance

Il faut également vérifier les règles d'espacement des barres pour permettre au béton de passer correctement entre elles lors du coulage, ainsi que l'enrobage minimal pour garantir la protection contre la corrosion.

Points à Retenir

Dans le béton armé, l'acier travaille en traction là où le béton est défaillant. La position des aciers suit toujours le diagramme des moments fléchissants.

Le saviez-vous ?

Si l'acier n'est pas protégé par une épaisseur suffisante de béton (l'enrobage), il s'oxyde (rouille). La rouille occupant plus de volume que l'acier sain, elle fait éclater le béton, affaiblissant la structure.

FAQ

Pourquoi mettre des aciers en bas aussi (nappe inférieure) ?

Même si le calcul principal ne demande pas d'aciers tendus en bas, on y place des barres de "montage" (section plus faible) pour tenir les cadres (étriers) et former une cage d'armature rigide. Elles servent aussi à reprendre d'éventuels petits moments parasites ou de compression.

As = 11.35 cm²

A vous de jouer
Si le calcul donnait 15 cm², combien de barres HA20 (3.14 cm²/barre) faudrait-il au minimum pour couvrir cette section ?

📝 Mémo
Toujours arrondir la section d'acier à l'entier commercial supérieur pour la sécurité.

Question 4 : Dimensionnement de la surface de la semelle S1

Principe

La réaction \(R_1\) calculée précédemment correspond à la force verticale totale que le sol doit supporter sous la semelle excentrée. Pour éviter que la fondation ne s'enfonce dans le sol (poinçonnement ou tassement excessif), il faut répartir cette force sur une surface suffisante. La pression exercée (contrainte) doit rester inférieure à la capacité portante admissible du sol (\(\sigma_{\text{sol}}\)). Nous allons déterminer la surface minimale \(S_{\text{min}}\) nécessaire.

Mini-Cours

La contrainte (\(\sigma\)) est définie comme une force divisée par une surface (\(\sigma = F/S\)). Pour que la fondation soit stable, il faut vérifier l'inégalité fondamentale : \(\frac{R_1}{S_{\text{semelle}}} \le \sigma_{\text{sol}}\). En inversant cette formule, on isole la surface pour obtenir sa valeur minimale requise.

Remarque Pédagogique

C'est une erreur fréquente d'utiliser la charge du poteau (\(N_{u1}\)) pour ce calcul. C'est bien la réaction majorée (\(R_1\)) incluant l'effet de levier qu'il faut utiliser. Si on oublie cette majoration, la semelle sera sous-dimensionnée de 8% à 15% selon l'excentricité.

Normes

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) définit les États Limites (GEO). Dans la pratique courante, on vérifie que la contrainte ELU sous la semelle ne dépasse pas la contrainte de calcul du sol \(q_{d}\) (ou \(\sigma_{\text{sol,u}}\)).

Formule(s)

Surface minimale

S_{\text{min}} \ge \frac{R_1}{\sigma_{\text{sol}}}

Hypothèses

On suppose une répartition uniforme des contraintes sous la semelle (semelle rigide) et on néglige le poids propre de la semelle dans une première approche (ou on considère qu'il est inclus dans la contrainte admissible nette).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Réaction Sol (calculée Q1)	\(R_1\)	648	\(\text{kN}\)
Contrainte Admissible Sol	\(\sigma_{\text{sol}}\)	0.25	\(\text{MPa}\)

Astuces

Pour convertir des MPa en kN/m², multipliez par 1000. Donc 0.25 MPa = 250 kN/m². C'est souvent plus facile pour diviser des kN.

Transmission des contraintes

Calcul(s)

1. Conversion des unités

Pour être cohérent, il faut que la force et la contrainte utilisent les mêmes unités de base. Travaillons en MégaNewtons (MN) et mètres carrés (m²) :

\begin{aligned} R_1 &= 648 \text{ kN} = 0.648 \text{ MN} \\ \sigma_{\text{sol}} &= 0.25 \text{ MPa} = 0.25 \text{ MN/m}^2 \end{aligned}

2. Calcul de la Surface Minimale

On divise la force par la résistance du sol pour obtenir la surface nécessaire :

\begin{aligned} S_{\text{min}} &= \frac{R_1}{\sigma_{\text{sol}}} \\ &= \frac{0.648 \text{ MN}}{0.25 \text{ MN/m}^2} \\ &= 2.592 \text{ m}^2 \end{aligned}

La semelle S1 doit avoir une surface au sol d'au moins 2.592 m².

3. Estimation des dimensions (Carrée)

Si on choisit une semelle carrée de côté \(B\), on prend la racine carrée de la surface :

\begin{aligned} B &= \sqrt{S_{\text{min}}} \\ &= \sqrt{2.592} \\ &\approx 1.609 \text{ m} \end{aligned}

On arrondira aux 5 cm supérieurs pour faciliter le coffrage sur chantier, soit une semelle de 1.65 m x 1.65 m.

Schéma (Semelle Dimensionnée)

Réflexions

Si nous avions utilisé la charge du poteau seule (600 kN) sans la majoration due à l'excentricité, nous aurions trouvé \(S = 0.600 / 0.25 = 2.40 m^2\), soit une semelle de 1.55m de côté. La différence de 10 cm sur la largeur est cruciale pour la sécurité et la stabilité à long terme.

Points de vigilance

Vérifiez toujours si le sol est homogène. Parfois, la contrainte admissible donnée est à l'ELS (Service), il faut alors comparer avec les charges ELS, pas ELU. Ici, nous avons fait l'hypothèse d'une vérification à la rupture (ELU).

Points à Retenir

Surface = Force / Contrainte. La Force à prendre en compte est la réaction du sol majorée \(R_1\), pas la descente de charge \(N_u\).

Le saviez-vous ?

Pour les semelles rectangulaires très allongées, la répartition des contraintes n'est plus tout à fait uniforme sous la semelle (effet de souplesse), ce qui nécessite des calculs plus complexes.

FAQ

Peut-on faire une semelle rectangulaire ?

Oui, tout à fait. Souvent en limite de propriété, on préfère une semelle allongée parallèlement à la limite pour réduire encore l'excentricité dans l'autre sens.

S_min = 2.59 m² (1.65 x 1.65 m)

A vous de jouer
Si le sol était meilleur et résistait à 0.50 MPa, quelle serait la surface minimale ?

📝 Mémo
Surface = Réaction / Contrainte Sol.

Question 5 : Calcul de l'Effort Tranchant (V_Ed)

Principe

L'effort tranchant correspond à la force de cisaillement vertical dans la poutre. Il tend à "couper" la poutre perpendiculairement à son axe. Dans une poutre, cet effort est généralement maximal au voisinage des appuis. Dans notre cas de figure (console inversée chargée par la réaction du sol), l'effort tranchant maximum se situe au nu du poteau de rive P1, là où la réaction du sol s'est accumulée.

Mini-Cours

Pour dimensionner les cadres (armatures transversales ou étriers), on utilise la valeur de calcul de l'effort tranchant \(V_{Ed}\). Si cet effort est trop important, le béton risque de se fissurer en diagonale (bielles de compression à 45°). On place des aciers transversaux verticaux pour "coudre" ces fissures potentielles.

Remarque Pédagogique

L'effort tranchant est souvent oublié par les étudiants, pourtant la rupture par cisaillement est brutale et soudaine, contrairement à la flexion qui prévient par des fissures. C'est une vérification de sécurité majeure.

Normes

Eurocode 2, Article 6.2. La vérification consiste à s'assurer que \(V_{Ed} \le V_{Rd,c}\) (résistance béton seul) ou à calculer des armatures d'âme \(A_{sw}\) si nécessaire.

Formule(s)

Effort Tranchant Max (Appui de rive)

V_{Ed} \approx R_1

En considérant l'équilibre global de la console, la force verticale qui "cisaille" la section de la poutre juste à droite de la semelle est égale à la somme des forces à gauche, soit la réaction totale du sol \(R_1\).

Hypothèses

On néglige le poids propre de la poutre qui viendrait soustraire une petite valeur à cet effort (sécuritaire).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Réaction Sol (Majorée)	\(R_1\)	648	\(\text{kN}\)

Astuces

Pour une poutre de redressement, l'effort tranchant max est simplement égal à la réaction du sol calculée à la Question 1. Pas besoin de calcul complexe !

Cisaillement

Calcul(s)

C'est une reprise directe de la valeur calculée à la Question 1, qui constitue la sollicitation maximale de cisaillement à l'ELU :

\begin{aligned} V_{Ed} &= R_1 \\ &= 648 \text{ kN} \\ &= 0.648 \text{ MN} \end{aligned}

C'est une valeur élevée (près de 65 tonnes de cisaillement). Cela nécessitera des cadres (étriers) rapprochés près de l'appui de rive.

Schéma (Dispositions Constructives)

Réflexions

Le béton seul ne suffira probablement pas à reprendre cet effort tranchant (\(V_{Rd,c}\) est souvent faible). Il faudra calculer une section d'armatures transversales \(A_{sw}/s\) (étriers).

Points de vigilance

Ne pas oublier de vérifier la contrainte des bielles de béton comprimé (Vérification de l'écrasement des bielles). Si le béton s'écrase sous l'effort tranchant, ajouter des cadres ne servira à rien, il faudra augmenter la section de la poutre (élargir ou augmenter la hauteur).

Points à Retenir

L'effort tranchant maximal est égal à la réaction d'appui la plus forte. Il impose de resserrer les cadres près des appuis.

Le saviez-vous ?

L'espacement des cadres ne doit jamais dépasser une certaine valeur (souvent \(0.75d\)) pour s'assurer qu'une fissure à 45° croisera toujours au moins un cours d'armatures transversales.

FAQ

Pourquoi l'effort tranchant est-il constant ?

Il est constant entre la semelle S1 et la semelle S2 car nous n'avons pas considéré de charges réparties entre les deux (poids propre négligé). S'il y avait le poids propre, l'effort tranchant diminuerait linéairement.

V_Ed = 648 kN

A vous de jouer
Si R1 valait 700 kN, que vaudrait V_Ed ? (Question piège : c'est la même valeur).

📝 Mémo
V_max = R_max. Resserrer les cadres aux appuis.

Bilan du Ferraillage

Coupe type de la poutre de redressement (Ferraillage de principe)

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir

Synthèse pour la conception des fondations excentrées :

🔑
Rôle : La longrine de redressement annule le moment de renversement de la semelle excentrée.
📈
Majoration : La charge sur le sol sous la semelle excentrée est toujours SUPÉRIEURE à la charge du poteau (\(R > N\)).
🏗️
Ferraillage : Les aciers principaux sont en HAUT (nappe supérieure) contrairement à une poutre classique sur deux appuis.

🎛️ Simulateur : Impact de l'Excentricité

Modifiez la charge du poteau et l'excentricité pour voir l'évolution du moment et de la réaction du sol.

Paramètres

Charge Poteau Nu1 (kN) : 600

Excentricité e (m) : 0.40

Moment Max (Mu) : -

Réaction Sol (R1) : -

📝 Quiz final : Validation des Acquis

1. Où sont placés les aciers principaux (tendus) dans une poutre de redressement ?

En partie supérieure (Nappe haute)
En partie inférieure (Nappe basse)
Au milieu (Cadres uniquement)

2. Comment évolue la réaction du sol R1 par rapport à la charge du poteau N1 ?

R1 est supérieure à N1
R1 est inférieure à N1
R1 est égale à N1

📚 Glossaire

Longrine: Poutre en béton armé posée au sol ou enterrée, reliant les fondations entre elles.
Excentricité: Distance entre le centre de gravité de la charge (poteau) et le centre de la fondation.
ELU: État Limite Ultime. État au-delà duquel la structure risque la ruine (casse).
Poinçonnement: Effort tranchant localisé qui peut transpercer la semelle ou la dalle.
Semelle Filante: Fondation continue sous un mur ou une rangée de poteaux.

Titre de l'article...

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma Mécanique du Système

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul d'une Poutre de Redressement

Question 1 : Calcul de la Réaction R1

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Modèle "Levier"

Calcul(s)

Calcul intermédiaire : Rapport d'excentricité

Calcul Principal

Schéma (Résultat)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Moment de Redressement (M_red)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Diagramme Mécanique

Calcul(s)

Conversion des unités

Calcul Principal

Schéma (Valeur Finale)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul des Aciers (As)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Géométrie de la Section

Calcul(s)

1. Calcul de la résistance de l'acier fyd

2. Estimation du Bras de levier z

3. Calcul Principal de la Section As

4. Conversion en cm²

Schéma (Ferraillage de Principe)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Dimensionnement de la surface de la semelle S1

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Transmission des contraintes