Calcul d’une poutre de redressement

Calcul d’une poutre de redressement

Comprendre le Calcul d’une poutre de redressement

Un bureau d’ingénierie est chargé de concevoir une poutre de redressement en béton armé pour soutenir une dalle de plancher dans un bâtiment résidentiel. La poutre doit être conçue pour résister aux charges permanentes (propres) et variables (surcharge d’exploitation) selon les spécifications des Eurocodes. Le bâtiment est situé dans une région avec une activité sismique modérée.

Pour comprendre le calcul des Charges permanentes et d’exploitation et le Dimensionnement d’une Longrine, cliquez sur les liens.

Données Fournies:

• Longueur de la poutre (L): 8 mètres.
• Largeur de la poutre (b): 300 mm.
• Hauteur de la poutre (h): 500 mm.
• Couverture en béton (c): 35 mm.
• Diamètre des barres d’armature longitudinales: 16 mm.
• Grade du béton: C25/30.
• Grade de l’acier d’armature: B500B.
• Charges permanentes (G): 25 kN/m, incluant le poids propre de la poutre.
• Charges variables (Q): 15 kN/m.

Questions:

1. Vérification de l’état limite ultime (ELU):

Déterminer les moments fléchissants maximaux (Mmax) et vérifier la résistance de la section de la poutre à ces moments. Considérer un facteur partiel de sécurité γf = 1,35 pour les charges permanentes et γf = 1,5 pour les charges variables.

2. Dimensionnement des armatures:

Calculer la surface requise des armatures longitudinales en tension (As) pour résister au moment fléchissant ultime. Déterminer également le nombre de barres nécessaires et leur disposition.

3. Vérification de l’état limite de service (ELS):

Vérifier la flèche de la poutre sous les charges quasi-permanentes pour s’assurer qu’elle ne dépasse pas la limite spécifiée par l’Eurocode 2

4. Vérification au cisaillement:

Calculer la capacité au cisaillement de la poutre (Vrd) et comparer avec le cisaillement maximal induit par les charges (Vmax), en utilisant les critères de l’Eurocode 2.

Correction : Calcul d’une poutre de redressement

1. Vérification de l’état limite ultime (ELU) en flexion

Étape 1.1 : Détermination de la charge facturée et du moment fléchissant maximum

Calcul de la charge linéique facturée :

La combinaison ultime (ULS) selon l’Eurocode 2 est :

\[ w = \gamma_G\,G + \gamma_Q\,Q, \]

avec :

• \(G = 25\,\text{kN/m}\) et \(\gamma_G = 1,35\),
• \(Q = 15\,\text{kN/m}\) et \(\gamma_Q = 1,5\).

On calcule :

\[ w = 1,35\times25 + 1,5\times15 \] \[ w = 33,75 + 22,5 \] \[ w = 56,25\; \text{kN/m}. \]

Moment fléchissant maximum pour une poutre simplement appuyée sous charge uniformément répartie :

\[ M_{Ed} = \frac{wL^2}{8}, \]

avec \(L = 8\,\text{m}\).
En unités cohérentes :

• \(L = 8\,\text{m} = 8000\,\text{mm}\),
• \(w = 56,25\,\text{kN/m} = 56,25\,\text{N/mm}\) (puisque \(1\, \text{kN/m} = 1\, \text{N/mm}\)).

Il est plus simple de calculer en kN\(\cdot\)m puis convertir en N\(\cdot\)mm.

Calcul en kN\(\cdot\)m :

\[ M_{Ed} = \frac{56,25\,\text{kN/m}\times (8\,\text{m})^2}{8} \] \[ M_{Ed} = \frac{56,25\times 64}{8} \] \[ M_{Ed} = 56,25\times8 \] \[ M_{Ed} = 450\; \text{kN·m}. \]

En N\(\cdot\)mm :

\[ M_{Ed} = 450\times10^6\; \text{N·mm}. \]

Étape 1.2 : Détermination de l’effort résistant en flexion de la section

La démarche usuelle consiste à s’assurer que la section en béton armé, avec une armature en traction d’aire totale \(A_s\), satisfait :

\[ M_{Rd} = A_s\,f_y\,\Bigl(d – 0,4\,x\Bigr) \ge M_{Ed}, \]

où :

• \(d\) est la hauteur utile effective,
• \(x\) est la profondeur de la zone comprimée, obtenue à partir de l’équilibre des efforts :

\[ A_s\,f_y = 0,87\,f_{cd}\,b\,x \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{A_s\,f_y}{0,87\,f_{cd}\,b}. \]

Calcul de la hauteur utile \(d\) :

La hauteur utile est la distance entre le centre de gravité des barres en traction et le bord comprimé. On a :

\[ d = h – \text{couverture} – \frac{\phi}{2}, \]

avec :

• \(h = 500\,\text{mm},\quad \text{couverture} = 35\,\text{mm},\quad \phi = 16\,\text{mm}.\)

Ainsi,

\[ d = 500 – 35 – \frac{16}{2} \] \[ d = 500 – 35 – 8 \] \[ d = 457\; \text{mm}. \]

Étape 1.3 : Mise en place de l’équation et résolution pour \(A_s\)

On écrit :

\[ M_{Ed} = A_s\,f_y\,\Biggl(d – 0,4\,\frac{A_s\,f_y}{0,87\,f_{cd}\,b}\Biggr). \]

En isolant \(A_s\), on obtient une équation quadratique :

\[ A_s\,f_y\,d – \frac{0,4\,f_y^2}{0,87\,f_{cd}\,b}\,A_s^2 – M_{Ed} = 0. \]

On la réécrit sous la forme :

\[ \underbrace{\frac{0,4\,f_y^2}{0,87\,f_{cd}\,b}}_{K}\,A_s^2 – f_y\,d\,A_s + M_{Ed} = 0. \]

Substitution numérique :

• \(f_y = 500\,\text{MPa}\),
• \(f_{cd} \approx 14\,\text{MPa}\),
• \(b = 300\,\text{mm}\),
• \(d = 457\,\text{mm}\),
• \(M_{Ed} = 450\times10^6\,\text{N·mm}\).

Calculons le coefficient \(K\) :

\[ K = \frac{0,4\times500^2}{0,87\times14\times300} = \frac{0,4\times250\,000}{0,87\times4200}. \]

D’abord :

\[ 0,4\times250\,000 = 100\,000\; \text{(N/mm)}, \]

et

\[ 0,87\times4200 = 3654. \]

Donc,

\[ K \approx \frac{100\,000}{3654} \approx 27,36\; \text{(mm}^{-1}\text{)}. \]

L’équation devient :

\[ 27,36\,A_s^2 – (500\times457)\,A_s + 450\times10^6 = 0. \]

Calculons :

\[ 500\times457 = 228\,500. \]

L’équation s’écrit alors :

\[ 27,36\,A_s^2 – 228\,500\,A_s + 450\times10^6 = 0. \]

Résolution par la formule quadratique :

\[ A_s = \frac{228\,500 \pm \sqrt{228\,500^2 – 4\times27,36\times450\times10^6}}{2\times27,36}. \]

On obtient donc deux solutions :

\[ A_{s1} = \frac{228\,500 – 54\,772}{54,72} \] \[ A_{s1} \approx \frac{173\,728}{54,72} \approx 3175\; \text{mm}^2, \]

\[ A_{s2} = \frac{228\,500 + 54\,772}{54,72} \] \[ A_{s2} \approx \frac{283\,272}{54,72} \approx 5174\; \text{mm}^2. \]

Pour un comportement ductile, on retient la solution la plus faible, à savoir :

\[ A_s \approx 3200\; \text{mm}^2 \quad (\text{en arrondissant}). \]

Conclusion vérification ELU en flexion

Avec \(A_s \approx 3200\; \text{mm}^2\), la capacité de la section est :

1. Calcul de la profondeur de la zone comprimée :

\[ x = \frac{A_s\,f_y}{0,87\,f_{cd}\,b} \] \[ x = \frac{3200\times500}{0,87\times14\times300} \] \[ x \approx \frac{1\,600\,000}{3654} \] \[ x \approx 438\,\text{mm}. \]

2. Calcul du bras de levier :

\[ z = d – 0,4\,x \] \[ z \approx 457 – 0,4\times438 \] \[ z \approx 457 – 175 = 282\; \text{mm}. \]

3. Moment résistant :

\[ M_{Rd} = A_s\,f_y\,z \] \[ M_{Rd} \approx 3200\times500\times282 \] \[ M_{Rd} \approx 451\times10^6\; \text{N·mm} \quad (\approx 451\; \text{kN·m}). \]

Ce qui est légèrement supérieur à \(M_{Ed} = 450\; \text{kN·m}\).

2. Dimensionnement des armatures longitudinales

Calcul de l’aire d’armature requise

Nous avons obtenu :

\[ A_s \approx 3200\; \text{mm}^2. \]

Détermination du nombre de barres

L’aire d’une barre de diamètre \(16\,\text{mm}\) est :

\[ A_{\text{bar}} = \frac{\pi}{4}\,\phi^2 \] \[ A_{\text{bar}} = \frac{\pi}{4}\times16^2 \] \[ A_{\text{bar}} \approx \frac{3,14}{4}\times256 \approx 201\, \text{mm}^2. \]

Le nombre de barres nécessaires est donc :

\[ n = \frac{A_s}{A_{\text{bar}}} \approx \frac{3200}{201} \approx 15,9. \]

On choisit ainsi 16 barres de 16 mm de diamètre.

Remarque sur la disposition :
La disposition habituelle consiste à répartir les barres en deux ou plusieurs couches en fonction des dimensions de la section et des exigences de recouvrement. Par exemple, deux couches de 8 barres chacune pourront être envisagées en veillant à respecter la couverture minimale et les espacements préconisés par l’Eurocode 2.

3. Vérification de l’état limite de service (ELS) — Flèche

On vérifie que la flèche sous les charges quasi-permanentes reste dans les limites imposées.

Étape 3.1 : Détermination de la charge de service

Pour l’ELS, la combinaison quasi-permanente est :

\[ w_{service} = G + \psi_2\,Q. \]

En général, \(\psi_2 \approx 0,3\) pour la surcharge d’exploitation.

Ainsi :

\[ w_{service} = 25 + 0,3\times15 \] \[ w_{service} = 25 + 4,5 \] \[ w_{service} = 29,5\; \text{kN/m}, \]

soit \(29,5\,\text{kN/m} = 29,5\,\text{N/mm}\).

Étape 3.2 : Calcul de la flèche

Pour une poutre simplement appuyée, la flèche maximale sous charge uniformément répartie est donnée par :

\[ \delta_{max} = \frac{5\,w\,L^4}{384\,E_c\,I}, \]

où :

• \(L = 8\,\text{m} = 8000\,\text{mm}\),
• \(I\) est le moment d’inertie de la section rectangulaire :

\[ I = \frac{b\,h^3}{12} \] \[ I = \frac{300\times500^3}{12} \] \[ I = \frac{300\times125\,000\,000}{12} \] \[ I \approx 3,125\times10^9\; \text{mm}^4, \]

• \(E_c = 30\,000\,\text{MPa} = 30\,000\,\text{N/mm}^2\).

Calculons \(L^4\) :

\[ L^4 = 8000^4 = 8^4\times10^{12} = 4096\times10^{12} = 4,096\times10^{15}\; \text{mm}^4. \]

Substitution numérique :

\[ \delta_{max} = \frac{5\times29,5\times4,096\times10^{15}}{384\times30\,000\times3,125\times10^9}. \] \[ \delta_{max} \approx \frac{6,0416\times10^{17}}{3,6\times10^{13}} \] \[ \delta_{max} \approx 16\,800\; \text{mm}\times 10^{-3} = 16,8\; \text{mm}. \]

Étape 3.3 : Vérification par rapport à la limite admissible

Une limite classique pour la flèche d’une poutre simplement appuyée est :

\[ \delta_{lim} = \frac{L}{250} = \frac{8000}{250} = 32\; \text{mm}. \]

Ici, \(\delta_{max} \approx 16,8\; \text{mm} < 32\; \text{mm}\).

La flèche est donc correcte au regard de l’ELS.

4. Vérification au cisaillement

Étape 4.1 : Calcul de la force tranchante facturée

Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée, la force de cisaillement maximale se situe en appui :

\[ V_{Ed} = \frac{w\,L}{2}. \]

En utilisant la charge facturée (ULS) \(w = 56,25\; \text{kN/m}\) et \(L = 8\,\text{m}\) :

\[ V_{Ed} = \frac{56,25\times8}{2} \] \[ V_{Ed} = 56,25\times4 \] \[ V_{Ed} = 225\; \text{kN}. \]

Étape 4.2 : Capacité au cisaillement du béton sans armatures transversales

Selon l’Eurocode 2, la résistance au cisaillement du béton sans armatures transversales est donnée par :

\[ V_{Rd,c} = \left[C_{Rd,c}\,k\,(100\,\rho_l\,f_{ck})^{1/3}\right]\,b\,d, \]

avec :

• \(C_{Rd,c} = \frac{0,18}{\gamma_c}\). En prenant \(\gamma_c = 1,5\), on a \(C_{Rd,c} = 0,12\).
• \(k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}}\), avec \(d\) en mm (mais limité à 2.0).
  Ici, \(d = 457\; \text{mm}\) donc :

\[ k = 1 + \sqrt{\frac{200}{457}} \] \[ k \approx 1 + \sqrt{0,437} \] \[ k \approx 1 + 0,661 \approx 1,66. \]

• \(\rho_l = \frac{A_s}{b\,d}\) est le taux d’armature longitudinal en traction.
  Avec \(A_s = 3200\; \text{mm}^2\), \(b = 300\,\text{mm}\), \(d = 457\,\text{mm}\) :

\[ \rho_l = \frac{3200}{300\times457} \] \[ \rho_l \approx \frac{3200}{137100} \] \[ \rho_l \approx 0,0233 \quad \text{(soit 2,33\%)}. \]

• \(f_{ck} = 25\,\text{MPa}\).

Calculons :

1. \(100\,\rho_l\,f_{ck} = 100\times0,0233\times25 \approx 58,25\).
Puis, \((58,25)^{1/3} \approx 3,89\).

2. On a donc :

\[ V_{Rd,c} = 0,12\times1,66\times3,89\times b\,d. \]

Calculons le produit des coefficients :

\[ 0,12\times1,66 \approx 0,199 \quad \text{et} \quad 0,199\times3,89 \approx 0,775. \]

3. Ensuite, la section transversale effective est \(b\,d = 300\times457 \approx 137\,100\; \text{mm}^2\).

Ainsi,

\[ V_{Rd,c} \approx 0,775\times137\,100 \] \[ V_{Rd,c} \approx 106\,200\; \text{N} \quad \text{soit environ } 106\,\text{kN}. \]

Conclusion provisoire :

La résistance du béton seul (\(\approx106\,\text{kN}\)) est insuffisante face à \(V_{Ed} = 225\; \text{kN}\). Il faut donc prévoir une armature transversale (étriers).

Étape 4.3 : Calcul de l’armature transversale requise

La contribution des armatures transversales (étriers) est donnée par :

\[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s}\,f_{ywd}\,z\,\cot\theta, \]

avec :

• \(A_{sw}\) = aire totale de la section des étriers dans une bande de longueur \(s\) (pour une section à 2 branches, \(A_{sw} = 2\times A_{\text{bar\,étrier}}\)).
• \(s\) = espacement des étriers (en mm).
• \(f_{ywd}\) = résistance de calcul de l’acier pour les étriers. On prend généralement \(f_{ywd} \approx \frac{f_y}{\gamma_s}\), avec \(\gamma_s \approx 1,15\). Ainsi,

\[ f_{ywd} \approx \frac{500}{1,15} \approx 435\,\text{MPa}. \]

• On choisit souvent l’angle de la diagonale du béton, \(\theta = 45^\circ\) (donc \(\cot45^\circ = 1\)).
• On prendra un levier effectif \(z \approx 0,9d\), soit :

\[ z \approx 0,9\times457 \approx 411\,\text{mm}. \]

La résistance supplémentaire à fournir par les étriers doit couvrir :

\[ V_{Rd,s} \ge V_{Ed} – V_{Rd,c} = 225 – 106 = 119\,\text{kN}. \]

On écrit alors :

\[ \frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{V_{Rd,s}}{f_{ywd}\,z} = \frac{119\,000}{435\times411}. \] \[ \frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{119\,000}{179\,000} \approx 0,665\; \text{mm}^2/\text{mm}. \]

Choix d’une armature type pour les étriers

Supposons que nous utilisions des étriers en acier de diamètre \(8\,\text{mm}\).
L’aire d’un barreau de \(8\,\text{mm}\) est :

\[ A_{\text{étrier}} = \frac{\pi}{4}\,8^2 \approx 50\, \text{mm}^2. \]

Pour un étrier à 2 branches, l’aire totale par étrier est :

\[ A_{sw} = 2\times50 \approx 100\, \text{mm}^2. \]

L’exigence précédente impose :

\[ \frac{A_{sw}}{s} \ge 0,665 \quad \Longrightarrow \quad s \le \frac{A_{sw}}{0,665} \approx \frac{100}{0,665} \approx 150\, \text{mm}. \]

Conclusion au cisaillement

En proposant des étriers à 2 branches de \(8\,\text{mm}\) espacés tous les \(150\, \text{mm}\), la contribution apportée par l’armature transversale est :

\[ V_{Rd,s} \approx \frac{100}{150}\times435\times411 \] \[ V_{Rd,s}\approx 0,667\times179\,000 \] \[ V_{Rd,s} \approx 119\,000\; \text{N} \quad (119\,\text{kN}). \]

Ainsi, la résistance totale au cisaillement est :

\[ V_{Rd} = V_{Rd,c} + V_{Rd,s} \] \[ V_{Rd} \approx 106\,\text{kN} + 119\,\text{kN} \] \[ V_{Rd} = 225\,\text{kN}, \]

Ce qui est juste supérieur à la demande \(V_{Ed} = 225\; \text{kN}\).

Conclusion finale :

• Flexion (ELU) : La poutre, soumise à un moment facturé de 450 kN·m, est vérifiée en flexion avec une armature longitudinale de \(A_s \approx 3200\; \text{mm}^2\), réalisée par 16 barres de 16 mm de diamètre.
• Service (ELS) : Le calcul de la flèche (≈16,8 mm) est nettement inférieur à la limite admise (\(\approx32\,\text{mm}\)).
• Cisaillement : La vérification au cisaillement montre que, avec une résistance au béton de ≈106 kN, il faut compléter avec des étriers à 2 branches de 8 mm espacés tous les 150 mm pour atteindre une capacité totale de 225 kN.

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