EGC

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre en Béton Armé

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Contexte : L'importance cruciale des étriers

Les étriersAussi appelés cadres ou armatures transversales, ils "ceinturent" les aciers longitudinaux. Leur rôle est de reprendre l'effort tranchant et d'empêcher le béton de "s'ouvrir" sous l'effet de fissures inclinées., bien que moins visibles que les grosses barres longitudinales, jouent un rôle de "couture" indispensable pour la poutre. Ils s'opposent à la formation de fissures de cisaillement, particulièrement dangereuses car elles peuvent mener à une rupture brutale. Le calcul de leur espacement est donc une étape fondamentale pour garantir la ductilité et la sécurité de l'élément structurel.

Remarque Pédagogique : Ce nouvel exercice vous propose d'appliquer la méthode de l'Eurocode 2 sur un cas différent. Nous allons dimensionner les étriers pour une poutre plus élancée avec des matériaux de plus haute performance, ce qui nous amènera à manipuler des valeurs différentes et à porter une attention particulière aux espacements maximaux réglementaires.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort tranchant ultime (\(V_{\text{Ed}}\)) pour des charges et une portée différentes.
  • Utiliser un béton de classe C30/37 et comprendre son impact sur la résistance.
  • Vérifier la non-fragilité de la section par écrasement du béton (\(V_{\text{Rd,max}}\)) avec un angle de bielle \(\theta = 25^\circ\).
  • Déterminer le ratio d'acier (\(A_{\text{sw}}/s\)) nécessaire.
  • Choisir un diamètre d'étrier et calculer l'espacement pratique en respectant toutes les limitations de l'Eurocode 2.

Données de l'étude

Une poutre de plancher de grande portée (\(L = 7.5 \, \text{m}\)) supporte des charges résidentielles. Elle est simplement appuyée à ses extrémités. Nous devons dimensionner ses armatures d'effort tranchant (étriers).

Schéma de la poutre et de sa section
Portée L = 7.5 m Section h=60cm b=25cm

Caractéristiques des charges et matériaux :

  • Charge permanente (hors poids propre) : \(G_{\text{k}} = 18 \, \text{kN/m}\).
  • Charge d'exploitation (résidentiel) : \(Q_{\text{k}} = 12 \, \text{kN/m}\).
  • Béton : C30/37 (\(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\)).
  • Acier des étriers : S 500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\)).
  • Section de la poutre : \(b \times h = 25 \times 60 \, \text{cm}\).
  • Hauteur utile : \(d = 0.9h = 54 \, \text{cm}\). Le bras de levier \(z\) est pris égal à \(0.9d\).
  • Étriers droits (inclinaison \(\alpha = 90^\circ\)).

Questions à traiter

  1. Calculer la charge ultime totale (\(p_{\text{u}}\)), en incluant le poids propre de la poutre (poids volumique du béton armé \(\gamma_{\text{BA}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)).
  2. Déterminer l'effort tranchant de calcul maximal (\(V_{\text{Ed}}\)).
  3. Vérifier la bielle de béton (\(V_{\text{Rd,max}}\)) avec un angle d'inclinaison \(\theta = 25^\circ\).
  4. Calculer le ratio d'armatures (\(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\)) requis.
  5. En choisissant des étriers de \(\phi_{\text{t}} = 8 \, \text{mm}\), déterminer l'espacement final à adopter près des appuis.

Correction : Calcul de l’Espacement des Étriers

Question 1 : Calculer la charge ultime totale (\(p_{\text{u}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Gk Qk Pp pu = 1.35(Gk+Pp) + 1.5 Qk

Pour dimensionner la poutre à l'État Limite Ultime (ELU), on doit combiner toutes les charges qu'elle supporte (permanentes, exploitation, son propre poids) et les majorer par des coefficients de sécurité pour obtenir la charge de calcul la plus défavorable, notée \(p_{\text{u}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distinction entre charges de service (\(G_{\text{k}}\), \(Q_{\text{k}}\)) et charges ultimes (\(p_{\text{u}}\)) est fondamentale. Les charges de service représentent les conditions d'utilisation normales et servent aux calculs à l'ELS (flèche, fissuration). Les charges ultimes représentent un scénario extrême et servent aux calculs de résistance à l'ELU (flexion, effort tranchant).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le poids propre est une charge permanente. Il est donc logique de le sommer avec les autres charges permanentes (\(G_{\text{k}}\)) avant d'appliquer le coefficient de sécurité \(\gamma_G = 1.35\). Ne le pondérez jamais séparément.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 0 (NF EN 1990) § 6.4.3, Équation (6.10) : Cette norme définit les principes des combinaisons d'actions pour les calculs aux états limites ultimes. La formule \(1.35G + 1.5Q\) est la combinaison fondamentale la plus courante pour les bâtiments.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère une situation de projet durable pour un bâtiment courant. Le poids volumique du béton armé est pris forfaitairement à \(25 \, \text{kN/m}^3\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre de la poutre :

\[ P_{\text{p}} = b \times h \times \gamma_{\text{BA}} \]

Charge ultime répartie :

\[ p_{\text{u}} = 1.35 \times (G_{\text{k}} + P_{\text{p}}) + 1.5 \times Q_{\text{k}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G_{\text{k}} = 18 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_{\text{k}} = 12 \, \text{kN/m}\)
  • \(b = 0.25 \, \text{m}\), \(h = 0.60 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_{\text{BA}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du poids propre :

\[ \begin{aligned} P_{\text{p}} &= 0.25 \, \text{m} \times 0.60 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 3.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul de la charge ultime :

\[ \begin{aligned} p_{\text{u}} &= 1.35 \times (18 + 3.75) + 1.5 \times 12 \\ &= 1.35 \times 21.75 + 18 \\ &= 29.36 + 18 \\ &= 47.36 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge totale pondérée que la poutre doit pouvoir supporter est de 47.36 kN pour chaque mètre de sa longueur. C'est cette valeur qui génère les sollicitations internes (moment fléchissant et effort tranchant).

Points à retenir

La charge ultime \(p_{\text{u}}\) s'obtient en additionnant toutes les charges permanentes (y compris le poids propre), en les multipliant par 1.35, et en y ajoutant les charges d'exploitation multipliées par 1.5.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul des sollicitations de résistance (ELU) doit obligatoirement partir des charges pondérées pour garantir une marge de sécurité suffisante vis-à-vis de la ruine de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur d'unités : Assurez-vous que toutes vos dimensions sont en mètres pour le calcul du poids propre afin d'obtenir un résultat en kN/m, cohérent avec les autres charges.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les coefficients de sécurité (1.35 et 1.5) ne sont pas arbitraires. Ils sont issus de calculs statistiques complexes qui tiennent compte de la variabilité des charges et des résistances des matériaux pour atteindre un niveau de fiabilité cible sur la durée de vie de l'ouvrage.

FAQ (pour lever les doutes)
Existe-t-il d'autres combinaisons de charges ?

Oui, l'Eurocode prévoit d'autres combinaisons, notamment pour les situations accidentelles (séisme, incendie) ou lorsque plusieurs charges d'exploitation variables peuvent agir simultanément. Pour un bâtiment standard, la combinaison 1.35G+1.5Q est cependant la plus courante et souvent la plus déterminante.

Résultat Final : La charge de calcul ultime est \(p_{\text{u}} = 47.36 \, \text{kN/m}\).

À vous de jouer : Calculez \(p_{\text{u}}\) si la charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) était de 15 kN/m.

Question 2 : Déterminer l'effort tranchant de calcul maximal (\(V_{\text{Ed}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Charge ultime pu V_Ed,max = pu*L/2

L'effort tranchant est la sollicitation qui tend à cisailler la poutre. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniformément répartie, cet effort est maximal aux appuis (où il vaut la moitié de la charge totale) et s'annule à mi-portée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant est la représentation graphique de la variation de V le long de la poutre. Pour une charge répartie, c'est une droite décroissante. Pour une charge ponctuelle, il présente un "saut" vertical. La connaissance de ce diagramme est essentielle pour optimiser le ferraillage, en le densifiant là où V est élevé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul des étriers se base sur la valeur absolue de l'effort tranchant. Peu importe que V soit positif ou négatif, la poutre doit être ferraillée symétriquement par rapport à son milieu.

Normes (la référence réglementaire)

Principes de la Résistance des Matériaux (RDM) : La formule \(V = pL/2\) est un résultat fondamental de la RDM pour une poutre isostatique sous charge uniformément répartie. L'Eurocode s'appuie sur ces principes de base de la mécanique des structures.

Hypothèses (le cadre du calcul)

La poutre est considérée comme "simplement appuyée" (isostatique), ce qui signifie que les appuis ne reprennent que des efforts verticaux et permettent la libre rotation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Effort tranchant maximal :

\[ V_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{u}} \times L}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(p_{\text{u}} = 47.36 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 7.5 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'effort tranchant :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{47.36 \, \text{kN/m} \times 7.5 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{355.2}{2} \\ &= 177.6 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un effort de 177.6 kN (environ 17.7 tonnes) tente de cisailler la poutre au niveau de chaque appui. C'est cette force que les étriers et le béton devront reprendre ensemble.

Points à retenir

L'effort tranchant maximal à l'appui d'une poutre isostatique est la moitié de la charge totale (\(p_{\text{u}} \times L\)).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La connaissance de \(V_{\text{Ed}}\) est indispensable. C'est la sollicitation "agissante" que l'on va comparer à la sollicitation "résistante" de la poutre pour s'assurer de sa sécurité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise charge : Utiliser Gk ou Qk à la place de \(p_{\text{u}}\) dans cette formule est une erreur majeure qui sous-estimerait gravement l'effort à reprendre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'Eurocode 2 permet de ne pas calculer le ferraillage pour \(V_{\text{Ed,max}}\) au nu de l'appui, mais pour l'effort tranchant réduit calculé à une distance 'd' (hauteur utile) de l'appui. Cela est dû à la diffusion directe des efforts dans l'appui (effet de bielle). Pour simplifier, nous utilisons ici la valeur maximale.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la poutre était encastrée ?

Si la poutre était encastrée à ses extrémités (cas hyperstatique), la répartition des efforts serait différente. L'effort tranchant aux appuis serait toujours \(p_{\text{u}} L / 2\), mais des moments d'encastrement apparaîtraient, modifiant le diagramme de moment fléchissant.

Résultat Final : L'effort tranchant de calcul maximal est \(V_{\text{Ed}} = 177.6 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Calculez \(V_{\text{Ed}}\) si la portée L était de 8.0 m (avec \(p_{\text{u}} = 47.36\) kN/m).

Question 3 : Vérifier la résistance de la bielle de béton (\(V_{\text{Rd,max}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
V_Ed Écrasement ?

Avant de calculer les aciers, il faut s'assurer que le béton lui-même peut supporter la compression dans les "bielles" inclinées qui se forment pour reprendre l'effort tranchant. Si \(V_{\text{Ed}}\) est supérieur à \(V_{\text{Rd,max}}\), la section de la poutre est trop petite et doit être redimensionnée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le modèle de la poutre-treillis est une analogie où la poutre fonctionne comme une structure triangulée : la membrure supérieure comprimée (béton), la membrure inférieure tendue (aciers longitudinaux), les montants verticaux tendus (étriers) et les diagonales comprimées (bielles de béton). La vérification de \(V_{\text{Rd,max}}\) revient à vérifier la résistance de ces diagonales en béton.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Cette vérification est une sécurité fondamentale contre une rupture fragile. Une rupture des aciers (ductile) est préférable car elle est progressive et visible, alors qu'une rupture du béton (fragile) est soudaine et catastrophique. Cette vérification garantit que la rupture, si elle devait se produire, serait ductile.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 6.2.3 (3), Équation (6.9) : C'est la formule qui donne la résistance maximale à l'effort tranchant limitée par l'écrasement des bielles de compression. Elle dépend des dimensions de la poutre, de la résistance du béton et de l'angle \(\theta\) choisi.

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'angle des bielles \(\theta\) est choisi à \(25^\circ\). L'Eurocode autorise une plage de \(21.8^\circ\) à \(45^\circ\). Un angle plus faible réduit la contrainte sur le béton mais augmente la traction dans les aciers.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance maximale de la bielle de béton :

\[ V_{\text{Rd,max}} = \frac{b_{\text{w}} z \nu_1 f_{\text{cd}}}{\cot\theta + \tan\theta} \]

Coefficient de réduction pour béton fissuré :

\[ \nu_1 = 0.6 \times (1 - f_{\text{ck}}/250) \]

Résistance de calcul du béton :

\[ f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}}/1.5 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\)
  • \(b_{\text{w}} = 250 \, \text{mm}\)
  • \(z = 486 \, \text{mm}\)
  • \(\theta = 25^\circ\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Résistance de calcul du béton :

\[ \begin{aligned} f_{\text{cd}} &= \frac{30}{1.5} \\ &= 20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Coefficient de réduction pour béton fissuré :

\[ \begin{aligned} \nu_1 &= 0.6 \times (1 - \frac{30}{250}) \\ &= 0.6 \times (1 - 0.12) \\ &= 0.6 \times 0.88 \\ &= 0.528 \end{aligned} \]

Valeurs trigonométriques :

\[ \cot(25^\circ) = 2.145 \]
\[ \tan(25^\circ) = 0.466 \]

Calcul de la résistance maximale :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Rd,max}} &= \frac{250 \times 486 \times 0.528 \times 20}{2.145 + 0.466} \\ &= \frac{1283040}{2.611} \\ &= 491400 \, \text{N} \\ &\approx 491.4 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification de la condition :

\[ V_{\text{Ed}} = 177.6 \, \text{kN} \le V_{\text{Rd,max}} = 491.4 \, \text{kN} \quad (\text{VÉRIFIÉ}) \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre dispose d'une marge de sécurité très confortable. Sa capacité maximale à l'effort tranchant côté béton (491.4 kN) est presque 3 fois supérieure à l'effort qu'elle subit (177.6 kN). On peut donc procéder au calcul des aciers en toute confiance.

Points à retenir

Toujours vérifier que \(V_{\text{Ed}} \le V_{\text{Rd,max}}\). Si ce n'est pas le cas, la seule solution est d'augmenter la section de la poutre ou la qualité du béton.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est une condition préalable au calcul des aciers. Elle assure que le mode de rupture par cisaillement sera ductile (gouverné par l'acier) et non fragile (gouverné par le béton).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités incohérentes : La plus grande source d'erreur est le mélange des unités. Il est conseillé de tout convertir en N et mm pour les calculs de résistance.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient \(\nu_1\) réduit la résistance du béton pour tenir compte du fait que le béton est déjà fissuré par la flexion avant même d'être sollicité par l'effort tranchant. Un béton non fissuré serait plus résistant.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je toujours choisir \(\theta = 25^\circ\) ?

Non, c'est un choix de concepteur. Choisir un angle plus grand (ex: 45°) augmenterait la résistance de la bielle de béton \(V_{\text{Rd,max}}\) mais conduirait aussi à un besoin en acier d'étriers plus important. Le choix de \(\theta\) est un levier d'optimisation.

Résultat Final : La section de béton est suffisante car \(V_{\text{Ed}} = 177.6 \, \text{kN} \le V_{\text{Rd,max}} = 491.4 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Recalculez \(V_{\text{Rd,max}}\) si on avait choisi un angle \(\theta = 45^\circ\).

Question 4 : Calculer le ratio d'armatures transversales (\(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Bielle V_Ed Acier (Asw)

Le ratio \(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\) représente la section d'acier des étriers (\(A_{\text{sw}}\)) requise par unité de longueur (\(s_{\text{t}}\)). C'est la "densité" de ferraillage transversal nécessaire pour équilibrer l'effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\) dans le modèle en treillis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule montre que le besoin en acier (\(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\)) est directement proportionnel à l'effort \(V_{\text{Ed}}\) et inversement proportionnel au bras de levier \(z\) et à \(\cot\theta\). Cela signifie que pour un même effort, une poutre plus haute (plus grand \(z\)) ou un angle de bielle plus grand (plus petit \(\cot\theta\)) nécessitera moins d'armatures transversales.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le résultat de ce calcul est exprimé en cm²/m. Cela ne correspond pas à un espacement final, mais à une quantité d'acier à fournir. C'est à l'étape suivante que l'on traduira cette quantité en un espacement concret en choisissant un diamètre de barre.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 6.2.3 (4), Équation (6.8) : C'est la formule de base pour le dimensionnement des armatures d'effort tranchant. Elle exprime l'équilibre des forces verticales dans le modèle en treillis.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue avec les mêmes hypothèses : \(\theta = 25^\circ\), acier S500 (\(f_{\text{yk}} = 500\) MPa), étriers droits (\(\alpha=90^\circ\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Ratio d'armatures transversales requis :

\[ \frac{A_{\text{sw}}}{s_{\text{t}}} = \frac{V_{\text{Ed}}}{z f_{\text{ywd}} \cot\theta} \]

Résistance de calcul de l'acier des étriers :

\[ f_{\text{ywd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(V_{\text{Ed}} = 177600 \, \text{N}\)
  • \(z = 486 \, \text{mm}\)
  • \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\), \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\)
  • \(\cot(25^\circ) = 2.145\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Résistance de calcul de l'acier :

\[ \begin{aligned} f_{\text{ywd}} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul du ratio d'armatures :

\[ \begin{aligned} \frac{A_{\text{sw}}}{s_{\text{t}}} &= \frac{177600}{486 \times 434.78 \times 2.145} \\ &= \frac{177600}{453088} \\ &= 0.392 \, \text{mm}^2/\text{mm} \end{aligned} \]

Conversion d'unités :

\[ 0.392 \, \text{mm}^2/\text{mm} \times 10 = 3.92 \, \text{cm}^2/\text{m} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Dans la zone la plus sollicitée, nous devons fournir 3.92 cm² d'acier d'étriers pour chaque mètre de poutre. Cette valeur va maintenant nous permettre de faire un choix de ferraillage concret.

Points à retenir

Le ratio \(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\) est la quantité d'acier d'effort tranchant nécessaire par mètre. Il se calcule en divisant l'effort agissant par la résistance offerte par les aciers.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape quantifie le besoin en matière (acier) pour assurer la résistance. C'est le cœur du dimensionnement, qui transforme une sollicitation (force) en un élément de conception (quantité de ferraillage).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier la conversion d'unités : Le résultat brut de la formule est en mm²/mm. Il est essentiel de le convertir en cm²/m (en multipliant par 10) pour l'utiliser dans la pratique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul de structure modernes ne se contentent pas de calculer ce ratio à l'appui. Ils le calculent en de multiples points le long de la poutre et proposent un plan de ferraillage optimisé, où l'espacement des étriers varie pour suivre au plus près la courbe de l'effort tranchant.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie \(A_{\text{sw}}\) exactement ?

\(A_{\text{sw}}\) est la section totale des brins d'étrier qui traversent une fissure potentielle. Pour un étrier standard (un cadre), il y a 2 brins verticaux qui travaillent. Donc, \(A_{\text{sw}}\) est égal à 2 fois la section d'une barre d'étrier.

Résultat Final : Le ratio d'armatures transversales requis est de \(3.92 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

À vous de jouer : Calculez le ratio \(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\) si \(V_{\text{Ed}}\) était de 200 kN.

Question 5 : Déterminer l'espacement final des étriers

Principe avec image animée (le concept physique)
V_Ed s_t = 25 cm s_t = 25 cm

Cette dernière étape consiste à transformer le besoin théorique en acier (\(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}}\)) en une solution concrète et réalisable sur chantier. On choisit un diamètre d'étrier standard, on calcule l'espacement maximal que ce choix autorise, et on le compare aux limites réglementaires pour retenir la valeur la plus sûre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le choix du diamètre de l'étrier est un compromis. Un petit diamètre (ex: 6 mm) mènera à des espacements très faibles, difficiles à bétonner. Un gros diamètre (ex: 10 ou 12 mm) donnera des espacements plus grands, mais peut être difficile à cintrer et plus coûteux. Le HA8 est souvent un bon compromis pour les poutres de bâtiment.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'espacement final retenu doit TOUJOURS être inférieur ou égal à l'espacement calculé. Arrondir 25.8 cm à 26 cm est une erreur. On arrondit toujours à la valeur pratique inférieure (ici, 25 cm) pour rester du côté de la sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 9.2.2 : Cette section impose des limites pour l'espacement maximal des étriers (\(s_{\text{t,max}}\)). La limite la plus courante est \(s_{\text{t,max}} \le 0.75d\). Ceci assure qu'une fissure de cisaillement potentielle sera toujours "cousue" par au moins un étrier.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait le choix technologique d'utiliser des étriers de diamètre \(\phi_{\text{t}} = 8 \, \text{mm}\) avec 2 brins verticaux (un cadre simple).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section d'un cours d'étriers :

\[ A_{\text{sw}} = n_{\text{brins}} \times \frac{\pi \phi_{\text{t}}^2}{4} \]

Espacement de calcul :

\[ s_{\text{t,calcul}} = \frac{A_{\text{sw}}}{(A_{\text{sw}}/s_{\text{t}})_{\text{requis}}} \]

Espacement final à retenir :

\[ s_{\text{t,final}} = \min(s_{\text{t,calcul}} \,;\, s_{\text{t,max}}) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \((A_{\text{sw}}/s_{\text{t}})_{\text{requis}} = 3.92 \, \text{cm}^2/\text{m}\)
  • \(\phi_{\text{t}} = 8 \, \text{mm}\)
  • \(d = 54 \, \text{cm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Section d'un cours d'étriers HA8 (2 brins) :

\[ \begin{aligned} A_{\text{sw}} &= 2 \times \frac{\pi \times 8^2}{4} \\ &= 100.53 \, \text{mm}^2 \\ &= 1.01 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de l'espacement théorique :

\[ \begin{aligned} s_{\text{t,calcul}} &= \frac{1.01 \, \text{cm}^2}{3.92 \, \text{cm}^2/\text{m}} \\ &= 0.258 \, \text{m} \\ &= 25.8 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Calcul de l'espacement maximal réglementaire :

\[ \begin{aligned} s_{\text{t,max}} &= 0.75 \times 54 \, \text{cm} \\ &= 40.5 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Détermination de l'espacement final :

\[ s_{\text{t,final}} = \min(25.8 \, \text{cm} \,;\, 40.5 \, \text{cm}) \Rightarrow \text{On retient } s_{\text{t}} = 25 \, \text{cm} \]
Schéma de Ferraillage (Proposition)
Répartition des étriers près de l'appui (vue de côté)
7 cm 25 cm 25 cm 25 cm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul nous donne une limite de 25.8 cm. La réglementation nous en donne une autre, beaucoup plus large, de 40.5 cm. Nous devons respecter la plus contraignante des deux. En choisissant une valeur pratique de 25 cm, nous sommes en sécurité.

Points à retenir

L'espacement final est le plus petit entre l'espacement calculé à partir du ratio d'acier et l'espacement maximal réglementaire. On arrondit toujours à la valeur pratique inférieure.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est la conclusion du dimensionnement. Elle fournit l'information directement utilisable par le dessinateur pour créer les plans de ferraillage et par le ferrailleur sur le chantier pour assembler la cage d'armatures.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ignorer l'espacement maximal : Même si le calcul de résistance donne un espacement très grand (par exemple 50 cm dans les zones peu sollicitées), on ne doit jamais dépasser la limite réglementaire (\(s_{\text{t,max}}\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de Caquot, très utilisée en France, propose une série d'espacements standards (7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 30, 35, 40 cm) qui permettent de faire varier l'espacement le long de la poutre de manière pratique et sécuritaire, sans avoir à recalculer le ratio en chaque point.

FAQ (pour lever les doutes)
Dois-je garder cet espacement de 25 cm sur toute la poutre ?

Non, ce n'est pas optimal. Cet espacement est requis près des appuis où \(V_{\text{Ed}}\) est maximal. Vers le centre de la poutre, \(V_{\text{Ed}}\) diminue et le ratio d'acier requis baisse. Vous pouvez donc augmenter progressivement l'espacement (par exemple passer à 30 cm, puis 35 cm), tout en respectant la limite de 40.5 cm.

Proposition : On adopte des étriers HA8 à 2 brins, avec un espacement de 25 cm dans les zones d'effort tranchant maximal.

À vous de jouer : Quel serait l'espacement de calcul \(s_{\text{t,calcul}}\) si on utilisait des étriers HA10 (\(A_{\text{sw}} = 1.57 \, \text{cm}^2\)) ?

Outil Interactif : Calculateur d'espacement d'étriers

Modifiez les paramètres du nouvel exercice pour voir leur influence.

Paramètres du Projet
Résultats
Ratio A_sw/s requis (cm²/m) -
Espacement calculé (cm) -
Espacement à retenir : -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est l'impact principal de l'utilisation d'un béton C30/37 au lieu d'un C25/30 ?

2. Si le calcul de l'espacement donne 35 cm et que l'espacement maximal réglementaire \(s_{\text{t,max}}\) est de 32 cm, quel espacement devez-vous retenir ?

Étriers
Armatures transversales, généralement en forme de cadre, qui enveloppent les armatures longitudinales pour reprendre l'effort tranchant.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée du béton et le centre de gravité des armatures longitudinales tendues. C'est la hauteur "qui travaille" en flexion.
Poids Propre
Charge permanente correspondant au poids de l'élément structurel lui-même. Il doit toujours être inclus dans les calculs de charges.
Eurocode 2
Norme européenne (EN 1992) pour le calcul des structures en béton. C'est la référence réglementaire pour ce type de calcul en Europe.
Application Pratique : Calcul de l’Espacement des Étriers

D’autres exercices de béton armé:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *