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Calcul de la Contrainte Verticale Effective

Calcul de la Contrainte Verticale Effective en Géotechnique

Calcul de la Contrainte Verticale Effective

Contexte : La contrainte effective, le concept maître de la mécanique des sols.

En géotechnique, la contrainte effectiveDéfinie par Karl Terzaghi, c'est la contrainte supportée par le squelette solide du sol. Elle est égale à la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle. C'est elle qui gouverne la résistance et la déformation du sol. est sans doute le concept le plus fondamental. Proposé par Karl Terzaghi, ce principe stipule que le comportement mécanique d'un sol (sa résistance au cisaillement, sa compressibilité) est gouverné non pas par la contrainte totale (le poids total des terres et de l'eau), mais par la contrainte transmise de grain à grain. Comprendre et calculer cette contrainte est donc essentiel pour prédire les tassements sous une fondation, évaluer la stabilité d'un talus ou concevoir un mur de soutènement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer la contrainte totale en ses deux composantes : la pression de l'eau dans les pores du sol et la contrainte effective supportée par le squelette solide. C'est une démarche fondamentale que tout ingénieur en génie civil doit maîtriser pour analyser le comportement des sols en place.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_{\text{v}}\)) à différentes profondeurs.
  • Calculer la pression interstitielle (\(u\)) en fonction de la position de la nappe phréatique.
  • Appliquer le principe de Terzaghi pour déterminer la contrainte verticale effective (\(\sigma'_{\text{v}}\)).
  • Tracer le diagramme des contraintes en fonction de la profondeur.
  • Comprendre l'influence de la position de la nappe sur la stabilité des sols.

Données de l'étude

Un site est constitué de deux couches de sol : une couche de sable surmontant une couche d'argile. La nappe phréatique se trouve à 2 mètres sous la surface du sol. On souhaite calculer les contraintes verticales à la base de chaque couche.

Schéma du profil de sol
Surface (z=0 m) Sable Nappe (z=-2 m) Argile 3 m Interface (z=-3 m) - Point A 4 m Base (z=-7 m) - Point B
Paramètre Symbole Valeur Unité
Poids volumique du sable sec \(\gamma_{\text{d,sable}}\) 18 \(\text{kN/m³}\)
Poids volumique du sable saturé \(\gamma_{\text{sat,sable}}\) 20 \(\text{kN/m³}\)
Poids volumique de l'argile saturée \(\gamma_{\text{sat,argile}}\) 19 \(\text{kN/m³}\)
Poids volumique de l'eau \(\gamma_{\text{w}}\) 10 \(\text{kN/m³}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte totale (\(\sigma_{\text{v}}\)), la pression interstitielle (\(u\)) et la contrainte effective (\(\sigma'_{\text{v}}\)) au point A (interface sable/argile).
  2. Calculer la contrainte totale (\(\sigma_{\text{v}}\)), la pression interstitielle (\(u\)) et la contrainte effective (\(\sigma'_{\text{v}}\)) au point B (base de la couche d'argile).

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de plonger dans la correction, revoyons les trois concepts clés.

1. La Contrainte Verticale Totale (\(\sigma_{\text{v}}\)) :
C'est le poids total de tout ce qui se trouve au-dessus du point considéré (solides + eau) par unité de surface. On la calcule en additionnant le poids de chaque couche de sol. \[ \sigma_{\text{v}} = \sum (\gamma \cdot h) \] Où \(\gamma\) est le poids volumique de la couche et \(h\) son épaisseur.

2. La Pression Interstitielle (\(u\)) :
C'est la pression de l'eau dans les vides (pores) du sol. Sous la nappe phréatique, elle est hydrostatique : elle augmente linéairement avec la profondeur sous le niveau de l'eau. \[ u = \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w}} \] Où \(\gamma_{\text{w}}\) est le poids volumique de l'eau et \(h_{\text{w}}\) la hauteur d'eau au-dessus du point.

3. La Contrainte Verticale Effective (\(\sigma'_{\text{v}}\)) :
C'est le cœur du concept. La contrainte totale est supportée en partie par l'eau et en partie par le squelette solide. La contrainte effective est la part supportée par les grains de sol. \[ \sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u \] C'est cette contrainte qui contrôle la résistance et la déformation du sol.

Correction : Calcul de la Contrainte Verticale Effective

Question 1 : Calcul des contraintes au Point A (z = -3 m)

Principe (le concept physique)

Au point A, nous devons calculer le poids total des 3 mètres de sable situés au-dessus. Ce sable est sec sur les 2 premiers mètres, puis saturé d'eau sur 1 mètre (entre -2 m et -3 m). La pression de l'eau, quant à elle, n'existe qu'en dessous de la nappe, donc elle est due à 1 mètre d'eau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte totale en un point est l'intégrale du poids volumique du sol de la surface jusqu'à ce point. Lorsque le profil de sol est composé de couches homogènes, cette intégrale se simplifie en une somme des produits (poids volumique × épaisseur) pour chaque couche traversée. La nappe phréatique est la surface où la pression de l'eau est égale à la pression atmosphérique (pression relative nulle).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous êtes au fond d'une piscine remplie de sable. La pression que vous ressentez sur vos pieds est la contrainte totale. Une partie de cette pression est due à l'eau entre les grains (pression interstitielle) et l'autre au contact direct des grains de sable (contrainte effective). Si on draine l'eau, la pression de l'eau disparaît et tout le poids est reporté sur les grains : la contrainte effective augmente.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes dans le sol est une étape préliminaire fondamentale à toute étude géotechnique. Les principes sont décrits dans les normes de conception, notamment l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique), qui définit comment utiliser ces contraintes pour vérifier la stabilité des fondations, des soutènements et des talus.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules à utiliser sont :

\[ \sigma_{\text{v}} = \sum (\gamma \cdot h) \]
\[ u = \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w}} \]
\[ \sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le terrain est horizontal, que les couches de sol sont d'épaisseur constante et que les conditions de l'eau sont hydrostatiques (pas d'écoulement vertical de l'eau).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Épaisseur sable sec : \(h_{\text{sec}} = 2 \, \text{m}\)
  • Épaisseur sable saturé : \(h_{\text{sat}} = 1 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau : \(h_{\text{w}} = 1 \, \text{m}\)
  • Poids volumiques : \(\gamma_{\text{d,sable}}=18\), \(\gamma_{\text{sat,sable}}=20\), \(\gamma_{\text{w}}=10\) (en kN/m³)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut calculer directement la contrainte effective en utilisant le poids volumique déjaugé \(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\) pour les couches sous la nappe. Pour le point A : \(\sigma'_{\text{v,A}} = (\gamma_{\text{d,sable}} \cdot 2) + (\gamma'_{\text{sable}} \cdot 1) = (18 \cdot 2) + ((20-10) \cdot 1) = 36 + 10 = 46 \, \text{kPa}\). C'est un excellent moyen de vérifier son calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul des contraintes au Point A
Sable sec (2m)Sable saturé (1m)NappePoint Aσv = ? u = ? σ'v = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Contrainte totale \(\sigma_{\text{v}}\) au point A :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{v,A}} &= (\gamma_{\text{d,sable}} \cdot h_{\text{sec}}) + (\gamma_{\text{sat,sable}} \cdot h_{\text{sat}}) \\ &= (18 \, \text{kN/m³} \cdot 2 \, \text{m}) + (20 \, \text{kN/m³} \cdot 1 \, \text{m}) \\ &= 36 \, \text{kPa} + 20 \, \text{kPa} \\ &= 56 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Pression interstitielle \(u\) au point A :

\[ \begin{aligned} u_{\text{A}} &= \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w}} \\ &= 10 \, \text{kN/m³} \cdot 1 \, \text{m} \\ &= 10 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) au point A :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v,A}} &= \sigma_{\text{v,A}} - u_{\text{A}} \\ &= 56 \, \text{kPa} - 10 \, \text{kPa} \\ &= 46 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultats au Point A
Point A (z = -3 m)σv = 56 kPau = 10 kPaσ'v = 46 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Au point A, la contrainte totale de 56 kPa est répartie entre l'eau (10 kPa) et le squelette de sable (46 kPa). Cela signifie que la pression de l'eau "soulage" les grains de sable d'une partie du poids total. Cette valeur de 46 kPa est celle qui sera utilisée pour calculer la résistance au cisaillement du sable à cette profondeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien identifier la profondeur de la nappe phréatique. La pression interstitielle est calculée à partir de la surface de la nappe, pas depuis la surface du sol. Une erreur ici est très fréquente et fausse tout le calcul de la contrainte effective.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte totale est la somme des poids de toutes les couches traversées.
  • La pression interstitielle n'apparaît que sous le niveau de la nappe phréatique.
  • La contrainte effective est toujours la différence entre la totale et l'interstitielle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de "sables boulants" (quicksand) se produit lorsque l'écoulement de l'eau vers le haut est si fort que la pression interstitielle devient égale à la contrainte totale. La contrainte effective devient alors nulle (\(\sigma'_{\text{v}} = 0\)). Le sable perd toute sa résistance et se comporte comme un liquide lourd.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il s'il n'y a pas de nappe phréatique ?

S'il n'y a pas de nappe (ou si elle est très profonde), la pression interstitielle \(u\) est nulle partout. Dans ce cas, la contrainte effective est simplement égale à la contrainte totale (\(\sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}}\)). Le sol est alors dans son état le plus "résistant".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
À l'interface sable/argile (Point A), les contraintes sont : \(\sigma_{\text{v}} = 56 \, \text{kPa}\), \(u = 10 \, \text{kPa}\), et \(\sigma'_{\text{v}} = 46 \, \text{kPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la nappe était à la surface (z=0m), quelle serait la nouvelle contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) au point A ?

Question 2 : Calcul des contraintes au Point B (z = -7 m)

Principe (le concept physique)

Pour le point B, on ajoute le poids de la couche d'argile de 4 mètres d'épaisseur à la contrainte totale déjà calculée au point A. De même, la pression de l'eau augmente car on est maintenant 5 mètres sous la nappe phréatique (1 m dans le sable + 4 m dans l'argile).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des contraintes est additif. La contrainte totale en un point est la contrainte totale au-dessus de ce point plus le poids de la couche de sol entre les deux. Cette approche par couches successives est la méthode standard pour tracer le diagramme complet des contraintes, qui est un outil visuel essentiel pour l'ingénieur géotechnicien.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un empilement de livres. Le livre tout en bas supporte le poids de tous les autres. C'est la même chose pour le sol. Le point B supporte le poids des 3m de sable ET des 4m d'argile. Notre calcul consiste simplement à "peser" cette colonne de sol au-dessus du point B.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 exige que les calculs de tassement des fondations superficielles soient basés sur l'augmentation de la contrainte effective dans le sol. Le calcul précis du profil de contrainte initial, comme nous le faisons ici, est donc la première étape indispensable de tout projet de fondation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise les mêmes formules, en cumulant les couches.

\[ \sigma_{\text{v,B}} = \sigma_{\text{v,A}} + (\gamma_{\text{sat,argile}} \cdot h_{\text{argile}}) \]
\[ u_{\text{B}} = \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w, total}} \]
\[ \sigma'_{\text{v,B}} = \sigma_{\text{v,B}} - u_{\text{B}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les propriétés des matériaux (\(\gamma\)) sont constantes au sein de chaque couche et que l'interface entre le sable et l'argile est bien définie et horizontale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contraintes au point A : \(\sigma_{\text{v,A}} = 56 \, \text{kPa}\)
  • Épaisseur argile : \(h_{\text{argile}} = 4 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau totale : \(h_{\text{w,total}} = 5 \, \text{m}\) (de z=-2m à z=-7m)
  • Poids volumiques : \(\gamma_{\text{sat,argile}}=19\), \(\gamma_{\text{w}}=10\) (en kN/m³)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours l'ordre de grandeur. À 7m de profondeur, on s'attend à une contrainte totale d'environ \(7 \times 19 \approx 133\) kPa. Si votre résultat est très différent, il y a probablement une erreur de calcul. Cette simple vérification mentale peut éviter de grosses erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul des contraintes au Point B
Sable (3m)Argile (4m)NappePoint Bσv = ? u = ? σ'v = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Contrainte totale \(\sigma_{\text{v}}\) au point B :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{v,B}} &= \sigma_{\text{v,A}} + (\gamma_{\text{sat,argile}} \cdot h_{\text{argile}}) \\ &= 56 \, \text{kPa} + (19 \, \text{kN/m³} \cdot 4 \, \text{m}) \\ &= 56 \, \text{kPa} + 76 \, \text{kPa} \\ &= 132 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Pression interstitielle \(u\) au point B :

\[ \begin{aligned} u_{\text{B}} &= \gamma_{\text{w}} \cdot h_{\text{w,total}} \\ &= 10 \, \text{kN/m³} \cdot 5 \, \text{m} \\ &= 50 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Contrainte effective \(\sigma'_{\text{v}}\) au point B :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v,B}} &= \sigma_{\text{v,B}} - u_{\text{B}} \\ &= 132 \, \text{kPa} - 50 \, \text{kPa} \\ &= 82 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Contraintes Final
σv=132u=50σ'v=820m3m7mContrainte (kPa)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À 7 mètres de profondeur, la contrainte effective atteint 82 kPa. C'est cette valeur qui va "comprimer" le squelette de l'argile. Si on construisait un bâtiment en surface, l'augmentation de contrainte due au bâtiment s'ajouterait à cette valeur initiale pour causer le tassement de la couche d'argile.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier quel poids volumique utiliser. Au-dessus de la nappe, on utilise le poids volumique total (ou sec s'il est donné). En dessous de la nappe, on utilise TOUJOURS le poids volumique saturé (\(\gamma_{\text{sat}}\)) pour le calcul de la contrainte totale. Ne jamais utiliser le poids déjaugé (\(\gamma'\)) pour calculer la contrainte totale !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les contraintes se cumulent de couche en couche.
  • La pression de l'eau augmente linéairement sous la nappe, quelle que soit la nature du sol.
  • Le diagramme des contraintes est un outil essentiel pour visualiser l'état du sol en profondeur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise penche à cause du tassement différentiel d'une épaisse couche d'argile molle située sous ses fondations. La contrainte effective, augmentée par le poids de la tour, a lentement expulsé l'eau des pores de l'argile (un processus appelé consolidation), causant un tassement important et inégal.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la contrainte effective est-elle si importante dans l'argile ?

Les argiles sont très sensibles aux variations de contrainte effective. Une augmentation de \(\sigma'_{\text{v}}\) (par exemple, due à une nouvelle construction) va causer un tassement important et très lent (parfois sur des décennies), car l'eau met beaucoup de temps à s'échapper des pores très fins de l'argile. C'est le phénomène de consolidation, un enjeu majeur en géotechnique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
À la base de l'argile (Point B), les contraintes sont : \(\sigma_{\text{v}} = 132 \, \text{kPa}\), \(u = 50 \, \text{kPa}\), et \(\sigma'_{\text{v}} = 82 \, \text{kPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la couche d'argile faisait 8m d'épaisseur (Point B à z=-11m), quelle serait la nouvelle \(\sigma'_{\text{v}}\) ?

Outil Interactif : Profil de Contraintes

Modifiez la position de la nappe pour voir son influence directe sur les contraintes.

Paramètres d'Entrée
2.0 m
Contraintes au Point B (z=-7m)
Contrainte Totale (\(\sigma_{\text{v}}\)) - kPa
Pression Interstitielle (\(u\)) - kPa
Contrainte Effective (\(\sigma'_{\text{v}}\)) - kPa

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963), considéré comme le "père de la mécanique des sols", a développé le principe de la contrainte effective en 1925. Cette idée révolutionnaire a transformé la géotechnique d'un art empirique en une véritable science de l'ingénieur, permettant pour la première fois de prédire le comportement des sols de manière quantitative.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la nappe phréatique remonte jusqu'à la surface ?

Si la nappe remonte, la pression interstitielle \(u\) augmente à toutes les profondeurs. Comme \(\sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u\), la contrainte effective diminue. Cela réduit la résistance au cisaillement du sol, ce qui peut rendre un talus instable ou réduire la capacité portante d'une fondation. C'est pourquoi les variations de nappe sont un paramètre crucial à surveiller.

Peut-on avoir une pression interstitielle négative ?

Oui. Au-dessus de la nappe phréatique, dans les sols fins comme les limons ou les argiles, la capillarité peut "aspirer" l'eau vers le haut. Cette succion crée une pression interstitielle négative (\(u < 0\)). Dans ce cas, la contrainte effective devient supérieure à la contrainte totale (\(\sigma'_{\text{v}} > \sigma_{\text{v}}\)), ce qui augmente temporairement la cohésion du sol (c'est ce qui permet de faire des châteaux de sable humide).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la nappe phréatique descend, la contrainte effective à la base d'une couche d'argile saturée...

2. Dans une piscine, la contrainte effective au fond est...

Contrainte Totale (\(\sigma_{\text{v}}\))
Poids total des terres et de l'eau par unité de surface au-dessus d'un point. Unité : Pascal (Pa) ou kPa.
Pression Interstitielle (\(u\))
Pression de l'eau contenue dans les pores du sol. Également appelée pression neutre. Unité : Pascal (Pa) ou kPa.
Contrainte Effective (\(\sigma'_{\text{v}}\))
Partie de la contrainte totale supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte qui génère les frottements entre les grains.
Calcul de la Contrainte Verticale Effective

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