Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Contrainte Verticale Effective

Calcul de la Contrainte Verticale Effective

Calcul de la Contrainte Verticale Effective

Comprendre la Contrainte Verticale Effective

En mécanique des sols, la contrainte effective (\(\sigma'\)) est un concept fondamental introduit par Karl Terzaghi. Elle représente la contrainte supportée par le squelette solide du sol, par opposition à la pression interstitielle (\(u\)) qui est la pression de l'eau dans les pores du sol. La contrainte totale (\(\sigma\)) en un point est la somme de la contrainte effective et de la pression interstitielle : \(\sigma = \sigma' + u\). La contrainte effective est cruciale car c'est elle qui gouverne le comportement mécanique du sol, notamment sa résistance au cisaillement et sa compressibilité (tassement).

Données de l'étude

Un profil de sol est constitué des couches suivantes, de haut en bas :

  • Couche 1 (Sable) : Épaisseur \(H_1 = 3.0 \, \text{m}\). La nappe phréatique se trouve à \(z_w = 1.0 \, \text{m}\) sous la surface du sol.
    • Poids volumique humide (au-dessus de la nappe) : \(\gamma_{h1} = 18.0 \, \text{kN/m}^3\)
    • Poids volumique saturé (sous la nappe) : \(\gamma_{\text{sat1}} = 20.0 \, \text{kN/m}^3\)
  • Couche 2 (Argile) : Épaisseur \(H_2 = 5.0 \, \text{m}\).
    • Poids volumique saturé : \(\gamma_{\text{sat2}} = 19.0 \, \text{kN/m}^3\)
  • Couche 3 (Gravier) : S'étend en profondeur sous la couche d'argile (considérée comme substratum).

On prendra le poids volumique de l'eau \(\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3\).

Objectif : Calculer la contrainte totale verticale (\(\sigma_v\)), la pression interstitielle (\(u\)) et la contrainte effective verticale (\(\sigma'_v\)) aux points suivants :

  1. À la surface du sol (Point A, \(z=0\)).
  2. Au niveau de la nappe phréatique (Point B, \(z=1.0 \, \text{m}\)).
  3. À l'interface entre le sable et l'argile (Point C, \(z=3.0 \, \text{m}\)).
  4. Au milieu de la couche d'argile (Point D, \(z=3.0 + 2.5 = 5.5 \, \text{m}\)).
  5. À la base de la couche d'argile (Point E, \(z=3.0 + 5.0 = 8.0 \, \text{m}\)).
Schéma : Profil de Sol et Points de Calcul
z (m) 0 (A) Sable γh1, γsat1 3.0 (C) Nappe 1.0 (B) Argile γsat2 8.0 (E) 5.5 (D) Gravier 1m 2m (H1-zw) 5m (H2)

Profil de sol avec couches de sable et d'argile, et position de la nappe phréatique.

Correction : Calcul des Contraintes Verticales

Question 1 : Contraintes au Point A (Surface, \(z=0\))

Principe :

À la surface du sol, il n'y a pas de sol au-dessus, donc la contrainte totale verticale est nulle. La nappe phréatique est en dessous de ce point, donc la pression interstitielle est également nulle (pression atmosphérique prise comme référence zéro).

Calcul :
\[\sigma_{vA} = 0 \, \text{kPa}\] \[u_A = 0 \, \text{kPa}\] \[\sigma'_{vA} = \sigma_{vA} - u_A = 0 - 0 = 0 \, \text{kPa}\]
Résultat Question 1 : Au point A (\(z=0\)) :
  • \(\sigma_v = 0 \, \text{kPa}\)
  • \(u = 0 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_v = 0 \, \text{kPa}\)

Question 2 : Contraintes au Point B (Niveau Nappe, \(z=1.0 \, \text{m}\))

Principe :

Au niveau de la nappe phréatique, la pression interstitielle est nulle (par définition de la nappe libre). La contrainte totale est due au poids du sol situé au-dessus de ce niveau, qui est du sable humide.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{vB} &= \gamma_{h1} \cdot z_w \\ &= 18.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m} \\ &= 18.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[u_B = 0 \, \text{kPa}\] \[ \begin{aligned} \sigma'_{vB} &= \sigma_{vB} - u_B \\ &= 18.0 \, \text{kPa} - 0 \, \text{kPa} \\ &= 18.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Au point B (\(z=1.0 \, \text{m}\)) :
  • \(\sigma_v = 18.0 \, \text{kPa}\)
  • \(u = 0 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_v = 18.0 \, \text{kPa}\)

Question 3 : Contraintes au Point C (Interface Sable/Argile, \(z=3.0 \, \text{m}\))

Principe :

La contrainte totale est la somme des poids des couches de sol sus-jacentes. La première partie de la couche de sable (1m) est humide, la seconde partie (2m) est saturée. La pression interstitielle est due à la hauteur d'eau au-dessus de ce point par rapport au niveau de la nappe.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{vC} &= \gamma_{h1} \cdot z_w + \gamma_{\text{sat1}} \cdot (H_1 - z_w) \\ &= (18.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m}) + (20.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot (3.0 \, \text{m} - 1.0 \, \text{m})) \\ &= 18.0 \, \text{kPa} + (20.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 2.0 \, \text{m}) \\ &= 18.0 \, \text{kPa} + 40.0 \, \text{kPa} \\ &= 58.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} u_C &= \gamma_w \cdot (H_1 - z_w) \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \cdot (3.0 \, \text{m} - 1.0 \, \text{m}) \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \cdot 2.0 \, \text{m} \\ &= 19.62 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sigma'_{vC} &= \sigma_{vC} - u_C \\ &= 58.0 \, \text{kPa} - 19.62 \, \text{kPa} \\ &= 38.38 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Au point C (\(z=3.0 \, \text{m}\)) :
  • \(\sigma_v = 58.0 \, \text{kPa}\)
  • \(u = 19.62 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_v = 38.38 \, \text{kPa}\)

Question 4 : Contraintes au Point D (Milieu Argile, \(z=5.5 \, \text{m}\))

Principe :

On ajoute le poids de la portion de la couche d'argile au-dessus du point D à la contrainte totale au point C. La pression interstitielle augmente avec la profondeur sous la nappe.

Calcul :

Profondeur du point D dans la couche d'argile : \(z_{D, \text{dans argile}} = 5.5 \, \text{m} - 3.0 \, \text{m} = 2.5 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} \sigma_{vD} &= \sigma_{vC} + \gamma_{\text{sat2}} \cdot z_{D, \text{dans argile}} \\ &= 58.0 \, \text{kPa} + (19.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 2.5 \, \text{m}) \\ &= 58.0 \, \text{kPa} + 47.5 \, \text{kPa} \\ &= 105.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} u_D &= \gamma_w \cdot (z_D - z_w) \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \cdot (5.5 \, \text{m} - 1.0 \, \text{m}) \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \cdot 4.5 \, \text{m} \\ &= 44.145 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sigma'_{vD} &= \sigma_{vD} - u_D \\ &= 105.5 \, \text{kPa} - 44.145 \, \text{kPa} \\ &= 61.355 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Au point D (\(z=5.5 \, \text{m}\)) :
  • \(\sigma_v = 105.5 \, \text{kPa}\)
  • \(u \approx 44.15 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_v \approx 61.36 \, \text{kPa}\)

Question 5 : Contraintes au Point E (Base Argile, \(z=8.0 \, \text{m}\))

Principe :

On ajoute le poids total de la couche d'argile à la contrainte totale au point C. La pression interstitielle est calculée sur toute la hauteur d'eau au-dessus du point E.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{vE} &= \sigma_{vC} + \gamma_{\text{sat2}} \cdot H_2 \\ &= 58.0 \, \text{kPa} + (19.0 \, \text{kN/m}^3 \cdot 5.0 \, \text{m}) \\ &= 58.0 \, \text{kPa} + 95.0 \, \text{kPa} \\ &= 153.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} u_E &= \gamma_w \cdot (z_E - z_w) \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \cdot (8.0 \, \text{m} - 1.0 \, \text{m}) \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \cdot 7.0 \, \text{m} \\ &= 68.67 \, \text{kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sigma'_{vE} &= \sigma_{vE} - u_E \\ &= 153.0 \, \text{kPa} - 68.67 \, \text{kPa} \\ &= 84.33 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Au point E (\(z=8.0 \, \text{m}\)) :
  • \(\sigma_v = 153.0 \, \text{kPa}\)
  • \(u = 68.67 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_v = 84.33 \, \text{kPa}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si la nappe phréatique montait jusqu'à la surface du sol (\(z_w=0\)), la contrainte effective à la base de la couche d'argile (Point E) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La contrainte effective dans un sol est :

7. La pression interstitielle (\(u\)) à une profondeur \(z_w'\) sous le niveau de la nappe phréatique est donnée par :

8. Si la nappe phréatique baisse, la contrainte effective à une profondeur donnée sous la nappe (en supposant que le sol reste saturé au-dessus de la nouvelle nappe par capillarité) :

Glossaire

Contrainte Totale Verticale (\(\sigma_v\))
Poids total des terres (solides + eau) par unité de surface à une profondeur donnée.
Pression Interstitielle (\(u\))
Pression de l'eau contenue dans les vides (pores) du sol.
Contrainte Effective Verticale (\(\sigma'_v\))
Partie de la contrainte totale verticale qui est supportée par le squelette solide du sol. \(\sigma'_v = \sigma_v - u\). Elle régit le comportement mécanique du sol (résistance, compressibilité).
Nappe Phréatique
Niveau dans le sol où la pression de l'eau interstitielle est égale à la pression atmosphérique (pression relative nulle).
Poids Volumique Humide (\(\gamma_h\))
Poids total du sol (solides + eau) par unité de volume total, lorsque le sol n'est pas saturé mais contient une certaine quantité d'eau.
Poids Volumique Saturé (\(\gamma_{\text{sat}}\))
Poids total du sol par unité de volume total, lorsque tous les vides sont remplis d'eau.
Poids Volumique de l'Eau (\(\gamma_w\))
Poids de l'eau par unité de volume (environ \(9.81 \, \text{kN/m}^3\)).
Calcul de la Contrainte Verticale Effective - Exercice d'Application

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