Calcul de la Contrainte Verticale Effective
Comprendre le Calcul de la Contrainte Verticale Effective
Dans une région sujette à des développements urbains importants, un ingénieur en géotechnique doit évaluer la stabilité du sol sur lequel sera construit un complexe résidentiel de grande hauteur. Le site d’étude se compose de différentes couches de sol, dont chacune possède des caractéristiques mécaniques et des densités variées. Le projet doit prendre en compte le poids des bâtiments prévus ainsi que les pressions exercées sur les sols stratifiés sous-jacents.
Pour comprendre la Contrainte induite dans le sol, cliquez sur le lien.
Données:
Couches de Sol:
- Couche 1 : Argile molle, épaisseur de 6 m, poids volumique naturel \(\gamma_n = 18 \, \text{kN/m}^3\), poids volumique saturé \(\gamma_{sat} = 20 \, \text{kN/m}^3\).
- Couche 2 : Sable fin dense, épaisseur de 4 m, poids volumique naturel \(\gamma_n = 16 \, \text{kN/m}^3\), poids volumique saturé \(\gamma_{sat} = 19 \, \text{kN/m}^3\).
- Couche 3 : Gravier, épaisseur de 10 m, poids volumique naturel \(\gamma_n = 22 \, \text{kN/m}^3\).
Niveau de la Nappe Phréatique : À 3 m sous la surface.
Questions:
1. Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma\)) à la base de chaque couche de sol.
2. Déterminer la contrainte verticale effective (\(\sigma’\)) en prenant en compte la présence de la nappe phréatique.
3. Discuter l’influence de la variation de la nappe phréatique sur la contrainte verticale effective. Supposons que le niveau de la nappe phréatique puisse varier jusqu’à 1 m au-dessus et en dessous du niveau actuel pendant différentes saisons. Analyser les résultats obtenus.
Correction : Calcul de la Contrainte Verticale Effective
1. Calcul de la Contrainte Verticale Totale (\(\sigma\))
La contrainte verticale totale à un certain niveau est la somme des surcharges (ou poids) de tous les sols situés au-dessus de ce niveau.
Données de base
-
Couche 1 – Argile molle
- Épaisseur : 6 m
- Poids volumique naturel (γₙ) : 18 kN/m³
- Poids volumique saturé (γₛₐₜ) : 20 kN/m³
-
Couche 2 – Sable fin dense
- Épaisseur : 4 m
- γₙ = 16 kN/m³
- γₛₐₜ = 19 kN/m³
-
Couche 3 – Gravier
- Épaisseur : 10 m
- γₙ = 22 kN/m³
- (On utilisera la même valeur pour le calcul, faute de donnée saturée distincte)
-
Nappe phréatique : À 3 m de profondeur
-
γₑₐu (poids spécifique de l’eau) : 10 kN/m³ (valeur couramment admise)
Remarque : Lorsqu’une couche est partiellement ou totalement en dessous de la nappe, on utilise le poids volumique saturé pour la partie immergée.
Calcul pour chaque couche
A. Couche 1 (Argile molle – 6 m)
La nappe est à 3 m de profondeur, donc :
- Zone de 0 à 3 m (non saturée) :
Utilisation de \(\gamma_n = 18\) kN/m\(^3\)
\[ \rightarrow \text{Poids} = 3 \, \text{m} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \] \[ \text{Poids} = \mathbf{54 \, kN/m}^2 \]
- Zone de 3 m à 6 m (saturée) :
Utilisation de \(\gamma_{sat} = 20\) kN/m\(^3\)
\[ \rightarrow \text{Poids} = 3 \, \text{m} \times 20 \, \text{kN/m}^3 \] \[ \text{Poids} = \mathbf{60 \, kN/m}^2 \]
Contrainte totale à la base de la Couche 1 :
\[ \sigma_1 = 54 + 60 \] \[ \sigma_1 = \mathbf{114 \, kN/m}^2 \]
B. Couche 2 (Sable fin dense – 4 m)
La couche est entièrement située en dessous de la nappe (puisque 6 m > 3 m).
- Poids de la Couche 2 :
\[ = 4 \, \text{m} \times 19 \, \text{kN/m}^3 \] \[ = \mathbf{76 \, kN/m}^2 \]
Contrainte totale à la base de la Couche 2 :
\[ \sigma_2 = \sigma_1 + \text{poids de la Couche 2} \] \[ \sigma_2 = 114 + 76 \] \[ \sigma_2 = \mathbf{190 \, kN/m}^2 \]
C. Couche 3 (Gravier – 10 m)
Cette couche se trouve également entièrement sous la nappe.
- Poids de la Couche 3 :
\[ = 10 \, \text{m} \times 22 \, \text{kN/m}^3 \] \[ = \mathbf{220 \, kN/m}^2 \]
Contrainte totale à la base de la Couche 3 :
\[ \sigma_3 = \sigma_2 + \text{poids de la Couche 3} \] \[ \sigma_3 = 190 + 220 \] \[ \sigma_3 = \mathbf{410 \, kN/m}^2 \]
2. Calcul de la Contrainte Verticale Effective (\(\sigma’\))
La contrainte effective représente la partie de la contrainte totale qui est transmise aux particules du sol, en éliminant l’effet de la pression interstitielle (pression de l’eau).
La formule est :
\[ \sigma’ = \sigma – u \]
où \(u\) est la pression interstitielle.
La pression interstitielle se calcule dans la zone saturée :
\[ u = \text{(Profondeur mesurée depuis la nappe)} \times \gamma_{eau} \]
Calcul pour chaque couche
A. Couche 1 (base à 6 m)
- Zone saturée dans la Couche 1 :
La partie saturée s’étend de 3 m à 6 m, donc épaisseur = 3 m.
\[ \rightarrow u = 3 \, \text{m} \times 10 \, \text{kN/m}^3 \] \[ u = \mathbf{30 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective à la base de la Couche 1 :
\[ \sigma’_1 = \sigma_1 – u \] \[ \sigma’_1 = 114 – 30 \] \[ \sigma’_1 = \mathbf{84 \, kN/m}^2 \]
B. Couche 2 (base à 10 m)
- Zone saturée totale :
La profondeur totale sous la nappe = \(10 \, \text{m} – 3 \, \text{m} = 7 \, \text{m}\).
\[ \rightarrow u = 7 \, \text{m} \times 10 \, \text{kN/m}^3 \] \[ u = \mathbf{70 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective à la base de la Couche 2 :
\[ \sigma’_2 = \sigma_2 – u \] \[ \sigma’_2 = 190 – 70 \] \[ \sigma’_2 = \mathbf{120 \, kN/m}^2 \]
C. Couche 3 (base à 20 m)
- Profondeur saturée totale :
\(20 \, \text{m} – 3 \, \text{m} = 17 \, \text{m}\)
\[ \rightarrow u = 17 \, \text{m} \times 10 \, \text{kN/m}^3 \] \[ u = \mathbf{170 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective à la base de la Couche 3 :
\[ \sigma’_3 = \sigma_3 – u \] \[ \sigma’_3 = 410 – 170 \] \[ \sigma’_3 = \mathbf{240 \, kN/m}^2 \]
3. Influence de la Variation de la Nappe Phréatique
On considère ici deux scénarios où le niveau de la nappe varie de ±1 m par rapport au niveau initial (3 m).
Scénario 1 : Nappe à 2 m (1 m au-dessus)
A. Couche 1 (Argile molle)
- Zone non saturée : De 0 à 2 m
\[ \rightarrow \text{Poids} = 2 \, \text{m} \times 18 \, \text{kN/m}^3\] \[ \text{Poids} = \mathbf{36 \, kN/m}^2 \]
- Zone saturée : De 2 m à 6 m (épaisseur = 4 m)
\[ \rightarrow \text{Poids} = 4 \, \text{m} \times 20 \, \text{kN/m}^3 \] \[ \text{Poids} = \mathbf{80 \, kN/m}^2 \]
\[ \sigma_1 = 36 + 80 \] \[ \sigma_1 = \mathbf{116 \, kN/m}^2 \]
- Pression interstitielle à 6 m :
\[ u = (6 – 2) \, \text{m} \times 10 \, \text{kN/m}^3 \] \[ u = 4 \times 10 \] \[ u = \mathbf{40 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective :
\[ \sigma’_1 = 116 – 40 \] \[ \sigma’_1 = \mathbf{76 \, kN/m}^2 \]
B. Couche 2 (Sable fin dense)
- Poids de la Couche 2 :
\[ = 4 \, \text{m} \times 19 \, \text{kN/m}^3 \] \[ = \mathbf{76 \, kN/m}^2 \]
\[ \rightarrow \sigma_2 = 116 + 76 \] \[ \sigma_2 = \mathbf{192 \, kN/m}^2 \]
- Pression interstitielle à 10 m :
\[ u = (10 – 2) \, \text{m} \times 10 \] \[ u = 8 \times 10 \] \[ u = \mathbf{80 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective :
\[ \sigma’_2 = 192 – 80 \] \[ \sigma’_2 = \mathbf{112 \, kN/m}^2 \]
C. Couche 3 (Gravier)
- Poids de la Couche 3 :
\[ = 10 \, \text{m} \times 22 \, \text{kN/m}^3 \] \[ = \mathbf{220 \, kN/m}^2 \]
\[ \rightarrow \sigma_3 = 192 + 220 \] \[ \sigma_3 = \mathbf{412 \, kN/m}^2 \]
- Pression interstitielle à 20 m :
\[ u = (20 – 2) \, \text{m} \times 10 \] \[ u = 18 \times 10 \] \[ u = \mathbf{180 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective :
\[ \sigma’_3 = 412 – 180 \] \[ \sigma’_3 = \mathbf{232 \, kN/m}^2 \]
Observation : Lorsque la nappe monte (niveau 2 m), la hauteur de la zone saturée augmente, ce qui accroît la pression interstitielle et réduit la contrainte effective.
Scénario 2 : Nappe à 4 m (1 m en dessous)
A. Couche 1 (Argile molle)
- Zone non saturée : De 0 à 4 m
\[ \rightarrow \text{Poids} = 4 \, \text{m} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \] \[ \text{Poids} = \mathbf{72 \, kN/m}^2 \]
- Zone saturée : De 4 m à 6 m (épaisseur = 2 m)
\[ \rightarrow \text{Poids} = 2 \, \text{m} \times 20 \, \text{kN/m}^3 \] \[ \text{Poids} = \mathbf{40 \, kN/m}^2 \]
\[ \sigma_1 = 72 + 40 \] \[ \sigma_1 = \mathbf{112 \, kN/m}^2 \]
- Pression interstitielle à 6 m :
\[ u = (6 – 4) \, \text{m} \times 10 \] \[ u = 2 \times 10 \] \[ u = \mathbf{20 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective :
\[ \sigma’_1 = 112 – 20 \] \[ \sigma’_1 = \mathbf{92 \, kN/m}^2 \]
B. Couche 2 (Sable fin dense)
- Poids de la Couche 2 :
\[ = 4 \, \text{m} \times 19 \, \text{kN/m}^3 \] \[ = \mathbf{76 \, kN/m}^2 \]
\[ \rightarrow \sigma_2 = 112 + 76 \] \[ \sigma_2 = \mathbf{188 \, kN/m}^2 \]
- Pression interstitielle à 10 m :
\[ u = (10 – 4) \, \text{m} \times 10 \] \[ u = 6 \times 10 \] \[ u = \mathbf{60 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective :
\[ \sigma’_2 = 188 – 60 \] \[ \sigma’_2 = \mathbf{128 \, kN/m}^2 \]
C. Couche 3 (Gravier)
- Poids de la Couche 3 :
\[ = 10 \, \text{m} \times 22 \, \text{kN/m}^3 \] \[ = \mathbf{220 \, kN/m}^2 \]
\[ \rightarrow \sigma_3 = 188 + 220 \] \[ \sigma_3 = \mathbf{408 \, kN/m}^2 \]
- Pression interstitielle à 20 m :
\[ u = (20 – 4) \, \text{m} \times 10 \] \[ u = 16 \times 10 \] \[ u = \mathbf{160 \, kN/m}^2 \]
- Contrainte effective :
\[ \sigma’_3 = 408 – 160 \] \[ \sigma’_3 = \mathbf{248 \, kN/m}^2 \]
Observation : Lorsque la nappe s’abaisse (niveau 4 m), la hauteur de la zone saturée diminue, la pression interstitielle est moindre et la contrainte effective augmente.
Calcul de la Contrainte Verticale Effective
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