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Poussée des Terres sur un Mur Poids en T Inversé

Calcul de la Poussée des Terres (Cas Bîcouche) sur un Mur de Soutènement

Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur Poids en T Inversé (Cas Bîcouche)

Contexte : Le défi des sols stratifiés pour les murs de soutènement.

Dans la réalité, les massifs de sol sont rarement homogènes. Un mur de soutènement retient souvent plusieurs couches de sols aux propriétés différentes. Ce cas, plus complexe, exige une analyse couche par couche pour déterminer la distribution de la pression des terres. Une erreur dans l'évaluation des contraintes à l'interface des couches peut compromettre la stabilité de l'ouvrage. Cet exercice vous apprendra à calculer la poussée des terres exercée par un massif bîcouche, en considérant l'effet de la cohésion dans la couche inférieure.

Remarque Pédagogique : Nous allons ici monter d'un cran en complexité par rapport au cas d'un sol unique. L'objectif est de comprendre comment les contraintes se transmettent d'une couche à l'autre et comment la cohésion d'un sol modifie le diagramme de poussée. La méthode consiste à calculer les pressions aux points clés (surface, interface, base) et à décomposer le diagramme de pression final en formes géométriques simples pour en calculer la force résultante et le point d'application.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les coefficients de poussée pour différentes couches de sol.
  • Déterminer la contrainte verticale à l'interface entre deux couches.
  • Calculer la pression de poussée à différentes profondeurs dans un massif bîcouche.
  • Comprendre l'effet de la cohésion (\(c'\)) sur la pression active (pression négative).
  • Calculer la force de poussée totale et son point d'application pour un diagramme de pression complexe.

Données de l'étude

Un mur-poids en T inversé, de 6 mètres de haut, retient un remblai constitué de deux couches de sol horizontales. La nappe phréatique est supposée très profonde. On néglige le frottement mur-sol.

Schéma du Mur et du Massif Bîcouche
Couche 1 (Sable) γ₁, φ'₁, c'₁ Couche 2 (Sable Argileux) γ₂, φ'₂, c'₂ h₁ = 3 m h₂ = 3 m Surcharge q
Paramètre Symbole Couche 1 (Sable) Couche 2 (Sable Argileux) Unité
Hauteur de la couche \(h_i\) 3.0 3.0 \(\text{m}\)
Poids volumique \(\gamma_i\) 17.0 19.0 \(\text{kN/m}^3\)
Angle de frottement \(\phi'_i\) 32 25 \(\text{degrés}\)
Cohésion effective \(c'_i\) 0 10 \(\text{kPa}\)
Surcharge en surface \(q\) 20 \(\text{kPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les coefficients de poussée des terres (\(K_{a1}\) et \(K_{a2}\)) pour chaque couche.
  2. Calculer les pressions horizontales de poussée à la surface (\(z=0\)), à l'interface (\(z=3\text{m}\)) et à la base du mur (\(z=6\text{m}\)).
  3. Tracer le diagramme des pressions de poussée le long du mur.
  4. Calculer la force de poussée totale (\(P_a\)) et la position de son point d'application par rapport à la base du mur.

Les bases de la Poussée sur Sol Stratifié

Abordons les concepts spécifiques à ce type de problème.

1. Contrainte Verticale dans un Sol Stratifié :
La contrainte verticale à une profondeur \(z\) est simplement le poids des terres situées au-dessus. Pour un massif bîcouche, à une profondeur \(z\) dans la deuxième couche (\(z > h_1\)), la contrainte verticale est la somme du poids de la première couche et du poids de la portion de la deuxième couche : \[ \sigma'_v(z) = q + (\gamma_1 \cdot h_1) + \gamma_2 \cdot (z-h_1) \]

2. Pression de Poussée avec Cohésion :
Quand un sol a de la cohésion (\(c' > 0\)), il est capable de "tenir" un peu tout seul. La cohésion réduit la poussée active. La formule de Rankine généralisée pour la pression de poussée devient : \[ \sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v - 2 \cdot c' \cdot \sqrt{K_a} \] Le terme \(- 2 c' \sqrt{K_a}\) représente la "traction" que la cohésion peut supporter, ce qui diminue la pression exercée sur le mur.

3. Pression à une Interface :
À l'interface entre deux couches, la contrainte verticale \(\sigma'_v\) est unique. Cependant, comme les propriétés des sols (\(\phi', c'\)) changent, le coefficient de poussée \(K_a\) change brusquement. Il faut donc calculer la pression horizontale juste au-dessus de l'interface (avec les propriétés de la couche 1) et juste en dessous de l'interface (avec les propriétés de la couche 2). Cela crée une discontinuité dans le diagramme de pression.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur Poids en T Inversé (Cas Bîcouche)

Question 1 : Calculer les coefficients de poussée (\(K_{a1}\) et \(K_{a2}\))

Principe (le concept physique)

Chaque couche de sol possède ses propres caractéristiques de résistance, principalement son angle de frottement \(\phi'\). Par conséquent, chaque couche aura sa propre manière de "pousser" sur le mur. Nous devons calculer un coefficient de poussée distinct pour chaque couche, \(K_{a1}\) pour le sable supérieur et \(K_{a2}\) pour le sable argileux inférieur, car ils ne se comporteront pas de la même façon à l'état de rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Rankine, \(K_a = \tan^2(45^\circ - \phi'/2)\), reste l'outil de base pour chaque couche individuellement, car elle ne dépend que de l'angle de frottement. Même si la couche inférieure a de la cohésion, son coefficient \(K_{a2}\) ne dépend que de son angle de frottement \(\phi'_2\). L'effet de la cohésion sera pris en compte plus tard, lors du calcul de la contrainte de poussée elle-même.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

On s'attend à ce que \(K_{a2}\) soit plus grand que \(K_{a1}\), car l'angle de frottement de la deuxième couche (\(25^\circ\)) est plus faible que celui de la première (\(32^\circ\)). Un sol avec un angle de frottement plus faible est moins résistant et "pousse" donc proportionnellement plus fort pour une même contrainte verticale.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul (Eurocode 7) exigent que les propriétés de chaque couche de sol soient déterminées par des essais géotechniques appropriés. L'utilisation de valeurs caractéristiques prudentes pour \(\phi'\) et \(c'\) est une exigence fondamentale pour garantir un dimensionnement sûr, en particulier dans les profils de sol stratifiés où les incertitudes peuvent s'accumuler.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ K_{ai} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'_i}{2}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses de Rankine (mur vertical, surface horizontale, pas de frottement mur-sol) sont appliquées à l'ensemble du massif.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement Couche 1, \(\phi'_1 = 32^\circ\)
  • Angle de frottement Couche 2, \(\phi'_2 = 25^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Utiliser la forme \( (1-\sin\phi')/(1+\sin\phi') \) peut être plus direct. Calculez \(\sin(32^\circ)\) et \(\sin(25^\circ)\) une seule fois et injectez-les dans la formule. Cela minimise les frappes sur la calculatrice et les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Coefficients distincts par couche
Couche 1 (φ'₁) ⇒ Ka1 = ?Couche 2 (φ'₂) ⇒ Ka2 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Pour la couche 1 (Sable) :

\[ \begin{aligned} K_{a1} &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{32^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 16^\circ) \\ &= \tan^2(29^\circ) \\ &\approx (0.5543)^2 \\ &\approx 0.307 \end{aligned} \]

2. Pour la couche 2 (Sable Argileux) :

\[ \begin{aligned} K_{a2} &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{25^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 12.5^\circ) \\ &= \tan^2(32.5^\circ) \\ &\approx (0.6371)^2 \\ &\approx 0.406 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Coefficients
Ka1 ≈ 0.307Ka2 ≈ 0.406
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, le coefficient de poussée de la couche 2 (\(K_{a2} = 0.406\)) est plus élevé que celui de la couche 1 (\(K_{a1} = 0.307\)). Cela signifie que, pour une même contrainte verticale, le sable argileux poussera plus fort que le sable pur. Cette différence créera une rupture de pente dans notre diagramme de pression à l'interface.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale serait d'utiliser un coefficient de poussée moyen ou unique pour l'ensemble du massif. Chaque couche doit être traitée avec son propre coefficient. Une moyenne des angles \(\phi'\) donnerait un résultat erroné et potentiellement dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Chaque couche de sol a son propre coefficient de poussée \(K_a\).
  • \(K_a\) dépend uniquement de l'angle de frottement \(\phi'\) de la couche.
  • Un \(\phi'\) plus faible conduit à un \(K_a\) plus élevé (plus de poussée).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise penche non pas à cause d'une erreur de fondation au sens strict, mais à cause d'un sol très hétérogène et compressible sous sa base. Le côté sud de la tour repose sur une couche d'argile molle plus épaisse et plus compressible que du côté nord, ce qui a provoqué un tassement différentiel et le basculement progressif de la structure au fil des siècles.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la cohésion n'influence-t-elle pas le coefficient Ka ?

Dans la théorie de Rankine, le coefficient \(K_a\) représente le rapport entre les contraintes effectives principales à la rupture. Cette relation géométrique dans le plan de Mohr ne dépend que de l'inclinaison de la droite de rupture, donc de \(\phi'\). La cohésion (\(c'\)) déplace simplement cette droite vers le haut, ce qui affecte la valeur de la contrainte, mais pas le rapport entre les contraintes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coefficients de poussée sont \(K_{a1} \approx 0.307\) pour la couche 1 et \(K_{a2} \approx 0.406\) pour la couche 2.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'angle de frottement de la couche 2 était \(\phi'_2 = 20^\circ\), quel serait son coefficient \(K_{a2}\) ? (arrondi à 3 décimales)

Question 2 : Calculer les pressions horizontales de poussée

Principe (le concept physique)

Le calcul des pressions se fait aux points où un changement se produit : en surface (à cause de la surcharge), à l'interface des couches (car les propriétés du sol et donc le coefficient \(K_a\) changent), et à la base du mur (pression maximale). En calculant la pression à ces points clés, nous pourrons tracer le profil complet de la poussée le long du mur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La démarche est séquentielle. On calcule la contrainte verticale \(\sigma'_v\) à une profondeur \(z\). Ensuite, on applique la formule de la pression horizontale appropriée : \(\sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v\) pour un sol sans cohésion, et \(\sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v - 2 c' \sqrt{K_a}\) pour un sol cohérent. À l'interface, il faut faire ce calcul deux fois : une fois avec les propriétés de la couche du dessus, une fois avec celles de la couche du dessous.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La cohésion dans la deuxième couche va introduire un terme négatif dans le calcul de la pression. Il est possible que la pression nette juste en dessous de l'interface soit plus faible que juste au-dessus, malgré un \(K_a\) plus grand. C'est un effet contre-intuitif mais important à comprendre : la cohésion "aide" le sol à se retenir.

Normes (la référence réglementaire)

En pratique, les normes (Eurocode 7) interdisent souvent de prendre en compte la totalité de l'effet bénéfique de la cohésion sur la poussée active, surtout sur le long terme. En effet, des fissures peuvent se développer dans les sols cohérents (fissures de traction), annulant localement l'effet de la cohésion sur la hauteur de ces fissures.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte verticale :

\[\sigma'_v(z) = q + \sum \gamma_i h_i\]

Pression horizontale :

\[\sigma'_{hi}(z) = K_{ai} \cdot \sigma'_v(z) - 2 c'_i \sqrt{K_{ai}}\]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le sol est en état de rupture actif sur toute la hauteur. La surcharge est considérée comme une contrainte verticale permanente.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tous les paramètres de l'énoncé et les \(K_a\) calculés à la Q1.
Astuces(Pour aller plus vite)

Organisez vos calculs dans un tableau : une ligne par profondeur clé (0m, 3m-, 3m+, 6m), avec des colonnes pour \(\sigma'_v\), le coefficient \(K_a\) à utiliser, et la pression \(\sigma'_h\) résultante. Cela structure la pensée et évite les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Points de Calcul du Diagramme
z=0 m : σ'_h(0) = ?z=3 m : σ'_h(3) = ?z=6 m : σ'_h(6) = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

A. En surface (\(z=0\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_v(0) &= q \\ &= 20 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_h(0) &= K_{a1} \cdot \sigma'_v(0) \\ &= 0.307 \cdot 20 \\ &= 6.14 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

B. A l'interface (\(z=3\text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_v(3) &= q + \gamma_1 \cdot h_1 \\ &= 20 + 17.0 \cdot 3.0 \\ &= 20 + 51 \\ &= 71 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Juste au-dessus (\(z=3\text{m}^-\)), avec les propriétés de la couche 1 :

\[ \begin{aligned} \sigma'_h(3^-) &= K_{a1} \cdot \sigma'_v(3) \\ &= 0.307 \cdot 71 \\ &= 21.80 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Juste en dessous (\(z=3\text{m}^+\)), avec les propriétés de la couche 2 :

\[ \begin{aligned} \sigma'_h(3^+) &= K_{a2} \cdot \sigma'_v(3) - 2 c'_2 \sqrt{K_{a2}} \\ &= (0.406 \cdot 71) - (2 \cdot 10 \cdot \sqrt{0.406}) \\ &= 28.83 - (20 \cdot 0.637) \\ &= 28.83 - 12.74 \\ &= 16.09 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

C. A la base du mur (\(z=6\text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_v(6) &= \sigma'_v(3) + \gamma_2 \cdot h_2 \\ &= 71 + (19.0 \cdot 3.0) \\ &= 71 + 57 \\ &= 128 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_h(6) &= K_{a2} \cdot \sigma'_v(6) - 2 c'_2 \sqrt{K_{a2}} \\ &= (0.406 \cdot 128) - 12.74 \\ &= 51.97 - 12.74 \\ &= 39.23 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Pression de Poussée
6.1421.8016.0939.23 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme de pression a une forme complexe. Il commence avec une valeur non nulle en surface à cause de la surcharge. Il augmente linéairement dans la première couche. À l'interface, on observe un "saut" : la pression diminue brusquement (de 21.80 à 16.09 kPa) à cause de l'effet bénéfique de la cohésion de la couche 2, qui se manifeste immédiatement. Ensuite, la pression augmente à nouveau linéairement dans la deuxième couche, mais avec une pente différente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus critique est d'oublier de recalculer la pression en dessous de l'interface avec les nouvelles propriétés (\(K_{a2}, c'_2\)). Il faut bien appliquer le coefficient \(K_{a1}\) à la contrainte verticale \(\sigma'_v(3)\), puis appliquer la formule complète avec \(K_{a2}\) et \(c'_2\) à la même contrainte verticale \(\sigma'_v(3)\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Calculer les contraintes verticales aux points clés (surface, interface, base).
  • À l'interface, la contrainte verticale est continue, mais la pression horizontale est discontinue.
  • La cohésion réduit la pression de poussée via le terme \(-2c'\sqrt{K_a}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les argiles (\(\phi' \approx 0\)), le terme de cohésion peut créer une zone de "pression négative" (traction) en tête du mur. Théoriquement, le sol pourrait se décoller du mur sur une certaine hauteur, appelée hauteur critique de fouille non soutenue. En pratique, on ne compte jamais sur cette traction pour la stabilité, car des fissures peuvent l'annuler.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment la surcharge est-elle transmise à la deuxième couche ?

La contrainte due à la surcharge \(q\) est transmise intégralement à travers la première couche. Ainsi, la contrainte verticale au sommet de la deuxième couche est le poids de la première couche PLUS la surcharge \(q\). La surcharge affecte donc la pression sur toute la hauteur du mur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pressions de poussée sont : 6.14 kPa en surface, 21.80 kPa juste au-dessus de l'interface, 16.09 kPa juste en dessous, et 39.23 kPa à la base.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans cohésion dans la couche 2 (\(c'_2=0\)), quelle serait la pression juste sous l'interface (\(z=3\text{m}^+\)) en kPa ?

Question 4 : Calculer la force de poussée totale (\(P_a\)) et son point d'application

Principe (le concept physique)

La force de poussée totale est la somme de toutes les pressions horizontales agissant sur le mur. Pour trouver cette force, nous allons décomposer notre diagramme de pression complexe en formes géométriques simples (rectangles et triangles). Nous calculerons l'aire (la force) de chaque forme, puis nous les additionnerons pour obtenir la force totale. Le point d'application de la force totale est trouvé en utilisant le théorème des moments (barycentre des forces).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force totale est l'aire totale du diagramme de pression. Le moment total par rapport à la base est la somme des moments de chaque force élémentaire (\(M_{total} = \sum P_i \cdot z_i\)), où \(P_i\) est la force d'une forme simple et \(z_i\) est la hauteur de son centre de gravité par rapport à la base. La hauteur d'application de la force résultante \(P_a\) est alors donnée par \(h_{app} = M_{total} / P_a\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La décomposition la plus simple du diagramme de pression est souvent un rectangle et un triangle pour la couche supérieure, et un autre trapèze (ou un rectangle et un triangle) pour la couche inférieure. Soyez méticuleux dans le calcul de l'aire et du centre de gravité de chaque forme.

Normes (la référence réglementaire)

Cette étape finale de calcul de la résultante et de son moment est l'aboutissement de l'analyse. Ces valeurs (\(P_a\) et \(M_{renv} = P_a \cdot h_{app}\)) sont les "actions" géotechniques qui seront ensuite utilisées par l'ingénieur en structure pour vérifier la résistance interne du mur (ferraillage, épaisseur du béton) et sa stabilité externe (glissement, renversement).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire du rectangle (centre de gravité à mi-hauteur) :

\[F = \text{base} \cdot \text{hauteur}\]

Aire du triangle (centre de gravité à 1/3 de la base) :

\[F = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{hauteur}\]

Force totale :

\[P_a = \sum F_i\]

Point d'application :

\[h_{app} = \frac{\sum F_i \cdot z_i}{P_a}\]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les pressions varient linéairement avec la profondeur au sein de chaque couche homogène. Le diagramme de pression calculé à la question 3 est exact.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diagramme de pression de la question 3.
Astuces(Pour aller plus vite)

Décomposez le diagramme en trois parties : 1. Un trapèze pour la couche 1 (de 6.14 à 21.80 kPa sur 3m). 2. Un trapèze pour la couche 2 (de 16.09 à 39.23 kPa sur 3m). Calculez la force et le moment de chaque trapèze, puis combinez-les. C'est plus rapide que de décomposer en rectangles et triangles.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Diagramme de Poussée
F₁F₂
Calcul(s) (l'application numérique)

Décomposition en 2 trapèzes :

1. Force \(P_1\) sur la couche 1 (trapèze) :

\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{(\sigma'_h(0) + \sigma'_h(3^-))}{2} \cdot h_1 \\ &= \frac{(6.14 + 21.80)}{2} \cdot 3.0 \\ &= 13.97 \cdot 3.0 \\ &= 41.91 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Hauteur d'application \(z_1\) (pour un trapèze) :

\[ \begin{aligned} z_1 &= h_2 + \frac{h_1}{3} \frac{(2 \cdot \sigma'_h(0) + \sigma'_h(3^-))}{(\sigma'_h(0) + \sigma'_h(3^-))} \\ &= 3 + \frac{3}{3} \frac{(2 \cdot 6.14 + 21.80)}{(6.14 + 21.80)} \\ &= 3 + \frac{34.08}{27.94} \\ &= 3 + 1.22 \\ &= 4.22 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Force \(P_2\) sur la couche 2 (trapèze) :

\[ \begin{aligned} P_2 &= \frac{(\sigma'_h(3^+) + \sigma'_h(6))}{2} \cdot h_2 \\ &= \frac{(16.09 + 39.23)}{2} \cdot 3.0 \\ &= 27.66 \cdot 3.0 \\ &= 82.98 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Hauteur d'application \(z_2\) :

\[ \begin{aligned} z_2 &= \frac{h_2}{3} \frac{(2 \cdot \sigma'_h(3^+) + \sigma'_h(6))}{(\sigma'_h(3^+) + \sigma'_h(6))} \\ &= \frac{3}{3} \frac{(2 \cdot 16.09 + 39.23)}{(16.09 + 39.23)} \\ &= \frac{71.41}{55.32} \\ &= 1.29 \, \text{m} \end{aligned} \]

3. Force totale et point d'application :

\[ \begin{aligned} P_a &= P_1 + P_2 \\ &= 41.91 + 82.98 \\ &= 124.89 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} h_{app} &= \frac{P_1 \cdot z_1 + P_2 \cdot z_2}{P_a} \\ &= \frac{(41.91 \cdot 4.22) + (82.98 \cdot 1.29)}{124.89} \\ &= \frac{176.86 + 107.04}{124.89} \\ &= \frac{283.9}{124.89} \\ &\approx 2.27 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultante Totale de Poussée
Pa ≈ 125 kN/mh ≈ 2.27m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poussée totale est de près de 125 kN/m (12.5 tonnes par mètre), ce qui est une force très importante. Le point d'application, à 2.27m de la base, est plus bas que le milieu du mur (3m) mais plus haut que le tiers de la hauteur (2m). Ce résultat est logique car le diagramme de pression est plus "lourd" dans sa partie inférieure. C'est cette force et ce point d'application qui doivent être utilisés pour la conception du mur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le calcul du point d'application (barycentre) est une source d'erreur fréquente. Assurez-vous que les hauteurs de chaque force partielle (\(z_i\)) sont bien mesurées par rapport au même point de référence (généralement la base du mur). Une erreur ici fausserait complètement le calcul du moment de renversement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Décomposer le diagramme de pression en formes géométriques simples.
  • Calculer la force (aire) et le point d'application (centre de gravité) de chaque forme.
  • Utiliser le théorème des moments pour trouver la résultante totale et son point d'application.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les murs de soutènement de grande hauteur ou dans des conditions complexes, les ingénieurs utilisent des logiciels de calcul par éléments finis. Ces programmes modélisent le sol et le mur comme un maillage de petits éléments et simulent l'excavation et la construction pas à pas. Cela permet d'obtenir une représentation beaucoup plus réaliste des contraintes et des déformations que les méthodes manuelles simplifiées.

FAQ (pour lever les doutes)
Ma décomposition du diagramme est différente, est-ce grave ?

Non, tant que la décomposition couvre l'ensemble du diagramme sans chevauchement, le résultat final doit être le même. Par exemple, on pourrait décomposer le diagramme en un grand rectangle (dû à la surcharge), un triangle sur la couche 1, un rectangle (dû au poids de la couche 1) et un triangle sur la couche 2. Le calcul serait plus long mais le résultat (\(P_a\) et \(h_{app}\)) serait identique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de poussée totale est d'environ 124.9 kN/m, appliquée à 2.27 m au-dessus de la base du mur.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Approximativement, quelle serait la force de poussée si seule la couche 1 (sable, \(\gamma_1=17, \phi'_1=32\)) existait sur toute la hauteur de 6m (sans surcharge) ? (en kN/m)

Outil Interactif : Poussée sur Sol Bîcouche

Modifiez les paramètres du sol pour voir leur influence sur le diagramme de poussée et la force résultante.

Paramètres d'Entrée
32 °
10 kPa
Résultats Clés
Pression à l'interface (\(\sigma'_h(3^-)\)) -
Pression à l'interface (\(\sigma'_h(3^+)\)) -
Force de Poussée Totale (\(P_a\)) -

Le Saviez-Vous ?

L'un des plus grands murs de soutènement du monde est le barrage de la Grande-Dixence en Suisse. C'est un barrage-poids de 285 mètres de haut qui retient des milliards de mètres cubes d'eau. Bien qu'il retienne de l'eau et non du sol, les principes de calcul de la poussée hydrostatique sont les ancêtres des théories de la poussée des terres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la couche supérieure est cohérente et la couche inférieure est un sable ?

Le principe est le même. On calcule la pression en haut et en bas de la couche 1 en utilisant la formule avec cohésion. On calcule la contrainte verticale à l'interface. Juste en dessous de l'interface, on applique alors la formule SANS cohésion (\(\sigma'_h = K_{a2} \cdot \sigma'_v\)) en utilisant le \(K_{a2}\) du sable. Il y aura toujours une discontinuité de pression à l'interface.

Est-ce que cette méthode est valable si le remblai est incliné ?

Non. La théorie de Rankine est limitée aux remblais à surface horizontale. Pour un remblai incliné, il faut utiliser la théorie de Coulomb ou des méthodes graphiques (comme la méthode de Poncelet), qui sont plus générales mais aussi plus complexes à mettre en œuvre.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une surcharge \(q\) appliquée en surface...

2. La présence de cohésion (\(c' > 0\)) dans un sol :

Cohésion (\(c'\))
Partie de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est due aux forces d'attraction électrochimiques entre les particules fines (argiles).
Poussée des terres
État de contrainte et force minimale exercée par un sol sur un soutènement qui s'écarte du massif. On parle d'état "actif".
Contrainte Verticale (\(\sigma'_v\))
Pression exercée à une certaine profondeur par le poids des terres (et des surcharges) situées au-dessus.
Calcul de la Poussée des Terres (Cas Bîcouche)

D’autres exercices de Géotechnique:

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