Calcul des charges permanentes en béton armé

Contexte : Évaluation des charges sur un plancher courant.

Avant de pouvoir dimensionner les armatures d'une dalle ou d'une poutre, il est indispensable d'évaluer précisément les charges qu'elle devra supporter. Dans cet exercice, nous allons nous concentrer exclusivement sur le calcul des Charges PermanentesNotées G, elles représentent le poids de tous les éléments fixes de la construction. (G). Vous devez déterminer la charge surfacique totale d'un plancher composé d'une dalle en béton armé, d'une chape de ragréage et d'un revêtement en carrelage.

Remarque Pédagogique : La précision de ce calcul est fondamentale. Une sous-estimation du poids propre (charges permanentes) est l'une des causes les plus fréquentes de désordres structurels (flèches excessives à long terme).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de charge surfacique (kN/m²) par rapport au poids volumique (kN/m³).
Savoir décomposer un plancher en couches élémentaires.
Calculer le poids propre d'une dalle en béton armé.
Déterminer la charge linéique transmise à une poutre de reprise.

Données de l'étude

On considère un plancher d'habitation supporté par une poutre. Le plancher est constitué de plusieurs couches superposées.

Coupes et Matériaux

Couche	Épaisseur (e)	Poids Volumique (γ)	Poids Surfacique (g)
1. Carrelage (Grès cérame)	2 cm	-	0.40 kN/m² (donné)
2. Chape mortier	5 cm	20 kN/m³	À calculer
3. Dalle Béton Armé	20 cm	25 kN/m³	À calculer
4. Enduit plâtre (sous-face)	1.5 cm	10 kN/m³	À calculer

La poutre qui supporte ce plancher a une Largeur de RepriseLargeur de plancher supportée par la poutre (souvent la moitié de la portée de chaque côté). de 3.50 m.

Coupe du Plancher

Questions à traiter

Calculer le poids surfacique de la dalle en béton armé.
Calculer le poids surfacique des couches de finition (chape + enduit).
Déterminer la charge permanente totale surfacique (G_tot) du plancher complet.
En déduire la charge linéique (p_G) reprise par la poutre support.

Les bases théoriques

Pour passer des matériaux bruts aux charges de calcul sur une poutre, on procède en trois étapes de conversion dimensionnelle.

1. Le Poids Volumique (\(\gamma\) ou \(\rho\))
C'est la densité du matériau. Elle s'exprime en kN/m³. C'est une propriété intrinsèque du matériau (ex: Béton = 25, Acier = 78.5, Eau = 10).

2. La Charge Surfacique (g)
C'est le poids d'une couche d'épaisseur donnée rapporté au mètre carré. Elle s'exprime en kN/m².

Formule de conversion

\text{g [kN/m²]} = \text{Épaisseur [m]} \times \gamma \text{ [kN/m³]}

3. La Charge Linéique (p)
C'est la charge ramenée sur une ligne (comme une poutre ou un mur). Elle s'exprime en kN/m.

Formule de répartition

\text{p [kN/m]} = \text{g [kN/m²]} \times \text{Largeur Reprise [m]}

Correction : Calcul des Charges Permanentes (G)

Question 1 : Poids surfacique de la dalle BA

Principe

On cherche à déterminer combien pèse un mètre carré de dalle brute. Pour cela, on utilise l'épaisseur de la dalle et la densité du matériau (Béton Armé).

Mini-Cours

Béton Armé vs Béton Non Armé :

Béton non armé (banché) : densité d'environ 24 kN/m³.
Béton armé (avec aciers) : densité normalisée à 25 kN/m³ (standard Eurocode).

Remarque Pédagogique

C'est souvent la charge la plus importante du plancher, représentant parfois jusqu'à 70-80% de la charge permanente totale. Ne la sous-estimez jamais !

Normes

Selon l'Eurocode 1 (NF EN 1991-1-1), Annexe A, le poids volumique du béton armé ordinaire est pris égal à 25 kN/m³.

Formule(s)

Formules utilisées

Poids surfacique

\begin{aligned} g_{\text{dalle}} &= \text{épaisseur} \times \gamma_{\text{béton}} \\ &= e \times 25 \end{aligned}

Hypothèses

Pour effectuer ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

L'épaisseur de la dalle est considérée comme parfaitement constante (20 cm) sur toute la surface étudiée.
Le matériau est homogène (densité de 25 kN/m³ uniforme), sans vides ni trémies non signalées.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Épaisseur dalle	20	cm
Densité BA	25	kN/m³

Calcul(s)

1. Conversion des unités

L'épaisseur est donnée en centimètres. Pour être cohérent avec la densité en kN/m³, nous devons absolument convertir cette valeur en mètres avant tout calcul.

\begin{aligned} e &= 20 \text{ cm} \\ &= \frac{20}{100} \text{ m} \\ &= \mathbf{0.20 \text{ m}} \end{aligned}

Nous travaillerons donc avec une épaisseur de 0.20 m.

2. Calcul Final

Application numérique

On applique maintenant la formule en multipliant l'épaisseur convertie par la densité volumique du béton armé :

Poids de la dalle

\begin{aligned} g_{\text{dalle}} &= e \times \gamma_{\text{béton}} \\ &= 0.20 \text{ m} \times 25 \text{ kN/m}^3 \\ &= \mathbf{5.00 \text{ kN/m}^2} \end{aligned}

Le résultat est de 5.00 kN/m². Cela signifie que chaque mètre carré de cette dalle pèse 5 kN (soit environ 500 kg).

Visualisation 1m² de Dalle

Réflexions

5 kN/m² correspond à environ 500 kg par m². C'est une charge très importante, souvent supérieure à la charge d'exploitation (qui est de 1.5 à 2.5 kN/m² pour du logement).

Points de vigilance

Ne jamais confondre poids volumique (kN/m³) et poids surfacique (kN/m²). L'un est une propriété matière, l'autre dépend de l'épaisseur de l'élément.

Points à Retenir

La formule clé : g = e × γ.

Le saviez-vous ?

Une dalle pleine est très lourde, c'est pourquoi on utilise parfois des dalles alvéolées (avec des trous) pour les grandes portées afin de réduire ce poids propre.

FAQ

Pourquoi prend-on 25 kN/m³ et pas 24 ?

La valeur de 25 kN/m³ est une moyenne normalisée incluant le poids des aciers.

Le poids surfacique de la dalle est de 5.00 kN/m².

A vous de jouer
Si l'épaisseur était de 15 cm, quel serait le poids ?

📝 Mémo
Épaisseur (m) x Densité (kN/m³) = Poids surfacique (kN/m²).

Question 2 : Poids des couches de finition

Principe

On procède de la même manière pour la chape (mortier) et l'enduit plâtre, en utilisant leurs densités respectives. Le carrelage est déjà donné en poids surfacique, donc pas de calcul nécessaire pour lui.

Mini-Cours

Les matériaux non structuraux (chapes, enduits, isolants) ont des densités très variables. Il faut toujours se référer aux fiches techniques fabricants ou aux normes (NF P 06-004).

Remarque Pédagogique

Même si ces couches semblent fines, leur poids total n'est pas négligeable (plusieurs centaines de kg par m²). Oublier la chape peut conduire à une erreur de 15-20% sur la charge totale !

Normes

Les densités courantes sont tirées de la norme NF P 06-004.

Formule(s)

Formules utilisées

On utilise la même formule de conversion épaisseur/poids pour chaque couche \(i\) :

Poids surfacique couche i

\begin{aligned} g_i &= e_i \times \gamma_i \end{aligned}

Hypothèses

On suppose des épaisseurs constantes sur toute la surface et des matériaux homogènes.

Donnée(s)

Matériau	Épaisseur (m)	Densité (kN/m³)
Chape	0.05	20
Enduit Plâtre	0.015	10

Astuces

Astuce : Le mortier (chape) est un peu moins dense que le béton (20 vs 25) car il ne contient pas de gros graviers ni d'aciers, seulement du sable et du ciment.

Détail des Couches

Calcul(s)

1. Calcul de la Chape

Pour la chape, on a une épaisseur de 5 cm (0.05 m) et une densité de 20 kN/m³. On applique la formule \(g = e \times \gamma\) :

\begin{aligned} g_{\text{chape}} &= e_{\text{chape}} \times \gamma_{\text{mortier}} \\ &= 0.05 \text{ m} \times 20 \text{ kN/m}^3 \\ &= \mathbf{1.00 \text{ kN/m}^2} \end{aligned}

La chape apporte une charge supplémentaire de 1.00 kN/m² (soit 100 kg/m²).

2. Calcul de l'Enduit

Pour l'enduit en sous-face, on a une épaisseur de 1.5 cm (0.015 m) et une densité de 10 kN/m³. Le calcul est identique :

\begin{aligned} g_{\text{enduit}} &= e_{\text{enduit}} \times \gamma_{\text{plâtre}} \\ &= 0.015 \text{ m} \times 10 \text{ kN/m}^3 \\ &= \mathbf{0.15 \text{ kN/m}^2} \end{aligned}

L'enduit pèse 0.15 kN/m² (soit 15 kg/m²).

Réflexions

La chape seule pèse autant que 10 cm d'eau sur toute la surface ! C'est une charge morte significative qu'il ne faut pas négliger.

Points de vigilance

Attention aux "réservations" mal comblées sur chantier ou aux surépaisseurs de chape pour rattraper les niveaux ("ravoirage"), cela alourdit la structure par rapport au calcul théorique.

Points à Retenir

Toujours vérifier les densités des matériaux de finition, car elles varient beaucoup selon la nature du produit.

Le saviez-vous ?

Le plâtre est un matériau relativement léger mais très utile pour la protection incendie des structures, car il libère de la vapeur d'eau en chauffant, retardant l'élévation de température.

FAQ

Et si l'enduit est en ciment au lieu de plâtre ?

La densité passerait de 10 à environ 20-22 kN/m³, ce qui doublerait le poids de cette couche ! C'est pourquoi la nature du matériau est importante.

Chape : 1.00 kN/m² | Enduit : 0.15 kN/m²

A vous de jouer
Si la chape faisait 7 cm d'épaisseur, quel serait son poids ?

📝 Mémo
Calculer chaque couche séparément permet d'éviter les erreurs.

Question 3 : Charge Permanente Totale (G_tot)

Principe

La charge permanente totale est la somme de toutes les couches constitutives du plancher. Nous allons additionner les valeurs calculées et les valeurs données.

Mini-Cours

L'additivité des charges scalaires permet de sommer directement les poids surfaciques tant qu'ils sont tous exprimés dans la même unité (ici des kN/m²).

Remarque Pédagogique

C'est cette valeur \(G_{tot}\) qui sera la "carte d'identité" du poids de votre plancher. Elle servira ensuite pour dimensionner la dalle elle-même (ferraillage treillis soudé) et les poutres qui la portent.

Normes

NF EN 1991-1-1 : On somme les valeurs caractéristiques des charges permanentes pour obtenir \(G_k\).

Formule(s)

Formules utilisées

Somme des G

\begin{aligned} G_{\text{tot}} &= \sum g_i \\ &= g_{\text{dalle}} + g_{\text{chape}} + g_{\text{carrelage}} + g_{\text{enduit}} \end{aligned}

Hypothèses

On suppose que toutes les couches sont présentes sur l'intégralité de la surface du plancher.

Donnée(s)

Couche	Poids (kN/m²)	Origine
Dalle BA	5.00	Calculé Q1
Chape	1.00	Calculé Q2
Enduit	0.15	Calculé Q2
Carrelage	0.40	Donné dans l'énoncé

Astuces

Vérifiez toujours que vous n'avez oublié aucune couche ! Le carrelage, par exemple, était donné directement dans l'énoncé et ne nécessitait pas de calcul, mais il faut absolument l'ajouter ici.

Bilan des Charges G (au m²)

Dalle (76%)

Chape (15%)

Car.

Répartition relative des poids

Calcul(s)

Calcul Principal

Application numérique

On procède à l'addition terme à terme des charges surfaciques calculées précédemment (Dalle, Chape, Enduit) et de celle donnée (Carrelage) :

\begin{aligned} G_{\text{tot}} &= 5.00 \text{ (dalle)} \\ &+ 1.00 \text{ (chape)} \\ &+ 0.40 \text{ (carrelage)} \\ &+ 0.15 \text{ (enduit)} \\ G_{\text{tot}} &= \mathbf{6.55 \text{ kN/m}^2} \end{aligned}

Le plancher complet pèse donc 6.55 kN par mètre carré. C'est la charge permanente caractéristique surfacique.

Réflexions

La structure (dalle seule) représente 5.00 / 6.55 = 76% du poids total. Les finitions représentent tout de même 24% du poids. C'est pourquoi on ne peut pas les négliger.

Points de vigilance

Ne pas arrondir trop tôt les valeurs intermédiaires (gardez 2 décimales) pour éviter les erreurs d'arrondi sur la somme finale.

Points à Retenir

G_tot = Somme des g_i.

Le saviez-vous ?

Dans les bureaux modernes ("open space"), on ajoute souvent une charge forfaitaire supplémentaire de cloisons mobiles légères (souvent 0.5 à 1.0 kN/m²) dans les charges permanentes ou d'exploitation selon les normes nationales.

FAQ

Dois-je majorer cette charge par 1.35 maintenant ?

Pas encore. Ce calcul est celui de la valeur "caractéristique" \(G_k\) (valeur réelle attendue). La majoration de sécurité (\(\gamma_G = 1.35\)) viendra uniquement lors de l'étape des combinaisons de charges (ELU).

Charge Permanente Totale G = 6.55 kN/m²

A vous de jouer
Si on enlève l'enduit (0.15), combien vaut G ?

📝 Mémo
Sommer toutes les couches = G total.

Question 4 : Charge Linéique sur la Poutre

Principe

Pour transformer une charge surfacique (kN/m²) en charge linéique (kN/m) applicable sur la poutre, il suffit de multiplier la charge surfacique par la largeur de plancher reprise par cette poutre.

Mini-Cours

Descente de charges : C'est le principe fondamental du transfert des efforts. La charge passe de la surface (dalle) vers la ligne (poutre) puis vers le point (poteau). L'unité change à chaque étape :
kN/m² (Dalle) \(\to\) kN/m (Poutre) \(\to\) kN (Poteau).

Remarque Pédagogique

Visualisez la poutre comme une épaule qui porte une bande de tapis. Plus la bande est large, plus c'est lourd sur l'épaule.

Normes

La répartition se fait généralement selon la méthode des lignes de rupture (à 45°) ou par une répartition géométrique simplifiée (rectangulaire) selon le rapport des portées lx/ly.

Formule(s)

Formules utilisées

Conversion Surfacique -> Linéique

\begin{aligned} p_{\text{G}} &= G_{\text{tot}} \times \text{Largeur Reprise} \end{aligned}

Hypothèses

On considère ici que la dalle porte dans un seul sens ou que la largeur de reprise donnée (3.50 m) est déjà le résultat d'une analyse précise de la répartition des charges.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Charge G totale	6.55	kN/m²
Largeur de reprise (L)	3.50	m

Astuces

Analyse dimensionnelle : Vérifiez toujours vos unités !
[kN/m²] \(\times\) [m] = [kN/m]. Le résultat est cohérent avec une charge linéique.

Transfert de Charge : Dalle vers Poutre

Calcul(s)

Calcul Principal

Application numérique

On multiplie le poids au m² du plancher (\(G_{tot}\)) par la largeur de bande (\(L\) = 3.50 m) :

\begin{aligned} p_{\text{G}} &= 6.55 \text{ kN/m}^2 \times 3.50 \text{ m} \\ &= \mathbf{22.925 \text{ kN/m}} \end{aligned}

La poutre reçoit donc une charge de 22.93 kN pour chaque mètre de sa longueur. C'est cette valeur qui sera utilisée pour le calcul de la résistance mécanique.

Réflexions

Chaque mètre de cette poutre doit supporter près de 2.3 tonnes (22.93 kN) rien qu'avec le poids du plancher ! Cela donne une idée des efforts colossaux en jeu dans le bâtiment.

Points de vigilance

Attention : Ce résultat ne correspond qu'à la charge apportée par le plancher. Pour obtenir la charge permanente totale de la poutre, il ne faudra pas oublier d'y ajouter le poids propre de la retombée de la poutre elle-même (calculé comme \(b \times h \times 25\)).

Points à Retenir

Charge linéique = Charge surfacique \(\times\) Largeur de reprise.

Le saviez-vous ?

Une poutre de rive (sur le bord du bâtiment) reprend généralement moitié moins de largeur de plancher qu'une poutre centrale, car elle ne porte le plancher que d'un seul côté.

FAQ

Pourquoi ne pas multiplier par la longueur de la poutre ?

Si on multipliait par la longueur, on obtiendrait une charge ponctuelle totale (en kN). Or, pour calculer les moments fléchissants, on a besoin de la distribution de la charge le long de la poutre, donc en kN/m.

La charge linéique permanente sur la poutre est de 22.93 kN/m.

A vous de jouer
Si la largeur de reprise était de 2.00m, quelle serait la charge ?

📝 Mémo
p = g x Largeur.

Schéma Bilan : De la Surface à la Ligne

Récapitulatif de la descente de charges G : des couches de matériaux jusqu'à la charge sur la poutre.

📝 Synthèse : La Méthode des Couches

Pour ne rien oublier dans le calcul de G :

1️⃣
Lister : Identifier toutes les couches du haut vers le bas (Revêtement, Mortier de pose, Dalle, Faux-plafond, Enduit...).
2️⃣
Calculer au m² : Pour chaque couche, faire \(e \times \gamma\).
3️⃣
Sommer : Faire le total G surfacique.
4️⃣
Répartir : Multiplier par la largeur de reprise pour obtenir la charge sur la poutre.

🎛️ Simulateur : Impact de l'épaisseur de la dalle

Voyez comment l'épaisseur de la dalle en béton armé influence la charge permanente totale par rapport aux charges de finition constantes (chape, carrelage).

Paramètres

Épaisseur Dalle (cm) : 20

Poids Dalle (kN/m²) : -

Total G (kN/m²) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité d'une charge surfacique ?

kN/m
kN/m²
kN/m³

2. Si l'épaisseur de la dalle double, son poids propre...

Double exactement
Augmente un peu
Reste identique

📚 Glossaire

Charge Permanente (G): Action dont la variation dans le temps est négligeable (poids propre, poids des équipements fixes).
Poids Volumique: Masse d'un matériau par unité de volume (ex: 25 kN/m³ pour le BA).
Chape: Couche de mortier posée sur la dalle pour niveler le sol avant la pose du carrelage.
Largeur de Reprise: Largeur de plancher dont le poids est supporté par une poutre donnée.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Coupes et Matériaux

Coupe du Plancher

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul des Charges Permanentes (G)

Question 1 : Poids surfacique de la dalle BA

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Calcul(s)

1. Conversion des unités

2. Calcul Final

Visualisation 1m² de Dalle

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Poids des couches de finition

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Détail des Couches

Calcul(s)

1. Calcul de la Chape

2. Calcul de l'Enduit

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Charge Permanente Totale (G_tot)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Bilan des Charges G (au m²)

Calcul(s)

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Charge Linéique sur la Poutre

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Transfert de Charge : Dalle vers Poutre

Calcul(s)

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ