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Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton

Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton Armé

Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton Armé

Contexte : Pourquoi le dimensionnement des poteaux est-il critique ?

Les poteaux sont des éléments structuraux verticaux essentiels qui transmettent les charges des poutres et des dalles vers les fondations. Une défaillance d'un poteau peut entraîner l'effondrement progressif de toute une partie de la structure, ce qui en fait un élément de sécurité de premier ordre. Le béton arméMatériau composite alliant la résistance à la compression du béton et la résistance à la traction de l'acier. est le matériau de choix pour ces éléments, mais son dimensionnement doit être précis pour garantir à la fois la sécurité et l'économie du projet. Un poteau doit résister aux efforts de compression sans flamber ni s'écraser.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le pré-dimensionnement de la section d'un poteau en béton armé, puis dans le calcul de son ferraillage final, conformément aux règles de l'Eurocode 2 pour un effort de compression centré.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons d'actions de l'Eurocode pour déterminer l'effort ultime (\(N_{\text{Ed}}\)).
  • Calculer les résistances de calcul des matériaux (\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\)).
  • Déterminer la section de béton minimale requise en fonction d'un ratio d'acier économique.
  • Choisir des dimensions pratiques pour le poteau et calculer le ferraillage final.
  • Vérifier les conditions de non-fragilité et le pourcentage maximal d'armatures.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner un poteau de section carrée (\(a \times a\)) en béton armé, situé à l'intérieur d'un bâtiment. Le poteau est soumis à des charges permanentes et d'exploitation. On vise un dimensionnement économique avec un pourcentage d'armatures longitudinales d'environ 1%.

Schéma du poteau et des charges
G = 800 kN Q = 500 kN Poteau a x a a = ?

Caractéristiques des matériaux et des charges :

  • Béton : Classe C25/30
    • Résistance caractéristique à la compression : \(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\).
  • Acier : nuance S500 B
    • Limite d'élasticité caractéristique : \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\).
  • Hypothèse de dimensionnement :
    • Pourcentage d'acier visé : \(\rho = \frac{A_s}{A_c} \approx 1\% = 0.01\).
  • Charges de service (non pondérées) :
    • Charge permanente : \(G_{\text{k}} = 800 \, \text{kN}\).
    • Charge d'exploitation : \(Q_{\text{k}} = 500 \, \text{kN}\).
  • Coefficients de sécurité (Eurocode) :
    • Pour le béton : \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\).
    • Pour l'acier : \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\).
    • Pour les charges permanentes : \(\gamma_{\text{G}} = 1.35\).
    • Pour les charges d'exploitation : \(\gamma_{\text{Q}} = 1.5\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort normal de calcul à l'état limite ultime (\(N_{\text{Ed}}\)).
  2. Déterminer les résistances de calcul des matériaux (\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\)).
  3. Calculer la section de béton \(A_{\text{c}}\) requise et en déduire les dimensions du poteau.
  4. Recalculer la section d'armatures \(A_{\text{s}}\) exacte pour les dimensions choisies.
  5. Vérifier les pourcentages d'armatures et proposer un schéma de ferraillage.

Correction : Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton Armé

Question 1 : Calculer l'effort normal de calcul (\(N_{\text{Ed}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Gk Qk N_Ed Gk Qk + = N_Ed Charge Ultime

Pour dimensionner la structure, on ne travaille pas avec les charges réelles (de service), mais avec des charges "majorées" ou "pondérées". C'est le principe des états limites ultimes (ELU)État qui correspond à la ruine de la structure ou d'un de ses éléments. Les calculs à l'ELU visent à garantir que la structure ne s'effondrera pas sous les charges les plus défavorables.. On multiplie les charges par des coefficients de sécurité pour tenir compte des incertitudes (qualité des matériaux, conditions de chantier, modélisation). La somme de ces charges pondérées donne l'effort de calcul \(N_{\text{Ed}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La philosophie de l'Eurocode repose sur une approche semi-probabiliste. Les coefficients de sécurité sur les charges (\(\gamma_{\text{G}}, \gamma_{\text{Q}}\)) et sur les matériaux (\(\gamma_{\text{c}}, \gamma_{\text{s}}\)) sont calibrés pour garantir une probabilité de défaillance très faible sur la durée de vie de l'ouvrage (généralement 50 ans). La combinaison d'actions la plus courante pour les bâtiments est \(1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ne jamais oublier de pondérer les charges ! C'est la première étape de tout calcul de structure et une erreur ici invalide tout le reste du dimensionnement. C'est un principe de sécurité non négociable.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie dans la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures), et plus spécifiquement par l'équation 6.10 pour les situations de projet durables.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges permanentes et d'exploitation sont les seules charges agissant sur le poteau et que l'effort est appliqué de manière centrée (pas d'excentricité).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions à l'ELU :

\[ N_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_{\text{k}} + 1.5 \cdot Q_{\text{k}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente : \(G_{\text{k}} = 800 \, \text{kN}\)
  • Charge d'exploitation : \(Q_{\text{k}} = 500 \, \text{kN}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= (1.35 \times 800 \, \text{kN}) + (1.5 \times 500 \, \text{kN}) \\ &= 1080 \, \text{kN} + 750 \, \text{kN} \\ &= 1830 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort de calcul (1830 kN) est 40% plus élevé que la somme des charges de service (1300 kN). Cette marge de sécurité est fondamentale pour la robustesse de la structure. Le poteau doit donc être conçu pour résister à une charge de 183 tonnes.

Point à retenir : L'effort ultime de calcul \(N_{\text{Ed}}\) est la charge maximale pondérée que le poteau doit pouvoir supporter sans défaillance.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est cruciale car elle définit le niveau de sollicitation auquel la structure doit résister. C'est la valeur de référence pour tout le dimensionnement qui va suivre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Inverser les coefficients : Une erreur classique est d'inverser les coefficients \(\gamma_{\text{G}}\) et \(\gamma_{\text{Q}}\). Cela peut conduire à un sous-dimensionnement dangereux si la charge d'exploitation est prépondérante.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certaines situations (par exemple, pour vérifier la stabilité au soulèvement), on utilise des combinaisons d'actions minorées, comme \(0.9 G_{\text{k}}\), pour considérer le cas le plus défavorable où les charges permanentes ont un effet favorable.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il deux coefficients différents pour les charges ?

Parce que l'incertitude sur les charges n'est pas la même. Les charges permanentes (G), comme le poids propre de la structure, sont connues avec une assez bonne précision. Les charges d'exploitation (Q), comme le mobilier ou les personnes, sont beaucoup plus variables et incertaines, d'où un coefficient de sécurité plus élevé (1.5 contre 1.35).

Résultat Final : L'effort normal de calcul est \(N_{\text{Ed}} = 1830 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Calculez \(N_{\text{Ed}}\) (en kN) si la charge d'exploitation était de 600 kN.

Question 2 : Déterminer les résistances de calcul (\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
f_ck (caract.) 25 MPa f_cd (calcul) 16.67 MPa / γc

De la même manière que l'on majore les charges, on minore la résistance des matériaux. La résistance "caractéristique" (\(f_{\text{ck}}\) ou \(f_{\text{yk}}\)) est une valeur statistique (généralement le fractile 5%, signifiant que 95% des échantillons testés ont une résistance supérieure). On la divise par un coefficient de sécurité (\(\gamma_{\text{c}}\) ou \(\gamma_{\text{s}}\)) pour obtenir la résistance de "calcul" (\(f_{\text{cd}}\) ou \(f_{\text{yd}}\)), qui sera utilisée dans les formules de dimensionnement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance de calcul du béton \(f_{\text{cd}}\) prend en compte les incertitudes sur la mise en œuvre et les effets à long terme (comme le fluage). La formule complète est \(f_{\text{cd}} = \alpha_{\text{cc}} \cdot f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}}\), où \(\alpha_{\text{cc}}\) est un coefficient (généralement 0.85 ou 1.0) qui tient compte de la différence de résistance entre un essai sur éprouvette et le comportement du béton dans la structure réelle. Pour les calculs simplifiés en compression, on prend souvent \(\alpha_{\text{cc}} = 1.0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Les résistances de calcul sont les valeurs "garanties" que l'on peut utiliser dans les équations de dimensionnement. C'est le deuxième pilier de la sécurité, après la pondération des charges. Ne jamais utiliser les valeurs caractéristiques directement dans les formules de résistance.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des coefficients de sécurité sur les matériaux \(\gamma_{\text{c}}\) et \(\gamma_{\text{s}}\) sont données dans la norme NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2 : Calcul des structures en béton), Annexe Nationale. Les valeurs de 1.5 pour le béton et 1.15 pour l'acier sont les plus courantes pour les situations durables.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère des conditions d'exécution normales et une situation de projet durable. On prend \(\alpha_{\text{cc}} = 1.0\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de calcul du béton :

\[ f_{\text{cd}} = \frac{f_{\text{ck}}}{\gamma_{\text{c}}} \]

Résistance de calcul de l'acier :

\[ f_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\), \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\)
  • \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\), \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance du béton :

\[ \begin{aligned} f_{\text{cd}} &= \frac{25 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &\approx 16.67 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la résistance de l'acier :

\[ \begin{aligned} f_{\text{yd}} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le béton perd un tiers de sa résistance caractéristique dans le calcul, tandis que l'acier ne perd que 13%. Cela reflète le fait que la fabrication de l'acier en usine est beaucoup plus contrôlée et homogène que la fabrication du béton sur chantier, qui est sujette à plus de variabilité.

Point à retenir : On utilise toujours les résistances de calcul \(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\), obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients de sécurité.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est essentielle pour passer des propriétés théoriques des matériaux à des valeurs de conception sûres et utilisables, en intégrant les marges de sécurité requises par la loi.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre les résistances : Utiliser le mauvais coefficient de sécurité (par exemple, pour des situations accidentelles au lieu de durables) ou confondre \(f_{\text{ck}}\) avec \(f_{\text{cm}}\) (résistance moyenne) sont des erreurs courantes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient de sécurité pour le béton (1.5) est plus élevé que celui pour l'acier (1.15) car la production du béton sur chantier introduit plus de variabilité que la fabrication de l'acier en usine, qui est beaucoup plus contrôlée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients de sécurité sont-ils différents ?

Leur valeur dépend de la variabilité du matériau. Le béton, fabriqué in-situ, est plus hétérogène que l'acier, produit en usine. Le risque d'avoir une résistance locale plus faible est donc plus grand pour le béton, ce qui justifie un coefficient de sécurité plus élevé.

Résultat Final : \(f_{\text{cd}} = 16.67 \, \text{MPa}\) et \(f_{\text{yd}} = 434.78 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Calculez \(f_{\text{cd}}\) (en MPa) pour un béton C30/37 (\(f_{\text{ck}}=30\) MPa).

Question 3 : Calculer la section de béton \(A_{\text{c}}\) requise et en déduire les dimensions

Principe (le concept physique)

L'objectif est de trouver la plus petite section de béton \(A_c\) qui, avec un pourcentage d'acier \(\rho\) fixé, peut résister à l'effort \(N_{Ed}\). On part de l'équation d'équilibre de la section, mais cette fois, l'inconnue principale est \(A_c\). En exprimant la section d'acier \(A_s\) en fonction de \(A_c\) ( \(A_s = \rho \cdot A_c\) ), on peut isoler \(A_c\) et trouver la surface minimale nécessaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le dimensionnement d'un poteau est un processus itératif. En pratique, un ingénieur choisit souvent des dimensions initiales (un "pré-dimensionnement") basées sur son expérience, puis calcule l'acier nécessaire. Si le pourcentage d'acier est trop faible ou trop élevé, il ajuste les dimensions du poteau et recommence. L'approche ici est plus directe : on fixe un ratio d'acier idéal (économique) pour en déduire directement la section de béton optimale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le pourcentage d'acier \(\rho\) est le rapport clé. Un ratio de 1% à 2% est souvent considéré comme un bon équilibre entre le coût du béton et celui de l'acier, et assure un comportement structurel sain.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de base est toujours issue de l'Eurocode 2. La méthode de résolution en fixant le ratio d'acier est une approche de conception standard pour le pré-dimensionnement.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On part de l'hypothèse que le ratio de 1% d'acier est un objectif réalisable et qu'il respectera les limites réglementaires (ce qui sera vérifié plus tard).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de résistance en compression centrée :

\[ N_{\text{Ed}} \le A_{\text{c}} \cdot f_{\text{cd}} + A_{\text{s}} \cdot f_{\text{yd}} \]

Substitution avec \(A_{\text{s}} = \rho \cdot A_{\text{c}}\) et réarrangement :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &\le A_{\text{c}} \cdot f_{\text{cd}} + (\rho \cdot A_{\text{c}}) \cdot f_{\text{yd}} \\ N_{\text{Ed}} &\le A_{\text{c}} (f_{\text{cd}} + \rho \cdot f_{\text{yd}}) \\ \Rightarrow A_{\text{c}} &\ge \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{cd}} + \rho \cdot f_{\text{yd}}} \end{aligned} \]

Relation pour un poteau carré de côté \(a\) :

\[ a = \sqrt{A_{\text{c}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{Ed}} = 1830 \, \text{kN} = 1830000 \, \text{N}\)
  • \(\rho = 0.01\)
  • \(f_{\text{cd}} = 16.67 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{\text{yd}} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la section de béton requise :

\[ \begin{aligned} A_{\text{c}} &\ge \frac{1830000 \, \text{N}}{16.67 \, \text{N/mm}^2 + 0.01 \times 434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge \frac{1830000}{16.67 + 4.35} \\ &\ge \frac{1830000}{21.02} \, \text{mm}^2 \\ &\ge 87060 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la dimension du côté \(a\) :

\[ \begin{aligned} a &\ge \sqrt{87060 \, \text{mm}^2} \\ &\ge 295.1 \, \text{mm} \end{aligned} \]

On choisit une dimension constructive pratique, multiple de 5 cm. On arrondit donc à la valeur supérieure : \(a = 300 \, \text{mm}\).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul théorique nous donne une dimension de 29.51 cm. Pour des raisons de simplicité de coffrage, on choisit toujours une dimension arrondie et facile à mettre en œuvre sur chantier. Un poteau de 30x30 cm est donc un excellent choix de départ.

Point à retenir : La section de béton requise dépend de l'effort à reprendre et du pourcentage d'acier que l'on s'autorise à utiliser.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur du pré-dimensionnement. Elle permet de définir les dimensions géométriques de l'élément, qui ont un impact sur l'architecture, les coûts de coffrage et la quantité totale de matériaux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Arrondir à l'inférieur : Il ne faut jamais arrondir la dimension calculée à l'inférieur. Choisir 25 cm au lieu de 29.51 cm mènerait à un poteau sous-dimensionné qui nécessiterait un pourcentage d'acier beaucoup plus élevé, voire irréalisable.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les gratte-ciels, les poteaux des niveaux inférieurs peuvent atteindre des dimensions de plusieurs mètres carrés et utiliser des bétons à très haute performance (plus de 100 MPa) pour limiter leur encombrement.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si je choisis un poteau rectangulaire ?

Le principe est le même. Si vous fixez une relation (par ex. \(b=2a\)), alors \(A_c = a \cdot b = 2a^2\). Vous pouvez alors calculer \(a\) puis \(b\). Si aucune relation n'est fixée, il y a une infinité de solutions (un poteau 20x45 cm a la même aire qu'un 30x30 cm) et le choix est alors guidé par des contraintes architecturales.

Résultat Final : La dimension minimale est de 29.51 cm. On adopte une section carrée de \(30 \, \text{cm} \times 30 \, \text{cm}\).

À vous de jouer : Quelle serait la dimension \(a\) (en cm) d'un poteau carré si on visait un ratio d'acier de 2% ?

Question 4 : Recalculer la section d'armatures \(A_{\text{s}}\) exacte pour les dimensions choisies

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons fixé des dimensions pratiques et définitives pour le poteau (30x30 cm), nous devons recalculer la section d'acier exacte nécessaire pour cette section de béton. Comme nous avons légèrement augmenté la taille du poteau par rapport au minimum théorique (de 29.51 cm à 30 cm), la section d'acier requise sera légèrement inférieure à notre objectif initial de 1%.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce processus en deux temps (pré-dimensionnement puis calcul de vérification) est fondamental en ingénierie. La première étape donne un ordre de grandeur, la seconde affine le résultat pour les dimensions réelles qui seront construites. Cela garantit que la structure finale est à la fois sûre et optimisée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : C'est la même formule qu'à l'étape précédente, mais cette fois \(A_c\) est une donnée fixe et \(A_s\) est l'inconnue. C'est l'étape de vérification finale du dimensionnement.

Normes (la référence réglementaire)

La démarche est conforme à la méthodologie de calcul de l'Eurocode 2, qui consiste à s'assurer que l'effort agissant (\(N_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort résistant (\(N_{Rd}\)) pour la section finale choisie.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les dimensions finales du poteau sont fixées à \(300 \, \text{mm} \times 300 \, \text{mm}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la section d'acier :

\[ A_{\text{s}} \ge \frac{N_{\text{Ed}} - A_{\text{c}} \cdot f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{Ed}} = 1830000 \, \text{N}\)
  • \(A_{\text{c}} = 300 \, \text{mm} \times 300 \, \text{mm} = 90000 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{\text{cd}} = 16.67 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{\text{yd}} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la section d'acier exacte :

\[ \begin{aligned} A_{\text{s}} &\ge \frac{1830000 \, \text{N} - (90000 \, \text{mm}^2 \times 16.67 \, \text{N/mm}^2)}{434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge \frac{1830000 - 1500300}{434.78} \\ &\ge \frac{329700}{434.78} \, \text{mm}^2 \\ &\ge 758.3 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La section d'acier strictement nécessaire est de 7.58 cm². C'est très proche de la valeur de 7.59 cm² calculée à l'étape précédente, ce qui valide notre approche. La légère différence est due aux arrondis.

Point à retenir : Après avoir fixé les dimensions du béton, on recalcule toujours l'acier exact nécessaire pour ces dimensions.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape fournit la valeur précise d'acier à mettre en œuvre, qui servira de base pour le choix final des barres et la vérification des ratios réglementaires.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser l'aire théorique : Ne pas refaire ce calcul et se baser sur l'aire théorique de l'étape précédente (par ex. 1% de 29.51x29.51) serait une imprécision. Il faut toujours utiliser les dimensions finales adoptées.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul de structure modernes effectuent des milliers de ces calculs itératifs en quelques secondes pour optimiser les dimensions de tous les éléments d'un bâtiment afin de minimiser les coûts tout en respectant les normes de sécurité.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le résultat est-il légèrement différent de celui de la question 3 ?

À la question 3, nous avons calculé une section de béton de 87060 mm². En choisissant 300x300 mm, nous avons une section réelle de 90000 mm², soit une augmentation de la surface de béton. Ce béton supplémentaire reprend une partie de l'effort, ce qui diminue légèrement la quantité d'acier nécessaire.

Résultat Final : La section d'armatures exacte requise pour un poteau de 30x30 cm est \(A_{\text{s}} = 7.58 \, \text{cm}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier \(A_{\text{s}}\) (en cm²) requise si on avait choisi un poteau de 35x35 cm ?

Question 5 : Vérifier les pourcentages et proposer un schéma de ferraillage

Principe (la traduction du calcul en plan)

Le calcul nous a donné une section d'acier théorique. L'étape finale est de la traduire en un arrangement pratique de barres d'acier commerciales. On choisit un nombre de barres et un diamètre qui fournissent une section d'acier réelle (\(A_{\text{s,eff}}\)) légèrement supérieure à la section requise (\(A_{\text{s}}\)). On y ajoute les armatures transversalesAussi appelés cadres, étriers ou épingles. Ce sont des aciers qui entourent les barres longitudinales pour les maintenir en place et empêcher le poteau de "gonfler" et d'éclater sous la compression. (cadres et étriers) qui sont essentielles pour maintenir les barres longitudinales et confiner le béton.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le choix du diamètre des barres est un compromis. Moins de barres de plus gros diamètre est plus simple à mettre en place, mais plus de barres de petit diamètre permet une meilleure répartition de l'acier et un meilleur contrôle de la fissuration. Les armatures transversales doivent avoir un diamètre et un espacement réglementaires pour empêcher le flambement des barres longitudinales entre deux cadres.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Lors du choix des barres, il faut toujours arrondir la section d'acier à la valeur supérieure. On ne peut jamais mettre moins d'acier que ce que le calcul exige. Il est utile d'avoir un tableau des sections d'acier par diamètre à portée de main.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (section 9.5) spécifie les dispositions constructives : nombre minimal de barres (4 pour un poteau carré), diamètre minimal (généralement 8 ou 12 mm), et règles d'espacement des cadres transversaux.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un enrobage standard de 3 cm pour les armatures, ce qui est typique pour un environnement intérieur (classe d'exposition XC1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de choix des barres :

\[ A_{\text{s,effectif}} = n \times A_{\text{barre}} \ge A_{\text{s,calculé}} \]

Espacement maximal des cadres :

\[ s_{\text{max}} = \min(20 \cdot \phi_{\text{min,long}}; b; 400 \, \text{mm}) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section d'acier requise : \(A_{\text{s}} = 7.58 \, \text{cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Choix des armatures longitudinales :

\[ \begin{aligned} \text{Section par barre (pour 4 barres)} &= \frac{7.58 \, \text{cm}^2}{4} = 1.895 \, \text{cm}^2 \\ \text{Choix} &\Rightarrow \text{Barre HA 16} \, (A_{\text{barre}} = 2.01 \, \text{cm}^2) \\ A_{\text{s,effectif}} &= 4 \times 2.01 \, \text{cm}^2 = 8.04 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Vérification de la section choisie :

\[ A_{\text{s,effectif}} = 8.04 \, \text{cm}^2 \ge A_{\text{s,calculé}} = 7.58 \, \text{cm}^2 \Rightarrow \text{OK} \]

Calcul de l'espacement maximal des cadres :

\[ \begin{aligned} s_{\text{max}} &= \min(20 \times 16 \, \text{mm}; 300 \, \text{mm}; 400 \, \text{mm}) \\ &= \min(320 \, \text{mm}; 300 \, \text{mm}; 400 \, \text{mm}) \\ &= 300 \, \text{mm} \end{aligned} \]

On choisira un espacement pratique inférieur, par exemple \(s = 25 \, \text{cm}\).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix de 4 HA 16 est une solution standard, pratique et économique. Elle fournit une légère marge de sécurité (environ 6% d'acier en plus) et est facile à mettre en œuvre sur chantier. Le plan de ferraillage est la conclusion visuelle de tous les calculs précédents.

Point à retenir : Le ferraillage final est un choix pratique de barres standards qui doit satisfaire ou dépasser la section d'acier théorique calculée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finale rend le dimensionnement constructible. Le travail d'un ingénieur structure n'est pas seulement de calculer une valeur, mais de produire un plan clair et réalisable pour le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier les cadres : Ne pas dessiner ou spécifier les armatures transversales est une omission grave. Sans elles, les barres longitudinales peuvent flamber et le poteau éclater prématurément.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les nervures sur les barres d'armature (qui leur donnent l'appellation "Haute Adhérence") sont cruciales. Elles créent un ancrage mécanique avec le béton, assurant que les deux matériaux travaillent parfaitement ensemble comme un seul élément composite.

FAQ (pour lever les doutes)
Aurais-je pu utiliser 6 barres plus petites au lieu de 4 ?

Oui, tant que la section totale est suffisante et que les règles d'espacement sont respectées. Par exemple, 6 barres HA 14 (section totale de 9.24 cm²) fonctionneraient aussi. Le choix dépend de l'encombrement, de la facilité de mise en œuvre et des dispositions sismiques éventuelles.

Résultat Final : On adopte une solution de ferraillage avec 4 barres HA 16 (\(A_{\text{s,eff}} = 8.04 \, \text{cm}^2\)) et des cadres HA 6 espacés de 25 cm.
Schéma de ferraillage - Vue en coupe
Enrobage c=3cm Cadre HA6 4 HA 16 (As,eff = 8.04 cm²) 300 mm 300 mm
Schéma de ferraillage - Vue Longitudinale
Barres HA 16 s = 25 cm

À vous de jouer : Si vous deviez utiliser des barres HA 12 (section 1.13 cm²), combien en faudrait-il au minimum pour ce poteau ?

Mini Fiche Mémo : Calcul d'un Poteau en Compression

Étape Formule Clé & Objectif
1. Effort Ultime \( N_{\text{Ed}} = 1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}} \)
Déterminer la charge de calcul en appliquant les coefficients de sécurité.
2. Résistances de Calcul \( f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}} \) et \( f_{\text{yd}} = f_{\text{yk}} / \gamma_{\text{s}} \)
Déterminer la résistance des matériaux en appliquant les coefficients de sécurité.
3. Section d'Acier \( A_{\text{s}} \ge (N_{\text{Ed}} - A_{\text{c}} f_{\text{cd}}) / f_{\text{yd}} \)
Calculer l'acier nécessaire pour que le béton et l'acier ensemble reprennent l'effort.
4. Vérification Réglementaire \( A_{\text{s,min}} \le A_{\text{s}} \le A_{\text{s,max}} \)
S'assurer que la quantité d'acier respecte les limites minimales et maximales de la norme.

Outil Interactif : Calculateur d'Armatures

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres du Poteau
1830 kN
Résultats
Section d'acier requise (As) -
-

Le Saviez-Vous ?

Le Panthéon de Rome, construit il y a près de 2000 ans, possède la plus grande coupole en béton non armé du monde. Son dôme de 43,3 mètres de diamètre a tenu si longtemps grâce à l'utilisation d'un béton romain exceptionnel, dont la composition exacte (notamment l'utilisation de cendre volcanique) continue de fasciner les ingénieurs modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le poteau est très élancé ?

Si un poteau est très haut par rapport à sa largeur (fort élancement), il y a un risque de "flambement". C'est un phénomène d'instabilité où le poteau se déforme latéralement sous l'effet de la compression, bien avant que le matériau lui-même ne s'écrase. Le calcul devient alors plus complexe et il faut prendre en compte ces "effets du second ordre" qui réduisent la capacité portante du poteau.

Pourquoi l'acier est-il si important dans un poteau en compression ?

Bien que le béton soit excellent en compression, l'acier joue plusieurs rôles cruciaux : 1) Il augmente la capacité portante globale, permettant des poteaux plus petits. 2) Il assure un comportement ductile, c'est-à-dire qu'en cas de surcharge extrême, le poteau se déformera de manière visible avant de rompre, laissant un avertissement. 3) Il aide à résister aux efforts imprévus (flexion, cisaillement) et aux effets du retrait et du fluage du béton.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on utilise un béton de classe supérieure (par exemple C35/45 au lieu de C25/30), la section d'acier requise pour la même charge va :

2. La principale raison d'imposer une section d'acier minimale (\(A_{\text{s,min}}\)) est de :

Béton Armé
Matériau composite associant le béton, qui a une bonne résistance à la compression, et l'acier (armatures), qui a une excellente résistance à la traction.
État Limite Ultime (ELU)
État correspondant à la ruine ou à un dommage majeur de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en évitant l'effondrement.
\(f_{\text{ck}}\) (Résistance caractéristique)
Résistance à la compression du béton mesurée sur des éprouvettes cylindriques à 28 jours, avec une probabilité de 95% d'être dépassée.
\(f_{\text{cd}}\) (Résistance de calcul)
Résistance du béton utilisée dans les calculs de dimensionnement, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient de sécurité (\(f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}}\)).
Fondamentaux du Génie Civil : Dimensionnement d'un Poteau en Béton Armé

D’autres exercices de béton armé:

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