Études de cas pratique

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Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau

Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau

Comprendre le Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau

Vous êtes un ingénieur en structure chargé de concevoir un poteau en béton pour soutenir un bâtiment. Le poteau doit respecter les normes de l’Eurocode.

Pour comprendre le Calcul les aciers d’un poteau et la Descente de Charges sur un Poteau, cliquez sur les liens.

Données:

  • Dimensions du poteau : Longueur = 3 m, largeur = 0.5 m, épaisseur = 0.5 m.
  • Type de béton : C25/30.
  • Type d’acier pour l’armature : B500B.
  • Charge appliquée sur le poteau : 1500 kN (incluant les charges permanentes et variables).
  • Conditions environnementales : Classe d’exposition XC3.
  • Facteurs de sécurité : Selon Eurocode.
Calcul de la Capacité Portante d'un Poteau

Questions:

1. Calcul de la résistance caractéristique du béton et de l’acier : Utiliser les valeurs caractéristiques pour le béton C25/30 et l’acier B500B selon l’Eurocode, Appliquer les coefficients partiels de sécurité.

2. Vérification de la section transversale : Assurer que la section du poteau peut résister à la charge appliquée, Calculer la résistance en compression du poteau.

3. Calcul de la résistance à la flexion : Prendre en compte les moments de flexion possibles, Vérifier la capacité de la section à résister à la flexion.

4. Calcul de la résistance au cisaillement : Vérifier que la résistance au cisaillement n’est pas dépassée.

5. Vérification de la durabilité : Considérer la classe d’exposition XC3 pour déterminer le recouvrement nécessaire et la résistance à la corrosion.

Correction : Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau

1. Calcul de la résistance caractéristique du béton et de l’acier

a) Pour le béton

Le béton de classe C25/30 a une résistance caractéristique \( f_{ck} \) donnée. Pour le dimensionnement, on utilise la résistance de calcul réduite :

Formule :

\[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \]

Données :

  • \( f_{ck} = 25\,\text{MPa} \),
  • \( \gamma_c = 1.5 \).

Calcul :

\[ f_{cd} = \frac{25}{1.5} \approx 16.67\,\text{MPa} \]

b) Pour l’acier

L’acier B500B a une résistance caractéristique \( f_{yk} \). Le calcul de la résistance de calcul est :

Formule :

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \]

Données :

  • \( f_{yk} = 500\,\text{MPa} \),
  • \( \gamma_s = 1.15 \).

Calcul :

\[ f_{yd} = \frac{500}{1.15} \approx 434.78\,\text{MPa} \]

2. Vérification de la section transversale en compression

a) Capacité en compression du béton seul

Pour un poteau court soumis principalement à une charge axiale, la capacité en compression (sans tenir pour l’instant l’armature) est donnée par :

Formule :

\[ N_{Rd,\,\text{béton}} = A_c \times f_{cd} \]
(Attention : \( f_{cd} \) en N/mm² et \( A_c \) en mm²)

Données :

  • \( A_c = 250\,000\,\text{mm}^2 \),
  • \( f_{cd} = 16.67\,\text{N/mm}^2 \).

Calcul :

\[ N_{Rd,\,\text{béton}} = 250\,000 \times 16.67 \] \[ N_{Rd,\,\text{béton}} \approx 4\,167\,500\,\text{N} \quad \text{soit} \quad 4167.5\,\text{kN} \]

Ce résultat montre que, même sans compter l’armature, la résistance en compression du béton est largement supérieure à la charge appliquée de \( 1500\,\text{kN} \).

b) Contribution de l’armature (optionnel pour vérifier l’interaction)

L’armature contribue également à la résistance. On peut évaluer cette contribution par :

Formule :

\[ N_{Rd,\,\text{acier}} = A_s \times f_{yd} \]

Données :

  • \( A_s = 5000\,\text{mm}^2 \),
  • \( f_{yd} \approx 434.78\,\text{MPa} \).

Calcul :

\[ N_{Rd,\,\text{acier}} = 5000 \times 434.78 \] \[ N_{Rd,\,\text{acier}} \approx 2\,173\,900\,\text{N} \quad \text{soit} \quad 2173.9\,\text{kN} \]

Capacité totale approximative :

\[ N_{Rd,\,\text{total}} = N_{Rd,\,\text{béton}} + N_{Rd,\,\text{acier}} \] \[ N_{Rd,\,\text{total}} \approx 4167.5 + 2173.9 \] \[ N_{Rd,\,\text{total}} = 6341.4\,\text{kN} \]

La capacité totale est ainsi très supérieure à la charge appliquée de \( 1500\,\text{kN} \).

3. Vérification de la résistance à la flexion

Même si la charge est principalement axiale, une excentricité (ici \( e = 0.05\,\text{m} \)) peut générer un moment de flexion.

a) Calcul du moment appliqué

Formule :

\[ M_{Ed} = N_{Ed} \times e \]

Données :

  • \( N_{Ed} = 1500\,\text{kN} \),
  • \( e = 0.05\,\text{m} \).

Calcul :

\[ M_{Ed} = 1500 \times 0.05 \] \[ M_{Ed} = 75\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

b) Vérification de la capacité en flexion

Pour une section rectangulaire armée, le calcul exact de la résistance à la flexion nécessite de déterminer l’équilibre des forces et de travailler avec le diagramme d’interaction \( N\text{-}M \). Dans notre approche simplifiée, nous notons que :

La contribution en flexion de l’armature (en supposant une hauteur utile \( d = 450\,\text{mm} \)) est de l’ordre de :

\[ M_{Rd,\,\text{ac}} \approx A_s \times f_{yd} \times d \]

Données :

  • \( A_s = 5000\,\text{mm}^2 \),
  • \( f_{yd} \approx 434.78\,\text{N/mm}^2 \),
  • \( d = 450\,\text{mm} \).

Calcul indicatif :

\[ M_{Rd,\,\text{ac}} \approx 5000 \times 434.78 \times 450 \] \[ M_{Rd,\,\text{ac}} \approx 978\,255\,000\,\text{N}\cdot\text{mm} \quad \text{soit} \quad \approx 978.3\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

Même si cette estimation est très simplifiée (et tend à surestimer la capacité, car en compression totale, le calcul requiert l’utilisation d’une courbe d’interaction), le résultat montre que la marge par rapport au moment appliqué de \( 75\,\text{kN}\cdot\text{m} \) est largement suffisante.

Conclusion : La section est adéquate pour résister aux éventuels moments de flexion induits par l’excentricité.

4. Vérification de la résistance au cisaillement

Le cisaillement doit être vérifié pour s’assurer que la section résiste aux efforts transversaux, même s’ils sont généralement faibles dans un poteau fortement axé. On peut utiliser une formule simplifiée pour la capacité au cisaillement sans armatures spécifiques (vérification au béton).

a) Formule simplifiée pour le cisaillement (EN 1992‑1‑1)

\[ V_{Rd,c} = \left( C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100\,\rho_l\,f_{ck})^{\frac{1}{3}} \right) \cdot b \cdot d \]

Où :

  • \( C_{Rd,c} = \frac{0.18}{\gamma_c} \)
  • \( k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \) (avec \( d \) en mm, limité à 2.0)
  • \( \rho_l = \frac{A_s}{b \cdot d} \) est le taux d’armature longitudinal
b) Application numérique

Données :

  • \( \gamma_c = 1.5 \)
  • \(\Rightarrow C_{Rd,c} = \frac{0.18}{1.5} = 0.12 \)
  • \( d = 450\,\text{mm} \)
  • \( k = 1 + \sqrt{\frac{200}{450}} \approx 1 + \sqrt{0.444} \approx 1 + 0.666 = 1.666 \)
  • \( b = 500\,\text{mm} \)
  • \( A_s = 5000\,\text{mm}^2 \)
  • \(\Rightarrow \rho_l = \frac{5000}{500 \times 450} \approx 0.0222 \)
  • \( f_{ck} = 25\,\text{MPa} \)

Calcul du terme intermédiaire :

\[ 100\,\rho_l\,f_{ck} = 100 \times 0.0222 \times 25 \approx 55.5 \]
\[ (55.5)^{\frac{1}{3}} \approx 3.82 \]

Calcul de \( V_{Rd,c} \) :

\[ V_{Rd,c} = 0.12 \times 1.666 \times 3.82 \times (500 \times 450) \]
\[ V_{Rd,c} \approx 0.763 \times 225\,000 \]  \[ V_{Rd,c}\approx 171\,675\,\text{N} \quad \text{soit} \quad \approx 171.7\,\text{kN} \]

Interprétation :
Si les efforts de cisaillement (généralement induits par des charges latérales ou des excentricités) restent inférieurs à environ 170 kN, la vérification est satisfaisante. Dans un poteau principalement soumis à une charge axiale, cette capacité est généralement suffisante.

5. Vérification de la durabilité

La classe d’exposition XC3 impose un recouvrement minimal pour protéger les armatures de la corrosion.

  • Selon l’Eurocode et les recommandations associées, un recouvrement de l’ordre de 30 à 40 mm est habituellement exigé pour ce type d’exposition.
  • Hypothèse : On considère que le poteau est réalisé avec un recouvrement de 40 mm, ce qui satisfait aux exigences de durabilité pour la classe XC3.
Conclusion finale

Le dimensionnement vérifié montre que :

  • La capacité en compression du poteau (en béton et acier) est largement supérieure à la charge appliquée de \(1500\,\text{kN}\).
  • Les vérifications en flexion et en cisaillement confirment que la section est adaptée aux sollicitations induites par une éventuelle excentricité et aux efforts transversaux.
  • Le recouvrement prévu assure la durabilité de l’ouvrage en conformité avec la classe d’exposition XC3.

En conclusion, le poteau en béton de section \(0.5\,\text{m} \times 0.5\,\text{m}\), réalisé en C25/30 avec une armature en B500B (avec un taux d’armature d’environ 2% et un recouvrement de 40 mm), est dimensionné de manière satisfaisante pour supporter la charge appliquée de \(1500\,\text{kN}\) selon les prescriptions de l’Eurocode.

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