Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau

Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau en Béton Armé

Introduction à la Capacité Portante

La capacité portante d'un poteau en béton armé est sa résistance maximale à un effort axial de compression, éventuellement combiné à des moments fléchissants. La vérification à l'État Limite Ultime (ELU) consiste à s'assurer que l'effort axial agissant de calcul (\(N_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort axial résistant de calcul (\(N_{Rd}\)). Le calcul de \(N_{Rd}\) dépend des propriétés des matériaux (béton et acier), de la section du poteau, du pourcentage d'armatures et des effets éventuels du second ordre (flambement).

Données de l'étude

On souhaite vérifier la capacité portante en compression simple d'un poteau carré en béton armé P2 (celui de l'exercice précédent sur la descente de charges) sous l'effet des charges à l'ELU.

Caractéristiques géométriques et sollicitations :

  • Section du poteau : \(b \times h = 40 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm}\)
  • Effort axial permanent de service (\(N_{G,ser}\)) : \(1277.60 \, \text{kN}\) (issu de l'exercice précédent)
  • Effort axial d'exploitation de service (\(N_{Q,ser}\)) : \(420.00 \, \text{kN}\) (issu de l'exercice précédent)
  • Hauteur libre du poteau (\(l\)) : \(3.20 \, \text{m} - 0.22 \, \text{m} = 2.98 \, \text{m}\) (hauteur d'étage - épaisseur dalle)
  • Longueur de flambement (\(l_0\)) : On prendra \(l_0 = 0.7 \times l\) (hypothèse simplifiée pour un poteau encastré en pied et articulé en tête, ou cas courant en bâtiment).

Matériaux et Armatures :

  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Armatures longitudinales : 4 HA 20 (\(A_s\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\) (béton), \(\gamma_s = 1.15\) (acier)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour charges de longue durée : \(0.85\) (selon Eurocode 2)

Hypothèse : On néglige les effets du second ordre (flambement) si l'élancement est inférieur à la limite \(\lambda_{lim}\). On calcule la résistance en compression simple.

Schéma : Section du Poteau P2
40 cm 40 cm Section Poteau P2 (40x40) 4 HA 20

Section transversale du poteau avec les armatures longitudinales.

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort axial de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)) en utilisant la combinaison \(1.35G + 1.5Q\).
  2. Calculer la section d'acier totale (\(A_s\)) et la section de béton (\(A_c\)).
  3. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{yd}\) pour l'acier.
  4. Calculer la résistance axiale de calcul du poteau en compression simple (\(N_{Rd}\)) en négligeant les effets du second ordre. Utiliser la formule : \(N_{Rd} = \alpha_{cc} A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\).
  5. Comparer \(N_{Ed}\) et \(N_{Rd}\) et conclure sur la capacité portante du poteau vis-à-vis de l'effort axial calculé. (On ne vérifie pas l'élancement ici).

Correction : Calcul de la Capacité Portante du Poteau

Question 1 : Effort Axial de Calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\))

Principe :

L'effort axial de calcul à l'ELU est obtenu en pondérant les efforts axiaux de service permanents (G) et d'exploitation (Q) par les coefficients de sécurité appropriés.

Formule(s) utilisée(s) (Combinaison fondamentale ELU) :
\[N_{Ed} = 1.35 N_{G,ser} + 1.5 N_{Q,ser}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{G,ser} = 1277.60 \, \text{kN}\)
  • \(N_{Q,ser} = 420.00 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{Ed} &= (1.35 \times 1277.60 \, \text{kN}) + (1.5 \times 420.00 \, \text{kN}) \\ &= 1724.76 \, \text{kN} + 630.00 \, \text{kN} \\ &= 2354.76 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'effort axial de calcul à l'ELU est \(N_{Ed} = 2354.76 \, \text{kN}\).

Question 2 : Calcul des Sections d'Acier (\(A_s\)) et de Béton (\(A_c\))

Principe :

La section d'acier totale (\(A_s\)) est la somme des sections des armatures longitudinales. La section de béton (\(A_c\)) est la section brute du poteau (\(A_{brute}\)). Pour le calcul de \(N_{Rd}\), on utilise la section brute \(A_c\), la contribution des aciers étant ajoutée séparément.

Formule(s) utilisée(s) :

Section d'une barre HA 20 (\(\phi=20\) mm) :

\[A_{\phi 20} = \frac{\pi \phi^2}{4} = \frac{\pi (20 \, \text{mm})^2}{4}\]

Section totale d'acier (\(A_s\)) :

\[A_s = \text{Nombre de barres} \times A_{\phi 20}\]

Section brute de béton (\(A_c\)) :

\[A_c = b \times h\]
Données spécifiques :
  • Armatures : 4 HA 20
  • Section poteau : \(40 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\phi 20} &= \frac{\pi \times (20)^2}{4} \\ &\approx 314.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_s &= 4 \times 314.16 \, \text{mm}^2 \\ &= 1256.64 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_s = 12.57 \, \text{cm}^2\)

\[ \begin{aligned} A_c &= 40 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm} \\ &= 1600 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en mm² : \(A_c = 160000 \, \text{mm}^2\)

Résultat Question 2 : La section d'acier totale est \(A_s = 1256.64 \, \text{mm}^2\) et la section brute de béton est \(A_c = 160000 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Résistances de Calcul des Matériaux (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :

Résistance de calcul du béton :

\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\]

Résistance de calcul de l'acier :

\[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C30/37 : \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa} = 30 \, \text{N/mm}^2\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa} = 500 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 30 \, \text{N/mm}^2}{1.5} \\ &= \frac{25.5}{1.5} \, \text{N/mm}^2 \\ &= 17.0 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{N/mm}^2}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} = 17.0 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Résistance Axiale de Calcul (\(N_{Rd}\))

Principe :

La résistance axiale de calcul d'un poteau en compression simple (sans considérer le flambement pour l'instant) est la somme des contributions du béton et des armatures longitudinales, basées sur leurs résistances de calcul.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2, compression simple) :
\[N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\]

Note: L'Eurocode 2 utilise souvent \(N_{Rd} = \alpha_{cc} A_c f_{cd} + A_s \sigma_{sd}\), où \(\sigma_{sd}\) est la contrainte de calcul dans l'acier, souvent prise égale à \(f_{yd}\) si l'acier plastifie. La formule \(N_{Rd} = 0.8 A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\) est aussi une simplification parfois vue (BAEL). On utilise ici la formule directe EC2 avec \(\alpha_{cc}\) déjà inclus dans \(f_{cd}\) par convention de certains pays, ou appliquée séparément. Pour être conforme à la formule EC2 la plus directe : \(N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\) où \(f_{cd} = \alpha_{cc} f_{ck} / \gamma_c\).

Données spécifiques :
  • \(A_c = 160000 \, \text{mm}^2\)
  • \(A_s = 1256.64 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{cd} = 17.0 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{Rd} &= (160000 \, \text{mm}^2 \times 17.0 \, \text{N/mm}^2) + (1256.64 \, \text{mm}^2 \times 434.78 \, \text{N/mm}^2) \\ &= 2720000 \, \text{N} + 546484 \, \text{N} \\ &= 3266484 \, \text{N} \\ &\approx 3266.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance axiale de calcul du poteau en compression simple est \(N_{Rd} \approx 3266.5 \, \text{kN}\).

Question 5 : Vérification de la Capacité Portante

Principe :

La sécurité est assurée si l'effort axial de calcul (\(N_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort axial résistant de calcul (\(N_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} \leq N_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 2354.76 \, \text{kN}\) (calculé)
  • \(N_{Rd} \approx 3266.5 \, \text{kN}\) (calculé)
Comparaison :
\[2354.76 \, \text{kN} \leq 3266.5 \, \text{kN}\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 5 : Le poteau P2 a une capacité portante suffisante pour reprendre l'effort axial de calcul ELU (\(N_{Ed} \leq N_{Rd}\)), en négligeant les effets du second ordre (flambement). Une vérification de l'élancement serait nécessaire pour confirmer que ces effets peuvent être négligés.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(N_{Ed}\) ?

2. Comment obtient-on la résistance de calcul du béton \(f_{cd}\) à partir de la résistance caractéristique \(f_{ck}\) ?

3. La capacité portante \(N_{Rd}\) d'un poteau en compression simple dépend principalement de :

Glossaire

Capacité Portante
Charge maximale qu'un élément structural peut supporter avant d'atteindre un état limite (généralement l'ELU).
Poteau
Élément structural vertical travaillant principalement en compression, transmettant les charges des niveaux supérieurs aux fondations.
Effort Axial de Calcul (\(N_{Ed}\))
Effort axial agissant sur l'élément, calculé à partir des charges pondérées selon les combinaisons de l'État Limite Ultime (ELU).
Effort Axial Résistant de Calcul (\(N_{Rd}\))
Résistance maximale à l'effort axial que l'élément peut supporter, calculée en utilisant les résistances de calcul des matériaux (\(f_{cd}, f_{yd}\)) et en tenant compte éventuellement des effets du second ordre.
Résistance Caractéristique (\(f_{ck}, f_{yk}\))
Valeur de résistance d'un matériau (béton ou acier) ayant une probabilité prescrite (généralement 5%) de ne pas être atteinte lors d'essais.
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance utilisée dans les calculs de dimensionnement à l'ELU, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient partiel de sécurité (\(\gamma_c\) ou \(\gamma_s\)).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_c, \gamma_s\))
Coefficient appliqué aux résistances des matériaux pour tenir compte des incertitudes et assurer un niveau de sécurité adéquat.
Coefficient \(\alpha_{cc}\)
Coefficient (généralement 0.85 ou 1.0 selon les normes nationales) tenant compte des effets défavorables à long terme sur la résistance du béton en compression.
Armatures Longitudinales (\(A_s\))
Barres d'acier principales disposées le long de l'axe du poteau pour reprendre une partie de l'effort de compression et améliorer la ductilité.
Section de Béton (\(A_c\))
Aire de la section transversale brute du poteau en béton.
Flambement (ou Effets du Second Ordre)
Phénomène d'instabilité pouvant survenir dans les éléments élancés soumis à la compression, entraînant des déformations latérales importantes et une réduction de la capacité portante. Non traité en détail dans cet exercice.
Élancement (\(\lambda\))
Rapport entre la longueur de flambement (\(l_0\)) et le rayon de giration (\(i\)) de la section. Permet d'évaluer la sensibilité au flambement.
Calcul de la Capacité Portante d’un Poteau - Exercice d'Application

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