Études de cas pratique

EGC

Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre

Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre (RDM)

Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre

Comprendre le Module d'Élasticité

Le module d'élasticité, également connu sous le nom de module de Young (noté \(E\)), est une propriété fondamentale des matériaux qui caractérise leur rigidité, c'est-à-dire leur résistance à la déformation élastique sous l'effet d'une contrainte. Dans le domaine de l'élasticité linéaire (où la déformation est proportionnelle à la contrainte et le matériau reprend sa forme initiale après suppression de la charge), le module d'Young est défini comme le rapport entre la contrainte normale (\(\sigma\)) et la déformation longitudinale (ou unitaire, \(\epsilon\)) correspondante. Une valeur élevée de \(E\) indique un matériau rigide (difficile à déformer), tandis qu'une valeur faible indique un matériau plus souple. La connaissance du module d'Young est cruciale en résistance des matériaux pour prédire le comportement des structures (comme les poutres) sous charge, calculer les flèches, et s'assurer de leur stabilité et de leur sécurité.

Données de l'étude

Un essai de traction est réalisé sur une éprouvette cylindrique d'un acier inconnu pour déterminer son module d'élasticité.

Caractéristiques de l'éprouvette et de l'essai :

  • Diamètre initial de l'éprouvette (\(D_0\)) : \(10.0 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale entre repères sur l'éprouvette (\(L_0\)) : \(50.0 \, \text{mm}\)
  • Force de traction axiale appliquée (\(F\)) : \(15.0 \, \text{kN}\)
  • Allongement mesuré entre les repères sous cette force (\(\Delta L\)) : \(0.035 \, \text{mm}\)
  • On suppose que l'essai est réalisé dans le domaine élastique linéaire du matériau.
Schéma : Essai de Traction sur Éprouvette
Essai de Traction {/* */} {/* */} Éprouvette {/* */} F F {/* */} L0 {/* L0 + DeltaL */} L0+ΔL ΔL D0

Schéma d'une éprouvette cylindrique soumise à un essai de traction.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale initiale (\(A_0\)) de l'éprouvette.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) appliquée à l'éprouvette.
  3. Calculer la déformation longitudinale (ou unitaire, \(\epsilon\)) de l'éprouvette.
  4. Déterminer le module d'élasticité (Module de Young, \(E\)) du matériau de l'éprouvette.

Correction : Calcul du Module d’Élasticité

Question 1 : Aire de la Section Transversale Initiale (\(A_0\))

Principe :

L'éprouvette est cylindrique, donc sa section transversale est un disque. L'aire d'un disque est donnée par la formule \(A = \pi R^2\) ou \(A = \pi D^2 / 4\), où \(D\) est le diamètre. Il est important de convertir le diamètre en mètres pour obtenir une aire en mètres carrés (\(\text{m}^2\)), unité standard pour les calculs de contrainte en Pascals.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_0 = \frac{\pi D_0^2}{4} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(10.0 \, \text{mm} = 10.0 \times 10^{-3} \, \text{m} = 0.010 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 &= \frac{\pi (0.010 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0001 \, \text{m}^2}{4} \\ &= \frac{0.000314159... \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.0000785398 \, \text{m}^2 \\ &\approx 7.854 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale initiale de l'éprouvette est \(A_0 \approx 7.854 \times 10^{-5} \, \text{m}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est définie comme la force axiale (\(F\)) appliquée par unité d'aire de la section transversale initiale (\(A_0\)) sur laquelle elle agit. Elle mesure l'intensité de la force interne par unité de surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A_0} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Force de traction (\(F\)) : \(15.0 \, \text{kN} = 15.0 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(\approx 7.85398 \times 10^{-5} \, \text{m}^2\) (valeur non arrondie de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{15.0 \times 10^3 \, \text{N}}{7.85398 \times 10^{-5} \, \text{m}^2} \\ &\approx 190985931.6 \, \text{N/m}^2 \\ &\approx 1.9099 \times 10^8 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On peut exprimer cela en Mégapascals (MPa) : \(1 \, \text{MPa} = 10^6 \, \text{Pa}\).

\[ \sigma \approx 190.99 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale appliquée à l'éprouvette est \(\sigma \approx 191.0 \, \text{MPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force de traction appliquée était la même mais que le diamètre de l'éprouvette était plus grand, la contrainte normale serait :

Question 3 : Déformation Longitudinale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation longitudinale (ou unitaire, ou relative, notée \(\epsilon\)) est une mesure de l'allongement relatif de l'éprouvette. Elle est définie comme le rapport de l'allongement (\(\Delta L\)) à la longueur initiale entre repères (\(L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Allongement (\(\Delta L\)) : \(0.035 \, \text{mm} = 0.035 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(50.0 \, \text{mm} = 50.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{0.035 \times 10^{-3} \, \text{m}}{50.0 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{0.035}{50.0} \\ &= 0.0007 \end{aligned} \]

La déformation peut aussi être exprimée en pourcentage : \(0.0007 \times 100\% = 0.07\%\).

Résultat Question 3 : La déformation longitudinale de l'éprouvette est \(\epsilon = 0.0007\) (ou \(7 \times 10^{-4}\), ou \(0.07\%\)).

Question 4 : Module d'Élasticité (Module de Young, \(E\))

Principe :

Dans le domaine élastique linéaire d'un matériau, la loi de Hooke stipule que la contrainte normale (\(\sigma\)) est directement proportionnelle à la déformation longitudinale (\(\epsilon\)). La constante de proportionnalité est le module d'élasticité (\(E\)) du matériau : \(\sigma = E \cdot \epsilon\). Le module d'Young est donc une mesure de la rigidité du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(\approx 1.9099 \times 10^8 \, \text{Pa}\) (valeur non arrondie de Q2)
  • Déformation longitudinale (\(\epsilon\)) : \(0.0007\) (résultat Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &= \frac{1.909859 \times 10^8 \, \text{Pa}}{0.0007} \\ &\approx 272837045142.8 \, \text{Pa} \\ &\approx 2.728 \times 10^{11} \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On exprime souvent le module d'Young en Gigapascals (GPa) : \(1 \, \text{GPa} = 10^9 \, \text{Pa}\).

\[ E \approx \frac{2.728 \times 10^{11} \, \text{Pa}}{10^9 \, \text{Pa/GPa}} \approx 272.8 \, \text{GPa} \]
Résultat Question 4 : Le module d'élasticité (Module de Young) du matériau de l'éprouvette est \(E \approx 273 \, \text{GPa}\). (Cette valeur est élevée, typique de certains aciers spéciaux ou d'autres alliages très rigides).

Quiz Intermédiaire 2 : Un matériau avec un module d'Young plus élevé est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte normale (\(\sigma\)) est définie comme :

2. La déformation longitudinale (\(\epsilon\)) est :

3. Le module d'Young (\(E\)) est une mesure de :

Glossaire

Module d'Élasticité (Module de Young, \(E\))
Propriété mécanique intrinsèque d'un matériau solide qui mesure sa rigidité, c'est-à-dire sa résistance à la déformation élastique lorsqu'une contrainte lui est appliquée. Il est défini comme le rapport de la contrainte à la déformation dans le domaine élastique linéaire. Unité : Pascal (Pa) ou ses multiples (MPa, GPa).
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Mesure de la force interne agissant perpendiculairement à une section transversale d'un matériau, par unité d'aire. \(\sigma = F/A_0\). Unité : Pascal (Pa).
Déformation Longitudinale (ou Unitaire, \(\epsilon\))
Mesure de l'allongement ou du raccourcissement relatif d'un matériau sous l'effet d'une contrainte. \(\epsilon = \Delta L / L_0\). C'est une grandeur sans dimension, souvent exprimée en pourcentage ou en \(\text{m/m}\).
Loi de Hooke
Principe de la physique stipulant que, pour des déformations élastiques relativement faibles, la déformation d'un corps est proportionnelle à la contrainte qui lui est appliquée. Pour la traction/compression, cela s'écrit \(\sigma = E \epsilon\).
Domaine Élastique
Plage de contraintes pour laquelle un matériau se déforme élastiquement, c'est-à-dire qu'il reprend sa forme et ses dimensions initiales après la suppression de la charge. Au-delà de ce domaine, des déformations permanentes (plastiques) peuvent apparaître.
Essai de Traction
Test mécanique normalisé consistant à appliquer une force de traction axiale croissante à une éprouvette d'un matériau jusqu'à sa rupture, afin de déterminer ses propriétés mécaniques, notamment son module d'élasticité, sa limite d'élasticité, sa résistance à la traction et son allongement à la rupture.
Calcul du Module d’Élasticité - Exercice d'Application

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