Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre
Contexte : La rigidité des matériaux, clé de voûte du Génie Civil.
En Résistance des Matériaux (RdM), le Module d'ÉlasticitéAussi appelé Module de Young (E), il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte appliquée et la déformation élastique qui en résulte. Un E élevé signifie que le matériau est très rigide., ou Module de Young, est une propriété fondamentale qui quantifie la rigidité d'un matériau. Savoir le déterminer expérimentalement est crucial pour les ingénieurs afin de s'assurer que les poutres utilisées dans les structures (ponts, bâtiments) se déformeront comme prévu sous charge, sans rupture. L'essai de flexion trois points est une méthode standard pour mesurer cette propriété. Cet exercice vous guidera à travers les calculs pour déterminer le Module de Young d'une poutre à partir de données expérimentales.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la théorie des poutres. Nous allons utiliser des données géométriques et expérimentales (force, flèche) pour remonter à une propriété intrinsèque du matériau (le module E). C'est une démarche typique de l'ingénieur en bureau d'études ou en laboratoire : lier la théorie à la pratique pour valider des matériaux et des conceptions.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le moment quadratique (moment d'inertie) d'une section rectangulaire.
- Déterminer le moment fléchissant maximal dans une poutre sur appuis simples.
- Appliquer la formule de la déformée pour calculer le Module d'Élasticité (E).
- Calculer la contrainte maximale dans la poutre et la comparer à une limite élastique.
- Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en Génie Civil (mm, N, MPa, GPa).
Données de l'étude
Schéma de l'essai de flexion trois points
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée entre appuis | \(L\) | 800 | \(\text{mm}\) |
| Largeur de la section | \(b\) | 20 | \(\text{mm}\) |
| Hauteur de la section | \(h\) | 40 | \(\text{mm}\) |
| Force appliquée | \(F\) | 1000 | \(\text{N}\) |
| Flèche mesurée | \(f_{\text{mesurée}}\) | 1.5 | \(\text{mm}\) |
| Limite élastique du matériau | \(\sigma_e\) | 250 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer le moment quadratique (moment d'inertie) \(I_{\text{Gz}}\) de la section de la poutre.
- Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la poutre.
- Déterminer le module d'élasticité (Module de Young) \(E\) du matériau en GPa.
- Calculer la contrainte normale maximale \(\sigma_{\text{max}}\) dans la poutre et vérifier si le matériau reste dans le domaine élastique.
Les bases de la Résistance des Matériaux
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés de la flexion des poutres.
1. Le Moment Quadratique (ou d'Inertie) :
Le moment quadratique, noté \(I\), représente la capacité d'une section à résister à la flexion. Il ne dépend que de la géométrie de la section. Plus \(I\) est grand, plus la poutre est rigide. Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), la formule est :
\[ I_{\text{Gz}} = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
La hauteur \(h\) est à la puissance 3, ce qui montre son influence prépondérante sur la rigidité.
2. Le Moment Fléchissant :
Le moment fléchissant, noté \(M\), est un effort interne qui représente l'action des forces qui tendent à faire "plier" la poutre. Dans notre cas d'une poutre sur deux appuis avec une charge \(F\) au centre, le moment est maximal sous la charge et vaut :
\[ M_{\text{max}} = \frac{F \cdot L}{4} \]
3. La Formule de la Déformée (Flèche) :
Cette formule relie la déformation de la poutre (sa flèche \(f\)) aux efforts appliqués (\(F\)), à sa géométrie (\(L, I\)) et à la rigidité du matériau (\(E\)). Pour notre cas, la flèche maximale est :
\[ f_{\text{max}} = \frac{F \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I} \]
En mesurant la flèche, on peut isoler \(E\) pour caractériser le matériau.
Correction : Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre
Question 1 : Calculer le moment quadratique (I)
Principe (le concept physique)
Le moment quadratique, souvent appelé à tort moment d'inertie en RdM, est une propriété purement géométrique. Il décrit comment la matière de la section est répartie par rapport à l'axe de flexion (ici, l'axe horizontal passant par le centre de gravité). Une section haute et fine aura un moment quadratique beaucoup plus grand qu'une section basse et large de même surface, car plus de matière est éloignée de l'axe neutre, travaillant plus efficacement contre la flexion.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Mathématiquement, le moment quadratique est l'intégrale du carré de la distance à l'axe sur toute la surface de la section (\(I_z = \int_A y^2 dA\)). Pour des formes simples comme le rectangle, cette intégrale se résout en une formule simple. Pour des formes complexes (comme un profilé en I), on utilise le théorème de Huygens pour sommer les moments quadratiques des formes simples qui la composent.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour mémoriser la formule, souvenez-vous que c'est la dimension perpendiculaire à l'axe de flexion qui est "au cube". Pour une flexion autour de l'axe horizontal (le cas le plus courant), c'est la hauteur \(h\) qui travaille le plus, d'où le \(h^3\). Si on fléchissait la poutre "à plat" (autour de l'axe vertical), la formule serait \(hb^3/12\), une valeur bien plus faible.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des caractéristiques géométriques des sections est une étape fondamentale définie dans toutes les normes de construction, notamment l'Eurocode 3 pour les structures en acier. Les valeurs pour les profilés standards sont directement disponibles dans des catalogues normalisés.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), par rapport à l'axe de flexion horizontal \(Gz\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section est parfaitement rectangulaire et homogène.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Largeur de la section, \(b = 20 \, \text{mm}\)
- Hauteur de la section, \(h = 40 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
En RdM, il est souvent judicieux de travailler avec des unités cohérentes. Le N et le mm sont un bon couple. Les forces en N, les longueurs en mm, les contraintes seront alors en N/mm², ce qui correspond exactement au Mégapascal (MPa). C'est le système d'unités le plus courant en ingénierie mécanique et civile.
Schéma (Avant les calculs)
Section Rectangulaire et Axe de Flexion
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule avec les dimensions en mm. L'unité résultante sera des mm⁴.
Schéma (Après les calculs)
Section avec Moment Quadratique Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette valeur de 106 667 mm⁴ représente la rigidité géométrique de notre section. Elle sera utilisée dans tous les calculs de déformation et de contrainte. C'est une valeur "abstraite" mais fondamentale, qui sert de base à toute l'analyse de la poutre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus classique est d'inverser \(b\) et \(h\). Rappelez-vous toujours que la dimension qui résiste le plus à la flexion (la hauteur) est celle qui est à la puissance 3. Une inversion ici conduirait à une valeur d'inertie 4 fois plus faible et donc à une erreur majeure sur la rigidité estimée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment quadratique \(I\) mesure la rigidité GÉOMÉTRIQUE d'une section.
- Pour une section rectangulaire, \(I = bh^3/12\).
- La hauteur \(h\) a une influence prépondérante (puissance 3).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
C'est pour maximiser le moment quadratique avec un minimum de matière que les profilés en "I" (comme l'IPN ou l'IPE) ont été inventés. La matière est concentrée dans les "semelles" (les barres horizontales), le plus loin possible de l'axe neutre, là où elle est la plus efficace pour résister à la flexion. L' "âme" (la barre verticale) sert principalement à les maintenir écartées.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on couchait la poutre (h=20 mm, b=40 mm), quel serait le nouveau moment quadratique en mm⁴ ?
Simulateur 3D : Influence de la hauteur sur l'Inertie
Moment Quadratique (I) : 106667 mm⁴
Question 2 : Calculer le moment fléchissant maximal
Principe (le concept physique)
Le moment fléchissant représente l'intensité de la "flexion" à l'intérieur de la poutre. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge en son centre, l'intuition nous dit que la poutre "plie" le plus au milieu. C'est à cet endroit que le moment fléchissant est maximal. Il est nul aux appuis (qui ne reprennent pas de moment) et augmente linéairement jusqu'au centre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le moment fléchissant \(M(x)\) en un point \(x\) est la somme des moments de toutes les forces et réactions à gauche (ou à droite) de ce point. Le diagramme du moment fléchissant est la primitive du diagramme de l'effort tranchant \(T(x)\), et sa dérivée est l'effort tranchant (\(dM/dx = T\)). Le maximum du moment se trouve donc là où l'effort tranchant s'annule, ce qui est le cas sous la charge ponctuelle F.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez tenir une règle horizontalement par ses deux extrémités et demander à quelqu'un d'appuyer au milieu. Vous sentez que vos mains doivent "retenir" la règle pour l'empêcher de tourner. Le moment fléchissant est la mesure de cet effort de "retenue" à l'intérieur même de la matière de la règle. Il est maximal là où la force est appliquée.
Normes (la référence réglementaire)
Les formules de calcul des moments fléchissants pour des cas de charge standards sont des résultats fondamentaux de la statique et de la RdM. Des formulaires, souvent annexés aux normes de calcul comme les Eurocodes, répertorient ces cas pour faciliter le travail de l'ingénieur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une poutre sur appuis simples de longueur L avec une charge F appliquée en L/2 :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les appuis sont parfaits (un appui simple, un appui à rouleau) et que la charge est parfaitement ponctuelle et centrée. Le poids propre de la poutre est négligé devant la charge appliquée F.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force appliquée, \(F = 1000 \, \text{N}\)
- Portée entre appuis, \(L = 800 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La réaction à chaque appui est simplement F/2. Le moment au milieu est donc la réaction (F/2) multipliée par la distance (L/2), ce qui donne \((F/2) \times (L/2) = FL/4\). C'est un moyen simple et rapide de retrouver la formule sans se tromper.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Forme attendue)
Calcul(s) (l'application numérique)
En utilisant les unités N et mm, le résultat sera en N·mm.
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur calculée)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le moment fléchissant maximal est de 200 000 N·mm, soit 200 N·m. C'est cette valeur qui va générer les contraintes les plus élevées dans la poutre et qui est donc déterminante pour son dimensionnement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le moment fléchissant (un effort interne, en N·m) avec la force (en N) ou la contrainte (en Pa). Assurez-vous également d'utiliser la bonne formule ; pour une charge répartie, par exemple, le moment maximal est \(qL^2/8\), une formule très différente.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment fléchissant mesure l'intensité de la "pliure" interne.
- Pour une charge centrée F sur une portée L, \(M_{\text{max}} = FL/4\).
- Le moment est maximal là où l'effort tranchant est nul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les ponts en arc fonctionnent en inversant le principe de la flexion. L'arc est conçu pour que les charges (comme le poids du tablier) le mettent principalement en compression, un mode de sollicitation que les matériaux comme la pierre ou le béton supportent très bien. Le diagramme des moments fléchissants est ainsi minimisé.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la portée L était doublée (1600 mm), quel serait le nouveau moment maximal en N·mm ?
Simulateur 3D : Moment et Déformation
Moment Max : 200000 N·mm
Question 3 : Déterminer le Module d'Élasticité (E)
Principe (le concept physique)
Le module d'élasticité E est le lien manquant entre la cause (la force appliquée, qui crée un moment) et la conséquence (la déformation, ou flèche). La formule de la déformée contient tous les paramètres : la force, la géométrie de la poutre (L et I) et la propriété du matériau (E). Puisque nous avons mesuré la flèche expérimentalement et calculé tous les autres termes, nous pouvons isoler E pour trouver la rigidité intrinsèque du matériau de la poutre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule de la déformée est obtenue par double intégration de l'équation de la déformée : \(EI \cdot y'' = M(x)\). En intégrant deux fois l'expression du moment fléchissant le long de la poutre et en utilisant les conditions aux limites (flèche nulle aux appuis), on obtient l'équation de la flèche en tout point, y compris sa valeur maximale au centre.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Voyez le terme \(E \cdot I\) comme la "rigidité de flexion" de la poutre. C'est le produit de la rigidité du matériau (\(E\)) et de la rigidité de la forme (\(I\)). Notre essai consiste à mesurer la flèche pour une charge donnée, ce qui nous donne accès à cette rigidité globale. Comme on a déjà calculé \(I\), on peut en déduire \(E\).
Normes (la référence réglementaire)
Les essais de flexion pour la détermination des propriétés mécaniques des matériaux sont standardisés par des normes internationales, comme la norme ISO 178 pour les plastiques ou ASTM E855 pour les matériaux métalliques. Ces normes définissent précisément les dimensions de l'éprouvette, les vitesses de chargement et les méthodes de calcul pour garantir des résultats comparables.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de la formule de la flèche maximale et on isole E :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le comportement du matériau est resté dans le domaine linéaire élastique (loi de Hooke), ce que nous vérifierons à la question 4. On suppose aussi que les déformations sont faibles, ce qui est le cas ici.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force appliquée, \(F = 1000 \, \text{N}\)
- Portée entre appuis, \(L = 800 \, \text{mm}\)
- Flèche mesurée, \(f_{\text{mesurée}} = 1.5 \, \text{mm}\)
- Moment quadratique, \(I_{\text{Gz}} = 106667 \, \text{mm}^4\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de faire le calcul complet, vérifiez les ordres de grandeur. La flèche est petite (mm) par rapport à la portée (centaines de mm). Le module E pour les métaux est très grand (de l'ordre de 10⁵ MPa ou 100 GPa). Si votre calcul donne une valeur faible (ex: 2000 MPa) ou astronomique, il y a probablement une erreur d'unité ou de formule (un cube oublié sur L, par exemple).
Schéma (Avant les calculs)
Relation Cause-Effet en Flexion
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer le module d'élasticité en MPa :
2. Convertir en Gigapascals (GPa), sachant que 1 GPa = 1000 MPa :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Modules d'Élasticité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur calculée de 67 GPa est très proche de la valeur tabulée pour l'aluminium (~70 GPa), mais très loin de celle de l'acier (~210 GPa). Bien que l'énoncé mentionne un "profilé en acier", les données expérimentales (la flèche mesurée) contredisent cette affirmation. En tant qu'ingénieur, cela devrait déclencher une alerte : soit le matériau n'est pas de l'acier, soit il y a eu une erreur dans la mesure de la flèche ou des dimensions.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La plus grande source d'erreur dans ce calcul est la cohérence des unités. La formule contient L au cube (\(L^3\)). Si vous mélangez des mètres et des millimètres, l'erreur sera d'un facteur 1000³ = un milliard ! Utilisez toujours un système cohérent (N, mm, MPa est recommandé).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le module E est une propriété intrinsèque du matériau.
- On le détermine en inversant la formule de la flèche.
- Une flèche plus grande pour une même charge implique un module E plus faible (matériau plus souple).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les matériaux composites, comme la fibre de carbone, ont des modules d'élasticité qui dépendent de la direction. Ils sont extrêmement rigides dans la direction des fibres (E peut dépasser celui de l'acier) mais beaucoup plus souples dans les autres directions. C'est ce qu'on appelle un matériau anisotrope.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la flèche mesurée avait été de 3.0 mm (poutre plus souple), quel aurait été le module E en GPa ?
Simulateur 3D : Flèche et Rigidité
Flèche calculée : 1.50 mm
Question 4 : Calculer la contrainte maximale et vérifier
Principe (le concept physique)
La contrainte (\(\sigma\)) est une mesure de la force interne par unité de surface à l'intérieur du matériau. En flexion, les contraintes ne sont pas uniformes : elles sont nulles sur l'axe neutre, maximales en compression sur la fibre supérieure et maximales en traction sur la fibre inférieure. Nous calculons cette contrainte maximale pour la comparer à la limite élastique du matériau (\(\sigma_e\)). Tant que \(\sigma_{\text{max}} < \sigma_e\), la déformation est réversible (élastique). Si on dépasse cette limite, la déformation devient permanente (plastique).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\sigma = My/I\) montre que pour un moment M et une inertie I donnés, la contrainte est directement proportionnelle à \(y\), la distance à l'axe neutre. La contrainte est donc un champ linéaire qui varie de \(-\sigma_{\text{max}}\) (compression) à \(+\sigma_{\text{max}}\) (traction) à travers la hauteur de la section. La vérification \(\sigma_{\text{max}} \le \sigma_e\) est le critère de résistance de base en conception élastique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à une éponge que vous pliez. Le dessus se comprime et se plisse, le dessous s'étire et s'ouvre. La contrainte est une mesure de cette compression ou de cet étirement interne. La limite élastique est le point où, si vous étirez trop, l'éponge ne reprend plus sa forme initiale. Notre calcul vérifie que nous sommes bien en dessous de ce point de non-retour.
Normes (la référence réglementaire)
La vérification des contraintes par rapport à une limite admissible est le cœur du dimensionnement des structures selon les normes comme les Eurocodes. La norme définit la valeur de la limite élastique à utiliser (\(\sigma_e\)) et les coefficients de sécurité à appliquer pour garantir que la contrainte de service reste bien en dessous de cette limite.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte normale maximale en flexion est donnée par :
où \(v\) est la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique l'hypothèse de Navier-Bernoulli, qui stipule que les sections planes restent planes après déformation. Cette hypothèse est valide pour les poutres élancées et conduit à la distribution linéaire des contraintes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Moment fléchissant max, \(M_{\text{max}} = 200000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) (du calcul Q2)
- Moment quadratique, \(I_{\text{Gz}} = 106667 \, \text{mm}^4\) (du calcul Q1)
- Hauteur de la section, \(h = 40 \, \text{mm}\)
- Limite élastique, \(\sigma_e = 250 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
On peut regrouper les termes géométriques en définissant le "module de flexion" \(W_{\text{el}} = I/v\). La formule devient alors simplement \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W_{\text{el}}\). Pour une section rectangulaire, \(W_{\text{el}} = (bh^3/12) / (h/2) = bh^2/6\). C'est un calcul très rapide : \(20 \times 40^2 / 6 \approx 5333 \, \text{mm}^3\). Ensuite, \(200000 / 5333 \approx 37.5 \, \text{MPa}\).
Schéma (Avant les calculs)
Distribution Linéaire des Contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la distance v :
2. Calculer la contrainte maximale (en N et mm, le résultat est en MPa) :
3. Comparer à la limite élastique :
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Maximale vs Limite Élastique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte maximale dans la poutre (37.5 MPa) est très inférieure à la limite élastique de l'acier (250 MPa). Le coefficient de sécurité est de 250 / 37.5 ≈ 6.7, ce qui est très élevé. Cela signifie que non seulement la poutre ne va pas rompre, mais elle se déforme de manière totalement élastique. Si on retire la charge, elle retrouvera sa forme initiale. L'essai a été mené en toute sécurité, bien dans le domaine de validité de nos formules.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier le terme \(v=h/2\). Une erreur fréquente est d'utiliser \(h\) entier. De plus, il faut bien utiliser le moment maximal pour trouver la contrainte maximale. Utiliser un moment en un autre point de la poutre donnerait une contrainte plus faible, ce qui serait non-conservatif pour le dimensionnement.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte maximale en flexion se situe sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre.
- La formule est \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} \cdot v / I\).
- La vérification de la résistance consiste à comparer \(\sigma_{\text{max}}\) à la limite élastique \(\sigma_e\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les poutres en béton armé, le béton, qui résiste mal à la traction, se fissure dans la partie inférieure tendue. Ce sont les barres d'armature en acier, placées judicieusement dans cette zone, qui reprennent la quasi-totalité de l'effort de traction. La section n'est donc plus homogène et les calculs de contraintes sont plus complexes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle force maximale (en N) pourrait-on appliquer avant d'atteindre exactement la limite élastique de 250 MPa ?
Simulateur 3D : Distribution des Contraintes
Contrainte Max : 37.5 MPa
Outil Interactif : Paramètres de Flexion
Modifiez les paramètres de l'essai pour voir leur influence sur la flèche et la contrainte.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le physicien anglais Thomas Young (1773-1829) fut le premier à formuler le concept de module d'élasticité. Médecin de formation, c'était un véritable polymathe qui a également apporté des contributions majeures à l'optique (avec l'expérience des fentes de Young prouvant la nature ondulatoire de la lumière) et à l'égyptologie, en participant au déchiffrement de la pierre de Rosette.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi le module d'élasticité est-il si important en pratique ?
Il est au cœur de tous les calculs de déformation. Un ingénieur doit garantir qu'une structure est non seulement résistante (ne casse pas) mais aussi suffisamment rigide. Par exemple, un plancher de bâtiment ne doit pas trop fléchir pour le confort des usagers, et la flèche d'une aile d'avion doit être parfaitement maîtrisée. Le module E permet de prédire ces déformations avec précision.
Est-ce que la formule de la flèche est toujours la même ?
Non, absolument pas. La formule \(FL^3 / (48EI)\) est spécifique au cas très précis d'une poutre sur deux appuis simples avec une charge ponctuelle en son milieu. Chaque cas de chargement (charges réparties, charges décentrées) et chaque type d'appuis (encastrement, etc.) a sa propre formule de flèche, qui peut devenir bien plus complexe.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour rendre une poutre rectangulaire beaucoup plus rigide en flexion, il est plus efficace de...
2. Si on applique la même force sur une poutre deux fois plus longue (L), la flèche sera...
- Module de Young (E)
- Propriété intrinsèque d'un matériau qui mesure sa rigidité en traction/compression. Il relie la contrainte à la déformation dans le domaine élastique. Unité : Pascal (Pa) ou ses multiples (MPa, GPa).
- Moment Quadratique (I)
- Propriété géométrique d'une section plane qui quantifie sa résistance à la flexion. Il dépend de la forme et des dimensions de la section. Unité : m⁴ ou mm⁴.
- Flèche
- Déplacement transversal d'un point de la ligne moyenne d'une poutre sous l'effet d'un chargement. La flèche maximale est une valeur clé pour le dimensionnement.
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