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Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment

Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment

Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment

Contexte : Assurer une assise stable et durable.

Le calcul des pressions exercées par une fondation sur le sol est une étape fondamentale du dimensionnement en génie civil. Une pression excessive ou mal répartie peut entraîner des tassements différentiels, des fissures dans la structure, voire compromettre sa stabilité. Ce problème est particulièrement pertinent pour les semelles combinées, qui reprennent les charges de plusieurs poteaux. Si les charges ne sont pas identiques, la force résultante n'est plus centrée, créant une distribution de pression non uniforme. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la distribution des pressions sous une semelle combinée et sa vérification par rapport à la capacité portante du sol.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la statique et de la mécanique des sols. Nous allons déterminer le point d'application de la charge globale (le centre de poussée) et utiliser la formule de Meyerhof pour calculer les pressions minimales et maximales sous la fondation. L'objectif est de s'assurer que le sol n'est jamais en traction et que la pression maximale reste inférieure à la contrainte admissible du sol. C'est le quotidien de l'ingénieur géotechnicien.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges de calcul à l'état limite ultime (ELU).
  • Déterminer la position de la résultante des forces et son excentricité.
  • Appliquer la formule de la flexion composée pour calculer les pressions maximale et minimale sous la semelle.
  • Vérifier la condition de non-traction du sol (\(e \le L/6\)).
  • Comparer la pression maximale à la contrainte admissible du sol.

Données de l'étude

On étudie une semelle filante combinée en béton armé, de longueur \(L=6.0 \, \text{m}\) et de largeur \(B=2.0 \, \text{m}\). Elle supporte deux poteaux P1 et P2. Les charges non pondérées (caractéristiques) appliquées par ces poteaux sont données ci-dessous. La contrainte admissible du sol à l'état limite de service (ELS) est également fournie.

Schéma de la semelle combinée
P1 P2 L = 6.0 m 1.0 m 1.0 m
Paramètre Symbole Poteau P1 Poteau P2 Unité
Charge permanente \(G_{\text{k}}\) 800 1200 \(\text{kN}\)
Charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) 300 500 \(\text{kN}\)
Propriétés du sol et de la fondation
Contrainte admissible du sol (ELS) \(\sigma_{\text{sol,adm}}\) 250 \(\text{kPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la charge totale de calcul à l'ELU, \(P_{\text{Ed}}\), et sa position \(x_G\) par rapport au bord gauche de la semelle.
  2. Déterminer l'excentricité \(e\) de la charge de calcul.
  3. Calculer les pressions maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) et minimale (\(\sigma_{\text{min}}\)) sous la semelle à l'ELU.
  4. Vérifier que la pression maximale à l'ELS reste inférieure à la contrainte admissible du sol.

Les bases du Calcul de Pression

Avant la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. Centre de Poussée et Excentricité :
Quand plusieurs forces s'appliquent sur un corps, leur effet peut être résumé par une force résultante unique appliquée en un point appelé "centre de poussée". La position de ce point se trouve par le théorème des moments. L'excentricité \(e\) est la distance entre ce centre de poussée et le centre géométrique de la surface d'application (ici, le milieu de la semelle).

2. Formule de la Flexion Composée (Meyerhof) :
Une charge excentrée sur une fondation crée à la fois une compression uniforme et un moment fléchissant. La combinaison des deux produit une distribution de pression linéaire (trapézoïdale). Les pressions aux extrémités sont données par : \[ \sigma_{\text{max,min}} = \frac{P}{A} \pm \frac{M}{I/v} = \frac{P}{BL} \left(1 \pm \frac{6e}{L}\right) \] Cette formule est valide tant que la résultante reste dans le noyau central de la semelle.

3. Condition de Non-Traction (Noyau Central) :
Le sol ne peut pas résister à la traction. Pour s'assurer que la fondation ne se soulève pas (\(\sigma_{\text{min}} \ge 0\)), la résultante des charges doit rester dans le "noyau central" de la semelle. Pour une section rectangulaire, cela signifie que l'excentricité doit être inférieure ou égale au sixième de la longueur : \[ e \le \frac{L}{6} \] C'est une vérification fondamentale pour les fondations superficielles.

Correction : Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment

Question 1 : Calculer la charge résultante et sa position

Principe (le concept physique)

Pour analyser l'effet combiné des deux poteaux, nous devons les remplacer par une seule force équivalente, la résultante \(P_{\text{Ed}}\), appliquée en un point précis, le centre de poussée \(x_G\). La magnitude de la résultante est simplement la somme des forces individuelles. Sa position est déterminée en s'assurant que le moment créé par la résultante par rapport à un point est égal à la somme des moments créés par les forces individuelles par rapport à ce même point (Théorème de Varignon).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des charges de calcul à l'État Limite Ultime (ELU) se fait en appliquant des coefficients de sécurité aux charges caractéristiques (permanentes Gk et variables Qk). La combinaison la plus courante selon l'Eurocode 0 est \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\). Cette combinaison représente une situation extrême de chargement pour vérifier la résistance de la structure et du sol.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous portez une planche avec un ami. Si vous portez tous les deux le même poids, le "point d'équilibre" est au milieu. Si votre ami porte plus lourd, ce point se déplace vers lui. Nous faisons exactement la même chose ici : nous trouvons le "point d'équilibre" (\(x_G\)) des charges des poteaux sur la "planche" qu'est la fondation.

Normes (la référence réglementaire)

Nous utilisons l'Eurocode 0 (Bases de calcul des structures) pour la combinaison des charges à l'ELU. La formule \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) est la combinaison fondamentale pour les bâtiments courants en situation non-sismique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de calcul pour un poteau :

\[ P_{\text{Ed},i} = 1.35 G_{\text{k},i} + 1.5 Q_{\text{k},i} \]

Résultante totale :

\[ P_{\text{Ed}} = \sum P_{\text{Ed},i} \]

Position du centre de poussée (moment par rapport au bord gauche) :

\[ x_G = \frac{\sum (P_{\text{Ed},i} \cdot x_i)}{P_{\text{Ed}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges des poteaux sont des forces ponctuelles verticales. Le poids propre de la semelle est négligé dans ce premier calcul pour se concentrer sur l'effet des charges appliquées (il devrait être ajouté dans un calcul complet).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poteau P1: \(G_{\text{k1}} = 800 \, \text{kN}\), \(Q_{\text{k1}} = 300 \, \text{kN}\), position \(x_1 = 1.0 \, \text{m}\)
  • Poteau P2: \(G_{\text{k2}} = 1200 \, \text{kN}\), \(Q_{\text{k2}} = 500 \, \text{kN}\), position \(x_2 = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord les charges pondérées pour chaque poteau. Ensuite, la somme est facile. Pour la position, choisissez un point de référence simple (comme le bord gauche de la semelle) et restez cohérent pour toutes les distances.

Schéma (Avant les calculs)
Forces Appliquées sur la Semelle
P_Ed1 = ?P_Ed2 = ?P_Ed = ?x_G = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des charges pondérées ELU :

\[ \begin{aligned} P_{\text{Ed1}} &= 1.35 \cdot 800 + 1.5 \cdot 300 \\ &= 1080 + 450 = 1530 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{\text{Ed2}} &= 1.35 \cdot 1200 + 1.5 \cdot 500 \\ &= 1620 + 750 = 2370 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de la résultante totale \(P_{\text{Ed}}\) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{Ed}} &= P_{\text{Ed1}} + P_{\text{Ed2}} \\ &= 1530 + 2370 \\ &= 3900 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Calcul de la position \(x_G\) :

\[ \begin{aligned} x_G &= \frac{P_{\text{Ed1}} \cdot x_1 + P_{\text{Ed2}} \cdot x_2}{P_{\text{Ed}}} \\ &= \frac{1530 \cdot 1.0 + 2370 \cdot 5.0}{3900} \\ &= \frac{1530 + 11850}{3900} \\ &= \frac{13380}{3900} \\ &= 3.43 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultante des Forces Appliquées
P_Ed = 3900 kNx_G = 3.43 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge totale que la fondation doit transmettre au sol est de 3900 kN. Cette force n'est pas appliquée au centre de la semelle (qui est à 3.0 m), mais à 3.43 m du bord gauche. Ce décalage, appelé excentricité, va créer une distribution de pression non-uniforme sous la semelle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de pondérer les charges (\(1.35G+1.5Q\)) avant de calculer la position de la résultante. Les coefficients étant différents, la position de la résultante ELU n'est pas la même que celle de la résultante ELS.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours pondérer les charges pour obtenir les efforts de calcul (\(P_{\text{Ed}}\)).
  • La résultante est la somme des forces.
  • Sa position se trouve avec le théorème des moments.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la conception des ponts à haubans, la position précise des câbles (haubans) le long du tablier est calculée pour équilibrer les charges et minimiser les moments de flexion dans le tablier, un peu comme on cherche à centrer la résultante sur une fondation pour uniformiser les pressions.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients sont-ils 1.35 et 1.5 ?

Ces coefficients de sécurité partiels tiennent compte des incertitudes. On est plus certain du poids propre d'une structure (charges permanentes G) que des charges d'utilisation (exploitation Q, comme les meubles, les personnes, la neige). C'est pourquoi le coefficient sur Q est plus élevé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résultante des charges de calcul est \(P_{\text{Ed}} = 3900 \, \text{kN}\) et elle s'applique à \(x_G = 3.43 \, \text{m}\) du bord gauche.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(P_{\text{Ed2}}\) était identique à \(P_{\text{Ed1}}\) (1530 kN), où se trouverait \(x_G\) (en m) ?

Question 2 : Déterminer l'excentricité de la charge

Principe (le concept physique)

L'excentricité \(e\) est la mesure du "déséquilibre" de la charge par rapport à la géométrie de la fondation. C'est la distance entre le point où la charge s'applique réellement (\(x_G\)) et le centre de la fondation (son centre de gravité géométrique). Une excentricité nulle signifie que la charge est parfaitement centrée et que la pression sous la semelle sera uniforme. Une excentricité non nulle induit un moment fléchissant qui crée une variation de pression.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment de flexion \(M_{\text{Ed}}\) créé par l'excentricité est simplement le produit de la force résultante par l'excentricité : \(M_{\text{Ed}} = P_{\text{Ed}} \cdot e\). C'est ce moment qui est utilisé dans la formule de la flexion composée pour calculer la part de contrainte variable. L'excentricité est donc une manière pratique de quantifier le moment agissant sur la fondation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une bibliothèque. Si vous mettez tous les livres lourds d'un côté, elle risque de basculer. Vous avez créé une forte excentricité. Pour la stabiliser, vous devez répartir les livres pour ramener le "centre de poids" près du centre géométrique de l'étagère. En géotechnique, on ne peut pas déplacer les poteaux, donc on joue sur la géométrie de la fondation pour que son centre coïncide au mieux avec le centre de poussée.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 exige la prise en compte des excentricités dans le calcul des fondations. La vérification du noyau central (\(e \le L/6\)) est une règle de conception fondamentale pour éviter des calculs complexes de soulèvement et pour garantir un comportement stable du sol.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Centre géométrique de la semelle :

\[ x_{\text{centre}} = \frac{L}{2} \]

Excentricité :

\[ e = |x_G - x_{\text{centre}}| \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la semelle est une forme géométrique simple (un rectangle) dont le centre de gravité est facile à déterminer.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Position de la résultante, \(x_G = 3.43 \, \text{m}\) (du calcul Q1)
  • Longueur de la semelle, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct. Faites simplement attention à bien prendre la valeur absolue de la différence, car l'excentricité est une distance, donc toujours positive.

Schéma (Avant les calculs)
Excentricité de la Résultante
CentreP_Ede = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du centre géométrique :

\[ \begin{aligned} x_{\text{centre}} &= \frac{6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 3.0 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'excentricité \(e\) :

\[ \begin{aligned} e &= |3.43 \, \text{m} - 3.0 \, \text{m}| \\ &= 0.43 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de l'Excentricité
Centree = 0.43 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'excentricité de 0.43 m est significative. Elle indique que la charge est notablement décalée vers le poteau P2, qui est le plus chargé. Cette valeur sera directement utilisée pour calculer la variation de pression sous la semelle. Nous devons maintenant vérifier si cette excentricité est acceptable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la position de la résultante \(x_G\) avec l'excentricité \(e\). \(x_G\) est une coordonnée, tandis que \(e\) est une distance par rapport au centre. Une erreur de confusion entre les deux invaliderait tout le calcul de pression.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'excentricité est la distance entre le centre de poussée et le centre géométrique.
  • Elle est la source du moment fléchissant dans la fondation.
  • Une excentricité nulle est l'objectif idéal, mais rarement atteint en pratique avec des charges inégales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très hautes structures comme les cheminées ou les tours, le vent peut créer une excentricité de charge bien plus importante que les charges permanentes. La fondation est alors souvent une large galette circulaire (radier) pour offrir une grande résistance au basculement dans toutes les directions.

FAQ (pour lever les doutes)
L'excentricité peut-elle être dans l'autre sens ?

Oui. Si le poteau P1 avait été plus chargé que P2, la résultante se serait déplacée vers la gauche du centre, et l'excentricité aurait été de l'autre côté. La formule \(e = |x_G - x_{\text{centre}}|\) reste valable car la valeur absolue garantit un résultat positif.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'excentricité de la charge de calcul à l'ELU est \(e = 0.43 \, \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la semelle faisait \(L=7.0 \, \text{m}\) de long (poteaux aux mêmes positions), quelle serait la nouvelle excentricité \(e\) (en m) ?

Question 3 : Calculer les pressions maximale et minimale (ELU)

Principe (le concept physique)

La charge verticale centrée \(P_{\text{Ed}}\) crée une pression uniforme \(\sigma_0 = P_{\text{Ed}}/A\). Le moment dû à l'excentricité (\(M_{\text{Ed}} = P_{\text{Ed}} \cdot e\)) crée une pression linéairement variable, qui s'ajoute d'un côté et se soustrait de l'autre. La pression totale est la superposition de ces deux effets. La pression est maximale du côté où la résultante s'est déplacée et minimale du côté opposé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma = P/A \pm M/W\) est fondamentale en Résistance des Matériaux. \(W\) est le module d'inertie de la section, qui vaut \(I/v\). Pour une section rectangulaire de fondation, \(A=BL\) et \(W = B L^2 / 6\). En substituant ces valeurs et \(M=P \cdot e\), on retrouve directement la formule \(\sigma = P/(BL) \cdot (1 \pm 6e/L)\), qui est très pratique pour les calculs de fondations.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous appuyez au centre d'une éponge posée sur une table : elle s'écrase uniformément. Maintenant, appuyez sur le bord droit : l'éponge s'écrase beaucoup à droite et se soulève peut-être même à gauche. C'est exactement ce que nous calculons : la pression maximale à droite (\(\sigma_{\text{max}}\)) et la pression (ou le soulèvement) à gauche (\(\sigma_{\text{min}}\)).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la condition de non-traction (\(e \le L/6\)) est une étape clé. Si elle n'est pas respectée, la formule de Meyerhof n'est plus valide car une partie de la semelle se décolle du sol. Le calcul devient alors plus complexe, basé sur une distribution de pression triangulaire sur la longueur de contact restante.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification du noyau central :

\[ e \le \frac{L}{6} \]

Pressions maximale et minimale :

\[ \sigma_{\text{max,min}} = \frac{P_{\text{Ed}}}{B \cdot L} \left(1 \pm \frac{6e}{L}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol et la semelle ont un comportement élastique linéaire, ce qui justifie la distribution de pression linéaire. Cette hypothèse est valable tant que les pressions ne dépassent pas la limite de résistance du sol.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résultante, \(P_{\text{Ed}} = 3900 \, \text{kN}\)
  • Excentricité, \(e = 0.43 \, \text{m}\)
  • Dimensions semelle : \(L = 6.0 \, \text{m}\), \(B = 2.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord le terme \(6e/L\). S'il est inférieur à 1, la semelle ne se soulève pas. S'il est supérieur à 1, la formule donnera une \(\sigma_{\text{min}}\) négative, indiquant une traction que le sol ne peut reprendre.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution de Pression Attendue
σ_max=?σ_min=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Vérification de l'excentricité :

\[ \begin{aligned} \frac{L}{6} &= \frac{6.0 \, \text{m}}{6} \\ &= 1.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ e = 0.43 \, \text{m} \le 1.0 \, \text{m} \Rightarrow \text{OK, la semelle reste entièrement comprimée.} \]

2. Calcul des pressions :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{max,min}} &= \frac{3900 \, \text{kN}}{2.0 \, \text{m} \cdot 6.0 \, \text{m}} \left(1 \pm \frac{6 \cdot 0.43 \, \text{m}}{6.0 \, \text{m}}\right) \\ &= \frac{3900}{12} \left(1 \pm \frac{2.58}{6.0}\right) \\ &= 325 \, \text{kPa} \cdot (1 \pm 0.43) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{max}} &= 325 \cdot (1 + 0.43) \\ &= 325 \cdot 1.43 \\ &= 464.75 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{min}} &= 325 \cdot (1 - 0.43) \\ &= 325 \cdot 0.57 \\ &= 185.25 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution de Pression à l'ELU
σ_max=465 kPaσ_min=185 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La pression n'est pas uniforme. Elle varie de 185 kPa du côté du poteau le moins chargé à 465 kPa du côté du poteau le plus chargé. Comme \(\sigma_{\text{min}}\) est positive, la semelle ne se soulève pas. La pression maximale de 465 kPa est la valeur que le sol doit être capable de supporter en situation ultime (ELU).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Toujours vérifier la condition \(e \le L/6\) en premier. Si elle n'est pas respectée, cette formule n'est plus applicable et son utilisation conduirait à des résultats erronés (une traction fictive sur le sol).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'excentricité crée une distribution de pression trapézoïdale.
  • La formule de Meyerhof \(\frac{P}{A}(1 \pm \frac{6e}{L})\) permet de calculer les pressions extrêmes.
  • La vérification \(e \le L/6\) garantit que le sol reste comprimé partout.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les murs de soutènement, on cherche volontairement à créer une excentricité de la charge vers l'avant (côté terres) pour éviter tout soulèvement au talon (côté arrière). La forme de la fondation du mur (avec un "talon" et un "patin") est spécifiquement conçue pour optimiser cette distribution de pression.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si \(e > L/6\) ?

La semelle se soulève. La zone comprimée se réduit à une longueur de \(3(L/2 - e)\). La distribution de pression devient triangulaire, avec une pression maximale de \(\sigma_{\text{max}} = 2P / (B \cdot 3(L/2 - e))\). Cette situation est généralement évitée en phase de conception en modifiant les dimensions de la semelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pressions à l'ELU sont \(\sigma_{\text{max}} = 464.75 \, \text{kPa}\) et \(\sigma_{\text{min}} = 185.25 \, \text{kPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'excentricité était de \(e=1.0 \, \text{m}\) (limite du noyau central), quelle serait la pression minimale \(\sigma_{\text{min}}\) en kPa ?

Question 4 : Vérifier la pression à l'ELS

Principe (le concept physique)

Après avoir vérifié la résistance ultime (ELU), il faut vérifier le comportement en service (ELS). L'État Limite de Service garantit que la structure se comporte bien en conditions normales d'utilisation. Pour les fondations, cela signifie principalement que les pressions exercées sur le sol ne provoquent pas de tassements excessifs. On vérifie donc que la pression maximale en conditions de service reste inférieure à une contrainte admissible, qui est définie pour limiter les tassements.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte admissible \(\sigma_{\text{sol,adm}}\) n'est pas une limite de rupture, mais une limite de service. Elle est généralement déterminée par le géotechnicien à partir d'essais en place (pressiomètre, pénétromètre) ou en laboratoire. Elle est souvent fixée pour qu'un tassement typique (par ex. 2.5 cm) ne soit pas dépassé. La combinaison de charges à l'ELS est simplement \(G_k + Q_k\), car on considère une situation d'utilisation normale, sans coefficients de sécurité majorants.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'ELU, c'est s'assurer que la maison ne s'effondre pas lors d'une tempête exceptionnelle. L'ELS, c'est s'assurer que les portes et fenêtres ne se bloquent pas à cause des déformations du bâtiment en temps normal. Les deux vérifications sont essentielles : la sécurité d'abord (ELU), puis le confort et la durabilité (ELS).

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 impose la vérification des états limites de service. La vérification de la pression par rapport à la contrainte admissible est une méthode simplifiée courante. Une analyse plus poussée impliquerait un calcul direct des tassements et leur comparaison à des limites admissibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de service :

\[ P_{\text{ser}} = \sum (G_{\text{k},i} + Q_{\text{k},i}) \]

Position et excentricité à l'ELS :

\[ x_{G,\text{ser}} = \frac{\sum (P_{\text{ser},i} \cdot x_i)}{P_{\text{ser}}} \quad ; \quad e_{\text{ser}} = |x_{G,\text{ser}} - L/2| \]

Pression maximale à l'ELS :

\[ \sigma_{\text{max,ser}} = \frac{P_{\text{ser}}}{B \cdot L} \left(1 + \frac{6e_{\text{ser}}}{L}\right) \]

Condition de vérification :

\[ \sigma_{\text{max,ser}} \le \sigma_{\text{sol,adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les charges non pondérées (caractéristiques) pour la vérification à l'ELS. La distribution de pression est supposée rester linéaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges P1: \(G_{\text{k1}} = 800 \, \text{kN}\), \(Q_{\text{k1}} = 300 \, \text{kN}\)
  • Charges P2: \(G_{\text{k2}} = 1200 \, \text{kN}\), \(Q_{\text{k2}} = 500 \, \text{kN}\)
  • Contrainte admissible, \(\sigma_{\text{sol,adm}} = 250 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les calculs sont identiques à ceux des questions 1 à 3, mais en utilisant les charges de service (somme simple de Gk et Qk) au lieu des charges pondérées. Ne mélangez pas les deux jeux de valeurs !

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Pression de Service
σ_max,ser=?σ_sol,adm = 250 kPa
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des charges de service :

\[ P_{\text{ser1}} = 800 + 300 = 1100 \, \text{kN} \]
\[ P_{\text{ser2}} = 1200 + 500 = 1700 \, \text{kN} \]
\[ \begin{aligned} P_{\text{ser}} &= 1100 + 1700 \\ &= 2800 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de la position et de l'excentricité à l'ELS :

\[ \begin{aligned} x_{G,\text{ser}} &= \frac{1100 \cdot 1.0 + 1700 \cdot 5.0}{2800} \\ &= \frac{1100 + 8500}{2800} = \frac{9600}{2800} \\ &\approx 3.43 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ e_{\text{ser}} = |3.43 - 3.0| = 0.43 \, \text{m} \]

3. Calcul de la pression maximale à l'ELS :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{max,ser}} &= \frac{2800}{2.0 \cdot 6.0} \left(1 + \frac{6 \cdot 0.43}{6.0}\right) \\ &= \frac{2800}{12} (1 + 0.43) \\ &= 233.33 \cdot 1.43 \\ &= 333.66 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ \sigma_{\text{max,ser}} = 333.66 \, \text{kPa} > \sigma_{\text{sol,adm}} = 250 \, \text{kPa} \Rightarrow \text{NON VÉRIFIÉ!} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Pression ELS vs Admissible
σ_max,ser=334 kPaContrainte Admissible σ_adm=250 kPaNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification n'est pas satisfaite. La pression maximale sous la fondation en conditions de service normales (334 kPa) dépasse la pression que le sol peut accepter sans subir de tassements potentiellement dommageables (250 kPa). Bien que la fondation ne s'effondre pas (vérification ELU implicitement satisfaite si la capacité portante ultime est > 465 kPa), le bâtiment risque de tasser de manière excessive. Il est impératif de redimensionner la fondation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais comparer une pression calculée à l'ELU avec une contrainte admissible de service (ELS). Chaque état limite a ses propres combinaisons de charges et ses propres critères de vérification. Comparer des choux et des carottes peut mener à des conclusions dangereusement erronées.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification à l'ELS utilise les charges non pondérées (\(G_k+Q_k\)).
  • Elle garantit le bon comportement de l'ouvrage en service (limitation des tassements).
  • La pression maximale de service doit être inférieure à la contrainte admissible du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour le Burj Khalifa, la plus haute tour du monde, les fondations ne sont pas superficielles mais profondes. Elles sont constituées de 192 pieux en béton foré descendant jusqu'à 50 mètres de profondeur pour trouver un sol suffisamment résistant et limiter les tassements sous cette charge immense.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment redimensionner la fondation pour que ça passe ?

Pour réduire la pression, il faut augmenter la surface de la fondation (\(A=BL\)). La solution la plus simple est d'augmenter la largeur B. On peut aussi augmenter la longueur L, mais il faut alors recalculer l'excentricité. L'objectif est de trouver un nouveau couple (B, L) tel que \(\sigma_{\text{max,ser}} \le 250 \, \text{kPa}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pression maximale à l'ELS (\(334 \, \text{kPa}\)) dépasse la contrainte admissible du sol (\(250 \, \text{kPa}\)). La fondation n'est pas validée et doit être redimensionnée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle devrait être la largeur minimale B (en m) de la semelle pour que la vérification à l'ELS soit juste satisfaite (\(\sigma_{\text{max,ser}} \approx 250\) kPa) ?

Outil Interactif : Pression sous Semelle

Modifiez les dimensions de la semelle pour voir leur influence sur les pressions et la validation du projet.

Paramètres d'Entrée
6.0 m
2.0 m
Résultats Clés (ELS)
Excentricité e (m) -
Pression Max σ_max (kPa) -
Vérification (σ_max ≤ 250 kPa) -

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "capacité portante" a été formalisé par Karl von Terzaghi en 1943, considéré comme le père de la mécanique des sols moderne. Ses travaux ont transformé la géotechnique d'un art empirique en une véritable science de l'ingénieur, permettant de concevoir des fondations sûres pour les plus grands ouvrages du monde.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi vérifier à l'ELU et à l'ELS ?

L'ELU (État Limite Ultime) vérifie la sécurité et la résistance : la structure ne doit pas s'effondrer. L'ELS (État Limite de Service) vérifie le bon fonctionnement et le confort : la structure ne doit pas trop se déformer, vibrer ou se fissurer en conditions normales. Une fondation doit satisfaire aux deux états limites pour être conforme.

Le poids de la semelle est-il toujours négligeable ?

Non. Dans cet exercice, il a été négligé pour simplifier. Dans un cas réel, on ajoute le poids propre de la semelle (volume x poids volumique du béton) et le poids des terres au-dessus à la charge totale. Cela augmente la pression moyenne mais peut aider à réduire l'excentricité relative.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'excentricité \(e\) est égale à L/6, la distribution de pression sous la semelle est...

2. Pour réduire une pression maximale trop élevée due à une forte excentricité, la solution la plus efficace est...

Excentricité (e)
Distance entre le point d'application de la résultante des charges et le centre géométrique de la surface de la fondation.
Noyau Central
Zone au centre d'une section à l'intérieur de laquelle la résultante des forces doit s'appliquer pour que toute la section reste en compression.
État Limite de Service (ELS)
État qui, s'il est dépassé, compromet le bon fonctionnement de la structure ou le confort des usagers (ex: tassement excessif).
Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment

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