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Calcul des déformations dans une poutre

Calcul des déformations dans une poutre

Calcul des déformations dans une poutre

Contexte : Au-delà de la rupture, le confort et la fonction.

Si la première mission d'un ingénieur est de s'assurer qu'une structure ne s'effondre pas (vérification à l'État Limite Ultime - ELU), une seconde mission, tout aussi cruciale, est de garantir qu'elle reste fonctionnelle et confortable en service. Cela implique de maîtriser ses déformations (vérification à l'État Limite de Service - ELS). Une poutre de plancher qui fléchit trop, même si elle est solide, peut causer la fissuration des cloisons, un sentiment d'inconfort pour les usagers, ou des problèmes de-pente pour l'évacuation des eaux. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la flècheDéplacement vertical maximal d'une poutre sous l'effet des charges. C'est la principale grandeur que l'on cherche à limiter lors des vérifications à l'État Limite de Service (ELS). (déformation maximale) d'une poutre sur appuis simples, une compétence essentielle pour la conception de structures performantes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équation différentielle de la déformée. Nous allons intégrer deux fois l'équation du moment fléchissant pour obtenir l'équation de la rotation, puis celle de la déformée (la flèche). Les constantes d'intégration, qui apparaissent à chaque étape, seront déterminées grâce aux conditions aux limites imposées par les appuis (déplacement nul).

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la méthode de la double intégration pour calculer la déformée d'une poutre.
  • Utiliser les conditions aux limites pour déterminer les constantes d'intégration.
  • Établir l'équation de la rotation \(\theta(x)\) et de la flèche \(v(x)\).
  • Calculer la flèche maximale et la comparer aux limites réglementaires.
  • Comprendre l'influence du matériau (E) and de la géométrie (I) sur la rigidité.

Données de l'étude

On étudie une poutre en bois sur deux appuis simples (un appui simple en A, une rotule en B), soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur. On souhaite calculer sa déformée et vérifier que la flèche maximale respecte les limites admissibles.

Schéma de la Poutre sur Appuis Simples
v(x) A B w L
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 5.0 \(\text{m}\)
Charge répartie (permanente + exploitation) \(w\) 8 \(\text{kN/m}\)
Module de Young du bois \(E\) 11,000 \(\text{MPa (N/mm}^2\text{)}\)
Moment d'inertie de la section \(I\) 450 \(\times 10^6\) \(\text{mm}^4\)
Flèche admissible \(v_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A et B.
  2. Établir l'équation du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre.
  3. Par double intégration, déterminer l'équation de la déformée \(v(x)\).
  4. Calculer la flèche maximale \(v_{\text{max}}\) et vérifier si elle est inférieure à la flèche admissible.

Les bases de la Déformation des Poutres

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés pour le calcul de la déformée.

1. L'Équation de la Déformée :
La relation fondamentale qui lie le moment fléchissant \(M(x)\) à la courbure de la poutre est la clé du calcul des déformations. Cette courbure est approximée par la dérivée seconde de la flèche, \(v''(x)\). L'équation s'écrit :

\[ EI \frac{d^2v(x)}{dx^2} = M(x) \]

Le terme \(EI\) est appelé la rigidité en flexion de la poutre. Plus \(E\) (matériau) et \(I\) (géométrie de la section) sont élevés, plus la poutre est rigide et moins elle se déforme pour un même moment.

2. La Méthode de la Double Intégration :
Pour trouver la flèche \(v(x)\) à partir de l'équation ci-dessus, on l'intègre deux fois par rapport à \(x\).

  • Une première intégration donne l'équation de la **rotation** (ou pente) de la poutre, \(\theta(x) \approx v'(x)\).
  • Une seconde intégration donne l'équation de la **déformée** (ou flèche), \(v(x)\).
Chaque intégration fait apparaître une constante d'intégration (\(C_1\) et \(C_2\)) qu'il faut déterminer.

3. Les Conditions aux Limites :
Pour trouver les constantes d'intégration, on utilise les "conditions aux limites", c'est-à-dire ce que l'on sait de la déformation aux appuis. Pour une poutre sur appuis simples en \(x=0\) et \(x=L\), on sait que la poutre ne peut pas se déplacer verticalement à ces endroits. On a donc : \[ v(0) = 0 \quad \text{et} \quad v(L) = 0 \] Ces deux conditions permettent de trouver les deux constantes \(C_1\) et \(C_2\).

Correction : Calcul des déformations dans une poutre

Question 1 : Calculer les réactions d'appui en A et B

Principe (le concept physique)

Avant de pouvoir étudier les efforts internes ou les déformations, il faut s'assurer que la poutre est en équilibre global. Cela signifie que les appuis doivent fournir des forces de réaction qui compensent exactement les charges appliquées. En raison de la symétrie du chargement et des appuis, on peut intuitivement déduire que chaque appui reprend la moitié de la charge totale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) est appliqué à la poutre dans son ensemble. La somme des forces verticales doit être nulle, et la somme des moments par rapport à n'importe quel point (par exemple, l'appui A) doit également être nulle. Ces deux équations suffisent pour déterminer les deux réactions verticales inconnues \(V_A\) et \(V_B\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul des réactions est toujours la première étape de toute étude de RDM. C'est le "ticket d'entrée" pour pouvoir analyser ce qui se passe à l'intérieur de la structure. Une erreur sur les réactions se propagera inévitablement à tous les calculs suivants.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul relève de la mécanique statique de base, un prérequis pour l'application des normes de construction comme les Eurocodes. Les normes spécifient les charges à appliquer, mais le calcul des réactions qui en découle repose sur ces principes universels.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les équations du PFS :

\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum M_{/A} = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La poutre est un corps rigide en équilibre. Les appuis sont parfaits (l'appui simple ne reprend que des forces verticales, la rotule également dans ce cas de chargement vertical).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(w = 8 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un chargement symétrique sur une poutre symétrique, les réactions aux appuis sont égales et valent chacune la moitié de la charge totale. Charge totale = \(w \times L = 8 \times 5 = 40\) kN. Donc, \(V_A = V_B = 40 / 2 = 20\) kN. C'est un excellent moyen de vérifier le calcul formel.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre de la Poutre
VAVBw
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Équilibre des moments par rapport à A pour trouver \(V_B\):

\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} = 0 &\Rightarrow (w \times L) \times \frac{L}{2} - V_B \times L = 0 \\ &\Rightarrow V_B \times L = \frac{wL^2}{2} \\ &\Rightarrow V_B = \frac{wL}{2} \\ &= \frac{8 \, \text{kN/m} \times 5 \, \text{m}}{2} \\ &= 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Équilibre des forces verticales pour trouver \(V_A\):

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow V_A + V_B - w \times L = 0 \\ &\Rightarrow V_A = wL - V_B \\ &= (8 \times 5) - 20 \, \, [\text{kN}] \\ &= 40 - 20 \, \, [\text{kN}] \\ &= 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec Réactions d'Appui
20 kN20 kNw = 8 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu pour un cas de charge symétrique, chaque appui reprend exactement la moitié de la charge totale appliquée (40 kN). Le résultat est cohérent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal calculer le bras de levier de la charge répartie. Sa force résultante s'applique au milieu de la longueur sur laquelle elle agit, donc à \(L/2\) de l'appui A.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours commencer par calculer les réactions d'appui.
  • Utiliser la somme des moments par rapport à un appui pour trouver la réaction de l'autre appui.
  • Utiliser la somme des forces pour vérifier le calcul ou trouver la dernière réaction.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Une structure pour laquelle on peut trouver toutes les réactions d'appui en utilisant uniquement les équations de la statique est dite "isostatique". Si il y a plus d'inconnues que d'équations (par exemple, une poutre sur trois appuis), la structure est "hyperstatique" et nécessite des équations supplémentaires basées sur les déformations pour être résolue.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre un appui simple et une rotule ?

Dans un problème 2D avec uniquement des charges verticales, il n'y a aucune différence : les deux empêchent le déplacement vertical et autorisent la rotation. La différence apparaît avec des charges horizontales : une rotule (ou appui fixe) bloque le déplacement horizontal, tandis qu'un appui simple (ou appui mobile) l'autorise.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions d'appui sont \(V_A = 20 \, \text{kN}\) et \(V_B = 20 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on ajoutait une charge ponctuelle de 10 kN au milieu de la poutre, quelles seraient les nouvelles réactions \(V_A\) et \(V_B\) ?

Question 2 : Établir l'équation du moment fléchissant \(M(x)\)

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant en un point \(x\) représente l'effet de rotation de toutes les forces situées à gauche de ce point. Il quantifie l'intensité de la flexion que subit la poutre à cet endroit précis. C'est cette grandeur qui est directement liée à la courbure de la poutre et donc à sa déformation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour trouver \(M(x)\), on effectue une coupure à une abscisse \(x\) et on écrit l'équation d'équilibre des moments sur le tronçon de gauche. Le moment interne \(M(x)\) doit équilibrer le moment créé par les forces externes (réactions d'appui et charges) situées sur ce tronçon.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le moment fléchissant est souvent la notion la plus difficile à visualiser. Imaginez tenir une baguette horizontalement et la plier. La "résistance" que vous sentez dans la baguette est due au moment fléchissant interne. Là où la baguette est la plus courbée, le moment fléchissant est le plus grand.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du moment fléchissant est une étape fondamentale de la RDM, prescrite par toutes les normes de calcul de structure. La valeur maximale du moment, \(M_{\text{max}}\), sera utilisée dans les formules de vérification de la résistance de la section de la poutre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des moments sur la section de gauche de longueur \(x\):

\[ \sum M_{/x} = 0 \Rightarrow - V_A \cdot x + (w \cdot x) \cdot \frac{x}{2} + M(x) = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la convention de signe où un moment qui tend à courber la poutre avec une concavité vers le haut ("sourire") est positif.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui, \(V_A = 20 \, \text{kN}\)
  • Charge répartie, \(w = 8 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le bras de levier de la charge répartie sur le tronçon de longueur \(x\) est \(x/2\), car sa résultante (\(w \cdot x\)) s'applique au milieu de ce tronçon.

Schéma (Avant les calculs)
Isostatisme de la Section pour M(x)
AxVAM(x) = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

En isolant \(M(x)\) dans l'équation d'équilibre :

\[ \begin{aligned} M(x) &= V_A \cdot x - \frac{wx^2}{2} \\ &= 20x - \frac{8x^2}{2} \\ &= 20x - 4x^2 \, \, [\text{kNm}] \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Équation du Moment Fléchissant

M(x) = 20x - 4x²

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation du moment est une parabole. Elle est nulle en x=0 (appui simple) et en x=5 (20*5 - 4*5² = 100 - 100 = 0), ce qui est correct pour une poutre sur appuis simples. Elle atteindra son maximum au milieu de la poutre, là où l'effort tranchant est nul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes. La réaction \(V_A\) crée un moment positif (tend à courber la poutre vers le haut) tandis que la charge répartie \(w\) crée un moment négatif (tend à la courber vers le bas).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant (au signe près selon les conventions).
  • Pour une poutre sur appuis simples, le moment est nul aux appuis.
  • Une charge répartie uniforme conduit à un moment parabolique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les profilés en "I" (comme l'IPE de l'énoncé) sont très efficaces pour résister à la flexion. La matière est concentrée dans les "semelles" (les barres horizontales), loin de l'axe neutre, là où les contraintes de traction et de compression sont maximales. Cela maximise le moment d'inertie \(I\) pour une quantité d'acier donnée.

FAQ (pour lever les doutes)
Dois-je toujours faire la coupure depuis la gauche ?

Non, vous pouvez aussi faire la coupure et regarder les forces à droite. Le résultat sera le même. Cependant, il est conseillé de choisir le côté avec le moins de forces pour simplifier les calculs. Il faut aussi être très rigoureux avec les conventions de signe, qui sont inversées pour les efforts internes quand on regarde à droite.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation du moment fléchissant est \(M(x) = 20x - 4x^2\) (en kNm).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur du moment fléchissant à \(x = L/4 = 1.25\) m ?

Question 3 : Déterminer l'équation de la déformée \(v(x)\)

Principe (le concept physique)

L'équation de la déformée, ou "ligne élastique", décrit la forme que prend la poutre sous l'effet des charges. On l'obtient en intégrant deux fois l'équation fondamentale de la flexion \(EI v''(x) = M(x)\). Les deux constantes d'intégration qui apparaissent sont déterminées grâce aux conditions de déplacement nul aux appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La première intégration de \(M(x)/EI\) donne la pente (ou rotation) \(\theta(x)\) de la poutre en chaque point. La seconde intégration donne le déplacement vertical (ou flèche) \(v(x)\). Les constantes d'intégration sont des valeurs "initiales" (en x=0) de rotation et de déplacement qui dépendent des appuis.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un processus purement mathématique une fois que \(M(x)\) est connu. La physique réside dans la détermination des conditions aux limites. Demandez-vous : "Qu'est-ce que je sais sur le déplacement ou la rotation à certains points de la poutre ?". Pour un appui simple, la réponse est "le déplacement est nul".

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la déformée est au cœur des vérifications à l'État Limite de Service (ELS) des Eurocodes. Ces normes ne dictent pas la méthode de calcul (la double intégration est une méthode classique), mais elles imposent les limites à ne pas dépasser pour la flèche.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On intègre deux fois :

\[ EI v'(x) = \int M(x) dx = \int (20x - 4x^2) dx \]
\[ EI v(x) = \int (\int M(x) dx) dx \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre se déforme dans le domaine élastique (elle reprend sa forme initiale si on enlève les charges) et que les déformations sont petites, ce qui permet d'approximer la courbure par \(v''(x)\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M(x) = 20x - 4x^2\) (en kNm)
  • \(E = 11000 \, \text{MPa}\)
  • \(I = 450 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)
  • Conditions aux limites : \(v(0)=0\) et \(v(5)=0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Convertissez toutes vos unités en un système cohérent (par exemple, kN et m) dès le début. Calculer la rigidité \(EI\) dans cette unité (kNm²) en premier évite de se perdre dans les conversions au milieu du calcul de la flèche.

Schéma (Avant les calculs)
De la Courbure à la Déformée
M(x) / EI = v''(x)IntégrationRotation v'(x)IntégrationDéformée v(x)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités de la rigidité EI en kN·m² :

\[ \begin{aligned} E &= 11000 \, \text{N/mm}^2 = 11 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 = 11 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2 \\ I &= 450 \times 10^6 \, \text{mm}^4 = 450 \times 10^6 \times (10^{-3} \text{m})^4 = 4.5 \times 10^{-4} \, \text{m}^4 \\ EI &= (11 \times 10^6) \times (4.5 \times 10^{-4}) \, \, [\text{kNm}^2] \\ &= 4950 \, \text{kNm}^2 \end{aligned} \]

2. Première intégration pour obtenir la rotation :

\[ \begin{aligned} EI v'(x) &= \int (20x - 4x^2) dx \\ &= 10x^2 - \frac{4}{3}x^3 + C_1 \end{aligned} \]

3. Seconde intégration pour obtenir la déformée :

\[ \begin{aligned} EI v(x) &= \int (10x^2 - \frac{4}{3}x^3 + C_1) dx \\ &= \frac{10}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^4 + C_1 x + C_2 \end{aligned} \]

4. Détermination des constantes avec les conditions aux limites :

\[ \begin{aligned} v(0) = 0 &\Rightarrow EI \cdot 0 = 0 - 0 + 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0 \\ v(5) = 0 &\Rightarrow EI \cdot 0 = \frac{10}{3}(5)^3 - \frac{1}{3}(5)^4 + C_1(5) \\ 0 &= \frac{1250}{3} - \frac{625}{3} + 5C_1 \\ 5C_1 &= -\frac{625}{3} \Rightarrow C_1 = -\frac{125}{3} \approx -41.67 \end{aligned} \]

5. Équation finale de la déformée :

\[ v(x) = \frac{1}{EI} \left( \frac{10}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^4 - \frac{125}{3}x \right) \]
Schéma (Après les calculs)
Équation de la Ligne Élastique

v(x) = (1/4950) * ( (10/3)x³ - (1/3)x⁴ - (125/3)x )

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons obtenu une fonction du 4ème degré qui décrit précisément la forme de la poutre sous la charge. Le signe négatif des termes dominants indique que la flèche sera vers le bas, ce qui est physiquement cohérent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale difficulté est la gestion des constantes d'intégration. Il faut bien identifier les conditions aux limites disponibles (deux dans ce cas) pour résoudre le système d'équations et trouver \(C_1\) et \(C_2\). Une erreur ici faussera toute l'équation de la déformée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La déformée est obtenue par double intégration du moment.
  • Les constantes d'intégration sont cruciales et se trouvent avec les conditions aux limites.
  • La rigidité \(EI\) est un facteur d'échelle : plus elle est grande, plus la déformée est faible.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe d'autres méthodes pour calculer les déformations, comme la méthode de l'énergie (théorèmes de Castigliano) ou la méthode de la poutre conjuguée, qui peuvent être plus rapides pour des cas de charge complexes.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la rotation n'est-elle pas nulle aux appuis ?

Contrairement à un encastrement qui bloque la rotation, un appui simple ou une rotule permet à la poutre de tourner librement. La rotation est même maximale aux appuis pour une poutre simplement appuyée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation de la déformée est \( v(x) = \frac{1}{4950} \left( \frac{10}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^4 - \frac{125}{3}x \right) \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur de la constante \(C_1\) si la charge \(w\) était de 12 kN/m ?

Question 4 : Calculer la flèche maximale \(v_{\text{max}}\)

Principe (le concept physique)

La flèche maximale se produit à l'endroit où la poutre est la plus basse. Mathématiquement, c'est le point où la tangente à la déformée est horizontale, c'est-à-dire où la rotation \(v'(x)\) est nulle. Pour une poutre symétrique avec un chargement symétrique, ce point est intuitivement au milieu de la travée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Trouver le maximum d'une fonction est un problème d'optimisation classique. On dérive la fonction (ici, \(v(x)\)), on cherche les points où la dérivée s'annule (\(v'(x)=0\)), puis on calcule la valeur de la fonction à ces points. Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniforme, le seul extremum entre les appuis se trouve à \(x=L/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La vérification de la flèche est une étape concrète du travail de l'ingénieur. Le calcul théorique doit être comparé à une limite pratique issue des règlements. C'est le passage de la théorie à la conception : on ne calcule pas pour le plaisir, mais pour s'assurer que la structure se comportera bien dans la réalité.

Normes (la référence réglementaire)

Les Eurocodes (particulièrement l'Eurocode 0 et les Eurocodes spécifiques aux matériaux) définissent les critères de l'État Limite de Service (ELS). La limite de flèche la plus courante pour les planchers est L/250 pour la flèche totale et L/300 pour la flèche active (due aux seules charges variables), afin de limiter les désordres et garantir le confort.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule \(v(x)\) au point où \(v'(x)=0\), c'est-à-dire à \(x=L/2\). La formule générale bien connue est :

\[ v_{\text{max}} = \frac{5 w L^4}{384 EI} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le comportement du matériau est parfaitement linéaire-élastique et que la section de la poutre est constante sur toute sa longueur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Équation de la déformée \(v(x)\)
  • \(L = 5.0 \, \text{m}\), donc \(x = 2.5 \, \text{m}\)
  • \(EI = 4950 \, \text{kNm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \( \frac{5 w L^4}{384 EI} \) est un grand classique de la RDM. La connaître par cœur pour ce cas de charge vous fera gagner un temps précieux. Vous pouvez l'utiliser pour vérifier rapidement le résultat de votre calcul par intégration.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche de la Flèche Maximale
v_max = ?x = L/2
Calcul(s) (l'application numérique)

1. On calcule \(v(x)\) pour \(x=2.5\) m :

\[ \begin{aligned} v(2.5) &= \frac{1}{4950} \left( \frac{10}{3}(2.5)^3 - \frac{1}{3}(2.5)^4 - \frac{125}{3}(2.5) \right) \\ &= \frac{1}{4950} \left( \frac{10 \times 15.625}{3} - \frac{39.0625}{3} - \frac{312.5}{3} \right) \\ &= \frac{1}{4950} \left( \frac{156.25 - 39.0625 - 312.5}{3} \right) \\ &= \frac{1}{4950} \left( \frac{-195.3125}{3} \right) \\ &\approx -0.01315 \, \text{m} \\ &= -13.15 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que la flèche est vers le bas. La flèche maximale est donc \(v_{\text{max}} = 13.15 \, \text{mm}\).

2. Vérification par rapport à la limite admissible :

\[ \begin{aligned} v_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} = \frac{5000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 16.67 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 13.15 \, \text{mm} < 16.67 \, \text{mm} \Rightarrow \text{Condition respectée} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Flèche
v_max = 13.2 mmLimite v_adm = 16.7 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche maximale calculée (\(13.15 \, \text{mm}\)) est inférieure à la flèche admissible (\(16.67 \, \text{mm}\)). La poutre est donc considérée comme suffisamment rigide pour son usage. Elle ne se déformera pas excessivement en service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'homogénéité des unités est absolument critique dans le calcul de la flèche. Le module de Young E est souvent en MPa (N/mm²), l'inertie I en mm⁴, et les charges en kN et m. Il faut tout convertir dans un système cohérent (par exemple, N et mm, ou kN et m) avant d'appliquer la formule finale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La flèche maximale se trouve là où la rotation est nulle.
  • La flèche est très sensible à la portée (\(v \propto L^4\)). Doubler la portée multiplie la flèche par 16 !
  • La vérification de la flèche est une étape essentielle de la conception à l'ELS.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les ponts de très grande portée, les ingénieurs introduisent une "contre-flèche" lors de la construction. La poutre est fabriquée avec une courbure vers le haut, de sorte qu'une fois mise en place et soumise à son propre poids et aux charges de service, elle devienne approximativement horizontale. Cela évite d'avoir un pont qui "baille" visiblement en son centre.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le signe de la flèche est-il négatif ?

Notre repère a un axe y orienté vers le haut. Comme la poutre fléchit vers le bas sous l'effet de la gravité, son déplacement vertical est négatif. La "flèche" en tant que grandeur est généralement donnée comme la valeur absolue de ce déplacement maximal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche maximale est \(v_{\text{max}} \approx 13.2 \, \text{mm}\). Comme \(13.2 \, \text{mm} < 16.7 \, \text{mm}\), la condition de flèche est respectée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre avait une portée de 6 m au lieu de 5 m, quelle serait la nouvelle flèche maximale (en mm) ?

Outil Interactif : Déformation de la Poutre

Modifiez les charges et les propriétés de la poutre pour voir leur influence sur la flèche maximale.

Paramètres d'Entrée
8 kN/m
4950 kNm²
Résultats Clés
Flèche Maximale -
Vérification (v_max / v_adm) -

Le Saviez-Vous ?

Pour les ponts de très grande portée, les ingénieurs introduisent une "contre-flèche" lors de la construction. La poutre est fabriquée avec une courbure vers le haut, de sorte qu'une fois mise en place et soumise à son propre poids et aux charges de service, elle devienne approximativement horizontale. Cela évite d'avoir un pont qui "baille" visiblement en son centre.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la limite de flèche est-elle L/300 ?

C'est une valeur empirique courante pour les planchers et les toitures qui supportent des éléments fragiles (comme des cloisons en plâtre ou des vitrages). Elle assure que la déformation ne sera pas visible à l'œil nu et ne causera pas de dommages aux éléments non structurels. Pour d'autres types d'ouvrages, comme des ponts, les limites peuvent être différentes (par exemple L/500).

Que se passe-t-il si la charge n'est pas symétrique ?

Si la charge n'est pas symétrique, le point de flèche maximale ne sera plus au milieu de la poutre. Il faudra alors trouver la position \(x\) qui annule l'équation de la rotation \(v'(x)=0\) pour trouver l'emplacement exact de la flèche maximale, ce qui peut être plus complexe mathématiquement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on remplace la poutre en bois par une poutre en acier de même section (E acier >> E bois), la flèche maximale sera...

2. Pour une poutre sur appuis simples avec une charge répartie, le diagramme de la déformée \(v(x)\) est une courbe de degré...

Déformée (ou Ligne Élastique)
Forme géométrique prise par l'axe neutre d'une poutre lorsqu'elle est soumise à des charges. L'équation de la déformée est notée \(v(x)\).
Flèche
Déplacement vertical d'un point de la poutre. La flèche maximale, notée \(v_{\text{max}}\) ou \(f_{\text{max}}\), est la plus grande valeur de la déformée sur la longueur de la poutre.
Rigidité en Flexion (EI)
Produit du module de Young (\(E\)) du matériau et du moment d'inertie (\(I\)) de la section. C'est une mesure de la résistance d'une poutre à la déformation par flexion.
Calcul des déformations dans une poutre

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